2023-2024學(xué)年度九上圓與無(wú)刻度直尺作圖專題研究（劉培松）

2023-2024學(xué)年度九上圓與無(wú)刻度直尺作圖專題研究一、網(wǎng)格作圖方法：平移法；軸對(duì)稱法；旋轉(zhuǎn)法1.平移法作平行線操作：平移（橫向與縱向平移的距離與方向一致）（1）過(guò)C作CD平行且等于AB（2）過(guò)E作AB的平行線EF（整體平移）2.軸對(duì)稱法作對(duì)稱點(diǎn)（1）作點(diǎn)P關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)Q操作：取對(duì)稱點(diǎn)，連線得交點(diǎn)操作：中位線取等距；旋轉(zhuǎn)取垂直3.旋轉(zhuǎn)法作垂直操作：旋轉(zhuǎn)90°（橫向距離與縱向距離交換）（1）將AB繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°（2）過(guò)C作CD⊥AB于D（3）過(guò)E作AB垂線EF（利用正方形）4.旋轉(zhuǎn)法作垂直平分線操作：平移（中位線取中點(diǎn)）+旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)90°全等三角形取垂直）（1）作線段AB的垂線平分線CD二、重點(diǎn)無(wú)網(wǎng)格作圖5.軸對(duì)稱法取軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)和對(duì)稱線段如圖，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D.（1）P為AB上一點(diǎn)，在AC上找一點(diǎn)Q，使AQ=AP；（2）M為BD上一點(diǎn)，在CD上找一點(diǎn)N，使CN=BM.6.旋轉(zhuǎn)法取中心對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)和對(duì)稱線段如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AD上．（1）在BC上找一點(diǎn)F，使AE＝CF．（2）若DE＝CD，畫出∠BAD的角平分線．三、與圓有關(guān)的典型無(wú)網(wǎng)格作圖典型作圖一：作圓的圓心方法一：利用格線垂直作90度的圓周角得直徑；中位線取直徑中點(diǎn)得圓心或雙直徑交點(diǎn)得圓心；（1）如圖，⊙O經(jīng)過(guò)A，B兩個(gè)格點(diǎn)，畫出圓心O點(diǎn)；

方法二：作雙垂直平分線的交點(diǎn)；平移（中位線取中點(diǎn)）+旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)90°全等三角形取垂直）或取正方形得垂直平分線（2）如圖，⊙O經(jīng)過(guò)A，B，C三個(gè)格點(diǎn)，畫出圓心O點(diǎn)；（3）畫三角形ABC的外接圓圓心Q點(diǎn)典型作圖二：畫等弧（弦）方法一：利用垂徑定理推論平分?。褐形痪€（或矩形性質(zhì)）取弦的中點(diǎn)，連圓心和中點(diǎn)與圓相交取交點(diǎn)的弧的中點(diǎn)（1）如圖，⊙O經(jīng)過(guò)A，B，C三個(gè)格點(diǎn)，畫弧AB的中點(diǎn)D和弧AC的中點(diǎn)E；（2）如圖，⊙O經(jīng)過(guò)A，B，C三個(gè)格點(diǎn)，畫弧BC的中點(diǎn)D；（3）如圖，⊙O經(jīng)過(guò)A，B，C三個(gè)格點(diǎn)，畫弧BC的中點(diǎn)D；方法二：利用垂徑定理平分弧或取等弦：旋轉(zhuǎn)法作半徑的垂線與圓相交取交點(diǎn)得等?。?）如圖，⊙O經(jīng)過(guò)A，B，C三個(gè)格點(diǎn)，在⊙O經(jīng)取點(diǎn)E，使得弧AB＝弧AD；（2）如圖，⊙O經(jīng)過(guò)A，B，C三個(gè)格點(diǎn)，在弧AB上畫點(diǎn)D，使AD＝BC；（3）如圖，⊙O經(jīng)過(guò)A，B，C三個(gè)格點(diǎn)，先畫出圓心O，再在⊙O上畫點(diǎn)F（異于點(diǎn)C），使BF=BC，．（4）如圖，⊙O經(jīng)過(guò)A，B，C三個(gè)格點(diǎn)，在圓上找一點(diǎn)F，使AF平分∠CAB．利用正方形的性質(zhì)作垂直平分線得直徑方法三：利用等圓周角取等狐：軸對(duì)稱法作軸對(duì)稱取等圓周角，等圓周角對(duì)等圓心角，等圓心角對(duì)等?。?）