2020-2021學(xué)年山西省運(yùn)城市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2020-2021學(xué)年山西省運(yùn)城市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）.

1.設(shè)4={4r>l},B={X|X2-X-2V0},則（CRA）CB=（）

A.{x|x>-1}B.{x|-l<xWl}C.{JC|-1<JC<1}D.{x|l<xV2}

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,2）,則；為虛部單位）的虛部為（）

1-1

A.—iB.—C.3D.3/

22

3.已知相，"是直線，a是平面，且“ua,則，_〃是m_La的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年I月至

2016年12月期間月接待游客量（單位：萬(wàn)人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.

根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn)

5.向量；=（x,1）.b=（2,y-1）.其中x>0,y>0且則？J的最小值為（）

auxy

A.9B.8C.7D.5+2④

6.如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西方向行駛，到4處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂。

在西偏北45°的方向上，行駛600m后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北75°的方向上，

仰角為60。，則此山的高度為（）

I)

HI

A.60073B.6OOV2C.600捉D.600

7.設(shè)函數(shù)/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在［0,+8)上單調(diào)遞增，則下列不等式成立

的是()

30-1

A.fdog20.5)<f(o.2)<f(2)

0,13

B.f(log20.5)<￡(2)<￡(0.2)

301

C.f(0.2)<y(2)<f(log20.5)

31

D.f(0.2)<f(log20.5)<f(2°-)

8.已知向量a，fc滿足Ia1=4，Ib|=2&，a與b的夾角為瓦-，(c-a)?(c-b)=0,

則|cI的最大值為()

A.2V2B,^fio+V2C,710D.V10-V2

二、多選題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得3分,

有選錯(cuò)的得0分.

9.下列結(jié)論正確的是()

A.設(shè)A,8是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，則P(AUB)=P(A)+P(B)

B.概率是客觀存在的，與試驗(yàn)次數(shù)無(wú)關(guān)

C.如果事件A,8互斥，A-衛(wèi)分別為事件A,8的對(duì)立事件，則仄與萬(wàn)一定互斥

D.若4,B是相互獨(dú)立事件，且p(A)fP(B)=-|"則P(A石)』

2X-4X》0

10.已知函數(shù)f(x)={,則關(guān)于x的方程［/'(x)F-3/(X)+2=0的解可

-X2-4X+1,X<0

以為()

A.-4B.0C.-2D.log26

11.已知四邊形ABCD為等腰梯形，其中AB〃CD,AB=2CO=2AD=4,M,N分別為BC,

CD的中點(diǎn)，線段AN,QM的交點(diǎn)為P,則下列說(shuō)法正確的是()

——?R—?1—?

A.DM-TAB-vAD

44

B.而在屈上的投影向量為三版

8

C.AN=ADAB

D.NNPM=60°

12.正方體A8CO-4BICI￡>I的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)M是的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AQi的中點(diǎn)，N為

QC的中點(diǎn)，點(diǎn)。在正方形。CGA及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，若PQ〃面MBG,則下列說(shuō)法正確

的是（）

A.過(guò)點(diǎn)M,B,。的截面為菱形

B.三棱錐G-0MB的體積為定值

C.AQ與平面OCCQi所成角正切值的最小值為包豆

17

D.三棱錐N-MBCi外接球的表面積為91T

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共2（）分

TT

13.在aABC中，內(nèi)角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,若a=2\B，b=6,A）「，則

6

角B為.

14.已知樣本數(shù)據(jù)xi,…，及0的平均數(shù)為5,方差為3,另一組樣本數(shù)據(jù)聲o的平

均數(shù)為10,方差為4,則樣本數(shù)據(jù)XI,…，X20,yi,…，go的方差為.

15.最早的測(cè)雨器記載見(jiàn)于南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著的《數(shù)書(shū)九章》（1247年）.該書(shū)第二

章為“天時(shí)類”，收錄了有關(guān)降水量計(jì)算的四個(gè)例子，分別是“天池測(cè)雨”、“圓罌測(cè)

雨”、“峻積驗(yàn)雪”和“竹器驗(yàn)雪”.其中“天池測(cè)雨”法是下雨時(shí)用一個(gè)圓臺(tái)形的天

池盆收集雨水來(lái)測(cè)量平地降雨量（水的體積比盆口面積）.已知天池盆盆口直徑為二尺

八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸.當(dāng)盆中積水深九寸（注：1尺=10寸）時(shí),

平地降雨量是寸.

