2019汕頭一模理科數(shù)學(xué)(教師版)

2019年汕頭市普通高考第一次模擬考試試題理科數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，則（）A．B．C．D．1．答案：D解析：．2．已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，若，則（）A．0B．2C．D．12．答案：A解析：．3．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X0123P則X的數(shù)學(xué)期望（）A．B．1C．D．23．答案：B解析：由，得，所以．4．已知向量，若，則向量與向量的夾角為（）A．B．C．D．4．答案：D解析：，因?yàn)椋?，解得，?dāng)時(shí)，，所以向量與向量的夾角為．5．一動(dòng)圓的圓心在拋物線上，且動(dòng)圓恒與直線相切，則此動(dòng)圓必過定點(diǎn)（）A．B．C．D．5．答案：B解析：由拋物線的定義可知該圓必過拋物線的焦點(diǎn)．6．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則在上的最小值為（）A．B．C．D．06．答案：A解析：，因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，．7．將含有甲、乙、丙的6人平均分成兩組參加“文明交通”志愿者活動(dòng)，其中一組指揮交通，一組分發(fā)宣傳資料，則甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的概率為（）A．B．C．D．7．答案：C解析：6人平均分成兩組參加“文明交通”志愿者活動(dòng)，其中一組指揮交通，一組分發(fā)宣傳資料的基本事件共有個(gè)，甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的基本事件有：個(gè)，所以所求概率為．8．在正方體中，點(diǎn)是四邊形的中心，關(guān)于直線，下列說法正確的是（）A．B．C．平面D．平面8．答案：C解析：選項(xiàng)A，連接，則，因?yàn)榕c相交，所以A錯(cuò)；選項(xiàng)B，取中點(diǎn)，連接，則，在中，，所以與不垂直，所以與不垂直，B錯(cuò)；選項(xiàng)C，設(shè)，連接，則，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，C正確；選項(xiàng)D，連接，易證得，平面，所以與平面不垂直，D錯(cuò)．9．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．9．答案：C解析：由題意，，恒成立，即恒成立，當(dāng)時(shí)，，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．10．過雙曲線的右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，與雙曲線的漸近線交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線離心率的取值范圍為（）A．B．C．D．10．答案：B解析：漸近線方程為，將代入，得，為雙曲線的通徑，，因?yàn)椋?，即，則，即，則，則．11．三棱錐中，平面的面積為2，則三棱錐的外接球體積的最小值為（）A．B．C．D．11．答案：A解析：因?yàn)槠矫妫允菆A柱模型，設(shè)，則，設(shè)外接圓半徑為，的外接球半徑為，則，，所以，即的最小值為2，所以外接球的體積的最小值為．12．定義在上的函數(shù)，滿足，且當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)在上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．12．答案：D解析：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以，畫出函數(shù)的圖象，因?yàn)楹瘮?shù)在上有零點(diǎn)，所以的圖象與的圖象有交點(diǎn)，由圖，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，，由圖象可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上．13．設(shè)滿足約束條件，則的最大值為．13．答案：19解析：作出不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的，其中，，所以．14．已知，則．14．答案：15．在的展開式中，的系數(shù)為30，則實(shí)數(shù)的值為．15．答案：解析：展開式中含的項(xiàng)為，所以，，，所以．16．在銳角三角形中，角所對(duì)的邊分別為，且，則面積的最大值為．16．答案：解析：由，得，所以，故，又由余弦定理，，故，又，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)即為等邊三角形時(shí)等號(hào)成立，所以面積的最大值為．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．17．解析：（1）當(dāng)時(shí)，，即，………………1分當(dāng)時(shí)，①，②……2分，得，即，………………3分所以，且，………………4分所以數(shù)列為常數(shù)列，………………5分，即．……………………6分（2）由（1）得，所以，…………8分所以，………………9分，…………（沒寫也不扣分）……10分………………11分．……………………12分18．（本小題滿分12分）如圖，四棱錐中，菱形所在的平面，是中點(diǎn)，是上的點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）若是的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，是否存在點(diǎn)，使直線與平面的所成角的正弦值為？若存在，請(qǐng)求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．18．解析：（1）連接，因?yàn)榈酌鏋榱庑?，，所以是正三角形，是的中點(diǎn)，，……………………1分又，……………2分平面，平面，…………3分又平面，………………4分又平面，所以平面平面．……………………5分（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，則，………………6分設(shè)，則，……7分又，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，取，得，……………………9分設(shè)直線與平面所成角為，由，得：．………10分化簡(jiǎn)得：，解得或，故存在點(diǎn)滿足題意，此時(shí)為或．………………12分19．