專題 平行線的判定與性質(zhì)（解析版）-七年級數(shù)學下冊

專題02平行線的判定與性質(zhì)1．（2022秋?項城市期末）如圖，已知∠B＝∠ADE，∠EDC＝∠GFB，GF⊥AB，求證：CD⊥AB．把以下證明過程補充完整，并在括號內(nèi)填寫理由或數(shù)學式．證明：∵∠B＝∠ADE（已知）∴DE∥BC（同位角相等，兩直線平行）∴∠EDC＝∠DCB（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）又∠EDC＝∠GFB（已知）∴∠DCB＝∠GFB（等量代換）∴GF∥CD（同位角相等，兩直線平行）【分析】根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)即可證得．【解答】證明：∵∠B＝∠ADE（已知），∴DE∥BC（同位角相等；兩直線平行），∴∠EDC＝∠DCB（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），又∠EDC＝∠GFB（已知），∴∠DCB＝∠DFG（等量代換），∴GF∥CD（同位角相等，兩直線平行），故答案為：DE，BC，同位角相等，兩直線平行，兩直線平行，內(nèi)錯角相等，∠GFB，GF，CD，同位角相等，兩直線平行．2．（2023秋?道里區(qū)校級期中）將下面的解答過程補充完整：如圖，已知DE∥BC，EF平分∠CED，∠A＝∠CFE，那么EF與AB平行嗎？為什么？解：因為DE∥BC（已知），所以∠DEF＝∠CFE（兩直線平行，內(nèi)錯角相等①），因為EF平分∠CED（已知），所以∠DEF＝∠CFE②（角平分線的定義），所以∠CFE＝∠CEF（等量代換③），因為∠A＝∠CFE（已知），所以∠A＝∠CEF④（等量代換），所以EF∥AB（同位角相等，兩直線平行⑤）．【分析】先根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，得到∠DEF＝∠CFE，再根據(jù)角平分線得出∠DEF＝∠CEF，進而得到∠CFE＝∠CEF，再根據(jù)∠A＝∠CFE，即可得出∠A＝∠CEF，進而根據(jù)同位角相等，兩直線平行，判定EF∥BC．【解答】解：因為DE∥BC（已知），所以∠DEF＝∠CFE（兩直線平行，內(nèi)錯角相等①），因為EF平分∠CED（已知），所以∠DEF＝∠CFE②（角平分線的定義），所以∠CFE＝∠CEF（等量代換③），因為∠A＝∠CFE（已知），所以∠A＝∠CEF④（等量代換），所以EF∥AB（同位角相等，兩直線平行⑤）故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等，∠CFE．等量代換，∠CEF，同位角相等，兩直線平行．3．（2022秋?尤溪縣期末）如圖，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3．（1）求證：DE∥BC；（2）若∠C＝76°，∠AED＝2∠3，求∠CEF的度數(shù)．【分析】（1）由已知條件可證得AB∥EF，從而有∠B＝∠EFC，則得∠3＝∠EFC，得證DE∥BC；（2）由（1）得DE∥BC，利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補可求解．【解答】（1）證明：∵∠1+∠2＝180°，∠2＝∠4，∴AB∥EF，∴∠B＝∠EFC，∵∠B＝∠3，∴∠3＝∠EFC，∴DE∥BC；（2）解：∵DE∥BC，∠C＝76°，∴∠C+∠DEC＝180°，∠AED＝∠C＝76°，∵∠AED＝2∠3，∴∠3＝38°∵∠DEC＝180°﹣∠C＝104°，∴∠CEF＝∠DEC﹣∠3＝104°﹣38°＝66°．4．（2023秋?懷寧縣期中）如圖，已知EF∥CD，數(shù)學課上，老師請同學們根據(jù)圖形特征添加一個關(guān)于角的條件，使得∠BEF＝∠CDG，并給出證明過程．小明添加的條件：∠B＝∠ADG．請你幫小明將下面的證明過程補充完整．證明：∵EF∥CD（已知）∴∠BEF＝∠BCD（兩直線平行，同位角相等）∵∠B＝∠ADG（添加條件）∴BC∥DG（同位角互補，兩直線平行）∴∠CDG＝∠BCD（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∴∠BEF＝∠CDG（等量代換）．【分析】證明BC∥DG即可解答．【解答】證明：∵EF∥CD（已知），∴∠BEF＝∠BCD（兩直線平行，同位角相等），∵∠B＝∠ADG，∴BC∥DG（同位角相等，兩直線平行），∴∠CDG＝∠BCD（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∴∠BEF＝∠CDG（等量代換）；故答案為：∠BCD，兩直線平行，同位角相等；DG，同位角互補，兩直線平行；∠BCD，兩直線平行，內(nèi)錯角相等，等量代換．