2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)講練測(cè)思想03 數(shù)形結(jié)合思想（講）（教師版）

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思想03數(shù)形結(jié)合思想

耕育考

1.（2016?全國(guó)高考真題（文））函數(shù)產(chǎn)2%2-e團(tuán)在［-2,2］的圖像大致為（）

【答案】D

【解析】

函數(shù)f（x）=2X?Y閔在［-2,2］上是偶函數(shù),其圖象關(guān)于丫軸對(duì)稱,因?yàn)椤?）=8-e2,0<8-e2<1,所以排

除4B選項(xiàng)；當(dāng)x6［0,2］時(shí),/=4x-e”有一零點(diǎn)，設(shè)為%,當(dāng)ye（。，q）時(shí),f（x）為減函數(shù)，當(dāng)xe（乙2）時(shí),/'（x）

為增函數(shù).故選D

2.（2017?全國(guó)高考真題（理））在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切

的圓上.若AP=XAB+〃AD，則4+〃的最大值為（）

A.3B.272C.小D.2

【答案】A

【解析】

如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)A（0,1）,B（0,0）,C（2,0）,D（2,1）,P（x,y）,

2z\2o4

易得圓的半徑r=石，即圓C的方程是（x—2）一+丁=不

/、/、/、ULU1UUUUL1U1

AP=（x,y-l）,AB=（0,-1）,AD=（2,0），若滿足AP=2AB+/JAD,

x=2〃

則<=3，X=l_y,所以X+〃=：_y+l,

、yT=T

設(shè)z=]—y+1,即]—y+l—z=0,點(diǎn)P（x,y）在圓（x-2）2+/=1"上,

x

所以圓心（2,0）到直線5―y+1—z=0的距離即

所以z的最大值是3,即4+〃的最大值是3,故選A.

x+2y-4<0

3.（2014?浙江高考真題（理））當(dāng)實(shí)數(shù)蒼V滿足｛x-y-l<0時(shí),1<依+V<4恒成立，則實(shí)數(shù)a的取

x>l

值范圍是.

-3

【答案】I,

【解析】

作出不等式組表示的區(qū)域如下圖所示的陰影部分區(qū)域,

由圖可知：不等式1<公+y<4在陰影部分區(qū)域恒成立,令2=仆+》可知。20,因?yàn)楫?dāng)。之0,且當(dāng)

x=l,y=O時(shí),z=ax+y=a+O=a<。不能使得1<ax+y<4恒成立；由a20得z=ac+y在點(diǎn)（1,0）

處取得最小值，即2mm=以+V=a，在點(diǎn)（2,1）處取得最大值,即入醛=奴+y=2a+1,所以有｛氏國(guó)解得

3

l<a<~.

2

4.（2017?全國(guó)高考真題（文））四棱錐尸-A5CD中，側(cè)面上4。為等邊三角形且垂直于底面

ABCD,AB=BC=-AD,/BAD=ZABC=90°.

2

（1）證明：直線3C//平面R4。；

（2）若△PCD面積為25，求四棱錐尸—A5CD的體積.

【答案】（I）見(jiàn)解析（II）473

【解析】

（1）在平面力5?！?gt;內(nèi)，因?yàn)镹5/O=NJ8C=90°，所以BC//AD.

又BCQ平面PAD.4。u平面PAD,故8。〃平面PAD.

（2）取力。的中點(diǎn)A7,連接PM,CM.

由AB=BC=LAD及BC〃AD,NABC=90。,

2

得四邊形48CM為正方形,則CMJLAD.

因?yàn)閭?cè)面尸力。為等邊三角形且垂直于底面458,平面平面ABCD=AD,

所以PA/_L力尸MJ?底面ABCD.

因?yàn)镃A/u底面所以PMJLCA/,

設(shè)8。=x,則CM=x,CD=41X,PM=Jlr,PC=PO=2x，取CD的中點(diǎn)N,連接PN,則

PNJ.CO,所以PN=巫x，

2

因?yàn)椤鱌C￡＞的面積為2-，所以,JIrx亞?=2"，

22

解得x=-2（舍去），x=2.

