一題多解的數(shù)學(xué)價(jià)值

精品文檔-下載后可編輯一題多解的數(shù)學(xué)價(jià)值在高二數(shù)學(xué)課本“不等式”一章中關(guān)于不等式的證明，教材上列舉了證明不等式的四種方法：公式法、比較法、數(shù)學(xué)歸納法及分析法.在實(shí)際應(yīng)用過程中，只有這四種方法往往是不夠的，還應(yīng)通過實(shí)際例題向?qū)W生介紹反證法、放縮法、換元法及判別式法等常用的方法.另外還有幾何法、構(gòu)造函數(shù)法等方法.學(xué)生必須理解掌握這些思想方法，做題才能得心應(yīng)手，游刃有余.

現(xiàn)舉例說明：

例題：已知a，b，m∈R，且a

求證：>.

證法1（比較法）：

因?yàn)閍，b，m∈R，a

所以-=>0，故>.

證法2（分析法）：

欲證>，由于a，b，m∈R，aa（b+m），

即證am

證法3（綜合法）：

能用分析法證明的題目，一般也能用綜合法證明（略）.

證法4（反證法）：

假設(shè)≤，

因?yàn)閍、b、m∈R，

所以（a+m）b≤a（b+m），即bm≤am，

所以b≤a，這與題設(shè)a

所以假設(shè)不成立，故>.

證法5（放縮法）：

因?yàn)閍，b，m∈R，a

所以==f（0），即>.

注：利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式具有優(yōu)越性.高中實(shí)驗(yàn)教材已把微積分列入必修內(nèi)容，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性很方便，故對(duì)此法應(yīng)予以高度重視.

證法7（增量法）：

因?yàn)閍0），

所以==<==.

證法8（斜率法1）：

在直角坐標(biāo)系中，=表示經(jīng)過A（b，a）和B（-m，-m）兩點(diǎn)所在直線的斜率，設(shè)其傾斜率為α，而=表示點(diǎn)A（b，a）和原點(diǎn)O（0，0）所在直線的斜率，設(shè)其傾斜角為β，如圖1.

圖1

由a

證法9（斜率法2）：

在直角坐標(biāo)系中，設(shè)A（b，a），B（m，m），則AB的中點(diǎn)C（，），如圖2.

圖2

由于OA、OB、OC三線的斜率滿足k

證法10（三角法）：

如圖3，在直角三角形ABC中，∠B=90°，BC=a，AB=b，延長BA至E，BC至D，使CD=AE=m.

設(shè)CA、DE交于F，則有tan∠DEB=，tan∠CAB=.

因?yàn)椤螩AB

圖3

練習(xí)（請(qǐng)讀者完成以下兩道題）

1.若a+b=1，x+y=1，求證：ax+by≤1.

2.已知a，b，c為直角三角形ABC的三邊長，c是斜邊，當(dāng)n∈N，n≥3時(shí)，求證：a+b

從以上例題及練習(xí)的證法體驗(yàn)可知，一道數(shù)學(xué)題因思考的角度不同可得到多種不同的解題思路.數(shù)學(xué)問題的解決應(yīng)