高考數(shù)學知識要點復習

高考數(shù)學100個提醒

——知識、方法與例題

-V集合與邏輯

1、區(qū)分集合中元素的形式：如:{x|y=lgx}一函數(shù)的定義域；{y|y=lgx}一函數(shù)的值域;

{(x,y)Iy=lgx}—函數(shù)圖象上的點集，如(1)設集合M={x［y=x+3}，集合N=

{y［y=Y+i,xeM},則MN=—(答：［l,+oo))；(2)設集合

M={a\a=(l,2)+2(3,4),2e/?},N={a|a=(2,3)+〃4,5),4cR},則

(答：{(-2,-2)})

2、條件為Au8,在討論的時候不要遺忘了A的情況

如：A={x|ax~—2.x—1=0},如果APIA'—(f>>求。的取值。(答：aWO)

3^An8={x|xeA且xeB}；AU3={x|xeA或re8}

CiA={x|xGU但xwA};Agboxe4貝?。輝eB;真子集怎定義？

含n個元素的集合的子集個數(shù)為2",真子集個數(shù)為2。一1;如滿足

{1,2}?加工{1,2,3,4,5}集合乂有個。(答：7)

4、Cu(AAB)=CuAUCuB;Cu(AUB)=CtADQB;card(AUB)=?

5、ACB=A=AUB=B=A￡B=CiBuCiAoACCiB=0?CLAUB=U

6、補集思想常運用于解決否定型或正面較復雜的有關問題。

如已知函數(shù)f{x)=4--2(p-2)x-2p2-p+l在區(qū)間［—1,1］上至少存在一個實數(shù)c,使

/(c)>0,求實數(shù)p的取值范圍。(答：(-3,1))

7、原命題：〃=夕；逆命題：“=〃；否命題：F=逆否命題：—?7=>—：互為

逆否的兩個命題是等價的.

如："sinawsinp”是“a豐0”的條件。(答：充分非必要條件)

8、若p=q且qKP；則p是q的充分非必要條件(或q是p的必要非充分條件)；

9、注意命題p=q的否定與它的否命題的區(qū)別：

命題p=<7的否定是p=F；否命題是NF

命題“P或q”的否定是“-IP且1Q”，“P且q”的否定是“-IP或-!Q”~

注意：如“若4和6都是偶數(shù)，則a+b是偶數(shù)”的

否命題是''若a和6不都是偶數(shù)，則a+人是奇數(shù)”

否定是“若a和人都是偶數(shù)，則a+b是奇數(shù)”

二、函數(shù)與導數(shù)

10、指數(shù)式、對數(shù)式：

an=yjam,an=—L-,,=1,log,1=0,log.a=1,Ig2+lg5=1,logex=Inx,

an

}oN

d=NQlognN=b(a>0,aw1,N>0),a^=N。

如J產屋的值為_______(答：—)

264

11、一次函數(shù):y=ax+b(ar0)b=0時奇函數(shù)；

12、二次函數(shù)①三種形式:一般式f(x)=a-+bx+c(軸b/2a,a#0,頂點？)；頂點式

f(x)=a(xh)、k;零點式f(x)=a(xxi)(xxz)(軸?);b=0偶函數(shù)；

③區(qū)間最值:配方后一看開口方向，二討論對稱軸與區(qū)間的相對位置關系;如：若函數(shù)

丁=(無2一21+4的定義域、值域都是閉區(qū)間［2,2。］,則力=(答：2)

④實根分布:先畫圖再研究△△、軸與區(qū)間關系、區(qū)間端點函數(shù)值符號；

13>反比例函數(shù)：y=￡(xwO)平移=>y=“+」一(中心為(b,a))

xx-b

14、對勾函數(shù)丁=》+@是奇函數(shù)，耐,在區(qū)間(TO,0),(0,+8)上為增函數(shù)

X

a>00寸,在(0,后后,0)遞減在(YO,內)遞增

15、單調性①定義法;②導數(shù)法.如：己知函數(shù)/(x)=V—以在區(qū)間工+oo)上是增函

數(shù)，則a的取值范圍是——(答：(-00,3］))；

注意①：/'(x)>0能推出/(x)為增函數(shù)，但反之不一定。如函數(shù)=/在

(-8,+8)上單調遞增，但/'(x)NO,??./'(x)>0是/(X)為增函數(shù)的充分不必要條件。

注意②：函數(shù)單調性與奇偶性的逆用了嗎？(①比較大??；②解不等式：③求參數(shù)范圍).

