第六章 模型1平面向量幾何意義的應(yīng)用模型 （含解析） （含解析）2024年高考數(shù)學(xué)三輪沖刺考點(diǎn)歸納

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)模型1

平面向量幾何意義的應(yīng)用【問(wèn)題背景】平面向量作為一種基本工具，在平面幾何問(wèn)題的求解中起到極其重要的作用，而教材中對(duì)于平面向量給出了幾何表示和坐標(biāo)表示兩種形式，相比較而言，學(xué)生對(duì)于向量的坐標(biāo)表示更容易接受和理解，但對(duì)向量的幾何表示包括幾何運(yùn)算往往感到比較困難，然而從平面向量的幾何意義來(lái)看，其中又有很多獨(dú)特之處，如能合理地運(yùn)用向量的加法、減法的平行四邊形法則或三角形法則以及向量平行與垂直的充要條件，結(jié)合平面向量的基本定理等這些幾何意義，那么在解決平面幾何問(wèn)題時(shí)往往就能起到避繁就簡(jiǎn)的效果.【解決方法】【典例1】（平面向量與解三角形交匯，雙空題｜2023天津）在三角形中，，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，若設(shè)，則可用表示為_(kāi)_________；若，則的最大值為_(kāi)_________.【套用模型】第一步：整體審題根據(jù)題中：若設(shè)，顯然以它們作為基底向量，借助與向量的加法，減法等運(yùn)算表示出新的向量，再結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算，運(yùn)用函數(shù)和不等式的相關(guān)知識(shí)求最值.第二步：尋找聯(lián)想.題中已指定了兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，故聯(lián)想到平面向量基本定理.在中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn).對(duì)于第一空，用，表示即可；對(duì)于第二空，可作出圖形，再進(jìn)行分析.第三步：確定方法并運(yùn)算.選擇合適的三角形，借助向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算表示出新的向量，再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算處理問(wèn)題.第一空由于為的中點(diǎn)，所以，又是的中點(diǎn)，所以.由于，所以.第二空作出圖形，如圖1所示.圖1因?yàn)椋?，由可得，即，?于是.記，則.在中，根據(jù)余弦定理得，于是.由和基本不等式得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故，則時(shí)，有最大值.第四步：得出結(jié)論故答案為：；.【典例2】（22-23高三下·陜西咸陽(yáng)·期末）如圖2，中，，，半徑為1的分別交，于點(diǎn)，點(diǎn)是劣弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是________.圖2【套用模型】第一步：整體審題根據(jù)本題中的圖形是一個(gè)等腰三角形為背景，故聯(lián)想到可以建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)法處理本題.再結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算，運(yùn)用函數(shù)和不等式的相關(guān)知識(shí)求相關(guān)的范圍.第二步：尋找聯(lián)想.是頂角為、腰為4的等腰三角形，的半徑為1，是劣弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍.有題圖，可以考慮建系；也可以考慮取三角形底邊的中點(diǎn)，用幾何法解決.第三步：確定方法并運(yùn)算，運(yùn)用坐標(biāo)法處理，結(jié)合三角函數(shù)進(jìn)行處理.方法一：坐標(biāo)法如圖3，以為原點(diǎn)，垂直于的直線(xiàn)為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，其中.所以.圖3因?yàn)?，所?方法二：幾何法如圖4，取的中點(diǎn)，連接，則兩個(gè)動(dòng)向量均可用一個(gè)動(dòng)向量和一個(gè)定向量表示..圖4因?yàn)闉槎ㄖ?，所以的變化可由的變化確定.連接，易得，當(dāng)為劣弧與的交點(diǎn)時(shí)，取得最小值，為；連接，的最大值為.所以的取值范圍是，即.第四步：得出結(jié)論所以一、單選題（22-23高三下·黑龍江大慶·期中）1．在中.已知是延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn).點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn).若.且.則(

)A． B． C． D．（22-23高三下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）2．如圖，在中，已知，，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，且，，其中，，且，若線(xiàn)段EF，BC的中點(diǎn)分別為M，N，則的最小值為（

）A． B． C． D．（22-23高三上·山西呂梁·期中）3．如圖，在中，O為線(xiàn)段BC上一點(diǎn)，且，G為線(xiàn)段AO的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G的直線(xiàn)分別交直線(xiàn)AB，AC于D，E兩點(diǎn)，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．2（2023·湖北武漢·一模）4．在中，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，為線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上任一異于的點(diǎn)，則A． B． C． D．7（22-23高三上·浙江·開(kāi)學(xué)考試）5．婆羅摩芨多是公元7世紀(jì)的古印度偉大數(shù)學(xué)家，曾研究過(guò)對(duì)角線(xiàn)互相垂直的圓內(nèi)接四邊形，我們把這類(lèi)四邊形稱(chēng)為婆羅摩芨四邊形．如圖，已知圓O內(nèi)接四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)EF分別交一組對(duì)邊AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，且，則①；②；③為定值；④，以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4（22-23高三上·浙江溫州·期末）6．在面積為2的中，，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線(xiàn)上，則的最小值是（

