人教版七年級數(shù)學(xué)下冊專題01平行線的判定與性質(zhì)重難點(diǎn)題型專訓(xùn)(原卷版+解析)

專題01平行線的判定與性質(zhì)重難點(diǎn)題型專訓(xùn)【題型目錄】題型一平行公理的應(yīng)用題型二“三線八角”判定直線平行題型三平行線判定的綜合題型四平行線性質(zhì)的綜合題型五根據(jù)平行線的性質(zhì)求角度題型六平行線的性質(zhì)在生活中的實(shí)際應(yīng)用題型七平行線的判定與性質(zhì)綜合（折疊問題）題型八平行線的判定與性質(zhì)綜合（旋轉(zhuǎn)問題）【經(jīng)典例題一平行公理的應(yīng)用】【例1】(2023春·山東泰安·七年級?？计谥校┙o出下列說法：①過兩點(diǎn)有且只有一條直線；②連接兩點(diǎn)的線段叫作兩點(diǎn)間的距離；③兩點(diǎn)之間，線段最短；④若，則點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)；⑤同一平面內(nèi)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；⑥平行于同一直線的兩條直線互相平行．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【變式訓(xùn)練】【變式1】(2023·全國·七年級專題練習(xí)）下列說法中是真命題正確的個(gè)數(shù)有（

）個(gè)（1）若ab，bd，則ad；（2）過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；（3）兩條直線不相交就平行；（4）過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式2】(2023春·黑龍江牡丹江·七年級?？计谥校┙o出下列說法：（1）兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；（2）平面內(nèi)的一條直線和兩條平行線中的一條相交，則它與另一條也相交；（3）相等的兩個(gè)角是對頂角；（4）三條直線兩兩相交，有三個(gè)交點(diǎn)；（5）若a⊥b，b⊥c，則a⊥c．其中正確的有________個(gè)【變式3】（2023春·七年級單元測試）如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長是1，點(diǎn)M、N、P、Q均為格點(diǎn)（格點(diǎn)是指每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)），線段MN經(jīng)過點(diǎn)P．(1)過點(diǎn)P畫線段AB，使得線段AB滿足以下兩個(gè)條件：①AB⊥MN；②；(2)過點(diǎn)Q畫MN的平行線CD，CD與AB相交于點(diǎn)E；(3)若格點(diǎn)F使得△PFM的面積等于4，則這樣的點(diǎn)F共有個(gè)．【經(jīng)典例題二“三線八角”判定直線平行】知識點(diǎn)：同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角兩條直線被第三條線所截，可得八個(gè)角，即“三線八角”，如圖6所示。（1）同位角：可以發(fā)現(xiàn)∠1與∠5都處于直線的同一側(cè)，直線、的同一方，這樣位置的一對角就是同位角。圖中的同位角還有∠2與∠6，∠3與∠7，∠4與∠8。（2）內(nèi)錯(cuò)角：可以發(fā)現(xiàn)∠3與∠5都處于直線的兩旁，直線、的兩方，這樣位置的一對角就是內(nèi)錯(cuò)角。圖中的內(nèi)錯(cuò)角還有∠4與∠6。（3）同旁內(nèi)角：可以發(fā)現(xiàn)∠4與∠5都處于直線的同一側(cè)，直線、的兩方，這樣位置的一對角就是同旁內(nèi)角。圖中的同旁內(nèi)角還有∠3與∠6。知識點(diǎn)：平行線判定判定方法（1）：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行簡單說成：同位角相等，兩直線平行。幾何語言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）判定方法（2）：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行．簡單說成：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。∵∠2＝∠3∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）判定方法（3）：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行簡單說成：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行?！摺?＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）【例2】(2023秋·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，直線a，b，c被直線l所截，下列條件中：①1=3，4=5；②2+3=，3=7；③1=2，5=6；④2=3，4=5，能確定ac的條件的是（

）A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①②④【變式訓(xùn)練】【變式1】(2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）在鋪設(shè)鐵軌時(shí)，兩條直軌必須是互相平行的，如圖，已經(jīng)知道是直角，那么再度量圖中已標(biāo)出的哪個(gè)角，不能判斷兩條直軌是否平行(

)A． B． C． D．【變式2】(2023秋·八年級課時(shí)練習(xí)）將一塊三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如圖方式放置，使A，B兩點(diǎn)分別落在直線m，n上，對于給出的五個(gè)條件：①∠1=25.5°，∠2=55°；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2-∠1．能判斷直線mn的有__．（填序號）【變式3】(2023秋·八年級課時(shí)練習(xí)）臺球運(yùn)動(dòng)中，如果母球P擊中桌邊點(diǎn)A，經(jīng)桌邊反彈擊中相鄰的另一條桌邊，再次反彈，那么母球P經(jīng)過的路線與平行嗎？證明你的判斷．【經(jīng)典例題三平行線判定的結(jié)合】【例3】(2023春·河北張家口·七年級統(tǒng)考期中）如圖（1），在中，，邊繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周回到原來的位置．在旋轉(zhuǎn)的過程中（圖（2）），當(dāng)（

）時(shí)，．A．42° B．138° C．42°或138° D．42°或128°【變式訓(xùn)練】【變式1】(2023春·山東青島·七年級青島經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形中，點(diǎn)在上，連接，下列說法正確的是（

）.A．因?yàn)椋訠．因?yàn)?，所以C．因?yàn)?，所以D．因?yàn)?，所以【變?】(2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，a、b、c三根木棒釘在一起，，現(xiàn)將木棒a、b同時(shí)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，速度分別為18度/秒和3度/秒，兩根木棒都停止時(shí)運(yùn)動(dòng)結(jié)束，則___________秒后木棒a，b平行．【變式3】(2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）動(dòng)手操作：如圖①：將一副三角板中的兩個(gè)直角頂點(diǎn)疊放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．(1)若∠BCD＝150°，求∠ACE的度數(shù)；(2)試猜想∠BCD與∠ACE的數(shù)量關(guān)系，請說明理由；(3)若按住三角板ABC不動(dòng)，繞頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)三角板DCE，試探究當(dāng)時(shí)，∠BCD等于多少度，并簡要說明理由．【經(jīng)典例題四平行線性質(zhì)的綜合】【例4】(2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）某市為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務(wù)．圖①是某品牌共享單車放在水平地面的實(shí)物圖，圖②是其示意圖，其中，都與地面l平行，，．當(dāng)為（

）度時(shí)，與平行．A．16 B．60 C．66 D．114【變式訓(xùn)練】【變式1】(2023春·廣西河池·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，點(diǎn)在的上方，連接，，是延長線上的一點(diǎn)，連接，已知，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式2】(2023春·江西九江·七年級統(tǒng)考期末）為了提醒司機(jī)不要疲勞駕駛，高速公路上安裝了如圖1所示的激光燈，圖2是激光位于初始位置時(shí)的平面示意圖，其中，是直線上的兩個(gè)發(fā)射點(diǎn)，，現(xiàn)激光繞點(diǎn)以每秒3度的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)激光繞點(diǎn)以每秒2度的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒，當(dāng)時(shí)，的值為________．【變式3】(2023秋·吉林長春·七年級校考期末）【提出問題】若兩個(gè)角的兩邊分別平行，則這兩個(gè)角有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【解決問題】分兩種情況進(jìn)行探究，請結(jié)合下圖探究這兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系．（1）如圖1，，，試證：；（2）如圖2，，，試證：；【得出結(jié)論】由（1）（2）我們可以得到結(jié)論：若兩個(gè)角的兩邊分別平行，則這兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系為_____________；【拓展應(yīng)用】（3）若兩個(gè)角的兩邊分別平行，其中一個(gè)角比另一個(gè)角的2倍少，求這兩個(gè)角的度數(shù)．（4）同一平面內(nèi)，若兩個(gè)角的兩邊分別垂直，則這兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系為_____________．【經(jīng)典例題五根據(jù)平行線的性質(zhì)求角度】【例5】（2023春·七年級單元測試）如圖，直線分別與直線相交于點(diǎn)，已知，平分交直線于點(diǎn)，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】【變式1】(2023春·河北唐山·七年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，于點(diǎn)，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【變式2】(2023春·安徽安慶·七年級校考階段練習(xí)）如圖，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點(diǎn)，點(diǎn)M位于AB與CD之間且在EF的右側(cè)．（1）若，則______°；（2）若，與的角平分線交于點(diǎn)N，則的度數(shù)為______．（用含n的式子表示）【變式3】(2023秋·吉林長春·七年級?？计谀┮阎?，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在DC上，點(diǎn)G為射線上一點(diǎn)．(1)【基礎(chǔ)問題】如圖1，試說明：．（完成圖中的填空部分）證明：過點(diǎn)G作直線，又∵，∴①∵，∴∠②．∵，∴③（④）∴．(2)【類比探究】如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在線段延長線上時(shí)，請寫出三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)【應(yīng)用拓展】如圖3，平分，交于點(diǎn)H，且，直接寫出的度數(shù)為°．【經(jīng)典例題六平行線的性質(zhì)在生活中的實(shí)際應(yīng)用】【例6】(2023春·全國·七年級期末）如圖是長方形紙帶，，將紙帶沿折疊成圖，再沿折疊成圖，則圖中的的度數(shù)是（