如已知奇函數(shù)/(x)是定義在(—2,2)上的減函數(shù)，若f(m-1)+/(2m-l)>0,求實數(shù)in的

17

取值范圍。(答：——<m<—)

23

③復合函數(shù)由同增異減判定④圖像判定.⑤作用：比大小，解證不等式.如函數(shù)

y=logi(―f+2x)的單調遞增區(qū)間是(答：(1,2))。

2

16、奇偶性：f(x)是偶函數(shù)。f(x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函數(shù)。f(x)=f(x);定義域含零

的奇函數(shù)過原點(f(0)=0)；定義域關于原點對稱是為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要而不充分的條

件。

17、周期性。(1)類比“三角函數(shù)圖像”得：

①若y=/(x)圖像有兩條對稱軸x=a,x=伙aw份，則y=/(x)必是周期函數(shù)，且

一周期為7=2|。一6|；

②若y=/(幻圖像有兩個對稱中心A(a,0),8(b,0)(a中打，則y=f(x)是周期函數(shù)，

且一周期為T=2|a—6；

③如果函數(shù)y=/(x)的圖像有一個對稱中心A(a,O)和一條對稱軸x=b(ax。)，則函數(shù)

y=f(x)必是周期函數(shù)，且一周期為T=4|a—"；

如已知定義在R上的函數(shù)/(x)是以2為周期的奇函數(shù)，則方程/(月=0在［—2,2］上

至少有個實數(shù)根(答：5)

(2)由周期函數(shù)的定義“函數(shù)/(x)滿足/(x)=/(G+x)(a>0),則/(x)是周期為a

的周期函數(shù)”得：①函數(shù)/(X)滿足—/(x)=/(a+x),則f(x)是周期為2a的周期函數(shù);

②若f(x+a)=--—(a。0)恒成立，則T=2a；③若f(x+a)=------(a豐0)恒成立,

/(x)fM

則T=2a.

如(1)設/(幻是(-8,+oo)上的奇函數(shù)，/(x+2)=—/(x),當OWxWl時，/(x)=x,

則了(47.5)等于(答：-0.5)；⑵定義在R上的偶函數(shù)/(X)滿足f(x+2)=/(x),

且在［—3,-2］上是減函數(shù)，若a,夕是銳角三角形的兩個內角，則/(sina),/(cos尸)的大

小關系為(答：/(sina)>/(cos0)；

18、常見的圖象變換

①函數(shù)y=f(x+a)的圖象是把函數(shù)丁=/(x)的圖象沿x軸向左(a〉0)或向右

(a<0)平移。個單位得到的。如要得到y(tǒng)=lg(3—x)的圖像，只需作y=lgx關于

軸對稱的圖像，再向—平移3個單位而得到(答：y；右)；(3)函數(shù)/(x)=x/g(x+2)—l

的圖象與x軸的交點個數(shù)有一個(答：2)

②函數(shù)y=/(x)+a的圖象是把函數(shù)y=/(x)助圖象沿y軸向上(a>0)或向下

(a<0)平移a個單位得到的；如將函數(shù)y=—+。的圖象向右平移2個單位后又向下平

x+a

移2個單位，所得圖象如果與原圖象關于直線y=x對稱，那么(A)a=-l,bw0

(B)a=—1,Z?GR(C)a=l,〃w0(￡>)?=0,Z?GR(答：C)

③函數(shù)y=f{ax)(a>0)的圖象是把函數(shù))=/(x)的圖象沿x軸伸縮為原來的,得

a

到的。如(1)將函數(shù)y=/(x)的圖像上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?(縱坐標不變)，再

將此圖像沿x軸方向向左平移2個單位，所得圖像對應的函數(shù)為(答：/(3x+6))；(2)

如若函數(shù)y=/(2x-l)是偶函數(shù),則函數(shù)y=/(2x)的對稱軸方程是(答：x=-1).

④函數(shù)y=4(%)3>0)的圖象是把函數(shù)y=/(x)的圖象沿y軸伸縮為原來的a倍得

到的.