（本小題滿分12分）我市南澳縣是廣東唯一的海島縣，海區(qū)面積廣闊，發(fā)展太平洋牡蠣養(yǎng)殖業(yè)具有得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì)，所產(chǎn)的“南澳牡蠣”是中國國家地理標(biāo)志產(chǎn)品，產(chǎn)量高、肉質(zhì)肥、營養(yǎng)好，素有“海洋牛奶精品”的美譽(yù)．根據(jù)養(yǎng)殖規(guī)模與以往的養(yǎng)殖經(jīng)驗(yàn)，產(chǎn)自某南澳牡蠣養(yǎng)殖基地的單個(gè)“南澳牡蠣”質(zhì)量（克）在正常環(huán)境下服從正態(tài)分布．（1）購買10只該基地的“南澳牡蠣”，會(huì)買到質(zhì)量小于20g的牡蠣的可能性有多大？（2）2019年該基地考慮增加人工投入，現(xiàn)有以往的人工投入增量x（人）與年收益增量y（萬元）的數(shù)據(jù)如下：人工投入增量x（人）234681013年收益增量y（萬元）13223142505658該基地為了預(yù)測(cè)人工投入增量為16人時(shí)的年收益增量，建立了y與x的兩個(gè)回歸模型：模型①：由最小二乘公式可求得y與x的線性回歸方程：；模型②：由散點(diǎn)圖的樣本點(diǎn)分布，可以認(rèn)為樣本點(diǎn)集中在曲線：的附近，對(duì)人工投入增量x做變換，令，則，且有．（i）根據(jù)所給的統(tǒng)計(jì)量，求模型②中y關(guān)于x的回歸方程（精確到0.1）；（ii）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較兩種模型的相關(guān)指數(shù)，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測(cè)人工投入增量為16人時(shí)的年收益增量．回歸模型模型①模型②回歸方程182.479.2附：若隨機(jī)變量，則，；樣本的最小二乘估計(jì)公式為：，另，刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)19．解析：（1）由已知，單個(gè)“南澳牡蠣”質(zhì)量，則，…1分由正態(tài)分布的對(duì)稱性可知，，…3分設(shè)購買10只該基地的“南澳牡蠣”，其中質(zhì)量小于20g的牡蠣為X只，故，…4分故，所以這10只“南澳牡蠣”中，會(huì)買到質(zhì)量小于20g的牡蠣的可能性僅為1.29%．……5分（2）（i）由，有，………………6分且，……………………7分所以，模型②中關(guān)于的回歸方程為………………8分（ii）由表格中的數(shù)據(jù)，有，即…………9分模型①的小于模型②，說明回歸模型②刻畫的擬合效果更好．……10分當(dāng)時(shí)，模型②的收益增量的預(yù)測(cè)值為（萬元），…………11分這個(gè)結(jié)果比模型①的預(yù)測(cè)精度更高、更可靠．……………………12分20．（本小題滿分12分）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)在橢圓上，，，過與坐標(biāo)軸不垂直的直線與橢圓交于兩點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）若的中點(diǎn)為，在線段上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．20．（1）由，得，……………………1分，………………2分在中，由余弦定理得：，代入化簡(jiǎn)得，………………3分解得，從而，，………………4分所以橢圓的方程為．………………………5分（2）存在這樣的點(diǎn)符合題意．設(shè)，由，設(shè)直線的方程為，…………6分由，得，…………7分，由，得，………………8分又點(diǎn)在直線上，所以，……9分所以．若有，則，……………………10分整理得，…………11分所以存在實(shí)數(shù)，且的取值范圍為．…………12分21．（本小題滿分12分）已知．（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在3個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．解析：（1）……1分因?yàn)?，由，得或．…………………?分（i）當(dāng)時(shí)，，在和上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減，…………3分（ii）當(dāng)時(shí)，，在上，，單調(diào)遞增，……4分（iii）當(dāng)時(shí)，，在和上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減，…………5分（2），所以有一個(gè)零點(diǎn)．……………6分要使得有3個(gè)零點(diǎn)，即方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根，又方程，令，………………7分即函數(shù)與圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，令，得……………………8分的單調(diào)性如表：1－－0＋＋↘↘極小值↗↗………………9分當(dāng)時(shí)，，又，的大致圖像如圖，………………11分所以，要使得有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為……………12分（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所作的第一題計(jì)分．22．【選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】（本小題滿分10分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線的極坐標(biāo)方程為．（1）設(shè)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)到直線的距離的最大值為，求的值；（2）若曲線上任意一點(diǎn)都滿足，求的取值范圍．22．解析：（1）依題意得曲線的普通方程為，……1分因?yàn)?，所以，因?yàn)?，因?yàn)橹本€的直角坐標(biāo)方程為，即，…………2分所以圓心到直線的距離為，…………3分則依題意得，…………………4分因?yàn)椋獾茫?分（2）因?yàn)榍€上任意一點(diǎn)都滿足，所以，…………7分所以，解得或，……………9分又，所以的取值范圍為．…………10分23．【選修4—5：不等式選講】（本小題滿分10分）已知函數(shù)．（1）若，求不等式的解集；（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)都有，求的取值范圍．23．解析：（1）因?yàn)椋?，所以?分當(dāng)時(shí)，由，得，即，得．所以不等式無解………………2分當(dāng)時(shí)，由，得，即，得．所以………………………