5．（2022秋?長春期末）請把以下證明過程補充完整，并在下面的括號內(nèi)填上推理理由：已知：如圖，∠1＝∠2，∠A＝∠D．求證：∠B＝∠C證明：∵∠1＝∠2，（已知）又：∵∠1＝∠3，對頂角相等∴∠2＝∠3，（等量代換）∴AE∥FD同位角相等，兩直線平行∴∠A＝∠BFD兩直線平行，同位角相等∵∠A＝∠D（已知）∴∠D＝∠BFD（等量代換）∴AB∥CD內(nèi)錯角相等，兩直線平行∴∠B＝∠C兩直線平行，內(nèi)錯角相等．【分析】先根據(jù)題意得出∠2＝∠3，故可得出AE∥FD，故∠A＝∠BFD，再由∠A＝∠D可得出∠D＝∠BFD，故可得出AB∥CD，進而可得出結(jié)論．【解答】證明：∵∠1＝∠2（已知），又∵∠1＝∠3對頂角相等，∴∠2＝∠3（等量代換），∴AE∥FD（同位角相等，兩直線平行），∴∠A＝∠BFD（兩直線平行，同位角相等）．∵∠A＝∠D（已知），∴∠D＝∠BFD（等量代換），∴AB∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．∴∠B＝∠C（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．故答案為：對頂角相等；∠3；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；∠BFD；AB，內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．6．（2022秋?閩清縣期末）如圖，AB∥CD，E是BC的延長線上的一點，AE交CD于點F，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求證：（1）∠B＝∠D；（2）AD∥BE．【分析】（1）根據(jù)∠3＝∠4，可得∠AFD＝∠3，再由三角形內(nèi)角和定理，即可求證；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠B+∠BCD＝180°，從而得到∠BCD+∠D＝180°，即可求證．【解答】證明：（1）∵∠AFD＝∠4，∠3＝∠4，∴∠AFD＝∠3，∵∠B＝180°﹣∠1﹣∠3，∠D＝180°﹣∠2﹣∠AFD，又∠1＝∠2，∴∠B＝∠D；（2）∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD＝180°，∵∠B＝∠D．∴∠BCD+∠D＝180°，∴AD∥BE．7．（2023春?石城縣期末）如圖，已知∠ABC＝180°﹣∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于E．（1）求證：AD∥BC；（2）若∠ADB＝36°，求∠EFC的度數(shù)．【分析】（1）求出∠ABC+∠A＝180°，根據(jù)平行線的判定推出即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠DBC，根據(jù)垂直推出BD∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出∠EFC．【解答】（1）證明：∵∠ABC＝180°﹣∠A，∴∠ABC+∠A＝180°，∴AD∥BC；（2）∵AD∥BC，∠ADB＝36°，∴∠DBC＝∠ADB＝36°，∵BD⊥CD，EF⊥CD，∴BD∥EF，∴∠DBC＝∠EFC＝36°8．（2022秋?淇縣期末）如圖，已知AD∥FE，∠1＝∠2．（1）試說明DG∥AC；（2）若∠BAC＝70°，求∠AGD的度數(shù)．【分析】（1）只要證明∠2＝∠DAC即可．（2）利用平行線的性質(zhì)解決問題即可．【解答】解：（1）∵AD∥EF，∴∠1＝∠DAC，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠DAC，∴DG∥AC．（2）∵DG∥AC，∴∠AGD+∠BAC＝180°，∵∠BAC＝70°，∴∠AGD＝110°9．（2022秋?禪城區(qū)期末）已知：如圖，點D，E，F(xiàn)分別是三角形ABC的邊BC，CA，AB上的點，DF∥CA，∠FDE＝∠A；（1）求證：DE∥BA．