于是AB=BC=2,AD=4,PA/=2&

所以四棱錐P-ABC。的體積/=1x這型x2=4JI

32

5.（2013?浙江高考真題（文））（2013?浙江）已知拋物線C的頂點(diǎn)為O（0,0），焦點(diǎn)F（0,1）

（I）求拋物線C的方程；

（II）過(guò)F作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn).若直線OA、OB分別交直線1：y=x-2于M、N兩點(diǎn)，求|MN|

的最小值.

【解析】

(I)由題意可設(shè)拋物線C的方程為x2=2py(p>0)則箜=1,解得p=2,故拋物線C的方程為x2=

(II)設(shè)A(xi,yi),B(X2,y2)，直線AB的方程為y=kx+1

y=kx+l2

由19消去y,整理得x-4kx-4=0

lx2=4y

2=42

所以Xl+X2=4k,XlX2=-4,從而有|X1-X2|=J(X1+x2)-4X1x27k+l

y=--x4Xi--------ro

由1xj解得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為XM=-----=x2=TZ—，

X]-V]_LL_4Xi

y=x-2X14

一8

同理可得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為=_

XN4TZx2

LL8A.1o后________X]_X?_______,8V2Vk5+l

所以|MN|=J^|XM-XN|=&ITT=

4X[4-x2X1x2-4(x]+x2)+1614k-31

令4k-3=t,t不為0,貝ijk=古9

4

當(dāng)t>0時(shí),|MN|=27^2|T+1>2近

當(dāng)t<0時(shí),|MN|=25)

綜上所述，當(dāng)t=-孕時(shí),|MN|的最小值是結(jié)

35

釬考向

一、考向分析：

二、考向解讀

考向一、構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的取值范圍

典例L（福建省福州市2019屆高三上學(xué)期抽測(cè)）如圖，函數(shù)/"（￡）的圖像為兩條射線C4c8組成的折線,

如果不等式f（為＞x2-x-a的解集中有且僅有1個(gè)整數(shù),那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

C.{a|-2<a<2}D.{a|a>-2}

【答案】B

【解析】

根據(jù)題意可知f(x)=儼*2,*￡0,

l-x+2,x>0

不等式f(x)-x-a等價(jià)于-x-f(x),

令g(x)—Y-x-f(x)

_(x2-3x-2,x<0

xz-2,x>0'

可得g(x)的大致圖象，如圖所示,

又g(0)=-2,g(l)=-l,g(-l)=2,

?.?要使不等式的解集中有且僅有1個(gè)整數(shù)，

貝I]-2Wa<l,

即a取值范圍是{a|-2Wa<l}.

故選：B.

典例2.(2019?寧夏大學(xué)附屬中學(xué)高三月考(理))已知當(dāng)0〈尤<2時(shí)，不等式‘3<2。+1——以恒

x2

成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(In2+1,+oo)B.(In2-1,+oo)C.(；,+oo)D.(In2-1,0)

【答案】B

【解析】

不等式一^<2a+l——以，可看作函數(shù)/(x)=-^,g(x)=--a(x-4)+1,在區(qū)間(0,2]

■X2%2

上,“X)的圖像在g(X)圖像下方./(x)=20[nx)，所以4工)在(0,e)上遞增，在Q+8)上遞減，所以

“可在x=e時(shí)取得極大值也即是最大值，且x>1時(shí)/(">0.g(%)圖像過(guò)點(diǎn)

(4,1)./(2)=In2,/(2)=，所以過(guò)的〃X)的切線方程為y—In2=二(x—2),

點(diǎn)4(4,1)在切線上,g(x)也過(guò)點(diǎn)4(4,1).畫出“x),g(x)在區(qū)間(0,2]上的圖像如下圖所示，由圖可

[]]n2

知,一<左AS=———，解得a>In2—1.

