2020-2021學(xué)年固原市隆德縣高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)(含解析)

2020-2021學(xué)年固原市隆德縣高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（理科）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1,已知久eR,命題“若/>o,貝卜>0”的逆命題、否命題和逆否命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

xx

2.已知命題p：3x0G（-co,0）,2°<3°,命題q：VxGcosx>3,則下列命題為真命

題的是（）

A.pAqB.pV（-Q）C.（*）AqD.pA（-q）

3.給定兩個(gè)命題p,q.若"是q的必要而不充分條件，貝加是飛的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.下列關(guān)于向量的概念敘述正確的是（）

A.方向相同或相反的向量是共線向量

B.若■〃-b//c，貝曝〃』

C.若萬和b都是單位向量，則反=b

D.若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合

5.已知雙曲線l（a>0,6>0）的左右焦點(diǎn)分別為Fi，F(xiàn)2,過左焦點(diǎn)且傾斜角為30。直線與

右支交于點(diǎn)4,則雙曲線離心率取值范圍是（）

A.（1,竽）B.（1,2）C.（言,+8）D.（2收）

6.已知非零向量五、石滿足五1B，|五一石|=4|方|.設(shè)3與另一方的夾角為仇貝hose=（）

A.-B.--C.虎D.-叵

4444

7.如果橢圓有兩個(gè)頂點(diǎn)為（3,0）,（0,-4）,則其標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

丫2-,2丫2.,22.,2丫2.,2

A.上+匕=1B.上+匕=1C.Y^+匕=1D.±+匕=1

4316934916

22

8.雙曲線標(biāo)—左=1缶〉0"〉0）的離心率為聲，則它的漸近線為（）

A.y=+xB.y=+V2xC.y—+2xD.y=+V3x

9.在△48C中，已知。是邊BC上一點(diǎn)，且CD=28。，設(shè)通=優(yōu)XC=K，用區(qū)3表示而=（）

9_^1—1__1—>_^1—1_.?—*

A.-a+-bB,-a+-bC.a--bD.-a+-b

3322333

10.下列給出的命題中：

①如果三個(gè)向量落b，己不共面，那么對(duì)空間任一向量力，存在一個(gè)唯一的有序數(shù)組X,y,Z使方=xa+

yb+zc-

②已知。(0,0,0),X(l,o,o),B(0,l,0),C(l,1,1).則與向量四和云都垂直的單位向量只有元=

(展V6_展、

(6，6，3

③已知向量就，OB,而可以構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底，貝!1向量瓦5可以與向量而-方和向量力5-

至構(gòu)成不共面的三個(gè)向量.

④已知正四面體。ABC,M,N分別是棱。a,BC的中點(diǎn)，則MN與OB所成的角為?

是真命題的序號(hào)為()

A.①②④B.②③④C.①②③D.①④

11.空間直角坐標(biāo)系。一xyz中，有四個(gè)點(diǎn)，4(1,0,0),B(0,l,0),C(0,0,1),￡>(3,4,5),則。至U平面力BC

的距離為()

A.3V3B."C.改D.4V3

33

x

12.設(shè)集合M={x\2-1>3},P={x|log2x<2},那么“xeM或xeP”是“久eMClP”的()

A.充分條件但非必要條件B.必要條件但非充分條件

C.充分必要條件D.非充分條件，也非必要條件

二、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.過拋物線y2=6x焦點(diǎn)作直線I,交拋物線于4B兩點(diǎn).若線段48中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2,則|4B|等

14.在正方體2BCD-&B1C14中，M,N分別是棱CD,CC1的中點(diǎn)，則

異面直線與DN所成的角的大小是.

15.13.過點(diǎn)(2,-2)且與1一/=1有共同漸近線的雙曲線方程為

2-

16.已知五=(一2,1,3),b=(3,-4,2)，c=(7,A,5),若五,b，E共面，則實(shí)數(shù)4=

三、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.己知橢圓C短軸的一個(gè)端點(diǎn)為(0,1),離心率為半.

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(□)設(shè)直線y=久+ni交橢圓C于/1、B兩點(diǎn)，若|4B|=W，求m.

18.如圖，在三棱柱4BC-2/16中，側(cè)面力BB1&是矩形，ABAC=90。，

AAr1BC,AA±=4C=2AB=4,且BQ1A±C

(1)求證：平面4BQ1平面44CC1

(2)設(shè)。是&Q的中點(diǎn)，判斷并證明在線段BBi上是否存在點(diǎn)E,使DE〃平面

ABCr,若存在，求點(diǎn)E到平面ABC1的距離.