16.在RtZsABC中，AC=BC=2,已知MN為△ABC內(nèi)切圓的一條直徑，點(diǎn)P在△A8C的

外接圓上，則而?面的最大值為.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟

17.如圖，在四棱錐P-ABCZ）中，四邊形A8CD為矩形，PAJ_平面ABC。，M是PC的中

點(diǎn)，PA=AD=2,AB=\.

（1）求證：PA〃平面MB。

(2)求點(diǎn)。到平面PBC的距離.

18.某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值，〃衡量，并按照質(zhì)量指標(biāo)值〃?劃分等級(jí)如表:

質(zhì)量指標(biāo)值m加V8585W%V105加2105

等級(jí)三等品二等品一等品

現(xiàn)在從某企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了200件作為樣本，檢驗(yàn)其質(zhì)量指標(biāo)值〃?，得

到的頻率分布直方圖如圖所示(每組只含最小值，不含最大值).

(1)求第75百分位數(shù)(精確到0.1)；

(2)在樣本中，按照產(chǎn)品等級(jí)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取8件產(chǎn)品，則這8

件產(chǎn)品中，一等品的件數(shù)是多少；

(3)將頻率視為概率，已知該企業(yè)的這種產(chǎn)品中每件一等品的利潤(rùn)是10元，每件二等

品和三等品的利潤(rùn)都是

6元，試估計(jì)該企業(yè)銷售600件這種產(chǎn)品，所獲利潤(rùn)是多少元.

19.已知向量a=(2cosx,1)，b=(sinx-cosx,1)，若函數(shù)f(x)=a?b

(1)求函數(shù)的最小正周期；

JT

(2)將f(x)的圖象向左平移勺個(gè)單位長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的一半,

6

得到g(x)的圖象，求g(x)=0時(shí)x的取值集合.

20.為慶祝建黨100周年，某校從全校隨機(jī)抽取了48名同學(xué)參加“黨史知識(shí)競(jìng)賽”，競(jìng)賽

分選擇題（滿分140分）和論述題（滿分100分）兩部分，每位同學(xué)兩部分都作答，成

績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖，x代表選擇題得分，y代表論述題得分，并設(shè)置獎(jiǎng)勵(lì)標(biāo)準(zhǔn)：x2100且y》60

為一等獎(jiǎng)，每人獎(jiǎng)勵(lì)400元；x<60或y<40為三等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)勵(lì)0元；其余皆為二等獎(jiǎng)，每

人獎(jiǎng)勵(lì)200元；

論述題得分

（1）估計(jì)這部分學(xué)生獲得獎(jiǎng)金的平均數(shù)；

（2）鑒于此項(xiàng)活動(dòng)導(dǎo)向積極、易于組織，其他學(xué)校競(jìng)相效仿，相繼舉行此項(xiàng)活動(dòng)（并設(shè)

立同樣的獎(jiǎng)勵(lì)標(biāo)準(zhǔn)）.若以樣本估計(jì)總體，從參加此項(xiàng)活動(dòng)的學(xué)生中（人數(shù)很多）隨機(jī)

抽取兩人，記兩人所獲獎(jiǎng)金之和為小求一=400的概率.

21.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,6,c,已知△ABC的面積為返廿一a2"2）.

（1）求角B的大小；

⑵若bf/^，求標(biāo),瓦+2cosAcosC的取值范圍?

22.如圖所示，平面平面A8CD,四邊形A8EF為矩形，四邊形A8CZ）為直角梯形,

ZADC=90°,AB//CD,AD=AF=CD=2,AB=2AD,M為AB的中點(diǎn).

（1）求證：AC_L平面CBE；

（2）若點(diǎn)尸是線段CE上一動(dòng)點(diǎn)，求△FP8周長(zhǎng)的最小值；

（3）求二面角CE-M的大小.