如圖，⊙O經(jīng)過(guò)格點(diǎn)A，B，C，與網(wǎng)格線交于點(diǎn)D．在⊙O上取點(diǎn)E使得弧BD=弧DF；（2）如圖，⊙O經(jīng)過(guò)A，B，C三個(gè)格點(diǎn)，在⊙O經(jīng)取點(diǎn)E，使得弧AB＝弧AD；（3）如圖，⊙P經(jīng)過(guò)格點(diǎn)A，B，，畫圓心P，并畫弦FG，使FG＝FA．（4）如圖，⊙O經(jīng)過(guò)格點(diǎn)A，B，與網(wǎng)格線交于點(diǎn)C．在AC上畫點(diǎn)F，連接AF，使∠CAF=∠CAB．方法四：利用平行線所夾的弧相等取等弧或弦的中點(diǎn)，利用軸對(duì)稱性取軸對(duì)稱得平行弦：平移法作直徑的平行線取等弧（1）如圖，⊙O經(jīng)過(guò)A，B，C三個(gè)格點(diǎn)，在弧AB上畫點(diǎn)D，使AD＝BC；中位線取中點(diǎn)得垂直，軸對(duì)稱法取軸對(duì)稱得平行弦（2）如圖，⊙O經(jīng)過(guò)A，B，C三個(gè)格點(diǎn)，在⊙O上找一點(diǎn)D，使得AD∥BC；旋轉(zhuǎn)法取垂直，軸對(duì)稱法取軸對(duì)稱得平行弦（3）如圖，⊙O經(jīng)過(guò)A，B，C三個(gè)格點(diǎn)，先畫出圓心O，先在⊙O上畫點(diǎn)F（異于點(diǎn)C），使BF=BC，再過(guò)點(diǎn)D作DG∥CF交⊙O于點(diǎn)G．利用平行弦和圓心取對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與弦相交取中點(diǎn)；（4）如圖，A，E，F(xiàn)三點(diǎn)是格點(diǎn)，⊙I經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．先過(guò)點(diǎn)F畫AE的平行線交⊙I于M，N兩點(diǎn)，再畫弦MN的中點(diǎn)G．典型作圖三：畫切線方法一：利用切線的判定定理畫切線：旋轉(zhuǎn)法直接作經(jīng)過(guò)半徑外端的垂線得切線（1）⊙O經(jīng)過(guò)格點(diǎn)A，B，C，畫出該圓的圓心O，畫出格點(diǎn)E，使EA為⊙O的一條切線，（2）如圖，⊙O經(jīng)過(guò)A、B、C、D四個(gè)格點(diǎn)，先畫出圓心O，畫出⊙O的切線CG（G為格點(diǎn)）；（3）如圖，⊙O經(jīng)過(guò)格點(diǎn)A，B，C，與網(wǎng)格線交于點(diǎn)D．過(guò)點(diǎn)B畫⊙O的切線PB；方法二：利用切線的判定定理間接畫切線：旋轉(zhuǎn)法畫垂直或平移法畫平行（4）如圖，⊙O經(jīng)過(guò)格點(diǎn)A，B，C，EA為⊙O的一條切線，畫出過(guò)點(diǎn)E的另一條切線EF，切點(diǎn)為F．（4）如圖，A，B，O均落在格點(diǎn)上，以點(diǎn)O為圓心OA長(zhǎng)為半徑的圓交OB于點(diǎn)C．畫出⊙O的切線BD；典型作圖四：畫45°的圓周角方法：旋轉(zhuǎn)法作旋轉(zhuǎn)90°的全等三角形得等腰直角直接取45°的圓周角，再同弧得等圓周角取45°的圓周角；（1）如圖，⊙O經(jīng)過(guò)A，B，C三個(gè)格點(diǎn)，在圖中的弧AB上找一點(diǎn)D，使∠DBA＝45°；（2）如圖，⊙O經(jīng)過(guò)A，B，C三個(gè)格點(diǎn)，在劣弧AB上找點(diǎn)D，連接弦BD，使得∠ABD=45°；

（3）如圖，在圓O上找一點(diǎn)D，使BD=BC，再在AB上找一點(diǎn)F，使∠BFC=45°．典型作圖五：利用直徑畫90°的旋轉(zhuǎn)角或利用90°的旋轉(zhuǎn)角畫直徑（1）如圖，⊙O經(jīng)過(guò)A，B兩個(gè)格點(diǎn)，C是⊙O與格線的交點(diǎn)，畫直徑BG；（2）如圖，A，B，C三點(diǎn)均為格點(diǎn)，⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，先將AB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MN（點(diǎn)M與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)），MN與⊙O交于點(diǎn)P，再在AB上畫點(diǎn)Q，使BQ=NP．