19、函數(shù)的對稱性。

①滿足條件f{x+a)=f［b-x)的函數(shù)的圖象關于直線x=彳對稱。如已知二次函

數(shù)/(x)=ax?+hx(a/0)滿足條件/(5—x)=/(x-3)且方程/(x)=x有等根，則/(%)

312

=(合：-e廠+X);

②點(x,y)關于y軸的對稱點為(-%,y)；函數(shù)y=/(x)關于y軸的對稱曲線方程為

y=/(-%)；

③點(x,y)關于x軸的對稱點為(x,-y)；函數(shù)y=/(x)關于x軸的對稱曲線方程為

>=-/(尤)；

④點(x,y)關于原點的對稱點為(-羽-)，)；函數(shù)y=/(X)關于原點的對稱曲線方程為

y=_/(-x)；

⑤點(x,y)關于直線y=±x+a的對稱點為(土(y-a),±x+a)；曲線f(x,y)=0關于

直線y=±x+a的對稱曲線的方程為/(±(y—a),±x+a)=0。特別地，點(x,y)關于直線

y=x的對稱點為(y,x)；曲線/(x,y)=0關于直線y=x的對稱曲線的方程為

/(y,x)=0；點(x,y)關于直線y=—x的對稱點為(一、一幻；曲線/(x,y)=0關于直線

x—33

y=r的對稱曲線的方程為/(_%_%)=0。如己知函數(shù)f(x)=--,(xw—),若

2x-32

y=/(X+1)的圖像是G,它關于直線y=X對稱圖像是。2，。2關于原點對稱的圖像為

g,則a對應的函數(shù)解析式是___________(答：一士二)；

2x+l

若f(a—x)=f(b+x),則f(x)圖像關于直線x=對稱;兩函數(shù)y=f(a+x)與y=f(bx)圖

像關于直線x=j對稱。

2

提醒：證明函數(shù)圖像的對稱性，即證明圖像上任一點關于對稱中心(對稱軸)的對稱點

仍在圖像上；如(1)已知函數(shù)/(x)=x+l-"(awR)。求證：函數(shù)/(x)的圖像關于點

a-x

M(a,—1)成中心對稱圖形。

⑥曲線/(x,y)=O關于點(。,刀的對稱曲線的方程為了(2a—x,北一丁)=0。如若函數(shù)

y=/+%與y=g(?的圖象關于點(2,3)對稱，貝Ug(x)=(答：—x2—7x—6)

⑦形如>=幺書匕#0,41工/^)的圖像是雙曲線，對稱中心是點(—4,且)。如己知

cx+dcc

函數(shù)圖象C與C：y(x+a+l)=av+a2+l關于直線y=x對稱，且圖象C關于點(2,-

3)對稱，則〃的值為(答：2)

⑧|/(x)|的圖象先保留了(x)原來在x軸上方的圖象，作出x軸下方的圖象關于x軸的

對稱圖形，然后擦去x軸下方的圖象得到；/(|x|)的圖象先保留了(x)在y軸右方的圖象，

擦去y軸左方的圖象，然后作出y軸右方的圖象關于y軸的對稱圖形得到。如(1)作出函

數(shù)y=|log2(x+l)|及y=log2lx+l|的圖象；(2)若函數(shù)/(幻是定義在R上的奇函數(shù)，

則函數(shù)"X)=|/(X)|+/(W)的圖象關于一對稱(答：y軸)

20.求解抽象函數(shù)問題的常用方法是：

(1)借鑒模型函數(shù)進行類比探究。幾類常見的抽象函數(shù)：

①正比例函數(shù)型：/(%)=履(人工0)/(x±y)=/(x)±/(y)；

②幕函數(shù)型:f(x)=x2f(xy)=f(x)f(y),八上)=粵；

y/(y)

③指數(shù)函數(shù)型：/(x)=?v/(x+y)=/(x)/(y),/(x-y)=g2；

f(y)

x

④對數(shù)函數(shù)型：/W=logax/(盯)=/(x)+/(y),/(-)=/(x)-/(y)；

y

⑤三角函數(shù)型：/(x)=tanx/(x+y)=。

如已知/(幻是定義在R上的奇函數(shù)，且為周期函數(shù)，若它的最小正周期為T,則

/(-1)=_(答:0)