）A．102° B．112° C．120° D．128°【變式訓(xùn)練】【變式1】(2023春·江蘇連云港·七年級校考階段練習(xí)）如圖，修建一條公路，從王村沿北偏東方向到李村，從李村沿北偏西方向到張村，從張村到杜村的公路平行從王村到李村的公路，則張杜兩村公路與李張兩村公路方向夾角的度數(shù)為（）．A． B． C． D．【變式2】(2023春·云南昆明·七年級統(tǒng)考期末）《七彩云南》少數(shù)民族傳統(tǒng)藝術(shù)表演，是七彩云南歡樂世界的王牌演藝節(jié)目，它薈萃云南人文之美，深受觀眾喜愛．在展演中，舞臺上的燈光由燈帶上位于點(diǎn)和點(diǎn)的兩盞激光燈控制．如圖，光線與燈帶的夾角，當(dāng)光線與燈帶的夾角______時(shí)，．【變式3】(2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）光線照射到鏡面會產(chǎn)生反射現(xiàn)象，由光學(xué)知識，入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等，例如：在圖1中，有∠1＝∠2．(1)如圖2，已知鏡子MO與鏡子ON的夾角∠MON＝90°，請判斷入射光線AB與反射光線CD的位置關(guān)系，并說明理由；(2)如圖3，有一口井，已知入射光線AO與水平線OC的夾角為50°，當(dāng)平面鏡MN與水平線OC的夾角為°，能使反射光線OB正好垂直照射到井底；(3)如圖4，直線EF上有兩點(diǎn)A、C，分別引兩條射線AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°，射線AB、CD分別繞A點(diǎn)、C點(diǎn)以3度/秒和1度/秒的速度同時(shí)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)時(shí)間為t秒，在射線AB轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)，是否存在某時(shí)刻，使得CD與AB平行？若存在，求出所有滿足條件的時(shí)間t．【經(jīng)典例題七平行線的判定與性質(zhì)綜合（折疊問題）】【例7】(2023春·浙江杭州·七年級校考期中）一條兩邊沿互相平行的圍巾按圖所示折疊，已知∠DAB-∠ABC=8°，且DFCG，則∠DAB+2∠ABC=（）度．A．130 B．131 C．132 D．133【變式訓(xùn)練】【變式1】(2023春·黑龍江牡丹江·七年級?？计谀┮粡堥L方形紙條按如圖所示折疊，EF是折痕，若∠EFB=35°，則：①∠GEF=35°；②∠EGB=70°；③∠AEG=110°；④=70°．以上結(jié)論正確的有（

）A．①②③④ B．②③④ C．①②③ D．①②【變式2】(2023春·福建福州·七年級校考期中）如圖（1）紙片ABCD（ADBC），將CD按如圖（2）所示沿著DE折疊至DC′，DC′與線段BC交于F，∠BFD=m，點(diǎn)E在線段BC上，若將AD按如圖（3）所示沿著DO折疊至DA′，且A′在線段DC的延長線上，點(diǎn)O在線段BC上，則∠ODE=__________．（用含m的式子表示）【變式3】(2023秋·貴州銅仁·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，將一張上、下兩邊平行（即ABCD）的紙帶沿直線MN折疊，EF為折痕．(1)試說明∠1＝∠2；(2)已知∠2＝54°，求∠BEF的度數(shù)．【經(jīng)典例題八平行線的判定與性質(zhì)綜合（旋轉(zhuǎn)問題）】【例8】(2023秋·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，△OAB為等腰直角三角形（∠A＝∠B＝45°，∠AOB＝90°），△OCD為等邊三角形（∠C＝∠D＝∠COD＝60°），滿足OC＞OA，△OCD繞點(diǎn)O從射線OC與射線OA重合的位置開始，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的角度為α（0°＜α＜360°），下列說法正確的是（）A．當(dāng)α＝15°時(shí)，DC∥ABB．當(dāng)OC⊥AB時(shí)，α＝45°C．當(dāng)邊OB與邊OD在同一直線上時(shí)，直線DC與直線AB相交形成的銳角為15°D．整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程，共有10個(gè)位置使得△OAB與△OCD有一條邊平行【變式訓(xùn)練】【變式1】(2023春·江蘇宿遷·七年級?？茧A段練習(xí)）為了亮化某景點(diǎn)，石家莊市在兩條筆直且互相平行的景觀道MN、QP上分別放置A、B兩盞激光燈，如圖所示．A燈發(fā)出的光束自AM逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，B燈發(fā)出的光束自BP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不間斷照射，A燈每秒轉(zhuǎn)動(dòng)30°，B燈每秒轉(zhuǎn)動(dòng)10°，B燈先轉(zhuǎn)動(dòng)2秒，A燈才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)B燈光束第一次到達(dá)BQ之前，兩燈的光束互相平行時(shí)A燈旋轉(zhuǎn)的時(shí)間是（）A．1或6秒 B．8.5秒 C．1或8.5秒 D．2或6秒【變式2】(2023春·江西南昌·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，直線EF上有兩點(diǎn)A、C，分別引兩條射線AB、CD．∠DCF=60°，∠EAB=70°，射線AB、CD分別繞A點(diǎn)，C點(diǎn)以1度/秒和3度/秒的速度同時(shí)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，在射線CD轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)，使得CD與AB平行所有滿足條件的時(shí)間t=_____．【變式3】(2023春·北京·七年級?？计谥校耙粠б宦贰弊屩袊褪澜缏?lián)系更緊密，“中歐鐵路”為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈．如圖所示，燈A射線從開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，燈射線從開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒，燈轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒．假定主道路是平行的，即，且．(1)填空：______；(2)若燈射線先轉(zhuǎn)動(dòng)秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈射線到達(dá)之前，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行？(3)若兩燈同時(shí)開始轉(zhuǎn)動(dòng)，兩燈射出的光束交于點(diǎn)，且，則在燈射線到達(dá)之前，轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為______秒．【培優(yōu)檢測】1．(2023春·內(nèi)蒙古包頭·七年級統(tǒng)考期中）在下列說法中，正確的有（

）個(gè)．①過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；

②已知、的兩邊分別平行，那么；③垂直于同一條直線的兩條直線平行；

④從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段，叫做這點(diǎn)到直線的距離．A．3 B．2 C．1 D．02．(2023春·福建寧德·七年級統(tǒng)考期末）如圖，由兩個(gè)完全相同的三角板拼成一個(gè)四邊形，則下列條件能直接判斷的是（

）A． B．C． D．3．(2023春·貴州安順·七年級統(tǒng)考期末）如圖，某沿湖公路有三次拐彎，若第一次的拐角∠A=110°，第二次的拐角∠B=140°，第三次的拐角為∠C，第三次拐彎后的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，則∠C的度數(shù)是（

）A．130° B．140° C．145° D．150°4．(2023春·廣東江門·七年級江門市福泉奧林匹克學(xué)校?？茧A段練習(xí)）①如圖1，ABCD，則∠A+∠E+∠C=180°；②如圖2，ABCD，則∠E=∠A+∠C;③如圖3，ABCD，則∠A+∠E－∠1=180°；④如圖4，ABCD，則∠A=∠C+∠P．以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是(

)

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．(2023秋·浙江·八年級開學(xué)考試）如圖，在科學(xué)《光的反射》活動(dòng)課中，小麥同學(xué)將支架平面鏡放置在水平桌面MN上，鏡面AB的調(diào)節(jié)角的調(diào)節(jié)范圍為12°~69°，激光筆發(fā)出的光束DG射到平面鏡上，若激光筆與水平天花板（直線EF）的夾角，則反射光束GH與天花板所形成的角不可能取到的度數(shù)為（