參考答案

一、單項(xiàng)選擇題(共8小題，每小題5分，共40分).

1.設(shè)4={4r>l},B={x|x2-x-2<0},則(CRA)AB=()

A.{x|x>-1}B.{x|-l<x<l}C.{x\-1<x<1}D.{x|l<x<2}

解：CRA={X|XW1},B={X|-1<X<2}；

(CRA)HB={X\-l<x^l}.

故選：B.

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,2）,則二為虛部單位）的虛部為（）

1~1

32

A.—iB.—C.3D.3;

22

解：；復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,2）,

?z_(l+2i)_(l+2i)(l+i)_3.

**1-i(1-i)(l-i)(l+i)F21

的虛部為g.

l-i2

故選：B.

3.己知相，"是直線，a是平面，且”ua,則，〃_L”是"?_La的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

解：根據(jù)線面垂直的可以機(jī)必須垂直平面a內(nèi)的兩條相交直線，才有即充分性

不成立，

若M/_La,則，”_L〃成立，即必要性成立，

故m±n是m±a的必要不充分條件，

故選：B.

4.某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至

2016年12月期間月接待游客量（單位：萬(wàn)人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.

45

2014年2015年2016年

根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn)

解：由己有中2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬(wàn)人）的數(shù)據(jù)可得：

月接待游客量逐月有增有減，故A錯(cuò)誤；

年接待游客量逐年增加，故8正確；

各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月，故C正確；

各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn)，故。

正確；

故選：A.

5.向量；=（x,1）.b=（2,y-l），其中x>0,y>0且Z1E，則2d的最小值為（）

xy

A.9B.8C.7D.5+2亞

解：根據(jù)題意，向量；=（x,1），b=（2,y-1），

若ZJ_b?則Z,E=2'v+）'-1~變形可得2x+y—1,

心」）（2x+y）=5+2上+2工25+4乂、/工乂3=9,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成

xyxyxyVxy

立，

01

即一4-的最小值為9；

xy

故選：A.

6.如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西方向行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂。

在西偏北45°的方向上，行駛600m后到達(dá)8處，測(cè)得此山頂在西偏北75°的方向上，

仰角為60°,則此山的高度CO為（)

A.60073B.600MC.600巫D.600

解：由題意可得AB=600,NB4c=45°,ZCBA=180°-75°=105°,

...NBC4=180°-乙鉆C-/BAC=30°.

△ABC中，由正弦定理可得.與」=,%…，即=[,-呼L，求得

sinZBCAsinZBACsiJn'?3?0sin45

8c=600&.

?.?NCBD=60°,.?.直角三角形BCD中，tan60°=?=線=./廠，

v,BC600V2

，C￡>=600?,

故選：c.

7.設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在［0,+8）上單調(diào)遞增，則下列不等式成立

的是（）

30-1

A.f(log20.5)<f(0.2)<f(2)

0,13

B.f(log20.5)<f(2)<f(0.2)

301

C.f(0.2)<f(2.)<f(log20.5)

31

D.f(0.2Xf(log20.5)<f(2°-)

解：log20.5=-1,0<0.23<l,23>2OI>1,

?：f(%)是定義在R上的偶函數(shù)，且在[0,+8)上單調(diào)遞增，

：.f(log20.5)=f(I),

則0<0.23<1<2°」<23,則/(0.23)<y(i)(2。/)<f(23),

013

則/(0.23)<y(log20.5)</(2)</(2),

故選：o.

8.已知向量a，b，c滿足Ia1=4，Ib|=2&，a與b的夾角為(c-a)?(c-b)=O

則|c|的最大值為（)

A.2A/2B.71Q+>/2C.VlOD.77o-V2

解：設(shè)笆=Z，PB=b-PC=c

因?yàn)?c-a)*(c-b)=0,

所以(而-而)?(西-屈)=°，即記箴=0,

所以向量3的終點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上，如圖：

顯然C在。的位置時(shí)，|c|取得最大值.

Ial=4,Ibl=2j5,a與b的夾角為一鼠,

可得息=1而-PAl=lb-al=Va2-2a-b+b2=2^2,

同=寺笆+聞=5+3a2+2a-b+b2=

所以反=I同+4同=百布我,

即|cI的最大值為寸T5+M.