2:①函數(shù)存在反函數(shù)的條件二二映射;②奇函數(shù)若有反函數(shù)則反函數(shù)是奇函數(shù)③周期函數(shù)、

定義域為非單元素集的偶函數(shù)無反函數(shù)④互為反函數(shù)的兩函數(shù)具相同單調性⑤f(x)定義

域為A,值域為B,則域『(x)]=x(xGB),ftf(x)]=x(xGA).⑥原函數(shù)定義域是反函數(shù)的值

域,原函數(shù)值域是反函數(shù)的定義域。

如：已知函數(shù)y=/(x)的圖象過點(1,1),那么/(4-x)的反函數(shù)的圖象一定經過點

(答：(1,3))；

22、題型方法總結

I判定相同函數(shù):定義域相同且對應法則相同

II求函數(shù)解析式的常用方法：

(1)待定系數(shù)法一一己知所求函數(shù)的類型(二次函數(shù)的表達形式有三種：一般式：

/(x)=?%2+/?x+c；頂點式：/(x)=a(x-m)2+〃；零點式：/(x)=?(x-X1)(x-x2))?

如已知/(x)為二次函數(shù)，且/(x—2)=/(—x—2),且f(O)=l,圖象在x軸上截得的線段

長為2J5,求/(幻的解析式。(答：/(X)=1X2+2X+1)

(2)代換(配湊)法一一已知形如/(g(x))的表達式，求/(x)的表達式。如(1)已

知/(I一cosxQs/x,求/(一)的解析式(答：y(%2)=_%4+2x\xe(_72,72］)；(2)

2

若/(工一!)=/+4,則函數(shù)/(x—1)=(答：%-2X+3);(3)若函數(shù)/(x)是

XX

定義在R上的奇函數(shù)，且當尤e(0,+oo)時，/(%)=x(l+Vx),那么當xe(-8,0)時，

/(幻=(答：x(l-狐)).這里需值得注意的是所求解析式的定義域的等價性，

即/(%)的定義域應是g(x)的值域。

(3)方程的思想一一對已知等式進行賦值，從而得到關于/(幻及另外一個函數(shù)的方程

2

組。如(1)已知/(x)+2/(-x)=3x—2,求/(x)的解析式(答：/(x)=-3x--)；(2)

已知/■(?是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且y(x)+g(x)=」一,則/?(》)=—(答：二一)。

x-\x~-I

in求定義域:使函數(shù)解析式有意義(如:分母？；偶次根式被開方數(shù)？；對數(shù)真數(shù)？,底數(shù)？；零指數(shù)

幕的底數(shù)?)；實際問題有意義;若f(x)定義域為［a,b］,復合函數(shù)f［g(x)］定義域由aWg(x)W

b解出；若f［g(x)］定義域為［a,b］,則f(x)定義域相當于xG［a,b］時g(x)的值域；

如：若函數(shù)y=/(x)的定義域為1,2,則/(bg2X)的定義域為(答：

{r|V2<x<4});(2)若函數(shù)/(Y+1)的定義域為［—2,1),則函數(shù)/(x)的定義域為

(答：［1,5］).

IV求值域：.

①配方法:如:求函數(shù)y=x2—2x+5,x€［—l,2］的值域(答：［4,8］)；

②逆求法(反求法):如：y=一?通過反解，用y來表示31再由3*的取值范圍，

1+3

通過解不等式，得出y的取值范圍(答：(0,1))；

17

③換元法:如(1)y=2sin2x—3cosx—l的值域為(答：［―4,上］)；(2)

8

y=2x+l+J71的值域為(答：［3,+8))(令&萬=/,120。運用換元法時,

要特別要注意新元r的范圍)；

④三角有界法:轉化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運用三角函數(shù)有界性來求值域；

如：y=2sin0—l的值域(答:(_8,當)；

1+cos02

⑤不等式法---利用基本不等式a+622\［cib(a,bGR+)求函數(shù)的最值。如設

x，4，a”y成等差數(shù)列，乂4,8,y成等比數(shù)列，則巴t文的取值范圍是.