故選：B

考向二、構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究方程根的范圍

ln(x+l),x>0

典例3.(2018?山東高考模擬(文))已知函數(shù)=1，若機(jī)<〃，且于(m)=f(n),

—x+l,x<0

[2

則〃一相的取值范圍為()

A.[3-21n2,2)B.[3-21n2,2]C.[e-1,2)D.[e-1,2]

【答案】A

【解析】

作出函數(shù)的圖象,如圖所示，若用<〃，且/(加)=/(〃)，

則當(dāng)ln(x+l)=1時(shí),得x+l=e,即x=e-l,

貝！I滿足0v〃<e—1,一2<m"。，

貝！Jln(〃+1)=工加+1,即根=ln(〃+l)—2,則〃一相=〃+2—21n(〃+l),

2

r\-|

設(shè)/1(〃)二孔+2—21n(〃+l),0貝!J=1H-------=――

當(dāng)〃(〃)>。，解得1VH<6—1,當(dāng)解得Ov〃vl,

當(dāng)〃=1時(shí)，函數(shù)力(〃)取得最小值/z(l)=l+2—21n(l+l)=3—21n2,

當(dāng)〃=0時(shí)，"(0)=2—21nl=2；

當(dāng)〃=e—1時(shí)，/z(e—1)=e—1+2—21n(e—1+1)=e—l<2,

所以3—21n2v/z(〃)<2,即〃一根的取值范圍是［3—21n2,2),故選A.

[c^—ab,aWb,

典例4.對(duì)于實(shí)數(shù)〃和仇定義運(yùn)算“*"：a^b=\設(shè)7(x)=(2x—1)*(%—1),且關(guān)于x的方

[bab,a>b.

程段)=M(>￡R)恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根孫工2,%3,則X1X2X3的取值范圍是.

【答案】匕尹，0

X—x,xWO,

【解析】由定義可知,Ax)="作出函數(shù)f(x)的圖象,如圖所示.

〔一X—x,x〉O.

由圖可知，當(dāng)0〈水:時(shí)，廣(X)=H(R￡R)恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根不,X?,禹.

1

不妨設(shè)X1〈X2〈X3,易知A2>0,且X2+X3=2X]=1,.??/2矛3<]令<

/<0,

解得x=l或X=苧(舍去)????三〈為〈0,??.三"X/KO.,答案[上請(qǐng),0)

考向三、構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究量與量之間的大小關(guān)系

Z7Yb

典例5.函數(shù)/(%)=-----^的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是()

(x+c)

(A)6z>0,b>Q,c<0(B)a<0,b>Q,c>0

(C)a<Q,Z?>0,c<0(D)a<0,b<Q,c<0

【答案】C

/7y_i_A卜

【解析】由/（%）=------及圖象可知，xw—c,—c>0,則。<0；當(dāng)％=0時(shí)，/（0）=二>0,所以

（x+c）c

b

b>0；當(dāng)y=0,or+b=0,所以x=——>0,所以a<0.故a<0,b>0,cvO,選C.

a

考向四、構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其幾何意義研究函數(shù)的最值問(wèn)題和證明不等式

典例6.（上海市2018-2019學(xué)年高二下學(xué)期檢測(cè)）“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同.”同一事物從不同角

度看,我們會(huì)有不同的認(rèn)識(shí).請(qǐng)解決以下問(wèn)題：設(shè)函數(shù)/（》）=奴2+（2人+1?—。一2（。/6氏。/0）在[3,4]

至少有一個(gè)零點(diǎn)，則1+匕2的最小值為

【答案】—

100

【解析】

把等式看成關(guān)于a,b的直線方程：（N-1）a+2xb+x-2=0,

由于直線上一點(diǎn)（〃力）到原點(diǎn)的距離大于等于原點(diǎn)到直線的距離,

7

即+/2

I)?+(2X>'

>(^^)2=-----------------

所以521+，(X-2+丁+4)2,

x—2

*?x-2H-----在［3,4］是減函數(shù),

x-2

55

2H—<冗-2H-----K1+5；

2x—2

95

即一Vx-2+----<6；

2x—2

11

-------------------->----

故(x-2+8+4)2—100；

x—2

23

當(dāng)x=3,a=----,b=-----時(shí)取等號(hào)，

2550

故邪+岳的最小值為-1—.

100

故答案為：---.

