【數(shù)學(xué)】?jī)?nèi)切球和外接球?qū)ｎ}研究專(zhuān)題講義-2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

課題：第八章立體幾何初步8.3.3外接球、內(nèi)切球?qū)ｎ}班級(jí)——————姓名——————一．學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解幾何體的外接球，內(nèi)切球的定義；2.能熟練求解常見(jiàn)幾何體的外接球和內(nèi)切球。二．導(dǎo)入一個(gè)棱長(zhǎng)為a的正方體木塊可以削出最大的球的半徑是多少？如果把這個(gè)木塊裝到一個(gè)球形容器里，這個(gè)球形容器的最小半徑是多少？三．問(wèn)題與例題知識(shí)點(diǎn)一外接球的定義外接球指一個(gè)空間幾何圖形的外接球，對(duì)于旋轉(zhuǎn)體和多面體，外接球有不同的定義，廣義理解為球?qū)缀误w包圍，且?guī)缀误w的頂點(diǎn)和弧面在此球上。探索一圓柱外接球半徑1.已知圓柱的高?（即母線）和半徑r，該圓柱的外接球O的半徑R如何表示？問(wèn)題1：圓柱的軸是球的軸嗎？【預(yù)設(shè)的答案】是問(wèn)題2：球O的球心在哪里？【預(yù)設(shè)的答案】OO1問(wèn)題3：根據(jù)軸截面求球O的半徑R?！绢A(yù)設(shè)的答案】R=(直觀圖軸截面取圓柱上三條母線AA1、BB1、CC1，那么幾何體ABC—【預(yù)設(shè)的答案】幾何體ABC—A1B已知棱柱底面ABC各邊分別為a，b，c，側(cè)棱為l，求球O的半徑R。問(wèn)題1：棱柱的高與圓柱的高的關(guān)系？【預(yù)設(shè)的答案】相等。問(wèn)題2：棱柱底面與圓柱底面圓的關(guān)系？【預(yù)設(shè)的答案】圓柱底面的圓是棱柱底面的外接圓。問(wèn)題3：求三角形外接圓半徑的方法有哪些？多邊形的呢？【預(yù)設(shè)的答案】cosA=b2+c2?a2多邊形的外接圓先找圓心，再求半徑。矩形的外接圓圓心在對(duì)角線交點(diǎn)處，正六邊形的外接圓圓心在對(duì)角線交點(diǎn)。那么，外接球半徑R=(h【例1】長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為a，b，c，那么該長(zhǎng)方體的外接球半徑是多少？外接球球心在什么位置？答案：底面圓半徑為對(duì)角線的一半r=a2+b22，R=(h/2)球心在體對(duì)角線的中點(diǎn)（或體對(duì)角線的交點(diǎn)）。【思考】連接長(zhǎng)方體方體各個(gè)面的對(duì)角線形成的四面體有什么特征，它的外接球呢？還有哪些棱錐可以轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體的外接球？【預(yù)設(shè)的答案】對(duì)棱相等?！咀兪?-1】正方體的棱長(zhǎng)為a，那么該正方體的外接球半徑是多少？外接球球心在什么位置？答案：底面圓半徑為對(duì)角線的一半r=22a，R=(h/2)2+r球心在體對(duì)角線的中點(diǎn)（或體對(duì)角線的交點(diǎn)）。【思考】連接正方體各個(gè)面的對(duì)角線形成的正四面體的外接球呢？答案：可以轉(zhuǎn)化為正方體外接球。假設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為a，則正方體棱長(zhǎng)為22外接球半徑R=32×23.取圓柱上一條母線AA1，在圓柱下底面取與A不同的兩個(gè)點(diǎn)B，C，那么幾何體A1-ABC有什么特征問(wèn)題1：幾何體棱AA1【預(yù)設(shè)的答案】相等。問(wèn)題2：幾何體底面ABC與圓柱底面圓的關(guān)系？【預(yù)設(shè)的答案】圓柱底面的圓是?ABC問(wèn)題3：總結(jié)該類(lèi)幾何體求外接球半徑的步驟?！绢A(yù)設(shè)的答案】1.