（3）如圖，⊙O經(jīng)過(guò)A，B，C三個(gè)格點(diǎn)，延長(zhǎng)BA至格點(diǎn)F處，連接CF，P為CF上一點(diǎn)，連接BP，將PB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到QB，畫出線段QB．四、相關(guān)試題與練習(xí)1.（2020元調(diào)）請(qǐng)用無(wú)刻度直尺完成下列作圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡（用虛線表示畫圖過(guò)程，實(shí)線表示畫圖結(jié)果）（1）如圖1，P是平行四邊形ABCD邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P畫一條直線把這個(gè)四邊形分成面積相等的兩部分；（2）如圖2，五邊形ABCDE是正五邊形，畫一條直線把這個(gè)五邊形分成面積相等的兩部分；AC（3）如圖3，△ABC的外接圓的圓心是點(diǎn)O，D是的中點(diǎn)，畫一條直線把△ABC分成面積相等的兩部分．2.（2021元調(diào)）如圖是由小正方形構(gòu)成的6×6網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．⊙P經(jīng)過(guò)A，B兩個(gè)格點(diǎn)，僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中按要求畫圖（畫圖過(guò)程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實(shí)線表示）．（1）在圖（1）中，⊙P經(jīng)過(guò)格點(diǎn)C，畫圓心P，并畫弦BD，使BD平分∠ABC；（2）在圖（2）中，⊙P經(jīng)過(guò)格點(diǎn)E，F(xiàn)是⊙P與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，畫圓心P，并畫弦FG，使FG＝FA．3.（2022元調(diào)）如圖是由小正方形組成的9×7網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，A，B，C三個(gè)格點(diǎn)都在圓上．僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過(guò)程用虛線表示．（1）畫出該圓的圓心O，并畫出劣弧的中點(diǎn)D；（2）畫出格點(diǎn)E，使EA為⊙O的一條切線，并畫出過(guò)點(diǎn)E的另一條切線EF，切點(diǎn)為F．4.（2023元調(diào)）如圖是由小正方形組成的7×6網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖．（1）在圖（1）中，A，B，C三點(diǎn)是格點(diǎn)，畫經(jīng)過(guò)這三點(diǎn)的圓的圓心O，并在該圓上畫點(diǎn)D，使AD＝BC；（2）在圖（2）中，A，E，F(xiàn)三點(diǎn)是格點(diǎn)，⊙I經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．先過(guò)點(diǎn)F畫AE的平行線交⊙I于M，N兩點(diǎn)，再畫弦MN的中點(diǎn)G． 5.如圖，由小正方形構(gòu)成的6×6網(wǎng)格，⊙O經(jīng)過(guò)A，B，C三個(gè)格點(diǎn)，僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中按要求畫圖．用三種方法（平移法，軸對(duì)稱法，旋轉(zhuǎn)法）在圖中的弧AC上找一點(diǎn)F，使CF＝BC．6．如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)，⊙Q是ABC的外接圓，僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中畫圖：

（1）畫圓心Q；（2）畫弦BD，使BD平分∠ABC；（3）點(diǎn)P在劣弧AB，畫弦DP，使DP=AB；7．如圖，⊙O經(jīng)過(guò)A，B，C三個(gè)格點(diǎn)，點(diǎn)N在⊙O上且不在網(wǎng)格線上，作弦BP=弦BN．8．用無(wú)刻度直尺作圖：如圖，在⊙O中，D是劣弧AC的中點(diǎn)，點(diǎn)B是優(yōu)弧ABC上一點(diǎn)，在⊙O上找一點(diǎn)I，使得BI∥AC．9．用無(wú)刻度直尺完成下列作圖：（1）如圖1，AB，AC是所在圓的兩條等弦，其中點(diǎn)分別為M，N，作出該圓的直徑AD