（2）若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定方法證明即可；（2）設(shè)∠EDC＝x°，由∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC可得∠BFD＝∠BDF＝2x°，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DFB＝∠FDE＝2x°，再根據(jù)平角的定義列方程可得x的值，進而得出∠B的度數(shù)．【解答】解：（1）證明：∵DF∥CA，∴∠DFB＝∠A，又∵∠FDE＝∠A，∴∠DFB＝∠FDE，∴DE∥AB；（2）設(shè)∠EDC＝x°，∵∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，∴∠BFD＝∠BDF＝2x°，由（1）可知DE∥BA，∴∠DFB＝∠FDE＝2x°，∴∠BDF+∠EDF+∠EDC＝2x°+2x°+x°＝180°，∴x＝36，又∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC＝36°．30．（2023春?驛城區(qū)校級期末）如圖，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．（1）試說明：AD∥EF；（2）若DG是∠ADC的平分線，∠2＝142°，求∠B的度數(shù)．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可得∠BAD＝∠1，從而可求得∠BAD+∠2＝180°，即可判斷；（2）由題意可求得∠1＝38°，再由角平分線的定義可得∠CDG＝∠1＝38°，再利用平行線的性質(zhì)即可求解．【解答】（1）證明：∵AB∥DG，∴∠BAD＝∠1，∵∠1+∠2＝180°，∴∠BAD+∠2＝180°，∴AD∥EF；（2）解：∵∠1+∠2＝180°，∠2＝142°，∴∠1＝38°，∵DG是∠ADC的平分線，∴∠CDG＝∠1＝38°，∵AB∥DG，∴∠B＝∠CDG＝38°．11．（2023秋?香坊區(qū)校級期中）完成下面推理過程，并在括號里填寫推理依據(jù)：如圖，已知：AB∥EF，EP⊥EQ，∠EQC+∠APE＝90°，求證：AB∥CD．證明：∵AB∥EF（已知），∴∠APE＝∠PEF，∵EP⊥EQ（已知），∴∠PEQ＝90°），即∠QEF+∠PEF＝90°，∴∠QEF+∠APE＝90°，∵∠EQC+∠APE＝90°（已知），∴∠EQC＝∠QEF（同角的余角相等），∴EF∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），又∵AB∥EF，∴AB∥CD（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)、判定填空即可．【解答】解：∵AB∥EF，∴∠APE＝∠PEF．∵EP⊥EQ，∴∠PEQ＝90°（垂直的定義）．即∠QEF+∠PEF＝90°．∴∠APE+∠QEF＝90°．∵∠EQC+∠APE＝90°，∴∠EQC＝∠QEF（同角的余角相等）．∴EF∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．∴AB∥CD（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）．故答案為：PEF；∠QEF；同角的余角相等；CD，內(nèi)錯角相等，兩直線平行；如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．12．（2022秋?鄧州市期末）如圖，點M在CD上，已知∠BAM+∠AMD＝180°，AE平分∠BAM，MF平分∠AMC，請說明AE∥MF的理由．解：因為∠BAM+∠AMD＝180°（已知），∠AMC+∠AMD＝180°（平角的定義），所以∠BAM＝∠AMC（等量代換）．因為AE平分∠BAM，所以∠BAM（角平分線的定義）．因為MF平分∠AMC，所以∠AMC，得∠1＝∠2（等量代換），所以AE∥MF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．【分析】根據(jù)角平分線的定義，平行線的判定定理完成填空即可求解．【解答】解：因為∠BAM+∠AMD＝180°（已知），∠AMC+∠AMD＝180°（平角的定義），所以∠BAM＝∠AMC（等量代換）．因為AE平分∠BAM，所以∠BAM（角平分線的定義）．因為MF平分∠AMC，所以∠AMC，得∠1＝∠2（等量代換），所以AE∥MF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）故答案為：已知；平角的定義；等量代換；∠BAM；角平分線的定義；∠AMC；∠1＝∠2；等量代換；AE∥MF；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．