二、多選題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得3分,

有選錯(cuò)的得0分.

9.下列結(jié)論正確的是()

A.設(shè)A,B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，則P(AUB)=P(A)+P(B)

B.概率是客觀存在的，與試驗(yàn)次數(shù)無(wú)關(guān)

C.如果事件A,B互斥,A-E分別為事件48的對(duì)立事件，則仄與正一定互斥

D.若4B是相互獨(dú)立事件，且p(A)=3,P(B)=f-貝iJP(A))。

3OJ■乙

解：設(shè)A,8是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，則P(AUB)=P(A)+P(B)-P(ACB),

故A錯(cuò)誤；

由于概率是客觀存在的，它與試驗(yàn)次數(shù)無(wú)關(guān)，故8正確；

如果事件A,B互斥，A-衛(wèi)分別為事件48的對(duì)立事件，則入與萬(wàn)不一定互斥，

例如扔一個(gè)骰子，A表示出現(xiàn)一點(diǎn)，B表示出現(xiàn)二點(diǎn)，A表示不出現(xiàn)一點(diǎn)，B表示不出現(xiàn)

二點(diǎn),

但此時(shí)，A-E中都包括了出現(xiàn)4點(diǎn)、5點(diǎn)、6點(diǎn)的情況，故C錯(cuò)誤;

VA,8是相互獨(dú)立事件，P(A)=5，P(B)=?,則P(AB)=P(A)-P(B)=±

434

故。正確,

故選：BD.

2X-4X?0

10.已知函數(shù)f（x）=?',則關(guān)于X的方程［/(x)］2-3/(X)+2=0的解可

-X2-4X+1,X<C0

以為（）

A.-4B.0C.-2D.log26

解：令t=f(x),則關(guān)于x的方程/(x)J2-3/(x)+2=0即為祥-3f+2=0,

解得f=l或t=2,

故/(x)=1或/(x)=2,

2x-4,x>0

函數(shù)f(x)=,

-X2-4X+1,X<0

①當(dāng)x20時(shí)，由/(x)=1可得，2*-4=1,解得x=log25,

由/(x)=2可得，2*-4=2,解得x=log26；

②當(dāng)x<0時(shí)，由/(x)=1可得，-/-4x+l=l,解得x=0(舍去)，x=-4,

由f(x)=2可得，-/-4x+l=2,即N+4X+1=0,解得X=-2±JW

綜上所述，關(guān)于x的方程［/(尤)F-y(x)+2=0的解為x=log25,x=log26,x--4,x

=-2士

故選：AD.

11.已知四邊形ABCD為等腰梯形，其中AB〃C￡>,AB=2CD=2AD=4,M,N分別為BC,

CD的中點(diǎn)，線段AM0M的交點(diǎn)為P,則下列說(shuō)法正確的是（）

—?Q—,1—,

A.DM-yAB4-AD

44

B.而在屈上的投影向量為■盛

8

C.AN=AD+^AB

D.NNPM=60°

解：以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A（0,0）,B（4,0）,C（3,

貶）,D（1,氏）,

'：M,N分別為BC,CQ的中點(diǎn)，

：.M（―,返），N（2,遍），

22

,AB=（%0）,皿=（1,退），DM=4',AN=⑵>

?■?-TAB-4AD=（耳，-返）#而，即選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

4444

由+1祈=（2,=祈，即選項(xiàng)C正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,而?標(biāo)=（-孚）?（4,0）=-10,

--*--*--*--?

而在屈上的投影向量為嗎毀?理一=平?佳殳=-?1而即選項(xiàng)8錯(cuò)誤；

lABIlABI448

對(duì)于選項(xiàng)。，設(shè)下=入方=（2入，后）,則尸（2入，后），

設(shè)DP=UDM，則（2入-1,A/3^--V3）=口（率?