求三角形外接圓半徑r（詳見(jiàn)上一個(gè)問(wèn)題3），2.外接球半徑R=(h取圓柱上兩條母線AA1，BB1，在圓柱下底面取一點(diǎn)C，那么幾何體C-AA已知AA1=BB1=?【預(yù)設(shè)的答案】底面是長(zhǎng)方形且與其中一個(gè)側(cè)面ABC垂直的棱錐。球O是棱錐的外接球。問(wèn)題1：幾何體棱AA1，B【預(yù)設(shè)的答案】相等。問(wèn)題2：幾何體棱AA1，B【預(yù)設(shè)的答案】棱AA1，BB問(wèn)題3：幾何體面ABC與圓柱底面圓的關(guān)系？【預(yù)設(shè)的答案】圓柱底面的圓是側(cè)面ABC問(wèn)題4：總結(jié)該類(lèi)幾何體求外接球半徑的步驟。【預(yù)設(shè)的答案】1.求三角形外接圓半徑r（詳見(jiàn)第一個(gè)問(wèn)題3），2.外接球半徑R=(h/2)2【思考】還有什么幾何體外接球可以轉(zhuǎn)化為圓柱外接球模型呢？【例2】在三棱錐，若平面，，，，，則三棱錐外接球的表面積是（

）A．100π B．50π C．144π D．72π【答案】A【詳解】如圖，將三棱錐放于一個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)：則三棱錐的外接球就是長(zhǎng)方體的外接球，∴PB為三棱錐P－ABC外接球的直徑，∵，∴外接球的表面積為：．故選：A.【變式2-1】已知四棱錐P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是矩形，，若四棱錐P-ABCD外接球的表面積為，則四棱錐P-ABCD的體積為（

）A．3 B．2 C． D．1【答案】D【詳解】設(shè)四棱錐P-ABCD外接球的半徑為R，則，即．由題意，易知，得，設(shè)，得，解得，所以四棱錐P-ABCD的體積為．故選：D【變式2-2】《九章算術(shù)·商功》中描述很多特殊幾何體，例如“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，其一為鱉臑”，即如圖，一個(gè)長(zhǎng)方體，沿對(duì)角面分開(kāi)（圖1），得到兩個(gè)一模一樣的塹堵（圖2），將其中一個(gè)塹堵，沿平面分開(kāi)（圖2），得到一個(gè)四棱錐稱(chēng)為陽(yáng)馬（圖3），和一個(gè)三棱錐稱(chēng)為鱉臑（圖4）.若鱉臑的體積為4，且，則陽(yáng)馬的外接球的表面積為（

）A. B． C． D．【答案】B【詳解】由切割過(guò)程可知，平面，，，∴，∴.為長(zhǎng)方體體對(duì)角線，即為的外接球直徑，，∴陽(yáng)馬的外接球的表面積為.故選：B探索二圓錐外接球半徑5.已知圓錐的高?，半徑r，母線為l，該圓柱的外接球O的半徑R如何表示？問(wèn)題1：圓錐的軸是球的軸嗎？【預(yù)設(shè)的答案】是。問(wèn)題2：球O的球心在哪里？【預(yù)設(shè)的答案】在圓錐高上。問(wèn)題3：根據(jù)軸截面求球O的半徑R？【預(yù)設(shè)的答案】方法一：R2=（??R）2+r2方法二：直觀圖軸截面在?SAO1中sinA=?l；在?SAC中2R=SCsinA【思考1】求哪種多面體的外接球的半徑可以轉(zhuǎn)化為圓錐外接球模型呢？【預(yù)設(shè)的答案】頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心的棱錐都可以?！舅伎?】求正棱錐外接球的半徑的方法還有哪些？【預(yù)設(shè)的答案】正棱錐的高是外接球的軸，所以還可利用軸截面結(jié)合關(guān)系求解?！纠?】正四面體的棱長(zhǎng)為a，那么該正四面體的外接球半徑是多少？外接球球心在什么位置？【答案】：正四面體對(duì)應(yīng)的圓錐底面半徑r為O’?=63a，l=a；R=l【變式2-1】棱長(zhǎng)相等的正四棱錐的棱長(zhǎng)為a，那么該四棱錐的外接球半徑是多少？【答案】：正四棱錐對(duì)應(yīng)的圓錐底面半徑r為O?