100

典例7.(湖北省黃岡市2019屆高三元月調(diào)研)關(guān)于T的實(shí)系數(shù)方程必+ax+b=o的一個(gè)根在(0,1)內(nèi),

另一個(gè)根在(1,2)內(nèi)，則a+26-3的值域?yàn)?

【答案】(-5,-2)

【解析】

令r(x)=x2+ax+b,

\t

\C(-3S2)y

、、

V，

\f\a+Hl=0

由方程x2+ax+b=0的一個(gè)根在(0,1)內(nèi)，

另一個(gè)根在(L2)內(nèi)，

(/(0)=b>0

則有〈/(1)=l+a+&<0，畫出(a,b)的區(qū)域，

|/(2)=4+2a+b>0

如圖所示,A4BC的區(qū)域(不含邊界).

其中,4(一1,0)、5(-2,0)、C(-3,2),

々z=a+2b-3,

平移z=a+2b-3,

當(dāng)Q=-2,6=0時(shí),Z=(-2)-3=-5,取得最小值，

當(dāng)a=-3,b=2時(shí),Z=(-3)+2x2-3=-2,取得最大值;

故a+2b-3的值域?yàn)?-5,-2)；

故答案為(-5,-2).

考向五、構(gòu)建立體幾何模型研究代數(shù)問(wèn)題

典例8.(2019?北京高三月考(理))如圖,在菱形ABC。中，乙48c=60。,E產(chǎn)分別是邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將

△ABC沿著對(duì)角線AC翻折,則直線EF與平面ACD所成角的正切值最大值為()

7B.fC.^

【答案】D

【解析】

如圖，

以AC的中點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)二面角3-AC-。為可證N6QD=8,設(shè)棱形的

邊長(zhǎng)為4,則

A(0,-2,0),B(2^cos0,0,20sin,E(6cos仇-1,6sin6>),C(0,2,0),。倒后0,0),網(wǎng)石,1,0)

FE=(Geos8-6,-2,用sin8)

易知平面ACD的法向量“=(0,0,1)

設(shè)直線所與平面ACD所成角為。，則

.2(\n'FE\}3sin2^3sin2^30-cos?6)

‘3(cos^-l)2+4+3sin2^10—6cos62(5-3cos6?)

1一—

令,(x)=豆后，*'(T1)

c,(\3x^—1Ox+3(3x-l)(x-3)

(3x-5)2

則/'（X）>0時(shí)一1<X<g即在1—1,；］上單調(diào)遞增;

r（x）<o時(shí)g<x<i即/⑴在%1）上單調(diào)遞減；

sin2a

tan2a)￡

)maxcos2a2

「.（tana）二^~

\/max2

故選：D

典例9.（福建省泉州市2019屆高三1月質(zhì)檢）類比圓的內(nèi)接四邊形的概念，可得球的內(nèi)接四面體的概

念.已知球。的一個(gè)內(nèi)接四面體4BCD中,AB1BC,5D過(guò)球心。,若該四面體的體積為1,且45+BC=2,則

球O的表面積的最小值為.

【答案】387r

【解析】

設(shè)45=*,BC=2-x,8。=R結(jié)合體積為1時(shí),V=^T(2-幻］八=1,故五=就不所以

00'=\h=,所以80,=\y!x2+(2-X)2,結(jié)合

2+。。'2=2建立方程，得到4R2=片2令

B0,B0,x2(2-x)2+2x-4x+4,

h(x)=2x2-4x+4,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知Mx)在(0,1)遞減,(1,2)遞增

令r(x)=拳u(x)=x2(2-x)2,結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知,以外在(0,1)遞增,在(L2)遞減,而/■(>:)

始終遞減,故4R2在(0,1)遞減,在(1,2)遞增,故當(dāng)T=1,4R2取到最小值為38

所以面積最小值為387r

考向六、構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問(wèn)題

典例10.(2018屆云南省昆明市第一中學(xué)高三月考)已知函數(shù)/(乃=3x+cosex)-11,若兩個(gè)正數(shù)

a,b滿足/'(2a+b)<1,則當(dāng)?shù)娜≈捣秶?)

