《數(shù)學（上 二冊）（第二版）》 課件 第6章 平面解析幾何

平面解析幾何第6章35目錄6.1直線的傾斜角和斜率6.2直線的方程6.3兩條直線的位置關(guān)系6.4曲線和方程6.5圓6.6橢圓6.7雙曲線6.8拋物線366.1直線的傾斜角和斜率37如圖a所示，在平面直角坐標系中，當直線l與x軸相交時，x軸繞著交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合時所形成的最小正角α，可以很好地反映直線l的傾斜程度，我們把α稱為直線l的傾斜角。圖b可以表示上海楊浦大橋橋塔上過同一點P的兩條拉索（同一平面內(nèi)）中，左側(cè)拉索所在直線的傾斜角α1是銳角，右側(cè)拉索所在直線的傾斜角α2是鈍角。圖c中的直線l垂直于x軸，它的傾斜角α是90°。圖d中直線l垂直于y軸，我們規(guī)定它的傾斜角α是0°。因此，直線l的傾斜角α的取值范圍是0°≤α<180°（或?qū)懽鳓痢蔥0，π））。38這樣，平面直角坐標系內(nèi)每一條直線都有一個確定的傾斜角α，且傾斜程度不同的直線，其傾斜角不相等；傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等。當直線l的傾斜角α≠90°時，α與其正切tanα是一一對應(yīng)的，因此，直線的傾斜程度也可用tanα表示。我們把直線傾斜角α（α≠90°）的正切稱為直線的斜率。通常用小寫英文字母k表示，即39根據(jù)正切函數(shù)的知識，可以得到直線的傾斜角α與斜率k之間的關(guān)系如下：當直線垂直于y軸時，α=0°?k=0；當直線的傾斜角是銳角時，0°<α<90°?k>0；當直線垂直于x軸時，α=90°?k不存在；當直線的傾斜角是鈍角時，90°<α<180°?k<0。40事實上，無論直線的傾斜角α是銳角還是鈍角，我們都能得到如下結(jié)論：在平面直角坐標系中，經(jīng)過兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）的直線的斜率公式是設(shè)向量

=（v1，v2）與直線l平行，則向量

稱為直線l的方向向量。若P1（x1，y1），P2（x2，y2）是l上的兩點，則向量

=（x2-x1，y2-y1）為直線l的方向向量。由直線l的斜率公式k=

（x2≠x1）可得416.2直線的方程42直線的點向式方程如圖所示，如果直線l與兩條坐標軸都不垂直（斜率存在且不等于0），方向向量

=（v1，v2），且經(jīng)過點P（x1，y1），求直線l的方程。43設(shè)點C（x，y）是直線l上的不同于點P的任意一點，因為

為直線l的方向向量，且

=（x-x1，y-y1），所以方程①稱為直線的點向式方程。若直線l經(jīng)過兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2），則向量

=（x2-x1，y2-y1）為直線l的方向向量。如果直線l與兩條坐標軸都不垂直，由點向式方程可得方程②稱為直線的兩點式方程。44直線的點斜式方程如圖所示，已知直線l經(jīng)過點P0（x0，y0），且斜率為k。設(shè)點P（x，y）是直線l上不同于點P0的任意一點，由直線的斜率公式，得將上式兩邊同乘以x-x0，得因為點P0的坐標（x0，y0）同樣滿足上述關(guān)系式，所以關(guān)系式③就是所求直線l的方程。由于這個方程是由直線l上一定點P0（x0，y0）和直線l的斜率k所確定的，所以把方程③稱為直線的點斜式方程。45直線的斜截式方程與截距式方程如圖所示，點P0是直線l與y軸的交點，設(shè)其坐標為（0，b），我們把b稱為直線l在y軸上的截距。此時，直線l的點斜式方程為y-b=k（x-0）即46方程④是由直線l的斜率k和在y軸上的截距b確定的，所以把方程④稱為直線的斜截式方程。若直線l與x軸相交于點A，設(shè)其坐標為（a，0），我們把a稱為直線l在x軸上的截距。我們把方程稱為直線的截距式方程。47直線的一般式方程從上述討論可知，直線的方程無論是點斜式還是斜截式，都是關(guān)于x，y的二元一次方程。二元一次方程的一般形式是：Ax+By+C=0（A，B不全為零）。那么，形如Ax+By+C=0（A，B不全為零）的二元一次方程的圖形是否為一條直線呢?我們通過下表來討論這個問題。4849綜上所述，方程Ax+By+C=0（A，B不全為零）在平面直角坐標系中表示的是一條直線。我們把形如的二元一次方程稱為直線的一般式方程。506.3兩條直線的位置關(guān)系51兩條直線平行的判定如圖所示，設(shè)直線l1和l2的傾斜角分別為α1和α2，斜率分別為k1和k2。52如果l1∥l2，那么直線l1與l2的傾斜角相等，即α1=α2，則tan