=22a，l=a；R=l【思考】以上兩題有其他解題方法嗎？【預(yù)設(shè)的答案】由于正棱錐的高是外接球的軸，還可利用軸截面結(jié)合關(guān)系求解。探索三圓臺(tái)外接球半徑6.已知圓臺(tái)的高?，上底面半徑為r1，下底面半徑為r2，母線為l，高為?，該圓柱的外接球O的半徑R如何表示？問(wèn)題1：圓臺(tái)的軸是球的軸嗎？【預(yù)設(shè)的答案】是。問(wèn)題2：球O的球心在哪里？有幾種情況？【預(yù)設(shè)的答案】情況一：球心O在兩底面同一側(cè)；直觀圖軸截面情況二：球心O在兩底面之間。問(wèn)題4：球O的半徑如何表示？答案：根據(jù)軸截面中幾何關(guān)系可得：情況一：R2?r12?R【思考1】求哪種多面體的外接球的半徑可以轉(zhuǎn)化為圓臺(tái)外接球模型呢？【預(yù)設(shè)的答案】一般是正棱臺(tái)?！纠?】如圖，在正四棱臺(tái)中，，分別是正方形，的中心.若以為球心，為半徑的球與平面相切，且是該四棱臺(tái)的外接球的球心，則該四棱臺(tái)的體積與其外接球的體積之比為_(kāi)_____.【答案】【詳解】設(shè)，，，因?yàn)橐詾榍蛐模瑸榘霃降那蚺c平面相切，所以，因?yàn)槭窃撍睦馀_(tái)的外接球球心，所以，即，所以四棱臺(tái)的體積，且外接球的體積，則.故答案為：.【變式3-1】正三棱臺(tái)高為1，上下底邊長(zhǎng)分別是和，所有頂點(diǎn)在同一球面上，則球的表面積是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得，上底面所在平面截球所得圓的半徑是3，下底面所在平面截球所得圓的半徑是4，則軸截面中由幾何知識(shí)可得，或解得，因此球的表面積是．故選A.探索四其他類(lèi)型的棱錐外接球說(shuō)明:探究四最好在講完本章內(nèi)容后再講。7.Rt?共斜邊拼接模型的外接球（即兩個(gè)Rt?的外接圓均為球的大圓，且公共斜邊為球的直徑）如圖，在四面體中，，，此四面體可以看成是由兩個(gè)共斜邊的直角三角形拼接而形成的，為公共的斜邊，故以“共斜邊拼接模型”命名之．設(shè)點(diǎn)為公共斜邊的中點(diǎn)，那么該幾何體ABCD的外接球半徑為多少？【預(yù)設(shè)的答案】半徑R為BD的一半。8.棱錐切瓜模型的外接球（即兩個(gè)三角形的外接圓所在平面相互垂直）這個(gè)模型可以分為幾種情況，分別應(yīng)該怎么求該空間圖形的外接球半徑呢？【預(yù)設(shè)的答案】情況一：兩個(gè)三角形所在平面均為外接球的大圓面（即這兩個(gè)三角形的公共邊是直徑2R）；情況二：其中一個(gè)三角形所在的平面是大圓面，另一個(gè)三角形所在平面是小圓面（即兩個(gè)三角形的公共邊是小圓的直徑2r）；情況三：兩個(gè)三角形所在平面均為外接球的小圓面。已知面ABC?面BCD，?ABC，?BC答案：設(shè)BC=a，先利用余弦定理，正弦定理求出?ABC和?BC的外接圓半徑r2，rR=r22或R=r12+9.二面角模型的外接球已知兩個(gè)三角形拼成如圖所示的空間圖形，求該空間圖形的外接球球O的半徑R。【預(yù)設(shè)的答案】第一步：先畫(huà)出如圖所示的圖形，將畫(huà)在小圓上，找出和的外心和；第二步：過(guò)和分別作平面和平面的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為球心，連接；第三步：解，算出，在中，勾股定理：?！纠?】如圖，在四面體中，，，則四面體外接球的表面積為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題設(shè)，若是中點(diǎn)，又，故，所以是四面體外接球的球心，且半徑為，所以外接球的表面積為.故選：B【變式4-1】在矩形中，，沿將矩形折成一個(gè)直二面角，則四面體的外接球的體積為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如圖，設(shè)矩形對(duì)角線的交點(diǎn)為，則由矩形對(duì)角線互相平分，可知．