13．（2022秋?桐柏縣期末）完成下面推理過程．如圖：已知，∠A＝112°，∠ABC＝68°，BD⊥DC于點D，EF⊥DC于點F，求證：∠1＝∠2．證明：∵∠A＝112°，∠ABC＝68°（已知）∴∠A+∠ABC＝180°∴AD∥BC（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）∴∠1＝∠3（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∵BD⊥DC，EF⊥DC（已知）∴∠BDF＝90°，∠EFC＝90°（垂直的定義）∴∠BDF＝∠EFC＝90°∴BD∥EF（同位角相等，兩直線平行）∴∠2＝∠3（兩直線平行，同位角相等）∴∠1＝∠2（等量代換）【分析】根據(jù)推理過程，填上依據(jù)即平行線的性質(zhì)或者判定．【解答】證明：∵∠A＝112°，∠ABC＝68°（已知），∴∠A+∠ABC＝180°．∴AD∥BC（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）．∴∠1＝∠3（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．∵BD⊥DC，EF⊥DC（已知），∴∠BDF＝90°，∠EFC＝90°（垂直的定義）．∴∠BDF＝∠EFC＝90°．∴BD∥EF（同位角相等，兩直線平行）．∴∠2＝∠3（兩直線平行，同位角相等）．∴∠1＝∠2（等量代換）．故答案為：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；∠3；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；垂直的定義；同位角相等，兩直線平行；∠3；兩直線平行，同位角相等；等量代換．14．（2023秋?天山區(qū)校級期中）已知，GP平分∠BGH，HP平分∠GHD，∠GPH＝90°．（1）求證：AB∥CD；（2）若∠AGE＝60°，求∠4的度數(shù)．【分析】（1）依據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得到∠1+∠3＝90°，再根據(jù)角平分線的定義，即可得到∠BGH+∠DHG＝2（∠1+∠3）＝180°，進而得出AB∥CD；（2）依據(jù)對頂角相等以及平行線的性質(zhì)，即可得到∠DHG＝180°﹣60°＝120°，再根據(jù)HP平分∠GHD，即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵∠GPH＝90°，∴△GHP中，∠1+∠3＝90°，又∵GP平分∠BGH，HP平分∠GHD，∴∠BGH＝2∠1，∠DHG＝2∠3，∴∠BGH+∠DHG＝2（∠1+∠3）＝180°，∴AB∥CD；（2）∵∠BGH＝∠AGE＝60°，∴∠DHG＝180°﹣60°＝120°，又∵HP平分∠GHD，∴∠4＝∠DHG＝×120°＝60°．15．（2023春?覃塘區(qū)期末）如圖：已知，∠HCO＝∠EBC，∠BHC+∠BEF＝180°．（1）求證：EF∥BH；（2）若BH平分∠EBO，EF⊥AO于F，∠HCO＝64°，求∠CHO的度數(shù)．【分析】（1）要證明EF∥BH，可通過∠E與∠EBH互補求得，利用平行線的性質(zhì)說明∠EBH＝∠CHB可得結(jié)論．（2）要求∠CHO的度數(shù)，可通過平角和∠FHC求得，利用（1）的結(jié)論及角平分線的性質(zhì)求出∠FHB及∠BHC的度數(shù)即可．【解答】證明：（1）∵∠HCO＝∠EBC，∴EB∥HC．∴∠EBH＝∠CHB．∵∠BHC+∠BEF＝180°，∴∠EBH+∠BEF＝180°．∴EF∥BH．（2）解：∵∠HCO＝∠EBC，∴∠HCO＝∠EBC＝64°，∵BH平分∠EBO，∴∠EBH＝∠CHB＝∠EBC＝32°．∵EF⊥AO于F，EF∥BH，∴∠BHA＝90°．∴∠FHC＝∠BHA+∠CHB＝122°．∵∠CHO＝180°﹣∠FHC＝180°﹣122°＝58°．16．（2023春?新化縣期末）如圖，點E，F(xiàn)分別在AB，CD上，AF⊥CE，垂足為點O．已知∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°．（1）求證：AB∥CD；（2）若AF＝12，BF＝5，AB＝13，求點F到直線AB的距離．【分析】（1）應(yīng)用平行線的判定與性質(zhì)進行求解即可得出答案；（2）設(shè)點F到直線AB的距離為h，根據(jù)等面積法可得S△AFB＝，代入計算即可得出h的值，即可得出答案．