α1=tan

α2，即k1=k2。因此，若l1∥l2，則k1=k2。53如果直線l1與l2不重合，且k1=k2，即tan

α1=tan

α2（α1，α2∈[0，π）），則α1=α2，得到l1∥l2。因此，若k1=k2，則l1∥l2。于是，對于兩條不重合的直線l1與l2，若它們的斜率分別為k1與k2，則有若它們的斜率都不存在，那么它們的傾斜角均為90°，也有l(wèi)1∥l2。54兩條直線垂直的判定設(shè)兩條直線l1與l2的傾斜角分別為α1與α2（α1，α2≠90°），l1的方程為y=k1x+b1（k1≠0），l2的方程為y=k2x+b2（k2≠0）。我們來討論l1⊥l2時，它們的斜率k1與k2之間的關(guān)系。由圖a可得α1+（180°-α2）=90°，則所以k1=-

，即k1·k2=-1。5556因此，對斜率都存在的兩條直線l1與l2，當l1⊥l2時，必有k1·k2=-1。反之，當k1·k2=-1時，有則所以α1+（180°-α2）=90°，即l1⊥l2。因此，有如果兩條直線l1與l2的斜率一個等于0，另一個不存在，如上圖b所示，顯然，這兩條直線也垂直。57相交直線的交點設(shè)平面內(nèi)兩條不重合的直線的方程分別是l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0。如果l1，l2不平行，則必然相交于一點，交點的坐標既滿足l1的方程，又滿足l2的方程，是這兩個方程的公共解；反之，如果這兩個方程只有一個公共解，那么以這個解為坐標的點必是l1與l2的交點。因此，求兩條相交直線的交點，只需解以下方程組即可。這個方程組的解就是l1與l2的交點坐標。58點到直線的距離如圖所示，在平面直角坐標系中，已知點P0（x0，y0），直線l：Ax+By+C=0。過點P0作直線l的垂線P0Q，Q為垂足，則垂線段P0Q的長度就是點P0到直線l的距離，記作d?？梢宰C明，點P0（x0，y0）到直線l：Ax+By+C=0的距離公式為596.4曲線和方程60曲線和方程的概念下面以圖b所示拋物線為例進行分析。二次函數(shù)y=x2的圖像是關(guān)于y軸對稱的拋物線，這條拋物線由所有以方程x2-y=0解為坐標的點組成的。也就是說，如果點P（x0，y0）是這條拋物線上的點，則（x0，y0）一定是這個方程的解。由此推廣到一般情況：在平面直角坐標系中，如果某條曲線C（可以將其看作適合某種條件的點的集合或軌跡）上點的坐標都是二元方程F（x，y）=0的解；同時以方程F（x，y）=0的解為坐標的點都在曲線C上，那么，方程F（x，y）=0稱為曲線C的方程，而曲線C是這個方程F（x，y）=0的曲線。6162求曲線的方程在平面上有兩定點A，B，現(xiàn)要尋找點P使PA⊥PB，你能求出滿足條件的點P的軌跡方程嗎?以線段AB的中點O為原點，以AB所在的直線為x軸，建立直角坐標xOy。設(shè)丨AB丨=2a（a>0），則點A，B的坐標分別為（-a，0），（a，0）。現(xiàn)設(shè)點P（x，y），由PA⊥PB，得kPA·kPB=-1，即整理得x2+y2=a2（x≠±a）。所以方程x2+y2=a2（x≠±a）就是點P的軌跡方程。63由此，我們可以總結(jié)出已知平面曲線求曲線方程的主要步驟：（1）建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?；?）設(shè)曲線上任意一點P（或動點）的坐標為（x，y）；（3）寫出點P的限制條件，即列出等式；（4）將點P的坐標代入等式，得方程F（x，y）=0；（5）化簡方程F（x，y）=0（此過程應(yīng)為同解變形）。由于化簡過程是同解變形，所以可以省略證明“以化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點”的過程。64求兩條曲線的交點兩條曲線（包括直線）的交點坐標也就是兩條曲線的公共點的坐標。由曲線上點的坐標和其方程的解之間的關(guān)系可知，兩條曲線交點的坐標，應(yīng)該是這兩條曲線的方程所組成的方程組的實數(shù)解。反之，方程組有幾組實數(shù)解，兩條曲線就有幾個交點；若方程組無實數(shù)解，則兩條曲線就沒有交點。因此，求兩條曲線的交點就是求這兩條曲線的方程所組成的方程組的實數(shù)解。656.5圓66圓的標準方程如圖所示，在平面直角坐標系中，已知一個圓以點C（a，b）為圓心、r為半徑，設(shè)P（x，y）是圓上任意一點，則|PC|=r。由兩點之間的距離公式，可以得到關(guān)于點P的坐標的關(guān)系式將上式兩邊平方，得67若點P（x，y）在圓上，由上述討論可知，點P的坐標滿足方程①；反之，若點P的坐標（x，y）滿足方程①，則表明點P到圓心C的距離為r，即點P在以點C為圓心的圓上。所以方程①就是以點C（a，b）為圓心、r為半徑的圓的方程。我們稱這個方程為圓的標準方程。如果圓心在坐標系的原點，這時a=0，b=0，那么圓的標準方程就是