∴點(diǎn)到四面體的四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，即點(diǎn)為四面體的外接球的球心，∴外接球的半徑，則．故選：C.【例5】已知四棱錐中，底面為邊長(zhǎng)為3的正方形，側(cè)面底面，且為等邊三角形，則該四棱錐外接球的表面積為（）B．C．D．【答案】B【解析】如圖，在四棱錐中，取側(cè)面和底面正方形的外接圓的圓心分別為，分別過(guò)作兩個(gè)平面的垂線交于點(diǎn)，則由外接球的性質(zhì)知，點(diǎn)即為該球的球心，連接并延長(zhǎng)，交教AB于E,則E線段的中點(diǎn)，連接，則四邊形為矩形.在等邊中，可得，則，即，在正方形中，因?yàn)?，可得，在中，，即，所以四棱錐外接球的表面積為.故選：B.【變式5-1】在三棱錐中，與都是邊長(zhǎng)為4的正三角形，且平面平面BCD，則該三棱錐外接球的表面積為．【答案】【解析】取AB，CD的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，連接EF，AF，BF，如圖所示由題意知，，，易知三棱錐的外接球球心O在線段EF上，所以，設(shè)外接球的半徑為R，連接OA，OC，則有，所以，，所以，又，則，，所以該三棱錐外接球的表面積為．【例6】在三棱錐中，是以為斜邊的等腰直角三角形，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，二面角的大小為，則三棱錐外接球的表面積為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如圖，取的中點(diǎn)，連接，，由題意，，所以，所以為二面角的平面角，所以，因?yàn)槭且詾樾边叺牡妊苯侨切?，且，所以，為外接圓的圓心，又是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以，過(guò)點(diǎn)作與平面垂直的直線，則球心在該直線上，設(shè)球的半徑為，連接，可得，在中，，利用余弦定理可得，所以，解得，所以外接球的表面積為.故選：A.【變式6-1】在三棱錐中，，，，二面角的大小為，則三棱錐外接球的表面積為（）B．C．D．【答案】C【解析】如圖，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以為等邊三角形，所?取的中點(diǎn)D，連接和，則為二面角的平面角，即.因?yàn)闉橹苯侨切危訢為的外心.設(shè)的外心為，過(guò)點(diǎn)D作平面的垂線，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，則交點(diǎn)為球心，連接，.設(shè)三棱錐外接球的半徑為R.在中，，由已知得，在中，由余弦定理得，即，解得，故三棱錐外接球的表面積為.故選：C.探索五組合體的外接球【例7】如圖，該“四角反棱柱”是由兩個(gè)相互平行且全等的正方形經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)、連接而成，其側(cè)面均為等邊三角形，則該“四角反棱柱”外接球的表面積與側(cè)面面積的比為．【答案】【詳解】如圖，由題意可知旋轉(zhuǎn)角度為，設(shè)上、下正四邊形的中心分別為，，連接，則的中點(diǎn)O即為外接球的球心，其中點(diǎn)B為所在棱的中點(diǎn)，OA即該幾何體外接球的半徑，設(shè)棱長(zhǎng)為4a，則側(cè)面積為，，，，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)C，則，，易得四邊形為矩形，即，，則，即該“四角反棱柱”外接球的半徑．外接球表面積為，該“四角反棱柱”外接球的表面積與側(cè)面面積的比為．故答案為：.【變式7-1】正多面體被古希臘哲學(xué)家柏拉圖認(rèn)為是構(gòu)成宇宙的基本元素，也是科學(xué)、藝術(shù)、哲學(xué)靈感的源泉之一．