她

(答：(-8,0][4,4-00))o

⑥單調性法:函數(shù)為單調函數(shù)，可根據函數(shù)的單調性求值域。如求y=x—L(l<x<9),

X

y=sin2x+―丁=2必一1083(5-耳的值域為(答：(0,以)、[打⑼、

1+sinx92

[0,+oo))；

簸娶績金根據函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結合的方法來求值域。如(1)已知點P(%y)

〔-亭奉、［-技⑹);(2)

在圓d+y2=l上，求占及y-2x的取值范圍(答:

求函數(shù)y=J(x—2)2+J(X+8)2的值域(答:[10,+8))；

⑧判別式法：如(1)求)的值域(答：)；(2)求函數(shù),=史上2的

1+JT122」x+3

|x~4-X+1

值域(答：。一］)如求y=-------的值域(答：(-oo,-3］工+oo))

2x+\

⑨導數(shù)法;分離參數(shù)法；一如求函數(shù)/(x)=2d+4/-40x,%e［-3,3］的最小值。(答:

一48)

3I，v丫2__YIO

用2種方法求下列函數(shù)的值域：?y=(xe［-1,1］)@y=",xe(-oo,0)；

3-2xx

x~-x+3.八、

③y=---------,xe(F,0)

x-\

⑤解應用題:審題(理順數(shù)量關系)、建模、求模、驗證.⑥恒成立問題:分離參數(shù)法;最值法;

化為一次或二次方程根的分布問題.a》f(x)恒成立。2》［￡&)］皿,舊?￡6)恒成立。2忘

⑦任意定義在R上函數(shù)f(x)都可以唯一地表示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和。

即f(X)=g(x)+/z(x)

其中g(x)=f(2)+f(―A？是偶函數(shù),h(x)=f(2S)—f(一?.是奇函數(shù)

22

⑦利用一些方法(如賦值法(令x=0或1,求出/(0)或/(I)、令丁=》或丁=一不等)'遞

推法、反證法等)進行邏輯探究。如(1)若xeR,7(x)滿足f(x+y)=/(x)

+/(y)，則/(幻的奇偶性是(答：奇函數(shù))；(2)若木丫

xeR,7(x)滿足/(肛)=/(x)+/(y)，則/(x)的奇偶性

是(答：偶函數(shù))；(3)已知/(x)是定義在(一3,3)上

的奇函數(shù)，當0<x<3時，/(幻的圖像如右圖所示，那么不

等式/(%).cosx<0的解集是(答：5/123,4

(-1,-1)1(0,1)^(1,3))；⑷設/(X)的定義域為R\對

任意x,yeR+,都有/(?=/(x)—/(y)，且x>l時，/(x)<0,又/(g)=l,①求證

/(X)為減函數(shù);②解不等式f(x)+/(5—x)12.(答：(0,1］［4,5)).