x2+y2=r2。

①68圓的一般方程圓的方程還有一種形式。我們看一個具體的例子，圖中，已知圓的圓心為C（6，-5），半徑r為4。由此，我們可以寫出這個圓的標準方程（x-6）2+（y+5）2=16。將上面的方程展開并整理得x2+y2-12x+10y+45=0。我們把方程x2+y2-12x+10y+45=0稱為這個圓的一般方程。通常，如果形如的方程能夠表示一個圓，我們就把它稱為圓的一般方程。需注意的是，與方程③類似的方程并不是都能表示一個圓。6970直線與圓的位置關(guān)系在平面幾何中，我們已經(jīng)學習過直線與圓的三種不同的位置關(guān)系及它們的判定方法。已知圓C的半徑為r，設(shè)圓心C到直線l的距離為d。1.直線和圓有兩個公共點，稱為直線與圓相交，這時直線稱為圓的割線。直線l與圓C相交?d<r。2.直線和圓有唯一公共點，稱為直線與圓相切，這時直線稱為圓的切線，唯一公共點稱為切點。直線l與圓C相切?d=r。3.直線和圓沒有公共點，稱為直線與圓相離。直線l與圓C相離?d>r。71以上應(yīng)用了幾何方法判定直線與圓的位置關(guān)系。在平面直角坐標系中，圓的圓心為C（a，b），直線l的方程為Ax+By+C=0，則圓心C到直線l的距離d為比較d與r的大小，即可判定直線與圓的位置關(guān)系。應(yīng)用代數(shù)方法，從聯(lián)立方程組的解的個數(shù)，也能判定直線與圓的位置關(guān)系。通過方程組中的第一式用含有x的式子表示出y，代入第二式，得出一個關(guān)于x的一元二次方程，由這個一元二次方程的判別式Δ的符號就能判定直線與圓是相交、相切還是相離。72我們把上述討論的直線與圓的位置關(guān)系及判定方法總結(jié)如下：73圓的參數(shù)方程我們前面學習了直線的方程Ax+By+C=0（A，B不全為零）和圓的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）。直線和圓的方程都可以表示為F（x，y）=0的形式。方程F（x，y）=0描述了曲線上任一點的坐標x，y之間的關(guān)系，習慣上，我們把方程F（x，y）=0稱為曲線的普通方程。下面，我們要學習曲線方程的另一種形式———參數(shù)方程。如圖所示，設(shè)圓心在原點、半徑為r的圓O與x軸的正半軸的交點是A。74設(shè)在圓上的點從點A開始按逆時針方向運動到達點P，∠AOP=θ，則點P的位置與旋轉(zhuǎn)角θ有關(guān)。當θ確定時，點P在圓上的位置也就確定了。點P在圓上的位置是隨θ的變化而變化。點P的橫坐標與縱坐標都是θ的函數(shù)，由三角函數(shù)的定義得并且對于θ的每一個允許值，由方程組①所確定的點P（x，y）都在圓O上。方程組①稱為圓心在原點、半徑為r的圓的參數(shù)方程，其中θ是參數(shù)。75一般地，在取定的坐標系中，如果曲線上任意一點P的坐標x，y都是某個變量t的函數(shù)，即并且對于t的每一個允許值，由方程組所確定的點P（x，y）都在這條曲線上，則方程組就稱為這條曲線的參數(shù)方程。變量t稱為參變數(shù)，簡稱參數(shù)。76將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，有利于識別曲線的類型。曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式，它們都表示曲線上任意一點的坐標之間的關(guān)系。曲線的參數(shù)方程