19.如圖所示，三棱錐P-4BC放置在以AC為直徑的半圓面。上，。為圓心,

8為圓弧4C上的一點(diǎn)，。為線段PC上的一點(diǎn)，且48=BC=PA=3,PB=

3a,PA1BC.

(I)求證：平面B。。1平面H4C；

(II)當(dāng)二面角D—AB—C的平面角為60。時(shí)，求黑的值.

20.已知過拋物線f=2px(p〉0)的焦點(diǎn)，斜率為2a的直線交拋物線于力，B兩點(diǎn)，且|明=:

(1)求該拋物線的方程；

(2)過拋物線上的一個(gè)點(diǎn)MQ2)作兩條垂直的直線MP,MQ分別交拋物線于P,Q兩點(diǎn)，試問：直線PQ

是否過定點(diǎn)，并說明理由.

⑶求原點(diǎn)。到直線PQ的最大距離.

21.已知四邊形2BCD為平行四邊形，BD1,AD,BD=AD,AB=2,四邊形

2BEF為正方形，且平面48EF1平面4BCD.

(1)求證：BD_L平面4DF；

(2)若M為CD中點(diǎn)，證明：在線段EF上存在點(diǎn)N,使得MN〃平面4DF,并求

出此時(shí)三棱錐N-4DF的體積.

22.已知橢圓M:/+2y2=2.

(I)求知的離心率及長(zhǎng)軸長(zhǎng)；

(U)設(shè)過橢圓”的上頂點(diǎn)4的直線/與橢圓”的另一個(gè)交點(diǎn)為8,線段的垂直平分線交橢圓M于

兩點(diǎn).問：是否存在直線Z使得C,。,。三點(diǎn)共線(。為坐標(biāo)原點(diǎn))？若存在，求出所有滿足條件的

直線I的方程；若不存在，說明理由.

參考答案及解析

1.答案：C

解析：解：命題“若久2>0,則X>0”的逆命題是“若X>0,貝卜2>0”，是真命題；

否命題是“若<0,貝卜W0“，是真命題；

逆否命題是“若xW0,則/《0"，是假命題；

綜上，以上3個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)是2.

故選：C.

根據(jù)四種命題之間的關(guān)系，寫出該命題的逆命題、否命題和逆否命題并判斷真假.

本題考查了四種命題之間的關(guān)系的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)弄清四種命題之間的關(guān)系，是基礎(chǔ)題.

2.答案：C

解析：解：命題p：3x0E(—co,0),2%。<3、。，為假命題，則”為真命題，

命題q：XfxG[-14]，COSX>為真命題，則飛為假命題，

所以pAq為假命題，pV(-iy)為假命題，"Aq為真命題，pA(%)為假命題.

故選：C.

由指數(shù)函數(shù)y=2"與y=3"的圖象易知％E(一8,0)時(shí)，2X>3%,貝Up是假命題；由余弦函數(shù)y=cosx

的值域易知xe[-1,1]時(shí)，cosx>|,貝叼是真命題，然后根據(jù)復(fù)合命題的真假關(guān)系即可作出判斷

本題主要考查復(fù)合命題的真假關(guān)系，同時(shí)考查指數(shù)函數(shù)的圖象與余弦函數(shù)的值域.

3.答案：A

解析：

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是充要條件的判斷，其中將已知利用互為逆否命題真假性相同，轉(zhuǎn)化為q是「p的

充分不必要條件，是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)互為逆否命題真假性相同，可將已知轉(zhuǎn)化為q是「p的充分不必要條件，進(jìn)而根據(jù)逆否命題及充

分必要條件的定義得到答案.

解：???-)p是q的必要而不充分條件，

??.q是-ip的充分不必要條件，即q=-ip,但「p不能nq,

其逆否命題為pn-IQ,但不能=>p,

則p是的充分不必要條件.

故選：A.

4.答案：A

解析：解：方向相同或相反的向量是平行向量，也叫做共線向量，所以A正確；

當(dāng)另=6時(shí)，五與?不一定平行，B錯(cuò)誤；

單位向量只是定義其模長(zhǎng)為1,方向沒有要求，所以C錯(cuò)誤；

兩個(gè)向量相等，其起點(diǎn)和終點(diǎn)不一定重合，D錯(cuò)誤；

故選：A.