乙/

'5

2入-1二2三口L

.?.<r,解得入=與，.,）（￥,但返），

〔內(nèi)飛事777

?—*—/25、—?—z2^3\

??PM-（?------），PN-（=，---，

1414「旦77

25乂25百通

??----X-----------X-----

?/皿PM-PN1471471

|PM|-|PN|625+75-52

V196V49

:.NNPM=60°,即選項(xiàng)。正確.

故選：CD.

12.正方體A8CC-4BCQI的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)M是的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AQi的中點(diǎn)，N為

DC的中點(diǎn)，點(diǎn)。在正方形OCGQ及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，若PQ〃面MBC”則下列說(shuō)法正確

的是（）

A.過(guò)點(diǎn)M,B,Q的截面為菱形

B.三棱錐Ci-QMB的體積為定值

C.AQ與平面OCGA所成角正切值的最小值為迎豆

17

D.三棱錐N-MBG外接球的表面積為9TT

解：如圖：取CG=￡hF=2，H,E,。分別為AB,C1D1,8。的中點(diǎn),

4

連接PF,AiE,MH,HN,NE,HC,OG,FG,AF,AG,

則易知四邊形P尸GO為平行四邊形，P/WBO為平行四邊形,

則有FG〃MB,又PF〃MC\,

則平面PFG?！ㄆ矫鍹BCi,

由題意點(diǎn)Q在正方形DCCxDx及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)且產(chǎn)。〃面M3G,故可知Q在線段FG上,

對(duì)4過(guò)點(diǎn)M,B,。的截面為平行四邊形M8GF,故4錯(cuò)誤;

對(duì)8：%y加UxScX/7,由尸G〃MB,Q在線段FG上,

O

則SMM8為定值，又C1到平面MBGF的距離h也為定值，

所以VC.YNB=￡XSA2M8X/I也為定值，故B正確；

13

對(duì)C：設(shè)AQ與平面DCGQi所成角為0,則tane=^=需，易知當(dāng)QQ最大時(shí)，tan。

最小,

則DQmax=DF=

所以tan9的最小值為,故C正確;

對(duì)D：三棱錐N-MBCi外接球即長(zhǎng)方體MHNE-BBiCiC的外接球,

且此時(shí)外接球的半徑R滿足（2R）2=（1）^+p+P=l,

24

所以三棱錐N-MBG外接球的表面積為4T（R2=半，故D錯(cuò)誤;

4

故選：BC.

E

13.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,若a=2?，b=6,A)「，則

0

角B為六或等.

—33―

解：由于在△ABC中，a=2j5，b=6,A=八，

6

則

sinAsinB

整理得：sinB=^A=2/l,

a2

由于：OVBVTT,

所以B=9或等.

oo

故,,f答d案為：TT或_p—2—兀.

Oo

14.已知樣本數(shù)據(jù)XI,…，X2。的平均數(shù)為5,方差為3,另一組樣本數(shù)據(jù)V，…，”0的平

均數(shù)為10,方差為4,則樣本數(shù)據(jù)加，…，xio,yi,…，go的方差為9.6.

解：根據(jù)題意，設(shè)樣本數(shù)據(jù)如，…，X20,V，…，g。的平均數(shù)為，，方差為解，

樣本數(shù)據(jù)》1，…，X20的平均數(shù)為5,則有(R1+X2+…+X20)=5,故X1+X2+…+420=100,

20

方差為3,則有(XI2+%22+...+X202)-20X25]=3,故婷+@+....+%2o2—560,

另一組樣本數(shù)據(jù)yi,…，”0的平均數(shù)為10,則有金■(yi+”+…+%))=10,故yi+”+…

+>3。=300,

方差為4,則有（yi2+y22+...+j3o2）~30X100]=4,故評(píng)+”2+.............+yso2=312O,

oU

對(duì)于樣本數(shù)據(jù)xi,…，X2o,yi,…，y3o,

M-i

其平均數(shù)冗=工大[（X1+X2+…+120）+（yi+”+…+）30）]=8,

50

則其方差（X12+X22+……W）+（yi2+>'22+……+那2）-50X64]=9.6,

50

故答案為：9.6.