）A．129° B．72° C．51° D．18°6．(2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）如圖，AB∥CD，點(diǎn)E，P在直線AB上（P在E的右側(cè)），點(diǎn)G在直線CD上，EF⊥FG，垂足為F，M為線段EF上的一動(dòng)點(diǎn)，連接GP，GM，∠FGP與∠APG的角平分線交與點(diǎn)Q，且點(diǎn)Q在直線AB，CD之間的區(qū)域，下列結(jié)論：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，則3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，則∠AEF∠MGC＝90°．正確的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．17．(2023秋·八年級單元測試）如圖，添加一個(gè)你認(rèn)為合適的條件______使．8．(2023春·山東濰坊·七年級統(tǒng)考期中）在同一平面內(nèi)有2022條直線，如果，，，……那么與的位置關(guān)系是_____________．9．(2023春·河北邯鄲·七年級?？计谥校┤鐖D，，，垂足為A，交于點(diǎn)，點(diǎn)在射線上．（1）若平分，則______．（2）若，在直線上取一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，若，則______．10．(2023秋·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，，的角平分線的反向延長線和的角平分線交于點(diǎn)，，則的度數(shù)為_________．11．(2023春·浙江寧波·七年級統(tǒng)考期末）兩塊不同的三角板按如圖1所示擺放，邊重合，，．接著如圖2保持三角板不動(dòng)，將三角板繞著點(diǎn)C按順時(shí)針以每秒的速度旋轉(zhuǎn)后停止．在此旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)間______________秒時(shí)，三角板有一條邊與三角板的一條邊恰好平行．12．（2023春·七年級單元測試）如圖，直線，點(diǎn)、分別為直線和上的點(diǎn)，點(diǎn)為兩條平行線間的一點(diǎn)，連接和，過點(diǎn)作的平分線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，若，則________．13．(2023春·浙江紹興·七年級校聯(lián)考期末）如圖，已知直線，點(diǎn)，分別在直線，上，點(diǎn)為，之間一點(diǎn)，且點(diǎn)在的右側(cè)，．若與的平分線相交于點(diǎn)，與的平分線相交于點(diǎn)，與的平分線相交于點(diǎn)……以此類推，若，則的值是______．14．(2023春·福建龍巖·七年級龍巖初級中學(xué)校考階段練習(xí)）將一副三角板如圖1所示擺放，直線，現(xiàn)將三角板ABC繞點(diǎn)A以每秒1°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)三角板DEF繞點(diǎn)D以每秒2°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖2，設(shè)時(shí)間為t秒，當(dāng)時(shí)，若邊BC與三角板的一條直角邊（邊DE，DF）平行，則所有滿足條件的t的值為_____．三、解答題15．(2023春·遼寧沈陽·七年級校考期中）有兩個(gè)與，保持不動(dòng)，且的一邊，另一邊DE與直線OB相交于點(diǎn)F．若，，解答下列問題：(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)E、O、D在同一條直線上，即點(diǎn)O與點(diǎn)F重合，求的度數(shù)．(2)當(dāng)點(diǎn)E、O、D不在同一條直線上，直接寫出的度數(shù)_______．16．(2023春·廣東江門·七年級校聯(lián)考期中）如圖，直線，直線與，分別交于點(diǎn)M，N，分別是與的平分線，交于點(diǎn)F，過點(diǎn)N作交于點(diǎn)G．(1)若，則___________；(2)求證：；(3)連接，在上取一點(diǎn)H，使，作的平分線交于點(diǎn)P，求的度數(shù)．17．(2023秋·八年級單元測試）如圖1，已知直線，點(diǎn)A為直線上一點(diǎn)，點(diǎn)B為直線上一點(diǎn)，且，點(diǎn)C是直線上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)C在點(diǎn)B右側(cè)，過點(diǎn)C作交直線于點(diǎn)D，連接．(1)若平分，請直接寫出的度數(shù)；(2)作，交直線于點(diǎn)E，平分．（說明：解答過程用數(shù)字表示角）①如圖2，若點(diǎn)E，F(xiàn)都在點(diǎn)B的右側(cè)，求的度數(shù)．②在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的情形，使成立？若存在，求出的度數(shù)：若不存在，請說明理由．18．(2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）綜合與探究，問題情境：綜合實(shí)踐課上，王老師組織同學(xué)們開展了探究三角之間數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)活動(dòng)．(1)如圖1，，點(diǎn)A，B分別為直線，上的一點(diǎn)，點(diǎn)P為平行線間一點(diǎn)且，，求度數(shù)；問題遷移(2)如圖2，射線與射線交于點(diǎn)O，直線，直線m分別交于點(diǎn)A，D，直線n分別交于點(diǎn)B，C，點(diǎn)P在射線上運(yùn)動(dòng)．①當(dāng)點(diǎn)P在A，B（不與A，B重合）兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)，．則之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；②若點(diǎn)P不在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，O三點(diǎn)都不重合），請你直接寫出間的數(shù)量關(guān)系．19．(2023秋·吉林長春·七年級長春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┬∶魍瑢W(xué)遇到這樣一個(gè)問題：如圖①，已知：，為之間一點(diǎn)，連接，得到．求證：．小亮幫助小明給出了該問的證明．證明：過點(diǎn)作，則有∵∴∴∴請你參考小亮的思考問題的方法，解決問題：(1)直線，直線和直線、分別交于兩點(diǎn)，點(diǎn)分別在直線、上，猜想：如圖②，若點(diǎn)在線段上，，，求的度數(shù)．(2)拓展：如圖③，若點(diǎn)在直線上，連接、，直接寫出之間的數(shù)量關(guān)系．20．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖1，已知，點(diǎn)，分別在射線和上，在內(nèi)部作射線，，使平行于．(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)小穎發(fā)現(xiàn)，在內(nèi)部，無論如何變化，的值始終為定值，請你結(jié)合圖2求出這一定值；(3)①如圖3，把圖1中的改為，其他條件不變，請直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系；②如圖4，已知，點(diǎn)，分別在射線，上，在與內(nèi)部作射線，，使平行于，請直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．專題01平行線的判定與性質(zhì)重難點(diǎn)題型專訓(xùn)【題型目錄】題型一平行公理的應(yīng)用題型二“三線八角”判定直線平行題型三平行線判定的綜合題型四平行線性質(zhì)的綜合題型五根據(jù)平行線的性質(zhì)求角度題型六平行線的性質(zhì)在生活中的實(shí)際應(yīng)用題型七平行線的判定與性質(zhì)綜合（折疊問題）題型八平行線的判定與性質(zhì)綜合（旋轉(zhuǎn)問題）【經(jīng)典例題一平行公理的應(yīng)用】【例1】(2023春·山東泰安·七年級?？计谥校┙o出下列說法：①過兩點(diǎn)有且只有一條直線；②連接兩點(diǎn)的線段叫作兩點(diǎn)間的距離；③兩點(diǎn)之間，線段最短；④若，則點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)；⑤同一平面內(nèi)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；⑥平行于同一直線的兩條直線互相平行．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根據(jù)直線公理、平行線公理以及垂線公理得①過兩點(diǎn)有且只有一條直線；③兩點(diǎn)之間，線段最短；⑤同一平面內(nèi)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；⑥平行于同一直線的兩條直線互相平行正確；②連接兩點(diǎn)的線段叫做兩點(diǎn)間的距離；④若，則點(diǎn)是線段的中點(diǎn)錯(cuò)誤．【詳解】解：①過兩點(diǎn)有且只有一條直線；③兩點(diǎn)之間，線段最短；⑤在同一平面內(nèi)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．⑥平行于同一直線的兩條直線互相平行．①③⑤⑥正確；②連接兩點(diǎn)的線段的長度叫做兩點(diǎn)間的距離；④若且三點(diǎn)共線，則點(diǎn)是線段的中點(diǎn)；②④錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行公理、直線的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離以及垂線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是基礎(chǔ)知識要熟練掌握．【變式訓(xùn)練】【變式1】(2023·全國·七年級專題練習(xí)）下列說法中是真命題正確的個(gè)數(shù)有（