【解答】（1）證明：因為∠l＝∠B（已知），所以CE∥BF（同位角相等，兩直線平行），因為AF⊥CE（已知），所以AF⊥BF（垂直的性質(zhì)），所以∠AFB＝90°（垂直的定義），又因為∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定義）．即∠AFC+∠2＝90°，又因為∠A+∠2＝90，所以∠AFC＝∠A（同角的余角相等），所以AB∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）；（2）解：因為AF⊥BF（已證），且AF＝12，BF＝5，AB＝13．設(shè)點F到直線AB的距離為h．所以S△AFB＝，所以，即h＝，所以點F到直線AB的距離為．17．（2023春?溫州月考）如圖，已知∠1＝∠3，∠2＝∠B．（1）試判斷DE與BC的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若DE平分∠ADC，∠1＝3∠B，求∠EFC的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)已知條件判定AB∥EF，再結(jié)合平行線的性質(zhì)可得∠ADE＝∠B，從而判定出最終結(jié)論．（2）設(shè)∠B＝x，結(jié)合已知條件，分別把∠1，∠ADE，∠ADC表示出來，根據(jù)∠ADB是平角列出方程，求出x的值，進而求出∠EFC的度數(shù)．【解答】解：（1）DE∥BC，理由如下：∵∠1＝∠3，∴AB∥EF，∴∠2＝∠ADE，∵∠2＝∠B，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC（2）設(shè)∠B＝x，則∠1＝3∠B＝3x，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝x，∵DE平分∠ADC，∴∠ADC＝2∠ADE＝2x，∴x＝36°，∴∠ADC＝2x＝72°，∵AB∥EF，∴∠EFC＝∠ADC＝72°18．（2023春?仙居縣期末）如圖是一個漢字“互”字，其中，AB∥CD，HF∥GE，∠HGE＝∠HFE，M、H、G三點在同一直線上，N、E、F三點在同一直線上．求證：（1）GH∥EF；（2）∠CMH＝∠BNE．【分析】（1）根據(jù)“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”和“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”證明即可；（2）延長EF，與CD交于點I．根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”和角的等量代換證明即可．【解答】證明：（1）∵HF∥GE，∴∠HFE+∠GEF＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）．又∵∠HGE＝∠HFE，∴∠HGE+∠GEF＝180°，∴GH∥EF（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）．（2）延長EF，與CD交于點I．∵GH∥EF，∴∠CMH＝∠MIF．又∵AB∥CD，∴∠MIF＝∠BNE．∴∠CMH＝∠BNE．19．（2022秋?東陽市期末）如圖，長方形紙片ABCD中，G、H分別是AB、CD邊上的動點，連GH，將長方形紙片ABCD沿著GH翻折，使得點B，C分別落在點E，F(xiàn)位置．（1）若∠BGH＝110°，求∠AGE的度數(shù)．（2）若∠FHD＝20°，求∠CHG的度數(shù)．（3）已知∠BGH和∠CHG始終互補，若∠BGH＝α，請直接寫出∠FHC的度數(shù)（含α的代數(shù)式）．【分析】（1）根據(jù)折疊得到∠BGH＝∠EGH＝110°，再根據(jù)平角的定義，利用∠AGE＝∠BGH+∠EGH﹣180°計算可得；（2）根據(jù)折疊得到∠CHG＝∠FHG，再根據(jù)平角的定義計算即可；（3）根據(jù)互補得到∠BGH+∠CHG＝180°，從而求出∠CHG＝∠FHG＝180°﹣α，繼而可得結(jié)果．【解答】解：（1）由折疊可得：∠BGH＝∠EGH＝110°，∵∠BGH+∠AGH＝180°，∴∠AGE＝∠BGH+∠EGH﹣180°＝40°；（2）由折疊可得：∠CHG＝∠FHG，∴；（3）∵∠BGH和∠CHG始終互補，∴∠BGH+∠CHG＝180°，∵∠BGH＝α，∴∠CHG＝180°﹣α，∴∠FHG＝180°﹣α，∴∠FHC＝∠FHG+∠CHG＝360°﹣2α．20．