）A．1 B．2 C． D．二、填空題（22-23高三上·江蘇南通·期中）7．如圖，在三角形中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，過(guò)作的垂線(xiàn)，垂足為，若，則．

（22-23高三上·天津南開(kāi)·期末）8．如圖，在中，，，，，分別是邊，上的點(diǎn)，，且，則，若是線(xiàn)段的中點(diǎn)，且，則.（23-24高三上·天津東麗·期中）9．在中，，面積為，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，，設(shè)，，則用，表示為；若點(diǎn)F為的中點(diǎn)，則的最小值為．（22-23高三下·浙江·期中）10．如圖，設(shè)中的角所對(duì)的邊是，已知，，點(diǎn)分別為邊上的動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段交于點(diǎn)，且，若，則.（2023·天津津南·模擬預(yù)測(cè)）11．在中，是邊的中點(diǎn)，是線(xiàn)段的中點(diǎn).設(shè)，試用表示為；若的面積為，則當(dāng)時(shí)，取得最小值.（22-23高三下·重慶南岸·期中）12．如圖，在中，已知，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且，，點(diǎn)F為線(xiàn)段DE上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是.

（2023·天津·一模）13．如圖，在中，，D,E分別邊AB,AC上的點(diǎn),且，則，若P是線(xiàn)段DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.（22-23高三上·天津和平·期末）14．如圖，在中，，，D，E分別是直線(xiàn)，上的點(diǎn)，，，且，則．若P是線(xiàn)段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．（22-23高三上·北京密云·期中）15．如圖，在中，，，.為內(nèi)部（包含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且.則；的取值范圍.答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)參考答案：1．A【分析】通過(guò)利用向量的三角形法則,以及向量共線(xiàn),由,,,求解,結(jié)合條件,即可求得答案.【詳解】,,,可得:由故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的三角形法則,解題關(guān)鍵是掌握向量的基礎(chǔ)知識(shí),考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.2．C【分析】根據(jù)平面向量加法的運(yùn)算法則，結(jié)合平面向量基本定理和平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，所以因?yàn)?，，所以，?dāng)時(shí)，有最小值，最小值為，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用平面向量加法的運(yùn)算法則，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3．C【分析】根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算的幾何表示及向量共線(xiàn)可得，然后利用基本不等式即得.【詳解】因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)镚為線(xiàn)段AO的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，，所以，因?yàn)镈、G、E三點(diǎn)共線(xiàn)，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．故選：C.4．A【分析】利用勾股定理求得，利用向量垂直的性質(zhì)可得，利用平面向量運(yùn)算的平行四邊形法則與三角形法則，可得，從而可得結(jié)果.【詳解】由，得，，由勾股定理，得，因?yàn)闉榫€(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上任一異于的點(diǎn)，所以，可得，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的幾何運(yùn)算及數(shù)量積公式、向量的夾角，屬于中檔題．向量的幾何運(yùn)算法則是：（１）平行四邊形法則（平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)分別是兩向量的和與差）；（２）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）．5．D【分析】對(duì)于①：根據(jù)圓的性質(zhì)可得，由此可判斷；對(duì)于②：根據(jù)平面幾何知識(shí)可得，，由此可判斷；對(duì)于③：由勾股定理可判斷；對(duì)于④：根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算和向量數(shù)量積運(yùn)用可判斷.【詳解】解：對(duì)于①：因?yàn)椋?，所以點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，且有PF=CF=FD，所以，又，，所以，所以，所以，故①正確；對(duì)于②：連接CO并延長(zhǎng)交圓O于G，連接GD，則，又，所以，且，又，，，所以，所以，所以，即，故②正確；對(duì)于③：，CG為圓的直徑，所以為定值，故③正確；對(duì)于④：，又，所以，所以，故④正確，所以正確的命題的個(gè)數(shù)是4個(gè)，故選：D.6．C【解析】根據(jù)平面幾何知識(shí)，結(jié)合三角形面積公式，可得，即可求得的表達(dá)式，由余弦定理結(jié)合基本不等式，可得，進(jìn)而可得的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最小值，即可得答案.【詳解】因?yàn)椋謩e是，的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線(xiàn)上，所以EF到BC的距離即為點(diǎn)A到BC距離的一半，所以的面積=2的面積，即，設(shè)角，，所以，即，所以，由余弦定理得：，顯然，所以，所以，所以，令，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，函數(shù)為減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)有最小值，且為，所以的最小值是.故選：C【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)量積公式，面積公式，基本不等式等，并靈活應(yīng)用，易錯(cuò)點(diǎn)為當(dāng)在為減函數(shù)，所以為先減后增函數(shù)，即有最小值，考查分析理解，計(jì)算求值的能力，綜合性強(qiáng)，屬中檔題.7．32【分析】根據(jù)線(xiàn)段對(duì)應(yīng)向量的位置關(guān)系，利用向量加減、數(shù)量積運(yùn)算律及幾何意義得到，即可求結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，，又，故，由及數(shù)量積幾何意義，則.故答案為：328．【分析】由向量的數(shù)量積計(jì)算可得，平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算可得，由平面向量的基本定理可得的值，進(jìn)而可得結(jié)論.【詳解】由，，所以，所以；由是的中點(diǎn)，所以,所以又，所以，化簡(jiǎn)可得，又，所以，所以故答案為:9．##0.5【分析】根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算，結(jié)合為的中點(diǎn)進(jìn)行求解；用表示出，結(jié)合上一空答案，于是可由表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算和基本不等式求解.【詳解】因?yàn)?，則，可得;因?yàn)辄c(diǎn)F為的中點(diǎn)，，則，可得，得到，即，即.于是.記，則，在中，，由基本不等式,于是，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào)，則時(shí)，有最小值.故答案為：；.10．【分析】由向量的線(xiàn)性運(yùn)算結(jié)合三點(diǎn)共線(xiàn)可得，由三角形的面積滿(mǎn)足的關(guān)系可得，聯(lián)立即可求解，，由向量的模長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】設(shè)，三點(diǎn)共線(xiàn)，.①又，.②,由①②得或（舍去）,故，,（或者在中可以用余弦定理求出.）故答案為：11．2【分析】根據(jù)向量加減法的線(xiàn)性運(yùn)算即可求解，由的面積求得的值，利用平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算求出，利用基本不等式求出它取最小值時(shí)、的值，再利用余弦定理求出的值．【詳解】是邊的中點(diǎn)，是線(xiàn)段的中點(diǎn)，則，所以如圖所示，中，，所以的面積為，所以；所以；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為6；所以此時(shí)，，，所以，所以．故答案為：；2．