）個(gè)（1）若ab，bd，則ad；（2）過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；（3）兩條直線不相交就平行；（4）過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)平行線的定義與判定、垂線的性質(zhì)、平行公理對各小題分析判斷后即可得解．【詳解】（1）若ab，bd，則ad，故原說法正確；（2）過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故原說法錯(cuò)誤；（3）在同一平面內(nèi)，兩條直線不相交就平行，故原說法錯(cuò)誤；（4）同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，故原說法錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行公理，平行線的性質(zhì)定義，垂線的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握課本內(nèi)容．【變式2】(2023春·黑龍江牡丹江·七年級?？计谥校┙o出下列說法：（1）兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；（2）平面內(nèi)的一條直線和兩條平行線中的一條相交，則它與另一條也相交；（3）相等的兩個(gè)角是對頂角；（4）三條直線兩兩相交，有三個(gè)交點(diǎn)；（5）若a⊥b，b⊥c，則a⊥c．其中正確的有________個(gè)【答案】1【分析】根據(jù)各小題的描述情況，判斷各小題的正誤，即可得到答案．【詳解】解：（1）∵兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等，故（1）不正確；（2）∵平面內(nèi)的一條直線和兩條平行線中的一條相交，則它與另一條也相交，故（2）正確；（3）∵對頂角相等，但相等的角不一定是對頂角，故（3）不正確；（4）∵三條直線兩兩相交，也可能是交于同一個(gè)點(diǎn)，故（4）不正確；（5）∵若ab，bc，則ac，故（5）不正確，正確的只有（2）一個(gè)選項(xiàng)，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考察了平面內(nèi)直線的位置關(guān)系，平行公理的應(yīng)用、直線相交交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，解題的關(guān)鍵在于畫出題意所示的直線位置圖，以此判斷說法的正誤．【變式3】（2023春·七年級單元測試）如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長是1，點(diǎn)M、N、P、Q均為格點(diǎn)（格點(diǎn)是指每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)），線段MN經(jīng)過點(diǎn)P．(1)過點(diǎn)P畫線段AB，使得線段AB滿足以下兩個(gè)條件：①AB⊥MN；②；(2)過點(diǎn)Q畫MN的平行線CD，CD與AB相交于點(diǎn)E；(3)若格點(diǎn)F使得△PFM的面積等于4，則這樣的點(diǎn)F共有個(gè)．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)6【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格作圖即可；（2）根據(jù)網(wǎng)格作圖即可；（3）根據(jù)網(wǎng)格作圖即可.【詳解】（1）解：作圖如下：（2）解：作圖見（1）（3）如圖：故符合題意的點(diǎn)F有6個(gè).故答案為：6【點(diǎn)睛】本題考查了直線、射線、線段及平行公理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出圖形.【經(jīng)典例題二“三線八角”判定直線平行】知識點(diǎn)：同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角兩條直線被第三條線所截，可得八個(gè)角，即“三線八角”，如圖6所示。（1）同位角：可以發(fā)現(xiàn)∠1與∠5都處于直線的同一側(cè)，直線、的同一方，這樣位置的一對角就是同位角。圖中的同位角還有∠2與∠6，∠3與∠7，∠4與∠8。（2）內(nèi)錯(cuò)角：可以發(fā)現(xiàn)∠3與∠5都處于直線的兩旁，直線、的兩方，這樣位置的一對角就是內(nèi)錯(cuò)角。圖中的內(nèi)錯(cuò)角還有∠4與∠6。（3）同旁內(nèi)角：可以發(fā)現(xiàn)∠4與∠5都處于直線的同一側(cè)，直線、的兩方，這樣位置的一對角就是同旁內(nèi)角。圖中的同旁內(nèi)角還有∠3與∠6。知識點(diǎn)：平行線判定判定方法（1）：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行簡單說成：同位角相等，兩直線平行。幾何語言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）判定方法（2）：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行．簡單說成：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。∵∠2＝∠3∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）判定方法（3）：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行簡單說成：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行?！摺?＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）【例2】(2023秋·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，直線a，b，c被直線l所截，下列條件中：①1=3，4=5；②2+3=，3=7；③1=2，5=6；④2=3，4=5，能確定ac的條件的是（

）A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①②④【答案】B【分析】根據(jù)平行線的判定定理逐項(xiàng)分析判斷即可．【詳解】解：①∵∠1＝∠3，∴ab，∵∠4＝∠5，∴bc，∴ac，符合題意；②∵2+3=，∴ab，∵3=4，3=7，∴4=7，∴bc，∴ac，符合題意；③∵1=2，1＋2＝180°，∴1=2=90°，∴a⊥l，∵5=6，5＋6＝180°，∴5=6=90°，∴c⊥l，∴ac，符合題意；④由4=5可得bc，但是由2=3，無法推出ab，故無法得出ac，不符合題意，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的判定，用到的知識點(diǎn)為：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線互相平行．【變式訓(xùn)練】【變式1】(2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）在鋪設(shè)鐵軌時(shí)，兩條直軌必須是互相平行的，如圖，已經(jīng)知道是直角，那么再度量圖中已標(biāo)出的哪個(gè)角，不能判斷兩條直軌是否平行(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】因?yàn)椤?是直角，只要找出與∠2互為同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的其他角，根據(jù)平行線的判定定理判定即可得到正確答案．【詳解】因?yàn)椤?是直角，∠4和∠2是同位角，如果度量出，根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”，就可以判斷兩條直軌平行，∠5和∠2是內(nèi)錯(cuò)角，如果度量出，根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”，就可以判斷兩條直軌平行，∠3和∠2是同旁內(nèi)角，如果度量出，根據(jù)“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”，就可以判斷兩條直軌平行，所以答案為：A．【點(diǎn)睛】本題考查兩直線平行的判定定理，解決本題的關(guān)鍵是熟練的掌握平行線的判定定理．【變式2】(2023秋·八年級課時(shí)練習(xí)）將一塊三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如圖方式放置，使A，B兩點(diǎn)分別落在直線m，n上，對于給出的五個(gè)條件：①∠1=25.5°，∠2=55°；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2-∠1．能判斷直線mn的有__．（填序號）【答案】①④⑤【分析】根據(jù)平行線的判定方法和題目中各個(gè)小題中的條件，逐一判斷是否可以得到m∥n，從而可以解答本題．【詳解】解：∵∠1=25.5°，∠2=55°，∠ABC=30°，∴∠ABC+∠1=55.5°=55°=∠2，∴mn，故①符合題意；∵∠1+∠2=90°，∠ABC=30°，∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，∴m和n不一定平行，故②不符合題意；∵∠2=2∠1，∠ABC=30°，∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，∴m和n不一定平行，故③不符合題意；過點(diǎn)C作CEm，∴∠3=∠4，∵∠ACB=∠1+∠3，∠ACB=∠4+∠5，∴∠1=∠5，∴ECn，∴mn，故④符合題意；∵∠ABC=∠2-∠1，∴∠2=∠ABC+∠1，∴mn，故⑤符合題意；故答案為：①④⑤．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式3】(2023秋·八年級課時(shí)練習(xí)）臺球運(yùn)動(dòng)中，如果母球P擊中桌邊點(diǎn)A，經(jīng)桌邊反彈擊中相鄰的另一條桌邊，再次反彈，那么母球P經(jīng)過的路線與平行嗎？證明你的判斷．【答案】，理由見解析【分析】通過計(jì)算同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可證明結(jié)論．【詳解】解：，理由如下：∵，∴．同理：．∵，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定定理，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成幾何問題是解答本題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題三平行線判定的結(jié)合】【例3】(2023春·河北張家口·七年級統(tǒng)考期中）如圖（1），在中，，邊繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周回到原來的位置．在旋轉(zhuǎn)的過程中（圖（2）），當(dāng)（

）時(shí)，．A．42° B．138° C．42°或138° D．42°或128°【答案】C【分析】結(jié)合旋轉(zhuǎn)的過程可知，因?yàn)槲恢玫母淖?，與∠A可能構(gòu)成內(nèi)錯(cuò)角，也有可能構(gòu)成同旁內(nèi)角，所以需分兩種情況加以計(jì)算即可．【詳解】解：如圖（2），當(dāng)∠ACB'=42°時(shí)，∵，∴∠ACB'=∠A．∴CB'∥AB．如圖（2），當(dāng)∠ACB'=138°時(shí)，∵∠A=42°，∴∴CB'∥AB．綜上可得，當(dāng)或時(shí)，CB'∥AB．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定、分類討論的數(shù)學(xué)思想等知識點(diǎn)，根據(jù)CB'在旋轉(zhuǎn)過程中的不同位置，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】【變式1】(2023春·山東青島·七年級青島經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形中，點(diǎn)在上，連接，下列說法正確的是（