利用平面向量的概念進(jìn)行判斷.

本題考查平面向量的基礎(chǔ)知識(shí)，考查命題真假性判斷的方法，屬于基礎(chǔ)題.

5.答案：C

解析：

本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，屬于中檔題.

過左焦點(diǎn)且傾斜角為30。直線與右支交于點(diǎn)力，即2>1加30。=更，即b>漁a,c>辿a，從而求出

a333

離心率的范圍.

解：過左焦點(diǎn)且傾斜角為30。直線與右支交于點(diǎn)4即=立，

a3

??b>—CL,

3

b=7c2—\2,

???Vc2—a2>—a,

3

整理得：c>越a,

3

c2V3

???e=->—，

a3

??.e的范圍是（竽,+8）

故選C.

6.答案：A

解析：

本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算與夾角公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目.

根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算與夾角公式，代入計(jì)算即可.

解：非零向量五、E滿足有1石,\a-b\=4|Kp

???方?b=0，

設(shè)3與3-方的夾角為氏

\b\x\b-a\\b\x\a-b\4\b\x\b\4

故選:A.

7.答案：D

解析:解：???橢圓有兩個(gè)頂點(diǎn)為(3,0),(0,-4),

???a=4,b=3,

22

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+匕=1.

916

故選：D.

橢圓有兩個(gè)頂點(diǎn)為(3,0),(0,-4),可得a=4,b=3,從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

本題考查橢圓方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ).

8.答案：B

解析：

運(yùn)用離心率公式，再由雙曲線的a,b,c的關(guān)系，可得a,b的關(guān)系，再由漸近線方程即可得到.

本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查離心率公式和漸近線方程的求法.

解：由雙曲線的離心率為百，

則e=(=H,即c=ba，

b=Vc2—a2=V3a2—a2=V2a>

由雙曲線的漸近線方程為y=±^x,

即有y=±V2x,

故選：B.

9答案:A

???CD=2BD；

CD=2DB;

：.AD-AC=2(^45-AD);

AD=-AB+-AC=-a+-b.

3333

故選：A.

可畫出圖形，根據(jù)CD=28。結(jié)合圖形即可得出方=2而，從而有而-元=2(荏-瓦辦從而可

求出而.

考查向量減法及數(shù)乘的幾何意義，向量的數(shù)乘運(yùn)算.

10.答案：D

解析：解：①如果三個(gè)向量?jī)?yōu)b，及不共面，由空間向量基本定理可得：對(duì)空間任一向量力，存在一

個(gè)唯一的有序數(shù)組x,y,z使方=xW+yB+zm.

②已知。(0,0,0),4(1,0,0),5(0,1,0),C(l,1,1).則與向量近和死都垂直的單位向量只有元=

士(彳，彳，—彳)，因此不正確.(

③已知向量就，OB，元可以構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底，向量雨-話；\

和向量市-南共線，則向量可以與向量市-南和向量瓦？-說不\

能構(gòu)成不共面的三個(gè)向量./,

④已知正四面體。ABC,M,N分別是棱。4BC的中點(diǎn)，如圖所示，A--------J--------

不妨設(shè)4B=2.取力B的中點(diǎn)為P,連接MP,PN.

可得PM=PN=1,MN=7AN2—AM2=立,；?APMN=.則MN與。B所成的角為￡

綜上可得：真命題的序號(hào)為①④.

故選：D.

①利用空間向量基本定理即可判斷出；

②與向量荏和雙都垂直的單位向量只有元=±(?,彳,-凈.

③由于向量耐-質(zhì)和向量示-荏共線，則向量力?可以與向量示-話和向量-標(biāo)不能構(gòu)成

不共面的三個(gè)向量.

④如圖所示，不妨設(shè)4B=2,取4B的中點(diǎn)為P,連接MP,PN.可得PM=PN=1,MN=

y/AN2-AM2=V2，可得NPMN=%

4

本題綜合考查了空間向量基本定理、正四面體的性質(zhì)、空間角、共線向量等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方

法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

11.答案：c

解析：

本題考查利用向量法求點(diǎn)到平面的距離，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

求出平面48C的法向量，利用向量法能求出。到平面ABC的距離.