12．【分析】運(yùn)用平面向量基本定理和數(shù)量積的定義，將表示為某變量的函數(shù)，進(jìn)而求出取值范圍即可.【詳解】因?yàn)?，所以，，設(shè)，則，，則，對(duì)于，其開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得最大值，當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以的取值范圍是.故答案為：13．1【解析】由利用數(shù)量積公式可求的值為1，設(shè)的長(zhǎng)為，則，，利用平面向量的幾何運(yùn)算法則結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算法則，可得，再利用配方法可得結(jié)果【詳解】，；又因?yàn)榍?，為正三角形，，，，設(shè)的長(zhǎng)為（），則，，時(shí)取等號(hào)，的最小值為.故答案為：1，.【點(diǎn)睛】向量的運(yùn)算有兩種方法，一是幾何運(yùn)算往往結(jié)合平面幾何知識(shí)和三角函數(shù)知識(shí)解答，運(yùn)算法則是：（１）平行四邊形法則（平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)分別是兩向量的和與差）；（２）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）平面向量數(shù)量積的計(jì)算問(wèn)題，往往有兩種形式，一是利用數(shù)量積的定義式，二是利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，涉及幾何圖形的問(wèn)題，先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，可起到化繁為簡(jiǎn)的妙用．14．【分析】由題可知，，由，可得，代入相應(yīng)數(shù)據(jù)即可求得的值，從而求得；設(shè)，，根據(jù)平面向量的混合運(yùn)算可推出，再利用配方法即可得解．【詳解】∵，，∴，，∵，∴，解得，∵，∴．設(shè)，，∴，∴當(dāng)時(shí)，有最小值，為．故答案為：；．【點(diǎn)睛】(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．(2)用向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決．15．4【分析】方法1：①由正弦定理求得，進(jìn)而可求得b，可得在是等腰三角形，取BC的中點(diǎn)E，在中可求得AE，再由可求得的值.②設(shè)，，則展開(kāi)計(jì)算，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)在給定區(qū)間上求值域，即可得結(jié)果.方法2：①由余弦定理求得