23、導數(shù)幾何物理意義:k=F(xo)表示曲線y=f(x)在點P(xo,f(xo))處切線的斜率。

V=s⑴表示t時刻即時速度,a=v'（t）表示t時刻加速度。如一物體的運動方程是

s=\-t+t2,其中s的單位是米，f的單位是秒，那么物體在，=3時的瞬時速度為

（答：5米/秒）

24、基本公式：。'=09為常數(shù)）;依"7=訝2（111^（2）

25、導數(shù)應用:⑴過某點的切線不一定只有一條；如：已知函數(shù)/（外=/一3%

過點P（2,-6）作曲線y=/（x）的切線，求此切線的方程（答：3x+y=0或

24x—y-54=0）。

⑵研究單調性步驟：分析y=f（x）定義域；求導數(shù)；解不等式fix）》。得增區(qū)間；解不等式

f'（x）W0得減區(qū)間;注意f'（x）=0的點；如：設。>0函數(shù)/甕）=/一。尤在”,+8）上單調

函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍______（答：0<aW3）；

⑶求極值、最值步驟:求導數(shù);求「（x）=0的根;檢驗（（x）在根左右兩側符號,若左正右負，則

f（x）在該根處取極大值;若左負右正，則f（x）在該根處取極小值;把極值與區(qū)間端點函數(shù)值

比較，最大的為最大值，最小的是最小值.如：（1）函數(shù)丁=2/一3/-121+5在［0,3］

上的最大值、最小值分別是（答：5；-15）；（2）已知函數(shù)/?（幻=/+東+5+4

在區(qū)間［—1,2］上是減函數(shù)，那么b+c有最_值_答：大，—竺）（3）方程

2

北一6在+9%-10=0的實根的個數(shù)為_（答：1）

特別提醒：（1）%是極值點的充要條件是與點兩側導數(shù)異號，而不僅是r（x0）=o,fM

=0是與為極值點的必要而不充分條件。（2）給出函數(shù)極大（?。┲档臈l件，一定要既考慮

廣（%）=0,又要考慮檢驗“左正右負”（“左負右正”）的轉化，否則條件沒有用完，這一

點一定要切記！如：函數(shù)處有極小值10>則a+b的值為

____（答：一7）

三、數(shù)列、

S|（Z?=1）

26>an=｛.注意驗證山是否包含在an的公式中。

S,,-S,i（"22,〃eN）

27、｛atl）等差oQ”一/.|=d（常數(shù)）。2cin=an+l+%（〃N2,〃eN*中項）

=a〃=即+。（一次）=s〃=An2+8〃（常數(shù)項為06勺二次）;。,"4,8=?

（n［a2=a.>2,nGN）a?

nn

｛a#等比=42n+ivJ=j=q（定）；

an^0an_1

<=>an=at-q"Tosn=機一;m=?

如若｛4｝是等比數(shù)列,且S-=3”+r,則r=（答:-1）

28、首項正的遞減（或首項負的遞增）等差數(shù)列前n項和最大（或最小）問題，轉化為解不等式

h-°（或卜”‘°）,或用二次函數(shù)處理;（等比前n項積?），由此你能求一般數(shù)列中的最大或最

小項嗎？如(1)等差數(shù)列｛%｝中，4=25,S9=Su，問止匕數(shù)列前多少項和最大？并求此

最大值。(答：前13項和最大，最大值為169)；(2)若｛a,,｝是等差數(shù)列，首項

4>°，%003+a20M>0，a2(m,?20O4<。，則使前〃項和S“>0成立的最大正整數(shù)n是

(答：4006)

29、等差數(shù)列中a.=aZnDd;Sn="4+gi^=s-^Sd=^4

222

等比數(shù)列中a“=ap";當q=l,S“=na,當qWl,S"=也二?=色二叔

\-q\-q

(lma,

30.常用性質：等差數(shù)列中，a^=am+(n—m)d,d=~';當m+n=p+q,am+an=aP+aq；

m-n

nra

等比數(shù)列中,an=anq;當m+n=p+q,aman=aPaq；

如(1)在等比數(shù)列｛4｝中，%+4=124,%%=-512,公比q是整數(shù)，則《0二—

(答：512)；(2)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛叫中，若qq=9，則

Iog3ax+log3++log3al0=(答：10)。

31.常見數(shù)列：｛a,,｝、｛bj等差則｛kan+tbj等差；｛a.｝、?｝等比則｛ka-(kWO)、J'-［、｛ah｝、

<工|等比；｛a?｝等差，貝lj卜”｝(c>0)成等比.(b?｝(b?>0)等比，貝｛logb,｝(c>0且cH1)等差。

也J

32.等差三數(shù)為ad,a,a+d;四數(shù)a3d,ad,,a+d,a+3d;

等比三數(shù)可設a/q,a,aq；四個數(shù)成等比的錯誤設法：a/q3,a/q,aq,aq3(為什么？)

如有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個成等比數(shù)列，且第一個數(shù)與第四個數(shù)的

和是16,第二個數(shù)與第三個數(shù)的和為12,求此四個數(shù)。(答：15,,9,3,1或0,4,8,16)

33.等差數(shù)列｛an)的任意連續(xù)m項的和構成的數(shù)列Sm、s2mSm、S3ms2m、S4mS3m>……仍

為等差數(shù)列。

等比數(shù)列｛an｝的任意連續(xù)m項的和且不為零時構成的數(shù)列Sm、S2mSm、S3mS2m、S4mS3m,……

仍為等比數(shù)列。

如：公比為1時，S8S,、S|2§8、…不成等比數(shù)列

34.等差數(shù)列｛aj,項數(shù)2n時,SBS簾=nd;項數(shù)2nl時，S簾Sis=a?;項數(shù)為2〃時，則氣■=〃;

項數(shù)為奇數(shù)2〃一1時，S奇=0+式偶.

35.求和常法:公式、分組、裂項相消、錯位相減、倒序相加,關鍵找通項結構.