A.(0，：)B.g+8)C.(i,1)D.(-oo,i)u(^,+oo)

【答案】C

【解析】由/'(X)=3x+cos(jx)-11可得，/?'(幻=3-jsin(jx),

即f'(x)>0對(duì)xeR恒成立,所以〃x)在實(shí)數(shù)R上單調(diào)遞增.

因?yàn)閒(4)=3x4+cos；—II=1,由f(2a+&)<1可得/'(2a+h)</(4),

2a+b<4

由題意可得a>0，畫出a、b的可行域，

，b>0

則安可看作區(qū)域內(nèi)點(diǎn)(a,b)與定點(diǎn)P(-2,-1)的斜率.

直線2a+b=4與橫軸交于點(diǎn)4(2,0),與縱軸交于點(diǎn)8(0,4),又因?yàn)槟ぃ?==k=斗2=之所

2—(-2)4AC0—(-2)2

以5e（；,*，

故選C.

典例11.(上海市2018-2019學(xué)年高二下學(xué)期檢測(cè))如圖，已知四面體A8CD中,m=。3=。。=30且

ZM=QB=￡>C兩兩互相垂直，點(diǎn)。是AABC的中心.

(1)過(guò)。作OE，AD,求ADEO繞直線DO旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積；

(2)將ADO繞直線DO旋轉(zhuǎn)一周，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線DA與直線BC所成角記為。，求cos。的取值范

圍.

【答案】⑴垣"；⑵Q<cos0<—.

93

【解析】

(1)過(guò)后作經(jīng)計(jì)算得。。=C，。4=26，位=2,由此得EH=竽，

所以ADEO繞直線DO旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積V=

39

(2)過(guò)。作OGAC交A3于G,

以0為坐標(biāo)原點(diǎn),O門為x軸,OG為丁軸,。。為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則D(0,0,#),j=/(A—x),C(V3,-3,O),

設(shè)A(x,y,0)，則BC=(3y/3,-3,0).AD=(―x,—y,袁)，所以cos。=謂"田,

6V2

在平面上，點(diǎn)A的軌跡方程為爐+了2=12,

令t=6x+y,將1=后x+y看作直線y=x+t,

則直線y=—島+t與圓/=12有公共點(diǎn)，

則d=*26

2

所以百，于是OVcos，4豐.

考向七、構(gòu)建方程模型，求根的個(gè)數(shù)

典例12.(黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)校2019屆高三上期末)已知函數(shù)

/■(為=6爐_"2_3刀+2,*￡5,則函數(shù)丫=/0I3))的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

I-log3(x+4),x>5

A.6B.7C.9D.10

【答案】B

【解析】

當(dāng)*<5時(shí),r'(￡)=x2—2x—3=(x+l)(x—3),

據(jù)此可得函數(shù)在區(qū)間(一8,-1)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(一1,3)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(3,5)上單調(diào)遞增,

由函數(shù)的解析式易知函數(shù)在區(qū)間(5,+8)上單調(diào)遞減，

繪制函數(shù)圖像如圖所示，

注意到r(-3)<0J(-2)>0,/(0)>0,/(1)<0/(4)<0,/(5)>0,

故方程r(t)=0的解：tie(-3,-2),t2e(0,l),t3e(4,5),

則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求方程/1(#)=力@=1,2,3)時(shí)解的個(gè)數(shù)之和,

由函數(shù)圖像易知滿足題意的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為7個(gè).

本題選擇8選項(xiàng).

考向八、研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)等

典例13.(浙江省2019屆高考模擬卷(二))函數(shù)y=(cos2x)?ln|x|的圖像可能是()

【答案】A

【解析】

由題意得函數(shù)=(cos2x)?ln|x|的定義域?yàn)?―8,0)u(0,+co),

'//■(—x)=[cos(—2%)]?ln|-x|=(cos2x)?ln|x|=/'(%),

???函數(shù)ro)為偶函數(shù)，

函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,故排除C,D.

又當(dāng)xe(0,1)時(shí),f(x)<0,

因此可排除B.

故選A.

點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的識(shí)辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域,

判斷圖象的上下位置.（2）從函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢(shì).（3）從函數(shù)的奇偶性,判斷圖象的對(duì)稱

性.（4）從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.利用上述方法排除、篩選選項(xiàng).

