二次函數(shù)新定義問題

二次函數(shù)新定義問題專題訓(xùn)練(四)與二次函數(shù)相關(guān)的新定義問題?類型之一應(yīng)用型：閱讀——理解——建?！獞?yīng)用圖4－ZT－11．2017·巴中如圖4－ZT－1，我們把一個半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”，點A，B，C，D分別是“蛋圓”與坐標(biāo)軸的交點，AB為半圓的直徑，且拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2－2x－3，則半圓圓心M點的坐標(biāo)為________.2．一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對稱圖形時，我們稱該函數(shù)為“偶函數(shù)”．如果二次函數(shù)y＝x2＋bx－4是“偶函數(shù)”，該函數(shù)的圖象與x軸交于點A和點B，頂點為P，那么△ABP的面積是________．3．2017·余杭區(qū)一模如果兩個二次函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，我們就稱這兩個二次函數(shù)互為“關(guān)于y軸對稱二次函數(shù)”，如圖4－ZT－2所示，二次函數(shù)y1＝x2＋2x＋2與y2＝x2－2x＋2是“關(guān)于y軸對稱二次函數(shù)”．(1)直接寫出兩條圖中“關(guān)于y軸對稱二次函數(shù)”圖象所具有的特點．(2)二次函數(shù)y＝2(x＋2)2＋1的“關(guān)于y軸對稱二次函數(shù)”表達(dá)式為____________；二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k的“關(guān)于y軸對稱二次函數(shù)”表達(dá)式為____________．(3)平面直角坐標(biāo)系中，記“關(guān)于y軸對稱二次函數(shù)”的圖象與y軸的交點為A，它們的兩個頂點分別為B，C，且BC＝6，順次連結(jié)點A，B，O，C得到一個面積為24的菱形，求“關(guān)于y軸對稱二次函數(shù)”的表達(dá)式．圖4－ZT－2?類型之二探究型：閱讀——理解——嘗試——探究4．若拋物線y＝ax2＋bx＋c過定點M(1，1)，則稱此拋物線為定點拋物線．(1)張老師在投影屏幕上出示了一個題目：請你寫出一條定點拋物線的函數(shù)表達(dá)式．小敏寫出了一個答案：y＝2x2＋3x－4，請你寫出一個不同于小敏的答案；(2)張老師又在投影屏幕上出示了一個思考題：已知定點拋物線y＝－x2＋2bx＋c＋1，求該拋物線頂點縱坐標(biāo)的值最小時的函數(shù)表達(dá)式．請你解答．5．2017·衢州定義：如圖4－ZT－3①，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于A，B兩點，點P在該拋物線上(點P與A，B兩點不重合)，若△ABP的三邊滿足AP2＋BP2＝AB2，則稱點P為拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的勾股點．(1)直接寫出拋物線y＝－x2＋1的勾股點的坐標(biāo)；(2)如圖②，已知拋物線C：y＝ax2＋bx(a≠0)與x軸交于A，B兩點，點P(1，eq\r(3))是拋物線C的勾股點，求拋物線C的函數(shù)表達(dá)式；(3)在(2)的條件下，點Q在拋物線C上，求滿足條件S△ABQ＝S△ABP的點Q(異于點P)的坐標(biāo)．圖4－ZT－36．2017·嵊州市模擬在平面直角坐標(biāo)系中，我們把直線y＝ax＋c稱為拋物線y＝ax2＋bx＋c的生成線，拋物線與它生成線的交點稱為拋物線的生成點，例如：拋物線y＝x2－2的生成線是直線y＝x－2，生成點是(0，－2)和(1，－1)．(1)若拋物線y＝mx2－5x－2的生成線是直線y＝－3x－n，求m與n的值．