15.最早的測(cè)雨器記載見(jiàn)于南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著的《數(shù)書(shū)九章》（1247年）.該書(shū)第二

章為“天時(shí)類”，收錄了有關(guān)降水量計(jì)算的四個(gè)例子，分別是“天池測(cè)雨”、“圓罌測(cè)

雨”、“峻積驗(yàn)雪”和“竹器驗(yàn)雪”.其中“天池測(cè)雨”法是下雨時(shí)用一個(gè)圓臺(tái)形的天

池盆收集雨水來(lái)測(cè)量平地降雨量（水的體積比盆口面積）.已知天池盆盆口直徑為二尺

八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸.當(dāng)盆中積水深九寸（注：1尺=10寸）時(shí),

平地降雨量是3寸.

解：如圖所示，由題意知天池盆上底面半徑為14寸，下底面半徑為6寸，高為18寸；

由積水深9寸，

所以水面半徑為（14+6）=10寸，

則盆中水的體積為L(zhǎng)tX9X（62+102+6X10）=588TT（立方寸）.

3

588兀

所以平地降雨量等于-------^=3（寸）.

71X14

故答案為：3.

16.在RtZkABC中，AC=BC=2,已知MV為△ABC內(nèi)切圓的一條直徑，點(diǎn)尸在△ABC的

外接圓上，則而.面的最大值為_(kāi)4\歷-2_.

解：設(shè)內(nèi)切圓的圓心為01,外接圓的圓心為。2,

:在RtZXABC中，AC=BC=2,.?.AB=2&,

，內(nèi)切圓OOi的半徑1=2+2：2返=2-&,外接圓。。2的半徑ri=^AB=^2,

22

則而=（可+6）?（可+?。?西2+呵?（刀+?。?幣?幣=

正0日+4加-6，

，要求而,面的最大值，只需求I西I的最大值.

又I°1°2尸?1-2+企)2+(b2+物2=2-如,

西I的最大值為廢+|。1。；|=2,

，而?際的最大值為4&-2.

故答案為：4-^2_2.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟

17.如圖，在四棱錐P-ABC。中，四邊形ABCQ為矩形，平面ABC。，M是PC的中

點(diǎn)，PA=AD=2,AB=\.

(1)求證：PA〃平面MB。

(2)求點(diǎn)。到平面PBC的距離.

°C

解：(1)證明：在矩形A8CO中，連接AC交BO于點(diǎn)。，則。為AC的中點(diǎn)，連接

MO.

為PC的中點(diǎn)，C.OM//PA

又；OMu平面"BO,PAC平面A/BD,

〃平面MB。

（2）'JAD//BC,8Cu平面尸8C,ADC平面PBC,〃平面P8C,二。至U平面尸BC

的距離等于A到平面PBC的距離，

：PAJ_平面A8CQ,BCu平面ABC。，APAIBC,

5L,：ABLBC,PAQAB=A,；.BC_L平面PA8

又：8Cu平面PBC,，平面P8C_L平面PAB

過(guò)A作A，_L尸8,則A”_L平面PBC,A”即為所求.

在RtZ^PAB中，PA=2,AB=1,解得皿

5

所以點(diǎn)。到平面P8C的距離為&5..

5

18.某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值機(jī)衡量，并按照質(zhì)量指標(biāo)值，〃劃分等級(jí)如表：

質(zhì)量指標(biāo)值Wm<8585^nj<105105

等級(jí)三等品二等品一等品

現(xiàn)在從某企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了200件作為樣本，檢驗(yàn)其質(zhì)量指標(biāo)值“得

到的頻率分布直方圖如圖所示（每組只含最小值，不含最大值）.

（1）求第75百分位數(shù)（精確到0.1）；

（2）在樣本中，按照產(chǎn)品等級(jí)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取8件產(chǎn)品，則這8

件產(chǎn)品中，一等品的件數(shù)是多少；

(3)將頻率視為概率，己知該企業(yè)的這種產(chǎn)品中每件一等品的利潤(rùn)是10元，每件二等

品和三等品的利潤(rùn)都是

6元，試估計(jì)該企業(yè)銷售600件這種產(chǎn)品，所獲利潤(rùn)是多少元.