典例14.如圖,長(zhǎng)方形43。。的邊43=2,BC=1,。是A3的中點(diǎn)，點(diǎn)尸沿著邊5C,CD與運(yùn)

動(dòng)，記=將動(dòng)產(chǎn)到A、3兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)/（無(wú)），則y=/（x）的圖像大致為（）

【答案】B

【解析】由已知得,當(dāng)點(diǎn)P在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即OKxV-時(shí)，PA+PB=Vtan2x+4+tanx；當(dāng)點(diǎn)尸

4

在CD邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即工也,xw工時(shí)，PA+PB=J（———1）2+1+J（^—+1了+1,當(dāng)％=工

442Vtanxytanx2

時(shí)，PA+PB=lyjl；當(dāng)點(diǎn)P在AD邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即°^V冗《〃時(shí)，PA+PB=\ltan2x+4-tanx,從點(diǎn)P

4

的運(yùn)動(dòng)過(guò)程可以看出，軌跡關(guān)于直線x對(duì)稱，且/■（￡）〉/（1）,且軌跡非線型,故選B.

考向九、數(shù)形結(jié)合,根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)或解不等式

3

典例15.（2019?河南省魯山縣第一高級(jí)中學(xué)高一月考）若關(guān)于x的不等式4'-/ogoXV,在

上恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

D.

【答案】A

【解析】

3(1

由題意得，--Wlogax在xe0,7上恒成立，

212」

(3

即當(dāng)xe0,彳時(shí)，函數(shù)y=4'--的圖象不在y=logx圖象的上方，

I2J2a

31

由圖知：當(dāng)a>l時(shí)，函數(shù)y=4*—5(0<x<e)的圖象在y=logax圖象的上方;

111

當(dāng)0<a<l時(shí)，log?2—，解得一Wa<l.

a24

故選：A.

典例16.(2019?敦煌中學(xué)高考模擬(文))已知奇函數(shù)/(尤)在x?0時(shí)的圖象如圖所示，則不等式

4'(%)<。的解集為()

A.(1,2)B.(-2,-1)0(1,2)C.(-2,-1)D.(-1,1)

【答案】B

【解析】

Vxf(x)<0則:當(dāng)x>0時(shí),f(x)<0,結(jié)合函數(shù)的圖象可得,l<x<2,當(dāng)x<0時(shí),f(x)>0,根據(jù)奇

函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可得,-2Vx<-l,.?.不等式xf(x)<0的解集為(-2,-1)U(1,2).故答案為(-2,-1)

U(1,2).

密方法

1.數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想：包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形:

一是借助形的生動(dòng)性和直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來(lái)直

觀地說(shuō)明函數(shù)的性質(zhì)；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目

的，如應(yīng)用曲線的方程來(lái)精確地闡明曲線的幾何性質(zhì).

2.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問(wèn)題時(shí)，要遵循三個(gè)原則：

(1)等價(jià)性原則.在數(shù)形結(jié).合時(shí)，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須是等價(jià)的，否則解題將會(huì)出現(xiàn)漏洞.有

時(shí)，由于圖形的局限性，不能完整的表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時(shí)圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說(shuō)明，要注意其

帶來(lái)的負(fù)面效應(yīng).

(2)雙方性原則.既要進(jìn)行幾何直觀分析，又要進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)抽象探求,僅對(duì)代數(shù)問(wèn)題進(jìn)行幾何分析

容易出錯(cuò).

(3)簡(jiǎn)單性原則.不要為了“數(shù)形結(jié)合”而數(shù)形結(jié)合.具體運(yùn)用時(shí)，一要考慮是否可行和是否有利；二

要選擇好突破口，恰當(dāng)設(shè)參、用參、建立關(guān)系、做好轉(zhuǎn)化；三要挖掘隱含條件，準(zhǔn)確界定參變量的取值范圍，

特別是運(yùn)用函數(shù)圖象時(shí)應(yīng)設(shè)法選擇動(dòng)直線與定二次曲線.