）.A．因?yàn)?，所以B．因?yàn)?，所以C．因?yàn)椋訢．因?yàn)?，所以【答案】C【分析】根據(jù)同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.觀察各個(gè)選項(xiàng)中角的數(shù)量關(guān)系（相等或互補(bǔ)）、位置關(guān)系是否符合上述三個(gè)定理，即可判斷所給選項(xiàng)是否正確.【詳解】A.因?yàn)楹褪峭詢?nèi)角，所以根據(jù)不能得到，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.因?yàn)楹筒皇峭唤且膊皇莾?nèi)錯(cuò)角，所以根據(jù)不能得到，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.因?yàn)楹褪峭詢?nèi)角，所以根據(jù)可以得到，故本選項(xiàng)正確；D.和雖然是同位角，但根據(jù)只可以得出，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.故本題選C.【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定定理，在這里①判斷兩條直線是否平行，是根據(jù)角的數(shù)量關(guān)系（相等或互補(bǔ)）和位置關(guān)系去判定的，只有同時(shí)滿足兩種關(guān)系，才可根據(jù)定理判斷平行；②完整的定理前面有一句兩直線被第三條直線所截，找準(zhǔn)截線和被截線很關(guān)鍵（例如D選項(xiàng)和是同位角，它們的被截線是AB和DE）.【變式2】(2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，a、b、c三根木棒釘在一起，，現(xiàn)將木棒a、b同時(shí)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，速度分別為18度/秒和3度/秒，兩根木棒都停止時(shí)運(yùn)動(dòng)結(jié)束，則___________秒后木棒a，b平行．【答案】2或14或50或110【分析】設(shè)t秒后木棒a，b平行，分四種情況討論：當(dāng)秒時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即可求解．【詳解】解：設(shè)t秒后木棒a，b平行，根據(jù)題意得：當(dāng)秒時(shí)，，解得：t=2；當(dāng)時(shí)，，解得：t=14；當(dāng)時(shí)，木棒a停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，，解得：t=-10；（不合題意，舍去）當(dāng)時(shí)，或，解得：t=50或t=110；綜上所述，2或14或50或110秒后木棒a，b平行．故答案為：2或14或50或110【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定，一元一次方程的應(yīng)用，明確題意，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．【變式3】(2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）動(dòng)手操作：如圖①：將一副三角板中的兩個(gè)直角頂點(diǎn)疊放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．(1)若∠BCD＝150°，求∠ACE的度數(shù)；(2)試猜想∠BCD與∠ACE的數(shù)量關(guān)系，請說明理由；(3)若按住三角板ABC不動(dòng)，繞頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)三角板DCE，試探究當(dāng)時(shí)，∠BCD等于多少度，并簡要說明理由．【答案】(1)30°(2)∠BCD＋∠ACE＝180°；理由見解析(3)當(dāng)∠BCD＝120°或60°時(shí)，；理由見解析【分析】（1）依據(jù)∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，即可得到∠BCD+∠ACE的度數(shù)；（2）依據(jù)∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，即可得到∠BCD+∠ACE的度數(shù)；（3）分兩種情況討論，依據(jù)平行線的判定，即可得到當(dāng)∠BCD等于120°或60°時(shí)，．【詳解】（1）解：∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，∴∠BCD+∠ACE=90°+∠ACD+∠ACE=90°+90°=180°∵∠BCD=150°，∴∠ACE=180°-150°=30°．（2）∠BCD+∠ACE=180°，理由如下：∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，∴∠BCD+∠ACE=90°+∠ACD+∠ACE=90°+90°=180°（3）當(dāng)∠BCD＝120°或60°時(shí)，．如圖1所示，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，當(dāng)∠B＋∠BCD＝180°時(shí)，，∴此時(shí)∠BCD＝180°－∠B＝180°－60°＝120°；如圖2所示，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，當(dāng)∠BCD＝∠B＝60°時(shí)，．綜上所述，∠BCD=60°或120°.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理和判定定理，并且能夠準(zhǔn)確識圖，是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題四平行線性質(zhì)的綜合】【例4】(2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）某市為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務(wù)．圖①是某品牌共享單車放在水平地面的實(shí)物圖，圖②是其示意圖，其中，都與地面l平行，，．當(dāng)為（

）度時(shí)，與平行．A．16 B．60 C．66 D．114【答案】C【分析】根據(jù)平行線的判定定理與性質(zhì)定理求解即可．【詳解】解：∵，都與地面l平行，∴，∴，∴，∵，，∴，∴當(dāng)時(shí)，．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】【變式1】(2023春·廣西河池·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，點(diǎn)在的上方，連接，，是延長線上的一點(diǎn)，連接，已知，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，可以計(jì)算出∠GCF和∠GCB的度數(shù)，然后即可計(jì)算出∠BCF的度數(shù)．【詳解】解：過點(diǎn)C作GCAB，如圖所示：∵ABED，∴ABEDGC，∴∠GCB＋∠ABC＝180°，∠GCF＋∠EFC＝180°，∵∠CFD＝50°，∠ABC＝130°，∴∠GCF＝130°，∠GCB＝50°，∴∠BCF＝∠GCF?∠GCB＝130°?50°＝80°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式2】(2023春·江西九江·七年級統(tǒng)考期末）為了提醒司機(jī)不要疲勞駕駛，高速公路上安裝了如圖1所示的激光燈，圖2是激光位于初始位置時(shí)的平面示意圖，其中，是直線上的兩個(gè)發(fā)射點(diǎn)，，現(xiàn)激光繞點(diǎn)以每秒3度的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)激光繞點(diǎn)以每秒2度的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒，當(dāng)時(shí)，的值為________．【答案】12【分析】根據(jù)當(dāng)時(shí)，，建立等式即可求解．【詳解】解：設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒后，，由題意得：，，解得：，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)時(shí)，得出．【變式3】(2023秋·吉林長春·七年級校考期末）【提出問題】若兩個(gè)角的兩邊分別平行，則這兩個(gè)角有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【解決問題】分兩種情況進(jìn)行探究，請結(jié)合下圖探究這兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系．（1）如圖1，，，試證：；（2）如圖2，，，試證：；【得出結(jié)論】由（1）（2）我們可以得到結(jié)論：若兩個(gè)角的兩邊分別平行，則這兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系為_____________；【拓展應(yīng)用】（3）若兩個(gè)角的兩邊分別平行，其中一個(gè)角比另一個(gè)角的2倍少，求這兩個(gè)角的度數(shù)．（4）同一平面內(nèi)，若兩個(gè)角的兩邊分別垂直，則這兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系為_____________．【答案】【提出問題】相等或互補(bǔ)【解決問題】（1）證明見解析；（2）證明見解析【得出結(jié)論】相等或互補(bǔ)【拓展應(yīng)用】（3）當(dāng)一個(gè)角為時(shí)，另一個(gè)角為；當(dāng)一個(gè)角為時(shí)，另一個(gè)角為；（4）相等或互補(bǔ)【分析】“提出問題”：根據(jù)題意，分兩種情況，數(shù)形結(jié)合討論即可得到答案；“解決問題”：（1）由圖可知，利用平行線性質(zhì)，即可得證；（2）由圖可知，利用平行線性質(zhì)，即可得證；“得出結(jié)論”：由【提出問題】【解決問題】可知，若兩個(gè)角的兩邊分別平行，則這兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系：相等或互補(bǔ)；“拓展應(yīng)用”：（3）根據(jù)題意，設(shè)一個(gè)角為，則另一個(gè)角為，根據(jù)若兩個(gè)角的兩邊分別平行，則這兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系為相等或互補(bǔ)，列方程求解即可得到答案；（4）根據(jù)題意，分兩種情況，作出圖形，數(shù)形結(jié)合即可得到答案．【詳解】解：“提出問題”分兩種情況，如圖所示：或，即若兩個(gè)角的兩邊分別平行，則這兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系：相等或互補(bǔ)；“解決問題”（1）如圖所示：，，，，；（2）如圖所示：，，，，；“得出結(jié)論”由（1）（2）我們可以得到結(jié)論：若兩個(gè)角的兩邊分別平行，則這兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系為相等或互補(bǔ)，故答案為：相等或互補(bǔ)；“拓展應(yīng)用”（3）設(shè)一個(gè)角為，則另一個(gè)角為，若兩個(gè)角的兩邊分別平行，則這兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系為相等或互補(bǔ)，或，解得或，當(dāng)一個(gè)角為時(shí)，另一個(gè)角為；當(dāng)一個(gè)角為時(shí)，另一個(gè)角為；（4）如圖所示：由圖可知或，同一平面內(nèi)，若兩個(gè)角的兩邊分別垂直，則這兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系為相等或互補(bǔ)，故答案為：相等或互補(bǔ)．【點(diǎn)睛】本題考查幾何綜合，考查了平行線的性質(zhì)，探究應(yīng)用類題型，讀懂題意，分析情況，熟練掌握相關(guān)幾何性質(zhì)求證即可得到答案．【經(jīng)典例題五根據(jù)平行線的性質(zhì)求角度】【例5】（2023春·七年級單元測試）如圖，直線分別與直線相交于點(diǎn)，已知，平分交直線于點(diǎn)，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出，根據(jù)平行線的判定得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)推出，利用補(bǔ)角的定義即可得出答案．【詳解】解：如下圖，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定、角平分線的定義以及鄰補(bǔ)角等知識，能靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)和判定進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】【變式1】(2023春·河北唐山·七年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，于點(diǎn)，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，過點(diǎn)H作，過點(diǎn)F作，根據(jù)平行線的性質(zhì)定理進(jìn)行解答即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)H作，過點(diǎn)F作，∴，，∵，∴，∴，∵，，，∴，，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式2】(2023春·安徽安慶·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點(diǎn)，點(diǎn)M位于AB與CD之間且在EF的右側(cè)．（1）若，則______°；（2）若，與的角平分線交于點(diǎn)N，則的度數(shù)為______．（用含n的式子表示）【答案】