解：???空間直角坐標(biāo)系。-xyz中，有四個(gè)點(diǎn)，

2(1,0,0),5(0,1,0),C(0,0,l),D(3,4,5),

???AD=(2,4,5)，AB=(-1,1,0)，AC=(-1,0,1)，

設(shè)平面ABC的法向量元=(x,y,z),

則歸里=T+y=0,取元=(1,1,1),

In-AC=—x+z=0

??.O到平面ABC的距離為：

,\n-AD\1111V3

d=k=古丁

故選C.

12.答案：B

解析：解：2X-1>3,即2*>4=22,解得x>2.

集合M={x|2*-1>3}=(2,+8),

同理可得P={x|log2x<2}=(0,4)>

M\JP=(0,+oo),MCP=(2,4),

那么“XeM或XeP”是“XeMnP”的必要不充分條件.

故選:B.

利用函數(shù)的單調(diào)性分別化簡(jiǎn)集合M,P,利用MUP與MCP的關(guān)系即可得出.

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、集合的運(yùn)算性質(zhì)及其之間的關(guān)系、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能

力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

13.答案：7

解析：解：由題意知，P=3,

???線段AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2,

**,=2=4,

?,?由拋物線的定義知，［4引=馬+%+0=4+3=7.

故答案為：7.

結(jié)合中位線的性質(zhì)和拋物線的定義，即可得解.

本題考查拋物線的定義，熟練利用拋物線解決焦點(diǎn)弦長(zhǎng)問題是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

14.答案：90°

解析：以。為原點(diǎn)，DA,DC,DA所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)48=1,則。(0,0,0),

f工飛f1飛

NM<-?；i,4(1,0,1),

k,K&/

???磁=：1%*,璃=：工-彳,』‘；，?,?磁?璃=lxO+lxt-i+^xl=0,

???'藏］璃'，二41M與DN所成的角的大小是90。.

15.答案：———=1

24

解析：設(shè)雙曲線方程為d-V=喊哪F咻:管-黛鷺V=硼二嬲=

所以雙曲線方程為二-三=1.

24

16.答案：—詈

解析：解：由五=(-2,1,3),另=(3,—4,2)，c=(7,A,5),

且落后,不共面，所以存在實(shí)數(shù)m,n,使得N=7nW+7iB,

即(7,A,5)=m(-2,l,3)+43,-45)，

(—2m+3n=7

列方程組，得加一4九=4，

3m+2n=5

解得772=套,n=~

所以I\IAn=-1--4Ax—31=--1-2-3.

131313

故答案為：一詈.

由空間向量的共面定理，列出方程組求出實(shí)數(shù)a的值.

本題考查了空間向量的共面定理應(yīng)用問題，也考查了解方程組的問題，是基礎(chǔ)題.

22

17.答案：解：⑴由題意可設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為京+會(huì)=l(a〉6〉0).

,?橢圓C短軸的一個(gè)端點(diǎn)為(0,1),離心率為斗.

b=1

￡=—,解得口2=9,b=l,c2=8.

a3

a2=b2+c2

.?橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為昔+y2=I.

(2)設(shè)4(X1，%),B(x2,y2).

y=x-Vm

聯(lián)立?X2《，

萬+y2=]

得10/+18mx+97n2—9=0,

.99m2-9

Xi+x2=--m,X1x2=f-,

2

???\AB\=V27(%1+%2)-4%I%2=匈T-4x=券

解得m=2.

解析：(1)由題意可設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為真+《=l(a>b>0>由于橢圓C短軸的一個(gè)端點(diǎn)為(0,1),

(b=1

離心率為延.可得，解得即可.

3Ia3

Va2=b2+c2

y=x+m

2/消去y得到關(guān)于％的一元二次方程，得到根與系數(shù)的關(guān)

{萬+y=1

系，再利用弦長(zhǎng)公式即可得出.

本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、弦長(zhǎng)公式，屬于中檔題.

18.答案：(1)證明：在三棱柱ABC-ABiG中，側(cè)面4BB14是矩

形，

???AAr1AB,又441IBC,ABC\BC=B,

???AA11平面4BC,

AA-^±AC,又441=AC,■-A^C1AC1,

又BC1J.A1C,BCrClAC1=Cr,

&C_L平面4BQ,又4。u平面AiACCi，

平面力BCi1平面44CC1；

(2)解：當(dāng)E為的中點(diǎn)時(shí)，連接4E,EC1，DE,

如圖，取的中點(diǎn)F,連接EF,FD,

■■■EF//AB,DF//ACr,

又EFCDF=F,ABCiA^=A,

平面EFD〃平面ABCI,又DEu平面EF。，

???DE〃平面ABC1，

=

又，^E-ABC1%I-ABE，CI^I_L平面ABE,

設(shè)點(diǎn)E到平面ABC1的距離為d,

|x|x2x4V2xd=|x|x2x2x4,得d=V2,

???點(diǎn)E到平面ABC1的距離為魚.