3.數(shù)形結(jié)合思想在高考試題中主要有以下六個(gè)常考點(diǎn)

(1)集合的運(yùn)算及Venn圖；

(2)函數(shù)及其圖象；

(3)數(shù)列通項(xiàng)及求和公式的函數(shù)特征及函數(shù)圖象；

(4)方程(多指二元方程)及方程的曲線；

(5)對(duì)于研究距離、角或面積的問(wèn)題，可直接從幾何圖形入手進(jìn)行求解即可；

(6)對(duì)于研究函數(shù)、方程或不等式(最值)的問(wèn)題，可通過(guò)函數(shù)的圖象求解(函數(shù)的零點(diǎn)、頂點(diǎn)是關(guān)鍵

點(diǎn))，做好知識(shí)的遷移與綜合運(yùn)用.

4.數(shù)形結(jié)合思想常用模型：一次、二次函數(shù)圖象；斜率公式；兩點(diǎn)間的距離公式(或向量的模、復(fù)數(shù)

的模)；點(diǎn)到直線的距離公式等.

5.數(shù)形結(jié)合思想是解答高考數(shù)學(xué)試題的一種常用方法與技巧,特別是在解選擇題、填空題時(shí)發(fā)揮著奇特

功效，這就要求我們?cè)谄綍r(shí)學(xué)習(xí)中加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，以提高解題能力和速度.具體操作時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

(1)準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖象,注意函數(shù)的定義域；

(2)用圖象法討論方程(特別是含參數(shù)的方程)的解的個(gè)數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先

.要把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式(有時(shí)可能先作適當(dāng)調(diào)整,以便于作圖)，然后作出兩個(gè)函數(shù)

的圖象，由圖求解；

(3)在解答題中數(shù)形結(jié)合思想是探究解題的思路時(shí)使用的，不可使用形的直觀代替相關(guān)的計(jì)算和推理論

證.

典例17.(2019.夏津第一中學(xué)高三月考)已知函數(shù)/(%)是定義在［T,0)U(0,4］上的奇函數(shù)，當(dāng)

xe(O,4］時(shí),7(%)的圖象如圖所示，那么滿足不等式/(%)之3,—1的x的取值范圍是().

A.[-1,-2][2,1]B.H，-2][0,1]

C.[T,—2][2,4]D.[-1,0)[2,4]

【答案】B

【解析】

Q

/(X)為[T,O)u(O,4]上的奇函數(shù)，所以如圖，畫出了⑴在[—4,0)的圖象，得點(diǎn)(―2,-5)、點(diǎn)(1.2)在

/(無(wú))上，

畫出y=3*-1的圖象，得到其漸近線為y=-1,且在第一象限與/(%)的圖象交點(diǎn)為(1,2)，要解不等式

/(x).3—1廁結(jié)合圖象，需/(x)的圖象在y=3工—1圖象的上方，從而解得:xe[-4,-2]o[0,l].

故選：B.

典例18.(2019?甘肅高考模擬(文))定義在R上的偶函數(shù)了。)滿足/(%-1)=/(%+1),且當(dāng)

時(shí)，y(x)=%2,函數(shù)g(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí)，g(x)=Igx,則函數(shù)

h(x)=于(x)-g(x)的零點(diǎn)的的個(gè)數(shù)是()

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【解析】

由于/(x-1)=/(x+1)，所以，函數(shù)y=/⑴的周期為2,且函數(shù)y=f[x)為偶函數(shù)，

由可龍)=0,得出/⑴=g(x),問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=g(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù),作出函

數(shù)丁=/(%)與函數(shù)y=g(x)的圖象如下圖所示，

由圖象可知，0巧(x)WL,當(dāng)x>10時(shí)，g(x)=lgx>l,

則函數(shù)y=/(%)與函數(shù)y=g(x)在(10,-H?)上沒(méi)有交點(diǎn)，

結(jié)合圖像可知，函數(shù)，=/(")與函數(shù)，=g(x)圖象共有11個(gè)交點(diǎn),故選：C.

m

典例19.(2019?全國(guó)高三專題練習(xí)(理))已知函數(shù)/(x)=xe*-77U+,(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在

(0,+oo)上有兩個(gè)零點(diǎn)，則M的范圍是()

A.(0,e)B.(0,2e)C.(e,+oo)D.(2e,-H?)