解：(1)由題意可得，(0.0025+0.0090+0.0100+0.0200+0.0260+0.0025+x)X10=l,解

得x=0.030,

所以［65,105)的頻率為0.625,［105,115)的頻率為0.26,

則第75百分位數(shù)在［105,115)內(nèi)，

所以第75百分位數(shù)為105+10X焉生喘?109.8.

U.ooD-U.

(2)由頻率分布直方圖以及等級(jí)劃分規(guī)則可知，樣本中三等品、二等品、一等品的頻率

分別為：

(0.0025+0.0100)X10=0.125,(0.0200+0.0300)X10=0.5,(0.0260+0.0090+0.0025)

X10=0.375,

所以在樣本中，三等品、二等品、一等品的件數(shù)分別為25,100,75,

所以按照產(chǎn)品等級(jí)用比例分配分層隨機(jī)抽樣的方法抽取8件產(chǎn)品，則應(yīng)抽取的一等品的

件數(shù)為3件.

(3)由(2)知，從該企業(yè)的這種產(chǎn)品中任取一件是一等品的概率為0.375,是二等品或

三等品的概率為0.625,

故該企業(yè)銷售600件這種產(chǎn)品，所獲利潤(rùn)約為600義(0.3乃XI0+0.625X6)=4500(元).

19.已知向量a=(2cosx,1)>b=(sinx-cosx,1)，若函數(shù)f(x)=7?V

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；

JT

(2)將f(x)的圖象向左平移勺個(gè)單位長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的一半，

6

得到g(x)的圖象，求g(x)=0時(shí)x的取值集合.

解：(1)由題意可得/(x)=2cosx(sinr-cosx)+1=2sinAcos^-2cos2x+l=sin2x-cos2x

=V2sin(2x-

.2兀

??T下訂=兀.

nI11___jI

(2)f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得y=V^sin(2x+^~),

ITT

再將橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的微，得g(x)=J^sin(4xG；).

兀71

(x)=0BP-/2sin(4x+-y^_)=0＞，4x+y^=k兀,kwZ,

解得x=-^:--—，kwZ,

448

?"⑺二°時(shí)'的取值集合為｛*二十一表’舊｝.

20.為慶祝建黨100周年，某校從全校隨機(jī)抽取了48名同學(xué)參加“黨史知識(shí)競(jìng)賽”，競(jìng)賽

分選擇題（滿分140分）和論述題（滿分100分）兩部分，每位同學(xué)兩部分都作答，成

績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖，x代表選擇題得分，y代表論述題得分，并設(shè)置獎(jiǎng)勵(lì)標(biāo)準(zhǔn)：x》IOO且y>60

為一等獎(jiǎng)，每人獎(jiǎng)勵(lì)400元；x<60或y<40為三等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)勵(lì)0元；其余皆為二等獎(jiǎng)，每

人獎(jiǎng)勵(lì)200元；

論述題得分

（1）估計(jì)這部分學(xué)生獲得獎(jiǎng)金的平均數(shù)；

（2）鑒于此項(xiàng)活動(dòng)導(dǎo)向積極、易于組織，其他學(xué)校競(jìng)相效仿，相繼舉行此項(xiàng)活動(dòng)（并設(shè)

立同樣的獎(jiǎng)勵(lì)標(biāo)準(zhǔn)）.若以樣本估計(jì)總體，從參加此項(xiàng)活動(dòng)的學(xué)生中（人數(shù)很多）隨機(jī)

抽取兩人，記兩人所獲獎(jiǎng)金之和為〃，求”=400的概率.

【解答】解（1）由圖可知，一等獎(jiǎng)有8人，二等獎(jiǎng)有24人，三等獎(jiǎng)有16人，

所以平均數(shù)為8X300+2黑200+16X0-0元,

（2）由圖可知，獲一、二、三等獎(jiǎng)的概率分別為盤=《，鋁=5，單莖，

486482483

記兩人中，甲獲一，二，三等獎(jiǎng)分別為事件A”A2,A3,

乙獲一，二，三等獎(jiǎng)為事件亂，B2,Bi,

所以”=400的概率P=P（A1B3）+P（A2B2）+P（A3B1）=-x—X-X—