（2023春?金牛區(qū)校級期中）如圖1，直線GH與直線l1，l2分別交于B，A兩點，點C在直線l2上，射線AD平分∠BAC交直線l1于點E，∠GBE＝2∠BAE．（1）求證：直線l1∥l2；（2）如圖2，點Q在直線l1上（B點左側(cè)），AM平分∠BAQ交l1于點M，過點M作MN⊥AD交AD于點N，請猜想∠BQA與∠AMN的關(guān)系；并證明你的結(jié)論；（3）若點P是線段AB上一點，射線EP交直線l2于點F，∠GBE＝130°．點N在射線AD上，且滿足∠EBN＝∠EFC連接BN，請補全圖形，探究∠BNA與∠FEA滿足的等量關(guān)系，并證明．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠BAC＝2∠BAE，等量代換可得∠GBE＝∠BAC，根據(jù)平行線的判定定理，即可得證；（2）設(shè)∠DAB＝∠DAC＝α，∠BAM＝∠QAM＝β，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)得出∠BQA，∠AMN，即可求解；（3）根據(jù)題意補充圖形，分兩種情況討論，①當N在AE上時，設(shè)∠EBN＝∠EFC＝θ，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形的外角的性質(zhì)，分別表示出∠BNA，∠FEA，可的結(jié)論；②當點N在AE的延長線上時，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解．【解答】（1）證明：∵射線AD平分∠BAC交直線l1于點E，∠GBE＝2∠BAE，∴∠BAC＝2∠BAE，∴∠GBE＝∠BAC，∴l(xiāng)1∥l2；（2）解：∠BQA＝2∠AMN；理由如下，∵AD平分∠BAC，AM平分∠BAQ，∴，設(shè)∠DAB＝∠DAC＝α，∠BAM＝∠QAM＝β，∵MN⊥AD，∴∠MNA＝90°，則∠AMN＝90°﹣∠MAD＝90°﹣（∠MAB+∠DAB）＝90°﹣（α+β），∵l1∥l2，∴∠BQA＝180°﹣∠QAC＝180°﹣2（α+β），∴∠BQA＝2∠AMN；（3）解：∠BNA+∠FEA＝130°，理由如下，補全圖形，如圖所示，①當N在AE上時，∵∠EBN＝∠EFC，設(shè)∠EBN＝∠EFC＝θ，∵l1∥l2，∠GBE＝130°，∴∠BEF＝∠EFC＝θ，∠BAC＝∠GBE＝130°，∵AD平分∠BAC，，∵l1∥l2，∴∠BEA＝∠EAC＝65°，∴∠BNA＝∠NBE+∠BEN＝65°+θ，∠FEA＝∠NEB﹣∠BEF＝65°﹣θ，∴∠BNA+∠FEA＝130°，②如圖，當點N在AE的延長線上時，∠BNA＝∠FEA，∵l1∥l2，∴∠BEF＝∠EFC，∵∠EBN＝∠EFC，∴∠BEF＝∠EBN，∴BN∥EF，∴∠BNA＝∠FEA．21．（2023春?義烏市校級期中）今年除夕夜長江兩岸的燈光秀璀璨奪目，照亮山城的山水橋梁城市樓閣，人民歡欣鼓舞．觀看表演的小語同學發(fā)現(xiàn)兩岸的燈光運動是有規(guī)律的，如圖1所示，燈A射出的光線從AQ開始順時針旋轉(zhuǎn)至AP便立即回轉(zhuǎn)，燈B射出的光線從BM開始順時針旋轉(zhuǎn)至BN便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停旋轉(zhuǎn)．假設(shè)長江兩岸是平行的，即PQ∥MN，點A在PQ上，B、C、D在MN上，連接AB、AC、AD，已知AC平分∠BAP，AD平分∠CAP．（1）如圖1，若∠ABD＝40°，則∠CAQ＝110°；（2）如圖2，在PQ上另有一點E，連接CE交AD于點F，點G在MN上，連接AG，若∠CAG＝∠CAE，∠EFD+∠DAG＝180°，試證明：EC∥AB．（3）如圖3，已知燈A射出的光線旋轉(zhuǎn)的速度是每秒10°，燈B射出的光線旋轉(zhuǎn)的速度是每秒30°，若燈B射出的光線從BM出發(fā)先轉(zhuǎn)動2秒，燈A射出的光線才從AQ出發(fā)開始轉(zhuǎn)動，設(shè)燈A轉(zhuǎn)動的時間為t秒，在轉(zhuǎn)動過程中，當0≤t≤12時，請直接寫出燈A射出的光線與燈B射出的光線相交且互相垂直時的時間t的值．