【答案】D

【解析】

mm|

由/(x)=xe-mx+—=0xe-mx--=m(x--),

當(dāng)x=」時(shí),方程不成立，即X片《，

22

、幾%(x)=---r,八口1、

設(shè)''1(%>0且X*—),

x——2

|e"(x-l)(2x+l)

：x>0且，...由"(x)=0得x=l,

2

當(dāng)x>l時(shí),h'(x)>0,函數(shù)為增函數(shù)，

當(dāng)0<x<l且x/工時(shí)，h\x)<0,函數(shù)為減函數(shù),

2

則當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)取得極小值,極小值為/z(l)=2e,

當(dāng)0<x<工時(shí)，h(x)<0,且單調(diào)遞減，作出函數(shù)h{x}的圖象如圖:

2

_xex

要使m=-r有兩個(gè)不同的根,

X——

2

則m>2e即可，

即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(2e,y).

方法2：由f(x)=xex-mx+—=0Wxex=mx--=m{x--),

設(shè)g(x)=xe*,h(x)=m(x---),

g\x)=ex+xex=(x+V)ex，當(dāng)尤>0時(shí)，g'(x)>0,貝Ug(x)為增函數(shù),

設(shè)/z(x)=mx—；與g(x)=叱，相切時(shí)的切點(diǎn)為(a,ae"),切線斜率k=(a+l)ea,

則切線方程為y-aea=(a+l)ea(x-a),

當(dāng)切線過(guò)(g,0)時(shí)，-ae"=(a+l)e"(；—a),

L'P—a=-a-\----a2—a,即2cr—a—1=0,得4=1或。=—(舍)，則切線斜率左=(l+l)e=2e,

222

要使g(x)與/i(x)在(0,+oo)上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則m>2e,

即實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(2e,+oo).

典例20.(2018屆湖北省荊州中學(xué)、宜昌一中等“荊、荊、襄、宜四地七?？荚嚶?lián)盟”高三2月聯(lián)考)

2x+y>2

P(x,y)滿足｛九-y-1V0，則1+產(chǎn)的最小值為—

x+2y<4

4

【答案】j

X2+y2的表示可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方,其最小值顯然是原點(diǎn)到直線AC距離的平方:

,0+0-2丫_4

、J'4+1?5

4

故答案為：-

5

典例21.如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形,它們所在的平面互相垂直,動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ上,E、F分

別為AB、BC的中點(diǎn).設(shè)異面直線EM與AF所成的角為6,則cos。的最大值為

【答案】|

【解析】建立坐標(biāo)系如圖所示.設(shè)AB=1,則AF=(1,；,0),E(1,0,0).設(shè)M(0,y,l)(0<y<1),則

|JT

=(—a,y,1),由于異面直線所成角的范圍為(0,,所以

2（1二y）2（1-y）

E]2=1—8學(xué)+1,令8y+l=/,lWY9,則

逐74y?+5,網(wǎng)2+54K+5

8y+l161

——?二，當(dāng)/=1時(shí)取等號(hào).所以

4y2+5oic5

/+——2

2（1二y）11>2_2

cos。=當(dāng)y=0時(shí),取得最大值.

+5一6755

典例22.(2018屆山東省威海市高三上期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(-6,0),B(3,-l),點(diǎn)P在圓

O-.x2+y2=18上,若正~PB>6,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是.

【答案】E，3、C]

設(shè)貝仁2因?yàn)榭v一所以瓦

P(Xo，%)，2+y0=18,6,0),B(3ft-PB=(x0+6,y0)■(x0-3,y0+1)

22又二(%,比)即在圓爐2又在直線的

=x0+y0-18+3x0+y0=3x0+y0>6,+y=18,3x+y-6=0

上方,設(shè)直線與圓交點(diǎn)為D,E,圓與x正半軸交于C(3&,0),貝心跖兒)在弧DCE上，由，得

又生=丫即點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是故答案為[泉

xD=l，xE=3,3V2,-?-l