270

【分析】（1）過點(diǎn)M作MPAB，則ABCDMP，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得答案；（2）過點(diǎn)N作NQAB，則ABCDNQ，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等和角平分線的定義可得答案．【詳解】解：（1）過點(diǎn)M作MPAB，∵ABCD，∴ABCDMP，∴∠1=∠MEB，∠2=∠MFD，∵∠M=∠1+∠2=90°，∴∠MEB+∠MFD=90°，∵∠AEM+∠MEB+∠CFM+∠MFD=180°+180°=360°，∴∠AEM+∠CFM=360°-90°=270°．故答案為：270；（2）過點(diǎn)N作NQAB，∵ABCD，∴ABCDNQ，∴∠3=∠NEB，∠4=∠NFD，∴∠NEB+∠NFD=∠3+∠4=∠ENF，∵∠BEM與∠DFM的角平分找交于點(diǎn)N，∵∠NEB=∠MEB，∠DFN=∠MFD，∴∠3+∠4=∠BEN+∠DFN=（∠MEB+∠MFD），由（1）得，∠MEB+∠MFD=∠EMF，∴∠ENF=∠EMF=n°．故答案為：n°．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理和角平分線的定義是解題關(guān)鍵．【變式3】(2023秋·吉林長春·七年級校考期末）已知，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在DC上，點(diǎn)G為射線上一點(diǎn)．(1)【基礎(chǔ)問題】如圖1，試說明：．（完成圖中的填空部分）證明：過點(diǎn)G作直線，又∵，∴①∵，∴∠②．∵，∴③（④）∴．(2)【類比探究】如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在線段延長線上時(shí)，請寫出三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)【應(yīng)用拓展】如圖3，平分，交于點(diǎn)H，且，直接寫出的度數(shù)為°．【答案】(1)；；；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等(2)．理由見解析(3)【分析】（1）由，可得，由，可得，則；（2）如圖所示，過點(diǎn)G作直線，同理可得，，則．（3）如圖所示，過點(diǎn)G作直線，過點(diǎn)H作直線，得到，由，得到，再由，可得，再由平分，即可得到，則．【詳解】（1）過點(diǎn)G作直線，又∵，∴（平行于同一條直線的兩條直線平行），∵，∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵，∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∴．故答案為：；；；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．（2）如圖所示，過點(diǎn)G作直線，又∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴．（3）如圖所示，過點(diǎn)G作直線，過點(diǎn)H作直線，又∵，∴，∵，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，平行公理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握平行線的性質(zhì)．【經(jīng)典例題六平行線的性質(zhì)在生活中的實(shí)際應(yīng)用】【例6】(2023春·全國·七年級期末）如圖是長方形紙帶，，將紙帶沿折疊成圖，再沿折疊成圖，則圖中的的度數(shù)是（

）A．102° B．112° C．120° D．128°【答案】A【分析】根據(jù)兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，則∠BFE=∠DEF=26°，根據(jù)平角定義，則∠EFC=154°（圖a），進(jìn)一步求得∠BFC=154°-26°=128°（圖b），進(jìn)而求得∠CFE=128°-26°=102°（圖c）．【詳解】解：∵AD∥BC，∠DEF=26°，∴∠BFE=∠DEF=26°，∴∠EFC=154°（圖a），∴∠BFC=154°-26°=128°（圖b），∴∠CFE=128°-26°=102°（圖c）．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，平行線的性質(zhì)和平角定義，根據(jù)折疊能夠發(fā)現(xiàn)相等的角是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】【變式1】(2023春·江蘇連云港·七年級校考階段練習(xí)）如圖，修建一條公路，從王村沿北偏東方向到李村，從李村沿北偏西方向到張村，從張村到杜村的公路平行從王村到李村的公路，則張杜兩村公路與李張兩村公路方向夾角的度數(shù)為（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線同位角相等和同旁內(nèi)角互補(bǔ)的性質(zhì)，即可完成求解．【詳解】∵王村沿北偏東方向到李村∴∵從張村到杜村的公路平行從王村到李村的公路，且從李村沿北偏西方向到張村∴∴張杜兩村公路與李張兩村公路方向夾角的度數(shù)為故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了方位角、平行線的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線同位角相等和同旁內(nèi)角互補(bǔ)的性質(zhì)，從而完成求解．【變式2】(2023春·云南昆明·七年級統(tǒng)考期末）《七彩云南》少數(shù)民族傳統(tǒng)藝術(shù)表演，是七彩云南歡樂世界的王牌演藝節(jié)目，它薈萃云南人文之美，深受觀眾喜愛．在展演中，舞臺上的燈光由燈帶上位于點(diǎn)和點(diǎn)的兩盞激光燈控制．如圖，光線與燈帶的夾角，當(dāng)光線與燈帶的夾角______時(shí)，．【答案】140°或40°【分析】當(dāng)AB與在AC同側(cè)時(shí)，CB′∥AB，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；當(dāng)AB與CB"在AC異側(cè)時(shí)，CB"∥AB，內(nèi)錯(cuò)角相等．【詳解】解：如下圖：當(dāng)AB與CB′在AC同側(cè)時(shí)，當(dāng)CB′∥AB時(shí)，∵∠CAB+∠ACB′=180°∴∠ACB′=140°當(dāng)AB與CB"在AC異側(cè)時(shí)，當(dāng)CB"∥AB時(shí)，∠CAB=∠ACB"=40°答案：140°或40°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)及需要由分論討論的思想求解．【變式3】(2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）光線照射到鏡面會產(chǎn)生反射現(xiàn)象，由光學(xué)知識，入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等，例如：在圖1中，有∠1＝∠2．(1)如圖2，已知鏡子MO與鏡子ON的夾角∠MON＝90°，請判斷入射光線AB與反射光線CD的位置關(guān)系，并說明理由；(2)如圖3，有一口井，已知入射光線AO與水平線OC的夾角為50°，當(dāng)平面鏡MN與水平線OC的夾角為°，能使反射光線OB正好垂直照射到井底；(3)如圖4，直線EF上有兩點(diǎn)A、C，分別引兩條射線AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°，射線AB、CD分別繞A點(diǎn)、C點(diǎn)以3度/秒和1度/秒的速度同時(shí)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)時(shí)間為t秒，在射線AB轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)，是否存在某時(shí)刻，使得CD與AB平行？若存在，求出所有滿足條件的時(shí)間t．【答案】(1)ABCD，理由見解析(2)65或115(3)在射線AB轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)，存在時(shí)間t，使得CD與AB平行，其t=10s或100s．【分析】（1）計(jì)算∠ABC+∠BCD的值便可得出結(jié)論；（2）先計(jì)算出∠AOB，進(jìn)而得∠AOM+∠BON的值，再根據(jù)入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等，得出結(jié)果；（3）分四種情況討論：當(dāng)0s≤t≤20s時(shí)，當(dāng)20s＜t≤40s時(shí)，當(dāng)40s＜t≤80s時(shí)，當(dāng)80s＜t≤120s時(shí)，根據(jù)角度大小變化關(guān)系鎖確ABCD時(shí)的t值．【詳解】（1）解：ABCD．理由如下：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠ABC=180°-∠1-∠2=180°-2∠2，∠BCD=180°-∠3-∠4=180°-2∠3，∴∠ABC+∠BCD=360°-2（∠2+∠3），∵∠BOC=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴AB∥CD；（2）解：∵∠AOC=40°，∠BOC=90°，∴∠AOM+∠BON=180°-90°=40°=50°，∵∠AOM=∠BON，∴∠AOM=∠BON=25°，∴∠COM=25°+40°=65°，∠CON=25°+90°=115°，∴當(dāng)平面鏡MN與水平線OC的夾角為65°或115°時(shí)，能使反射光線OB正好垂直照射到井底，故答案為：65或115；（3）解：①當(dāng)0s≤t≤20s時(shí)，如下圖，若ABCD，則∠BAC=∠ACD，即120+3t=140+t，解得t=10，∴當(dāng)t=10s時(shí)ABCD；②當(dāng)20s＜t≤40s時(shí)，如下圖，有∠BAE＜90°＜∠ACD，則AB與CD不平行；③當(dāng)40s＜t≤80s時(shí)，如下圖，有∠BAC＜∠ACD，AB與CD不平行；④當(dāng)80s＜t≤120s時(shí)，如下圖，若ABCD，則∠BAC=∠DCF，即3t-240=t-40，解得t=100，∴當(dāng)t=100s時(shí)，ABCD；綜上可知，在射線AB轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)，存在時(shí)間t，使得CD與AB平行，其t=10s或100s．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵是應(yīng)用分類討論思想解決問題．【經(jīng)典例題七平行線的判定與性質(zhì)綜合（折疊問題）】【例7】(2023春·浙江杭州·七年級?？计谥校┮粭l兩邊沿互相平行的圍巾按圖所示折疊，已知∠DAB-∠ABC=8°，且DFCG，則∠DAB+2∠ABC=（）度．A．130 B．131 C．132 D．133【答案】B【分析】將圍巾展開，利用折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)推導(dǎo)即可．【詳解】解：如圖，將圍巾展開，則∠ADM=∠ADF，∠KCB=∠BCN，設(shè)∠ABC=x，則∠DAB=x+8°，∵CDAB，∴∠ADM=∠DAB=∠ADF=x+8°，∵DFCG，∴∠FDC=∠KCG=2x，∵∠FDC+∠FDM=180°，即2x+2（x+8°）=180°，解得x=41°，∴∠DAB+2∠ABC=（x+8°）+2x=131°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)與平行線的性質(zhì)，根據(jù)∠FDC+∠FDM=180°列方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】【變式1】(2023春·黑龍江牡丹江·七年級?？计谀┮粡堥L方形紙條按如圖所示折疊，EF是折痕，若∠EFB=35°，則：①∠GEF=35°；②∠EGB=70°；③∠AEG=110°；④=70°．以上結(jié)論正確的有（