【分析】（1）根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等，得出∠QAB＝∠ABD＝40°，再根據(jù)平角的定義，得出∠BAP＝140°，再根據(jù)角平分線的定義，得出∠BAC＝70°，再根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系，計算即可得出答案；（2）根據(jù)角平分線的定義，得出∠CAE＝2∠CAF，進而得出，再根據(jù)對頂角相等和三角形的內(nèi)角和定理，得出∠EFD＝∠AFC，∠AFC+∠ACE+∠CAF＝180°，進而得出，再根據(jù)等量代換，得出∠ACE＝∠CAE，即∠ACE＝∠CAP，再根據(jù)角平分線的定義，得出∠CAP＝∠CAB，再根據(jù)等量代換，得出∠ACE＝∠CAB，再根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)題意，分三種情況：當0≤t≤4時、當4＜t≤10時、當10＜t≤12時，分別畫出圖形，根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系，列出方程進行計算即可．【解答】解：（1）∵PQ∥MN，∠ABD＝40°，∴∠QAB＝∠ABD＝40°，∴∠BAP＝180°﹣∠QAB＝180°﹣40°＝140°，∵AC平分∠BAP，∴，∴∠CAQ＝∠BAC+∠QAB＝70°+40°＝110°；故答案為：110°；（2）∵AD平分∠CAP，∴∠CAE＝2∠CAF，∵，∴，∵∠EFD＝∠AFC，∠AFC+∠ACE+∠CAF＝180°，又∵，∴，∴，∴，∴，∴3∠CAF＝∠ACE+∠CAF，即∠ACE＝2∠CAF，∴∠ACE＝∠CAE，即∠ACE＝∠CAP，∵AC平分∠BAP，∴∠CAP＝∠CAB，∴∠ACE＝∠CAB，∴EC∥AB；（3）當0≤t≤4時，如圖，∵∠M'AC＝10°t，∠MBM'＝30°（2+t），∵AQ'⊥BM'，∴∠BM'A＝90°﹣10°t，∵PQ∥MN，∴∠MBM'+∠AM'B＝180°，即30°（2+t）+（90°﹣10°t）＝180°，解得：；當4＜t≤10時，如圖，∵∠N'AC＝10°t，∵AQ'⊥BN'，∴∠BN'A＝90°﹣10°t，∵∠NBN'＝30°（t﹣4），∴90°﹣10°t＝30°（t﹣4），解得：；當10＜t≤12時，如圖，∵∠MBM'＝30（t﹣10），AQ'⊥BM'，∴∠AQ'M＝90+30（t﹣10），∵∠QAQ'＝10t，PQ∥MN，∴90+30（t﹣10）＝10t，解得：，在圖形的左邊垂直，10t+20t﹣120+30（t﹣10）＝90，綜上所述，t的值秒或秒或或9.75秒．22．（2022秋?萍鄉(xiāng)期末）已知點A在射線CE上，∠C＝∠ADB．（1）如圖1，若AD∥BC，求證：AC∥BD；（2）如圖2，若BD⊥BC，垂足為B，BD交CE于點G，請?zhí)骄俊螪AE與∠C的數(shù)量關(guān)系，寫出你的探究結(jié)論，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，過點D作DF∥BC交射線CE于點F，當∠BAC＝∠BAD，∠DFE＝8∠DAE時，求∠BAD的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)AD∥BC，可得∠DAE＝∠C，再根據(jù)∠C＝∠ADB，即可得到∠DAE＝∠ADB，即可得證；（2）∠DAE+2∠C＝90°．根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得到∠CGB＝∠ADB+∠DAE，根據(jù)直角三角形兩銳角互余，有∠CGB+∠C＝90°，再根據(jù)∠C＝∠ADB即可得到∠DAE與∠C的數(shù)量關(guān)系；（3）設(shè)∠DAE＝α，則∠DFE＝8α，∠AFD＝180°﹣8α，根據(jù)DF∥BC，即可得到∠C＝∠AFD＝180°﹣8α，再根據(jù)∠DAE+2∠C＝90°，即可得到α+2（180°﹣8α）＝90°，求得α的值，即可運用三角形內(nèi)角和定理得到∠BAD的度數(shù)．【解答】（1）證明：∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠C，又∵∠C＝∠ADB，∴∠DAE＝∠ADB，∴AC∥BD；（2）解：∠DAE+2∠C＝90°理由如下：∵∠CGB是△ADG的外角，∴∠CGB＝∠ADB+∠DAE，∵BD⊥BC，∴∠CBD＝90°，∴在△BCG中，∠CGB+∠C＝90°，∴∠ADB+∠DAE+∠C＝90°，又∵∠C＝∠ADB，∴∠DAE+2∠C＝90°；（3）解：設(shè)∠DAE＝α，則∠DFE＝8α，∴∠AFD＝180°﹣8α，∵DF∥BC，∴∠C＝∠AFD＝180°﹣8α，又∵∠DAE+2∠C＝90°，∴2（180°﹣8α）+α＝90°，∴α＝18°，∴∠C＝180°﹣8×18°＝36°，∴∠ADB＝∠C＝36°，又∵∠BAC＝∠BAD，∴∠ABC＝180°﹣∠C﹣∠BAC＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝∠ABD，∵∠CBD＝90°，∴，∴在△ABD中，∠BAD＝180°﹣45°﹣36°＝99°，∴∠BAD的度數(shù)為99°．