分組法求數(shù)列的和：如an=2n+3n、錯位相減法求和：如an=(2nl)2\裂項法求和：如求和：

1H1-------------F?+--------------------=_________(答:----)、倒序相力口法求和：如①

1+21+2+31+2+3+-4-/2〃+1

,r2

求證：C；+3C：+5C；++(2〃+l)C；=(〃+l)?2"；②已知f(x)=-L^,貝ij

1+x

1117

/(I)+/(2)+/(3)+/(4)+/(-)+/(-)+/(-)=_(答：-)

36.求數(shù)列｛a/的最大、最小項的方法(函數(shù)思想)：

>0>1

…八，?，4’9"（/7+1）

d）a：,^a?=...4=0如an=2n~+29n3②----=???<=!（an>0）如an=--------

a10"

<0"n［<\

7?

③an=f（n）研究函數(shù)f（n）的增減性如a產------

+156

求通項常法：（1）已知數(shù)列的前n項和s”，求通項a”，可利用公

a=IS|6=1）

式：％'一氐-$2（葭2）

如：數(shù)列｛?！埃凉M足g。］+5。2++~?！?2"+5,求（答：?！?卜；，九〉2）

（2）先猜后證

（3）遞推式為an+|=an+f（n）（采用累加法）；an+1=anXf（n）（采用累積法）；

如已知數(shù)列｛““｝滿足4=1,an-a,,，!=----——尸（〃22）,則““=（答：

+1+

ci）t—>/〃+1-\/2+1）

（4）構造法形如a“=履,i+b、%=（左力為常數(shù)）的遞推數(shù)列如①已知

n

q=l,an=3%+2,求a“（答：an=2?3~'-1）；

（5）涉及遞推公式的問題，常借助于“迭代法”解決，適當注意以下3個公式的合理運用

aa.a,

an—（an-ani）+（ani-an2）+...+（a2-ai）+ai；an=----------------a,

an-lan-2ai

（6）倒數(shù)法形如4“=」^的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項。如①已知

d-i+b

a=l,a=4T,求（答：=—L_）；②己知數(shù)列滿足q=1,

'3a,,+1""3〃—2

=,求%（答：/=*）

37、常見和：1+2+3++〃=:〃（〃+1）,I2+22++/=1〃（〃+1）（2〃+1）,

13+23+33++/=［絲斗F

2

四'三角

38、終邊相同（B=2kw+a）；弧長公式：/=|a|R,扇形面積公式：S=^lR=^\a\R2,

1弧度（Irad）p57.3.如已知扇形AOB的周長是6cm,該扇形的中心角是1弧度，求該扇

形的面積。（答：2。機2）

39>函數(shù)y=4sinQx+0）+b（。>0,A>0）①五點法作圖;②振幅?相位?初相？周期T二些，

（0

頻率？6=kn時奇函數(shù)；6=k冗+三時偶函數(shù).③對稱軸處y取最值,對稱中心處值為0;余弦正

2

切可類比.如（1）函數(shù)y=s%（當—的奇偶性是（答：偶函數(shù)）；（2）已知函

數(shù)=+濟X+I(Q力為常數(shù))，且"5)=7,則/(—5)=(答：-5)：(3)

函數(shù)y=2cosx(sinx+cosx)的圖象的對稱中心和對稱軸分別是

(答：(---,\)(k&Z)>x=-+-(kEZ))；(4)已知

2828

/(x)=s山(X+6)+GCOS(X+6)為偶函數(shù)，求。的值。(答：0-k7r+—(k&Z))

6

④變換：6正左移負右移；b正上移負下移；

橫坐標伸縮到原來娟倍

y=sinx-'或>）,=sjn（x+中）------------——>y=sin(air+(D)

橫坐標伸縮到原來屈倍左或右平移四|

y-sinx---------------——>y-sincox---------->y-sin(air+①)

然絕W啜封阻來您竺>>=Asin(以+①)收下?埋>y=Asin(加+①)+A

40、正弦定理:2R=，一=—L=—J;內切圓半徑r=2SMBc余弦定理:

sinAsinBsinCa+b+c

/+22

a*23*5=b2+c22bccosA,cosA=---------；S=-abs\nC=-bcsinA=-casinB

2bc222

術語:坡度、仰角、俯角、方位角(以特定基準方向為起點(一般為北方)，依順時針方式旋

轉至指示方向所在位置，其間所夾的角度稱之。方位角。的取值范圍是：0。a<360。=等

「廿.―5tana〔sin?-3cosa

41、同角基本關系：如：已知--------=-1,則nil--------------=；

tana-1sina+cosa

2513

sin~a+sinacosa+2=(答：——；——)；

35

42、誘導公式簡記:奇變偶不變，符號看象限.(注意：公式中始終視a為銳角)