消去參數(shù)t后即化為曲線的普通方程，但要注意的是消參數(shù)的過程中一定要保證不使方程的取值范圍發(fā)生改變。776.6橢圓78觀察下面圖片中所顯示的曲線，你能說出生活中存在的類似的曲線嗎?一杯水圖所示水杯的杯口為圓形，杯中盛有水。豎直放置時，杯中水面的輪廓為圓形；現(xiàn)將杯口傾斜（無水溢出），觀察杯中水面輪廓形成的曲線。這一曲線與圓相比具有什么特征?一條曲線取一根沒有伸縮性的細繩，把它的兩端固定在畫圖板上的F1和F2

兩點，且使繩長大于F1和F2之間的距離。用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動，筆尖就畫出了如圖所示的一條曲線。79橢圓的定義及其標準方程實例考察中，上圖中杯中水面的輪廓和上圖中畫出的曲線都是橢圓。分析上面的作圖方法不難看出，橢圓上的任意一點到點F1和F2的距離的和為定值。我們定義：下面，我們來建立橢圓的方程。如圖所示，以過焦點F1，F(xiàn)2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系。80設(shè)P（x，y）是橢圓上任意一點，橢圓的焦距為2c（c>0），那么，焦點F1，F(xiàn)2的坐標分別是（-c，0），（c，0）。又設(shè)點P與F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)2a（a>0），于是有|PF1|+|PF2|=2a。應(yīng)用兩點間的距離公式，并把P，F(xiàn)1和F2的坐標代入，得整理得（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）。81由橢圓的定義可知，2a>2c，即a>c>0，所以a2-c2>0。為了使方程變得簡單整齊，可令a2-c2=b2（b>0），則方程變?yōu)閎2x2+a2y2=a2b2，兩邊同除以a2b2，得這個方程稱為橢圓的標準方程，它所表示的橢圓的焦點在x軸上，焦點是F1（-c，0）和F2（c，0），其中a2=b2+c2。82如果以經(jīng)過兩個焦點F1和F2的直線為y軸，線段F1F2的垂直平分線為x軸，如圖所示，用同樣的方法，可得橢圓的方程為這個方程是一個焦點在y軸上的橢圓的標準方程，焦點為F1（0，-c）和F2（0，c），其中a，b，c之間仍然滿足a2=b2+c2。83橢圓的幾何性質(zhì)通過曲線的方程來研究曲線的幾何性質(zhì)并正確畫出圖形是解析幾何的基本問題之一，我們可以根據(jù)橢圓的標準方程，來研究橢圓的幾何性質(zhì)?，F(xiàn)給出下表供讀者學習、研究。8485借助上表所列的幾何性質(zhì)可以畫出橢圓的草圖。其步驟是：1.根據(jù)橢圓的標準方程標出四個頂點；2.過這四個頂點作坐標軸的平行線，得到橢圓的界定矩形；3.用平滑的曲線將四個頂點連成一個橢圓，連接時要注意橢圓的對稱性及頂點附近的平滑性。86橢圓的參數(shù)方程我們知道在同角三角函數(shù)基本關(guān)系式中有恒等式cos2

θ+sin2

θ=1，且橢圓的標準方程為因此，可以令

即（θ為參數(shù)）

這就是橢圓的參數(shù)方程。其中，常數(shù)a，b分別是橢圓的長半軸長和短半軸長。根據(jù)橢圓的參數(shù)方程，橢圓上任一點的坐標可設(shè)成（acosθ

，bsin

θ），這為解決橢圓問題提供了一條新的途徑。876.7雙曲線88雙曲線的定義和標準方程顯然，圖所畫曲線的特點是，其上任意一點到點F1和F2的距離的差的絕對值相等。我們定義：89與橢圓類似，以過焦點F1，F(xiàn)2的直線為x軸，線段F1F2

的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系。設(shè)P（x，y）是雙曲線上的任意一點，雙曲線的焦距為2c（c>0），則兩個焦點的坐標分別為F1（-c，0）和F2（c，0）。又設(shè)點P與F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值為2a（0<a<c），即丨PF1丨-丨PF2丨=±2a。90由兩點間的距離公式得所以整理得（c2-a2）x2-a2y2=a2（c2-a2）。91由于0<a<c，所以c2-a2>0。令c2-a2=b2（b>0），代入上式，得b2x2-a2y2=a2b2，兩邊同除以a2b2，得這個方程稱為雙曲線的標準方程，它表示焦點在x軸上的雙曲線，其中a，b，c之間的關(guān)系是c2=a2+b2。92如圖所示，如果以經(jīng)過兩個焦點F1和F2的直線為y軸，線段F1F2的垂直平分線