23．（2022秋?鯉城區(qū)校級期末）如圖①，已知AB∥CD，一條直線分別交AB、CD于點E、F，∠EFB＝∠B，F(xiàn)H⊥FB，點Q在BF上，連接QH．（1）已知∠EFD＝70°，求∠B的度數(shù)；（2）求證：FH平分∠GFD．（3）在（1）的條件下，若∠FQH＝30°，將△FHQ繞著點F順時針旋轉(zhuǎn)，如圖②，若當邊FH轉(zhuǎn)至線段EF上時停止轉(zhuǎn)動，記旋轉(zhuǎn)角為α，請求出當α為多少度時，QH與△EBF某一邊平行？（4）在（3）的條件下，直接寫出∠DFQ與∠GFH之間的關(guān)系．【分析】（1）由AB∥CD，得∠B＝∠BFD，又∠B＝∠EFB，得證；（2）由（1）∠EFB＝∠BFD，由FH⊥FB，得∠BFD+∠DFH＝90°，∠EFB+∠GFH＝90°，由等角的余角相等，得∠DFH＝∠GFH，命題得證；（3）由QH分別與△EBF的三邊分別平行，分情況討論處理；（4）在（3）的各種情況下，分別計算∠DFQ與∠GFH的度數(shù)，可得結(jié)論∠DFQ與∠GFH相差20°．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠B＝∠BFD，又∠B＝∠EFB，∴，∴∠B＝35°；（2）∵FH⊥FB，∴∠BFD+∠DFH＝90°，∠EFB+∠GFH＝90°，∴∠DFH＝∠GFH，∴FH平分∠GFD．（3）①Q(mào)H與△EFB的邊BF平行時，如下圖1及圖4，如圖1，∵BF∥HQ，∴∠H+∠BFH＝180°，又∠H＝60°，∴∠BFH＝120°，α＝∠BFQ＝120°﹣∠HFQ＝120°﹣90°＝30°；如圖4，∠HFB＝∠H＝60°，α＝∠1+∠2+∠3＝360°﹣（∠HFB+∠HFQ）＝360°﹣（60°+90°）＝210°；②QH與△EFB的邊BE平行時，如下圖2，∠1＝∠3＝35°，∠2＝∠4＝30°，∴α＝∠BFQ＝∠1+∠2＝35°+30°＝65°；③QH與△EFB的邊EF平行時，如下圖3，∠3＝∠Q＝30°，∴α＝∠BFQ＝∠1+∠2+∠3＝35°+110°+30°＝175°，綜上，旋轉(zhuǎn)角為α＝30°或65°或175°或210°．（4）α＝30°時，∠DFQ＝∠DFB﹣∠BFQ＝35°﹣30°＝5°，∠GFH＝90°﹣∠EFB﹣∠BFQ＝90°﹣35°﹣30°＝25°；α＝65°時，∠DFQ＝65°﹣35°＝30°，∠GFH＝90°﹣∠GFQ＝90°﹣（180°﹣35°﹣65°）＝10°；α＝175°時，∠DFQ＝175°﹣35°＝140°，∠GFH＝180°﹣60°＝120°；α＝210°時，∠DFQ＝210﹣35°＝175°，∠GFH＝360°﹣110°﹣35°﹣60°＝155°；綜上，∠DFQ與∠GFH相差20°．24．（2023秋?香坊區(qū)校級期中）如圖1，直線MN與直線AB、CD分別交于點E、F，∠1+∠2＝180°．（1）求證：AB∥CD；（2）如圖2，∠BEF與∠EFD的角平分線交于點P，延長EP交CD于點G，點H是MN上一點，且GH⊥EG，求證：PF∥GH；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接PH，∠HPQ＝45°，K是GH上一點，連接PK，作PQ平分∠EPK，若∠PHG＝15°，求∠QPK的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩條直線平行即可判斷直線AB與直線CD平行；（2）先根據(jù)兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補，再根據(jù)∠BEF與∠EFD的角平分線交于點P，可得∠EPF＝90°，進而證明PF∥GH；（3）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠HPG＝75°，根據(jù)角的和差及鄰補角定義求出∠EPQ＝60°，根據(jù)角平分線定義求解即可．【解答】（1）證明：∵∠1+∠2＝180°，又∵∠1＝∠AEF，∠2＝∠CFE，∴∠AEF+∠CFE＝180°，∴AB∥CD；（2）證明：由（1）知，AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD＝180°，又∵∠BEF與∠EFD的角平分線交于點P，∴∠FEP+∠EFP＝（∠BEF+∠EFD）