43、重要公式：疝%=上2；溫&=匕吟.；

22

a,ll-cosasina1-cosa.—rfJ.0、、J.8

tan—=±J------=------=------，vl±sm^=.(cos—±sin-)=cos—±sin—

2V1+cosa1+cosasinaV2222

如：函數(shù)/'(x)=5sinxcosX-543COS2X4--1V3(xeR)的單調遞增區(qū)間為

7T54

(答：[k兀一一,k7r+——](keZ))

1212

巧變角：如a=(a+尸)一尸=(a-7?)+尸，2a=(a+夕)+(々一戶)，

2a=(7?+&)—(戶-a),a+/7=2.^^,^^=(仁一雪一修一句等)，如(1)

27rl3

已知tan(o+夕)=《，tan(^--)=-,那么tan(a+.)的值是(答：不)；(2)

3

已知a,/?為銳角，sina=x,cos/?=y,cos(rz+/?)=--,則y與x的函數(shù)關系為

3I----43

(答：y=——vl-x2+—M—<1<1))

555

44、輔助角公式中輔助角的確定：asinx+bcosx=+從sin(x+(其中tan6=1)

,,,3

如：(1)當函數(shù)丁=2(?。5%一35萬工取得最大值時，5%的值是(答：一彳)；(2)如

果/(x)=sin(x+0)+2cos(x+0)是奇函數(shù),則tan*=_(答:—2)；

五、平面向量

45、向量定義、向量模、零向量、單位向量、相反向量(長度相等方向相反的向量叫做相反

向量。3的相反向量是一3。)、共線向量、相等向量

注意:不能說向量就是有向線段，為什么？(向量可以平移)

46、加］、減法的平行四邊形與三角形法則：Q+元；族-就=在

47、口用#士4用+%,

41、(5)向量數(shù)量積的性質：設兩個非零向量b,其夾角為。，則：

②當a,［同向時，a?b—,特別地，a"=<7?<7=|?|=；當a與否反

向時，￡?［=一當。為銳角時，a?b>0,且a、〃不同向，。/>0是。為銳角

的必要非充分條件；當。為鈍角時，Z?1<(),且。、〃不反向，是8為鈍角的必

—>—>―>—>

要非充分條件；③?8區(qū)|列切。如(1)已知。=(尢24),b=(32,2),如果。與人的

41

夾角為銳角，則；t的取值范圍是(答：2<一一或；1>0且；1。一)；

33

48、向量b在。方向上的投影|b|cos6=^^

H

49、q和e2是平面一組基底，則該平面任一向量a=40+4e?(4，4唯一)

特別：.而=+則4+4=1是三點P、A、B共線的充要條件如平面直角坐

標系中，。為坐標原點，已知兩點A(3,l),8(-1,3),若點C滿足3.=4加+%而，其

中4,4eH且4+4=1，則點。的軌跡是（答：直線AB）

50、在AABC中，①PG=|（PA+PB+PC）oG為AABC的重心，特別地

PA+PB+PC=0oP為MBC的重心；②PAPB=PBPC=PCPAoP為

A/4BC的垂心；

③向量“退區(qū)+叢C）QR0）所在直線過A4BC的內心（是NB4C的角平分線所在

\AB\|AC|

直線）；

④|A81PC+|BC\PA+\CA\PB=0oPAABC的內心；

@jAOB=l|x7（yB-xBy4|；

如：（1）若0是/ABC所在平面內一點，且滿足|。8—C>4=|0B+0C—2。41則

A3C的形狀為一（答：直角三角形）；（2）若。為AA3C的邊BC的中點，ZVIBC所

在平面內有一點P,滿足PA+8P+CP=0,設L型=幾，則；I的值為一（答：2）；（3）

\PD\

若點O是△ABC的外心，B.OA+OB+CO=0,則△ABC的內角C為（答：120）；

51、P分月耳的比為義，則鏟=4質，4>0內分；4V0且；1#1外分.

0Pop

OP-<t^2.;若入=1則而=:(通+配)；設P(x,y),P1(XI(yi),

1+義2

)

x,+Ax.芭+X2X]+X+X,

x=-------x=--------=--------

3

?2（X2,丫2）則,1+4;中點■