解析：（1）在三棱柱ABC-AiBiQ中，由側(cè)面4BB141是矩形，可得A4i1AB,又人人11BC,可得4411

平面2BC,得到力41AC,進(jìn)一步有21C14G，結(jié)合BG1&C,可得&C_L平面ABC1，由面面垂

直的判定得平面ABC】J_平面aacQ；

（2）當(dāng)E為BBi的中點(diǎn)時(shí)，連接4E,EC。DE,取441的中點(diǎn)F,連接EF,FD,由面面平行的判定和

性質(zhì)可得DE〃平面2BQ,咋愛優(yōu)等體積法可求點(diǎn)E到平面4BQ的距離為.

本題考查平面與平面垂直的判定，考查了空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的

體積，是中檔題.

19.答案：（/）證明：???PA=AB=3,PB=3V2,PAIAB,「1*

又P41BC,4BGBC=B,\\L

PA又B。u平面ABC,\

??PA_LB。，彳）

?.TB=BC,0是ac的中點(diǎn)，

ABO1AC,y.PAC\AC=A,dx

B。_L平面PAC,又BOu平面B。。，

平面BOD1平面PAC.

（〃）解：以。為原點(diǎn)，以08,。。和平面ABC過點(diǎn)。的垂線為坐標(biāo)軸建立空間坐標(biāo)系。-孫z,

AB=BC=PA3,PB=3魚，OA=OB=OC=

2

.?.4（0,一誓,0）,B（呼,0,0）,C（0,誓,0）,P（0,一誓,3）,

...南=（苧，軍,0）,正=（0,3&,_3）,而=（0,0,3）,

設(shè)器=2（OW2<1）,則麗=2定=（0,3/尢一3；1），：.AD^AP+PD^（0,3722,3-32）,

「一一*(越義出-n

設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為訪=Qy,z),則小,竺=°,即""十三"一口

^m-AD=0(3V22y+(3-3A)z=0

令x=1可得沅=(L-1,若)，

又平面力BC的一個(gè)法向量為元=(0,0,1),

__

,?-cos<^,n>=^==^2^+1，

???二面角。-AB-C的平面角為60。，

.?.乃占=%解得％=等或％=年(舍)，

.\PD\_

??|PC|-2?

解析：(/)證明。B1AC,OB1P力得出。81平面P4C,故平面BOD1平面P4C；

(〃)設(shè)黑=九建立空間坐標(biāo)系，求出平面4BD和平面ABC的法向量，令法向量的夾角的余弦值的

rLI

絕對(duì)值等于I計(jì)算;I的值.

本題考查了面面垂直的判定，空間向量與二面角的計(jì)算，屬于中檔題.

20.答案：解：(1)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)在久軸的正半軸，焦點(diǎn)尸?,0),

???直線力B的方程是y=2A/2（X-9,

5）,整理得：4%2—Spx+p2=0,

\y2—2px

由韋達(dá)定理可知：久1+久2=當(dāng)

4

???|715|=%1+x2+P=y+P=|>

???p=2,

???拋物線方程為必=4%；

22

（2）設(shè)P月），Q讖,月），

則麗=（亨一1/1-2）,麗=（學(xué)―1/2—2），

由麗?麗=0.

；?瓷一1，為一2）,售一1,%-2）=0，

???（Yi-2）（為一2）[（乃+2）（y2+2）+16]=0,即為為+2（%+y2）+20=0,

直線PQ的方程：4=言=,廣；;比、，

y2~yiZ2-Zi(yz+yi)(y2~yi)

44

..1+4=上+一2(%+及)-20=」2,

yz+yiyz+yiyz+yiyz+yiyz+yi

故直線PQ必過定點(diǎn)(5,-2).

(3)由(2)可知原點(diǎn)。到直線PQ的最大距離為d=J52+(-2尸=V29.

解析：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查

直線方程的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.

21.答案：解：(1)證明：正方形4BEF中，AF1AB,

??,平面48￡771平面48。。，又ZFu平面48EF,

平面ABEFn平面力BCD=AB,

AF