(2)已知拋物線y＝x2－3x＋3如圖4－ZT－4所示，若它的一個生成點是(m，m＋3)．①求m的值．②若拋物線y＝x2＋px＋q是由拋物線y＝x2－3x＋3平移所得(不重合)，且同時滿足以下兩個條件：一是這兩個拋物線具有相同的生成線；二是若拋物線y＝x2－3x＋3的生成點為點A，B，拋物線y＝x2＋px＋q的生成點為點C，D，則AB＝CD.求p與q的值．圖4－ZT－47．2017·隨州在平面直角坐標(biāo)系中，我們定義直線y＝ax－a為拋物線y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)的“夢想直線”；有一個頂點在拋物線上，另有一個頂點在y軸上的三角形為其“夢想三角形”．已知拋物線y＝－eq\f(2\r(3),3)x2－eq\f(4\r(3),3)x＋2eq\r(3)與其“夢想直線”交于A，B兩點(點A在點B的左側(cè))，與x軸負(fù)半軸交于點C.(1)填空：該拋物線的“夢想直線”的函數(shù)表達(dá)式為__________________，點A的坐標(biāo)為________，點B的坐標(biāo)為________．(2)如圖4－ZT－5，M為線段CB上一動點，將△ACM以AM所在直線為對稱軸翻折，點C的對稱點為N，若△AMN為該拋物線的“夢想三角形”，求點N的坐標(biāo)．(3)當(dāng)點E在拋物線的對稱軸上運(yùn)動時，在該拋物線的“夢想直線”上，是否存在點F，使得以點A，C，E，F(xiàn)為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點E，F(xiàn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．圖4－ZT－5?類型之三概括型：閱讀——理解——概括——拓展8．2017·郴州設(shè)a，b是任意兩個實數(shù)，用max{a，b}表示a，b兩數(shù)中較大者，例如：max{－1，－1}＝－1，max{1，2}＝2，max{4，3}＝4，參照上面的材料，解答下列問題：(1)max{5，2}＝________，max{0，3}＝________；(2)若max{3x＋1，－x＋1}＝－x＋1，求x的取值范圍；(3)求函數(shù)y＝x2－2x－4與y＝－x＋2的圖象的交點坐標(biāo)，函數(shù)y＝x2－2x－4的圖象如圖4－ZT－6所示，請你在圖中作出函數(shù)y＝－x＋2的圖象，并根據(jù)圖象直接寫出max{－x＋2，x2－2x－4}的最小值．圖4－ZT－6詳解詳析1．(1，0)[解析]解x2－2x－3＝0得x1＝－1，x2＝3，所以拋物線與x軸交于點A(－1，0)，B(3，0)，所以AB＝4，所以點M的坐標(biāo)為(1，0)．2．8[解析]∵二次函數(shù)y＝x2＋bx－4是“偶函數(shù)”，∴－eq\f(b,2×1)＝0，∴b＝0，∴函數(shù)表達(dá)式為y＝x2－4，令y＝0，則x2－4＝0，解得x1＝－2，x2＝2，∴A(－2，0)，B(2，0)，∴AB＝2－(－2)＝4.令x＝0，則y＝－4，∴點P的坐標(biāo)為(0，－4)，∴△ABP的面積＝eq\f(1,2)×4×4＝8.3．解：(1)頂點關(guān)于y軸對稱，對稱軸關(guān)于y軸對稱．(答案不唯一)(2)y＝2(x－2)2＋1y＝a(x＋h)2＋k(3)(答案不唯一)如圖，由BC＝6，順次連結(jié)點A，B，O，C得到一個面積為24的菱形，得OA＝8，點A的坐標(biāo)為(0，8)，點B的坐標(biāo)為(－3，4)．設(shè)左側(cè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝a(x＋3)2＋4，將點A的坐標(biāo)代入，得9a＋4＝8，解得a＝eq\f(4,9)，故y＝eq\f(4,9)(x＋3)2＋4，其“關(guān)于y軸對稱二次函數(shù)”的表達(dá)式為y＝eq\f(4,9)(x－3)2＋4.