）A．①②③④ B．②③④ C．①②③ D．①②【答案】A【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得的度數(shù)，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，即可判斷①③；再利用平行線的性質(zhì)可得、的度數(shù)，即可判斷②；再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得的度數(shù)，進(jìn)而可得的度數(shù)，即可判斷④【詳解】解：∵四邊形ABCD是長方形∴由折疊的性質(zhì)可得故①正確故③正確故②正確又由折疊的性質(zhì)可得：故④正確故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)．【變式2】(2023春·福建福州·七年級校考期中）如圖（1）紙片ABCD（ADBC），將CD按如圖（2）所示沿著DE折疊至DC′，DC′與線段BC交于F，∠BFD=m，點(diǎn)E在線段BC上，若將AD按如圖（3）所示沿著DO折疊至DA′，且A′在線段DC的延長線上，點(diǎn)O在線段BC上，則∠ODE=__________．（用含m的式子表示）【答案】【分析】設(shè)∠CDE=x，∠DCE=y，由圖（1）折疊性質(zhì)可得：∠C’DE=∠CDE=x，由平行線性質(zhì)可得∠ADF=180°-m，則∠ADC=180°-m+2x，由圖（2）折疊性質(zhì)可得：∠ADO=∠CDO=，最后可得∠ODE的度數(shù)．【詳解】解：設(shè)∠CDE=x，∠DCE=y，由圖（1）折疊性質(zhì)可得：∠C’DE=∠CDE=x，∵∠BFD=m，ADBC，∴∠BFD+∠ADF=180°，∴∠ADF=180°-m，∴∠ADC=180°-m+2x，由圖（2）折疊性質(zhì)可得：∠ADO=∠CDO=，∴∠ODE=∠CDO-∠CDE=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)及角的有關(guān)計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)．【變式3】(2023秋·貴州銅仁·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，將一張上、下兩邊平行（即ABCD）的紙帶沿直線MN折疊，EF為折痕．(1)試說明∠1＝∠2；(2)已知∠2＝54°，求∠BEF的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連續(xù)兩次利用定理“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”即可求證；（2）先利用求出，再利用求出，最后利用關(guān)系式求解即可．【詳解】（1）解：證明：∵，∴．∵，∴，∴．（2）∵，∠2＝54°∴．根據(jù)折疊的性質(zhì)知：，∴．又∵，即，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查平行的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，掌握平行的性質(zhì)和折疊前后對應(yīng)的角相等是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題八平行線的判定與性質(zhì)綜合（旋轉(zhuǎn)問題）】【例8】(2023秋·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，△OAB為等腰直角三角形（∠A＝∠B＝45°，∠AOB＝90°），△OCD為等邊三角形（∠C＝∠D＝∠COD＝60°），滿足OC＞OA，△OCD繞點(diǎn)O從射線OC與射線OA重合的位置開始，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的角度為α（0°＜α＜360°），下列說法正確的是（）A．當(dāng)α＝15°時(shí)，DC∥ABB．當(dāng)OC⊥AB時(shí)，α＝45°C．當(dāng)邊OB與邊OD在同一直線上時(shí)，直線DC與直線AB相交形成的銳角為15°D．整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程，共有10個(gè)位置使得△OAB與△OCD有一條邊平行【答案】A【分析】設(shè)OC與AB交點(diǎn)為M，OD與AB交點(diǎn)為N，當(dāng)α＝15°時(shí)，可得∠OMN＝α+∠A＝60°，可證DC∥AB；當(dāng)OC⊥AB時(shí)，α+∠A＝90°，可得α＝30°；當(dāng)邊OB與邊OD在同一直線上時(shí)，應(yīng)分兩種情況，則直線DC與直線AB相交形成的銳角也有兩種情況；整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程，因OC、OB、OD、OA都有交點(diǎn)，只有AB和CD存在平行，根據(jù)圖形的對稱性可判斷有兩個(gè)位置使得△OAB與△OCD有一條邊平行．【詳解】解：設(shè)OC與AB交點(diǎn)為M，OD與AB交點(diǎn)為N，當(dāng)α＝15°時(shí)，∠OMN＝α+∠A＝60°，∴∠OMN＝∠C，∴DC∥AB，故A正確；當(dāng)OC⊥AB時(shí)，α+∠A＝90°或α﹣180°＝90°﹣∠A，∴α＝45°或225°，故B錯(cuò)誤；當(dāng)邊OB與邊OD在同一直線上時(shí)，應(yīng)分兩種情況，則直線DC與直線AB相交形成的銳角也有兩種情況，故C錯(cuò)誤；整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程，因OC、OB、OD、OA都有交點(diǎn)，只有AB和CD存在平行，根據(jù)圖形的對稱性可判斷有兩個(gè)位置使得△OAB與△OCD有一條邊平行，故D錯(cuò)誤；故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，垂直的定義，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解.【變式訓(xùn)練】【變式1】(2023春·江蘇宿遷·七年級?？茧A段練習(xí)）為了亮化某景點(diǎn)，石家莊市在兩條筆直且互相平行的景觀道MN、QP上分別放置A、B兩盞激光燈，如圖所示．A燈發(fā)出的光束自AM逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，B燈發(fā)出的光束自BP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不間斷照射，A燈每秒轉(zhuǎn)動(dòng)30°，B燈每秒轉(zhuǎn)動(dòng)10°，B燈先轉(zhuǎn)動(dòng)2秒，A燈才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)B燈光束第一次到達(dá)BQ之前，兩燈的光束互相平行時(shí)A燈旋轉(zhuǎn)的時(shí)間是（）A．1或6秒 B．8.5秒 C．1或8.5秒 D．2或6秒【答案】C【分析】設(shè)燈旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為秒，求出的取值范圍為，再分①，②和③三種情況，先分別求出和的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，由此建立方程，解方程即可得．【詳解】解：設(shè)燈旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為秒，燈光束第一次到達(dá)所需時(shí)間為秒，燈光束第一次到達(dá)所需時(shí)間為秒，燈先轉(zhuǎn)動(dòng)2秒，燈才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，，即，由題意，分以下三種情況：①如圖，當(dāng)時(shí)，，，，，，即，解得，符合題設(shè)；②如圖，當(dāng)時(shí)，，，，，，即，解得符合題設(shè)；③如圖，當(dāng)時(shí)，，，同理可得：，即，解得，不符題設(shè)，舍去；綜上，燈旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為1秒或秒，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、一元一次方程的幾何應(yīng)用等知識點(diǎn)，正確求出時(shí)間的取值范圍，并據(jù)此分三種情況討論是解題關(guān)鍵．【變式2】(2023春·江西南昌·七年級校考階段練習(xí)）如圖，直線EF上有兩點(diǎn)A、C，分別引兩條射線AB、CD．∠DCF=60°，∠EAB=70°，射線AB、CD分別繞A點(diǎn)，C點(diǎn)以1度/秒和3度/秒的速度同時(shí)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，在射線CD轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)，使得CD與AB平行所有滿足條件的時(shí)間t=_____．【答案】5秒或95秒【分析】分①AB與CD在EF的兩側(cè)，分別表示出∠ACD與∠BAC，然后根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行，列式計(jì)算即可得解；②CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的右側(cè)，分別表示出∠DCF與∠BAC，然后根據(jù)同位角相等兩直線平行，列式計(jì)算即可得解；③CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的左側(cè)，分別表示出∠DCF與∠BAC，然后根據(jù)同位角相等兩直線平行，列式計(jì)算即可得解．【詳解】∵∠EAB＝70°，∠DCF＝60°，∴∠BAC＝110°，∠ACD＝120°，分三種情況：如圖①，AB與CD在EF的兩側(cè)時(shí)，∠ACD＝120°?(3t)°，∠BAC＝110°?t°，要使，則∠ACD＝∠BAC，即120°?(3t)°＝110°?t°，解得t＝5；如圖②CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的右側(cè)時(shí)，∠DCF＝360°?(3t)°?60°＝300°?(3t)°，∠BAC＝110°?t°，要使，則∠DCF＝∠BAC，即300°?(3t)°＝110°?t°，解得t＝95；如圖③CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的左側(cè)時(shí)，∠DCF＝(3t)°?(180°?60°＋180°)＝(3t)°?300°，∠BAC＝t°?110°，要使，則∠DCF＝∠BAC，即(3t)°?300°＝t°?110°，解得t＝95，此時(shí)∠BAC＝t°?110°＜0°，∴此情況不存在．綜上所述，當(dāng)時(shí)間t的值為5秒或95秒時(shí)，CD與AB平行．故答案為：5秒或95秒．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，讀懂題意并熟練掌握平行線的判定方法是解題的關(guān)鍵，要注意分情況討論．【變式3】(2023春·北京·七年級校考期中）“一帶一路”讓中國和世界聯(lián)系更緊密，“中歐鐵路”為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈．如圖所示，燈A射線從開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，燈射線從開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒，燈轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒．假定主道路是平行的，即，且．(1)填空：______；(2)若燈射線先轉(zhuǎn)動(dòng)秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈射線到達(dá)之前，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行？(3)若兩燈同時(shí)開始轉(zhuǎn)動(dòng)，兩燈射出的光束交于點(diǎn)，且，則在燈射線到達(dá)之前，轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為______秒．【答案】(1)60(2)秒或秒(3)或【分析】（1）設(shè)，則，根據(jù)，可列出關(guān)于x的等式，解出x即可求解；（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)秒，兩燈的光束互相平行，分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)時(shí)，根據(jù)，可得；當(dāng)時(shí)，根據(jù)，可得；（3）分類討論當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)，畫出圖形，分別根據(jù)平行線的性質(zhì)結(jié)合題意構(gòu)建方程解決問題即可．（1）設(shè)，則，∵，即，∴，∴．故答案為：60；（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)秒，兩燈的光束互相平行，由題意可知，．當(dāng)時(shí)，如圖，，．，，．，解得；當(dāng)時(shí)，如圖，，．，，．∵，∴，，解得