如圖，該幾何體是一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正八面體，則此正八面體的體積為，平面截此正八面體的外接球所得截面的面積為．【答案】【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接．由棱長(zhǎng)為2，可得正八面體上半部分的斜高為，高為，則正八面體的體積為．此正八面體的外接球的球心為，半徑為，到平面的距離等于到平面的距離，在中，過(guò)作的垂線，垂足為，則平面．由，得，平面截正八面體的外接球所得截面是圓，其半徑，所以所得截面的面積為．故答案為：；.【變式7-2】《九章算術(shù)》中記錄的“羨除”是算學(xué)和建筑學(xué)術(shù)語(yǔ)，指的是一段類(lèi)似隧道形狀的幾何體，如圖，羨除ABCDEF中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，其余棱長(zhǎng)都為1，則這個(gè)幾何體的外接球的體積為（

）A． B． C．D．【答案】B【解析】連接,交于點(diǎn),取的中點(diǎn)，則平面,,取的中點(diǎn),連接,作,垂足為，如圖所示：由題意可知，，所以,所以,,所以,又,所以，即這個(gè)幾何體的外接球的球心為，半徑為，所以這個(gè)幾何體的外接球的體積為.故選：B.【變式7-3】我國(guó)有著豐富悠久的“印章文化”，古時(shí)候的印章一般用貴重的金屬或玉石制成，本是官員或私人簽署文件時(shí)代表身份的信物，后因其獨(dú)特的文化內(nèi)涵，也被作為裝飾物來(lái)使用.圖1是明清時(shí)期的一個(gè)金屬印章擺件，除去頂部的環(huán)以后可以看作是一個(gè)正四棱柱和一個(gè)正四棱錐組成的幾何體，如圖2.已知正四棱柱和正四棱錐的高相等，且底面邊長(zhǎng)均為2，若該幾何體的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球的表面上，則這個(gè)球的表面積為_(kāi)_____.【答案】【解析】設(shè)正四棱柱和正四棱錐的高為，則其外接球的半徑為解得，所以，故球的表面積為，故答案為：知識(shí)點(diǎn)二內(nèi)切球的定義球心到某幾何體各面的距離相等且等于半徑的球是幾何體的內(nèi)切球。如果一個(gè)球與簡(jiǎn)單多面體的各面或其延展部分都相切，且此球在多面體的內(nèi)部，則稱(chēng)這個(gè)球?yàn)榇硕嗝骟w的內(nèi)切球。與圓柱兩底面以及每條母線都相切的球稱(chēng)為這個(gè)圓柱的內(nèi)切球，此圓柱稱(chēng)為球的外切圓柱。與圓錐的底面和各母線均相切的球，稱(chēng)為圓錐的內(nèi)切球，此圓錐稱(chēng)為球的外切圓錐。與圓臺(tái)的上、下底面以及每條母線都相切的球，稱(chēng)為圓臺(tái)的內(nèi)切球，此圓臺(tái)稱(chēng)為球的外切圓臺(tái)。探索六內(nèi)接球半徑10.已知某正三棱錐的表面積為S，體積為V，內(nèi)切球球心為O，該幾何體的內(nèi)切球半徑如何表示？【預(yù)設(shè)的答案】連接OA，OB，OC，OD，則該棱錐分成了以以?xún)?nèi)切球球心E為頂點(diǎn)，高為R的4個(gè)棱錐分別為E-ABD，E-BCD，E-ABC，E-ACD，再利用三棱錐A-BCD的體積等于E-ABD，E-BCD，E-ABC，E-ACD的體積之和，就能得到R球【思考1】其他存在內(nèi)切球的多面體滿(mǎn)足R球【預(yù)設(shè)的答案】都滿(mǎn)足。存在內(nèi)切球n面體，可以分成n個(gè)以?xún)?nèi)切球球心O為頂點(diǎn)，高為R的n個(gè)棱錐，再利用分割前分割后的體積不變，就能得到R球【驗(yàn)證1】目前我們所學(xué)的旋轉(zhuǎn)體呢？滿(mǎn)足R球【預(yù)設(shè)的答案】都滿(mǎn)足?！締?wèn)