根據(jù)對稱性，開口向下的拋物線也符合題意，“關(guān)于y軸對稱二次函數(shù)”的表達(dá)式為y＝－eq\f(4,9)(x＋3)2－4和y＝－eq\f(4,9)(x－3)2－4.4．解：(1)答案不唯一，合理即可．(2)因為拋物線的函數(shù)表達(dá)式可化為y＝－(x2－2bx＋b2)＋b2＋c＋1＝－(x－b)2＋b2＋c＋1，所以此定點拋物線的頂點坐標(biāo)為(b，b2＋c＋1)．因為拋物線過定點M(1，1)，將其代入函數(shù)表達(dá)式可得－1＋2b＋c＋1＝1，解得c＝1－2b，則頂點縱坐標(biāo)b2＋c＋1＝b2＋1－2b＋1＝(b－1)2＋1，所以當(dāng)b＝1時，b2＋c＋1的值最小為1，此時c＝1－2b＝1－2×1＝－1.故拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝－x2＋2x.5．解：(1)拋物線y＝－x2＋1的勾股點的坐標(biāo)為(0，1)．(2)拋物線y＝ax2＋bx過原點，即點A(0，0)．如圖，過點P作PG⊥x軸于點G.∵點P的坐標(biāo)為(1，eq\r(3))，∴AG＝1，PG＝eq\r(3)，PA＝eq\r(AG2＋PG2)＝eq\r(12＋（\r(3)）2)＝2，∴∠PAG＝60°，∴AB＝2PA＝4，∴點B的坐標(biāo)為(4，0)．設(shè)拋物線C的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax(x－4)，將P(1，eq\r(3))代入得a＝－eq\f(\r(3),3)，∴y＝－eq\f(\r(3),3)x(x－4)＝－eq\f(\r(3),3)x2＋eq\f(4\r(3),3)x.(3)①當(dāng)點Q在x軸上方時，由S△ABQ＝S△ABP知點Q的縱坐標(biāo)為eq\r(3)，則有－eq\f(\r(3),3)x2＋eq\f(4\r(3),3)x＝eq\r(3)，解得x1＝3，x2＝1，∴點Q的坐標(biāo)為(3，eq\r(3))；②當(dāng)點Q在x軸下方時，由S△ABQ＝S△ABP知點Q的縱坐標(biāo)為－eq\r(3)，則有－eq\f(\r(3),3)x2＋eq\f(4\r(3),3)x＝－eq\r(3)，解得x1＝2＋eq\r(7)，x2＝2－eq\r(7)，∴點Q的坐標(biāo)為(2＋eq\r(7)，－eq\r(3))或(2－eq\r(7)，－eq\r(3))．綜上，滿足條件的點Q有3個，其坐標(biāo)為(3，eq\r(3))或(2＋eq\r(7)，－eq\r(3))或(2－eq\r(7)，－eq\r(3))．6．解：(1)∵拋物線y＝mx2－5x－2的生成線是直線y＝－3x－n，∴m＝－3，－n＝－2，∴n＝2.(2)①∵拋物線y＝x2－3x＋3的一個生成點是(m，m＋3)，∴m＋3＝m2－3m＋3，整理，得m2－4m＝0，解得m＝0或4.②∵拋物線y＝x2＋px＋q是由拋物線y＝x2－3x＋3平移所得(不重合)，且這兩個拋物線具有相同的生成線，∴q＝3.∵拋物線y＝x2－3x＋3與它生成線y＝x＋3的生成點為(0，3)，(4，7)，∴AB2＝(4－0)2＋(7－3)2＝32.∵拋物線y＝x2＋px＋3與它生成線y＝x＋3的生成點為(0，3)，(1－p，4－p)，∴CD2＝(1－p－0)2＋(4－p－3)2＝2(1－p)2.∵AB＝CD，∴2(1－p)2＝32，∴p＝5或－3.∵拋物線y＝x2＋px＋3與拋物線y＝x2－3x＋3不重合，(3)E1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(4\r(3),3)))，F(xiàn)1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)))；E2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(4\r(3),3)))，F(xiàn)2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，\f(10\r(3),3))).8．解：(1)53(2)由題意可