．綜上所述，當(dāng)30秒或110秒時(shí)，兩燈的光束互相平行；（3）設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作，，，，，，，，又，∴，解得：，∴，此時(shí)與共線，不符合題意；當(dāng)時(shí)，同的圖可得，則，解得：；如圖中，當(dāng)時(shí)，同可知．因?yàn)榇藭r(shí)，，解得：．綜上可知，t的值為100或140．故答案為：100或140．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，平行公理及推論，一元一次方程的應(yīng)用．利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想是解題關(guān)鍵．【培優(yōu)檢測】1．(2023春·內(nèi)蒙古包頭·七年級統(tǒng)考期中）在下列說法中，正確的有（

）個(gè)．①過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；

②已知、的兩邊分別平行，那么；③垂直于同一條直線的兩條直線平行；

④從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段，叫做這點(diǎn)到直線的距離．A．3 B．2 C．1 D．0【答案】D【分析】利用平行公理，平行線的性質(zhì)定理，點(diǎn)到直線的距離的定義逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：同一平面內(nèi)，過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，因此①錯(cuò)誤；、的兩邊分別平行時(shí)，或，因此②錯(cuò)誤；同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行，因此③錯(cuò)誤；從直線外一點(diǎn)到這條直線所畫的垂線段的長度叫做這點(diǎn)到直線的距離，故④錯(cuò)誤；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查平行公理，平行線的性質(zhì)定理，點(diǎn)到直線的距離的定義等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握上述基本知識，不要漏掉前置條件．2．(2023春·福建寧德·七年級統(tǒng)考期末）如圖，由兩個(gè)完全相同的三角板拼成一個(gè)四邊形，則下列條件能直接判斷的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平行線的判定對每一項(xiàng)分別進(jìn)行分析即可得出答案．【詳解】解：A、，，故本選項(xiàng)正確，符合題意；B、，，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、由，無法得到，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、，，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線平行的判定方法，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握平行線的判定.3．(2023春·貴州安順·七年級統(tǒng)考期末）如圖，某沿湖公路有三次拐彎，若第一次的拐角∠A=110°，第二次的拐角∠B=140°，第三次的拐角為∠C，第三次拐彎后的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，則∠C的度數(shù)是（

）A．130° B．140° C．145° D．150°【答案】D【分析】過點(diǎn)B作BEAD，利用平行線的性質(zhì)可得∠ABE＝110°，從而求出∠EBC＝30°，然后再利用平行線的性質(zhì)，即可解答．【詳解】解：過點(diǎn)B作BEAD，∴∠A＝∠ABE＝110°，∵∠ABC＝140°，∴∠EBC＝∠ABC?∠ABE＝30°，∵ADCF，∴BECF，∴∠C＝180°?∠EBC＝150°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．4．(2023春·廣東江門·七年級江門市福泉奧林匹克學(xué)校?？茧A段練習(xí)）①如圖1，ABCD，則∠A+∠E+∠C=180°；②如圖2，ABCD，則∠E=∠A+∠C;③如圖3，ABCD，則∠A+∠E－∠1=180°；④如圖4，ABCD，則∠A=∠C+∠P．以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是(

)

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】①過點(diǎn)E作直線，由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；②過點(diǎn)E作直線，由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；③過點(diǎn)E作直線，由平行線的性質(zhì)可得出∠A+∠E-∠1=180°；④先過點(diǎn)P作直線，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等和同位角相等即可作出判斷．【詳解】解：①過點(diǎn)E作直線，∵，∴，∴∠A＋∠1＝180°，∠2＋∠C＝180°，∴∠A＋∠C＋∠AEC＝360°，故①錯(cuò)誤；②過點(diǎn)E作直線，∵，∴，∴∠A＝∠1，∠2＝∠C，∴∠AEC＝∠A＋∠C，即∠AEC＝∠A＋∠C，故②正確；③過點(diǎn)E作直線，∵，∴，∴∠A＋∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A＋∠AEC－∠2＝180°，即∠A＋∠AEC－∠1＝180°，故③正確；④如圖，過點(diǎn)P作直線，∵，∴，∴∠1=∠FPA，∠C=∠FPC，∵∠FPA=∠FPC+∠CPA，∴∠1＝∠C＋∠CPA，∵ABCD，∴∠A＝∠1，即∠A＝∠C+∠CPA，故④正確．綜上所述，正確的小題有②③④．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及平行公理的推論，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．5．(2023秋·浙江·八年級開學(xué)考試）如圖，在科學(xué)《光的反射》活動(dòng)課中，小麥同學(xué)將支架平面鏡放置在水平桌面MN上，鏡面AB的調(diào)節(jié)角的調(diào)節(jié)范圍為12°~69°，激光筆發(fā)出的光束DG射到平面鏡上，若激光筆與水平天花板（直線EF）的夾角，則反射光束GH與天花板所形成的角不可能取到的度數(shù)為（

）A．129° B．72° C．51° D．18°【答案】C【分析】分當(dāng)時(shí)，如圖1所示，當(dāng)時(shí)，如圖2所示，兩種情況，利用平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，如圖1所示，過點(diǎn)G作，∵，∴，∴∠PGQ=∠EPG=30°，∠BGQ=∠ABM，∴∠PGB=∠PGQ+∠BGQ=30°+∠ABM，由反射定理可知，∠AGH=∠PGB=30°+∠ABM，∴∠PGH=180°-∠AGH-∠PGB=120°-2∠ABM，∴∠HGQ=∠PGH+∠PGQ=150°-2∠ABM，∴∠PHG=180°-∠HGQ=30°+2∠ABM，∴當(dāng)時(shí)，如圖2所示，過點(diǎn)G作，同理可得∠PGQ=∠EPG=30°，∠BGQ=∠ABM，∠PHG=∠HGQ，∴∠AGP=∠HGB=∠HGQ+∠QGB=∠PHG+∠ABM，∴∠PGH=180°-∠AGP-∠HGB=180°-2∠PHG-2∠ABM，∴∠HGP=∠PGQ-∠PGH=2∠PHG+2∠ABM-150°，∴∠PHG=150°-2∠ABM，∴，綜上所述，或，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線和利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．6．(2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）如圖，AB∥CD，點(diǎn)E，P在直線AB上（P在E的右側(cè)），點(diǎn)G在直線CD上，EF⊥FG，垂足為F，M為線段EF上的一動(dòng)點(diǎn)，連接GP，GM，∠FGP與∠APG的角平分線交與點(diǎn)Q，且點(diǎn)Q在直線AB，CD之間的區(qū)域，下列結(jié)論：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，則3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，則∠AEF∠MGC＝90°．正確的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．