2024年中考數(shù)學(xué)模擬試題二次函數(shù)

2024年中考數(shù)學(xué)模擬試題二次函數(shù)一.選擇題1.（2024河北石家莊·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸，點(diǎn)B在x軸的正半軸，與y軸交于點(diǎn)C，且CO=2AO，CO=BO，AB=3，則下列判斷中正確的是（）A．此拋物線的解析式為y=x2+x﹣2B．當(dāng)x＞0時(shí)，y隨著x的增大而增大C．在此拋物線上的某點(diǎn)M，使△MAB的面積等于5，這樣的點(diǎn)共有三個(gè)D．此拋物線與直線y=﹣只有一個(gè)交點(diǎn)【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)．【分析】先確定A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，則可利用交點(diǎn)式求出拋物線解析式，于是可對(duì)A選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)B選項(xiàng)進(jìn)行判斷；設(shè)M（t，t2﹣t﹣2），根據(jù)三角形面積公式得到×3×|t2﹣t﹣2|=5，再把方程化為t2﹣t﹣2=或t2﹣t﹣2=﹣，然后通過解兩個(gè)方程確定t的值，從而可對(duì)C選項(xiàng)進(jìn)行判斷；通過解方程x2﹣x﹣2=﹣可對(duì)D選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：∵CO=2AO，CO=BO，AB=3，∴OA=1，OB=2，∴A（﹣1.0），B（2，0），∴拋物線解析式為y=（x+1）（x﹣2），即y=x2﹣x﹣2，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=，∴當(dāng)x＞時(shí)，y隨著x的增大而增大，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)M（t，t2﹣t﹣2），當(dāng)△MAB的面積等于5，則×3×|t2﹣t﹣2|=5，∴t2﹣t﹣2=或t2﹣t﹣2=﹣，∵方程t2﹣t﹣2=有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)解，而方程或t2﹣t﹣2=﹣沒有實(shí)數(shù)解，∴滿足條件的M點(diǎn)有2個(gè)，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)y=﹣時(shí)，x2﹣x﹣2=﹣，解得x1=x2=∴拋物線與直線y=﹣只有一個(gè)交點(diǎn)，所以D選項(xiàng)正確．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系．對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），△=b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：△=b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b2﹣4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．2.（2024河大附中·一模）如圖．等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，N為AC的三等分點(diǎn)，三角形邊上的動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止．設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路程為x，MN2=y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為()第2題答案：A3.．（2024黑龍江大慶·一模）已知二次函數(shù)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，則線段AB的最小值為()A． B．2 C． D．無(wú)法確定答案：C第4題4.（2024黑龍江齊齊哈爾·一模）如圖，對(duì)于二次函數(shù)(a≠0)的圖象，得出了第4題下面五條信息：①c＞0；②b=6a；③＞0；④a+b+c＜0；⑤對(duì)于圖象上的兩點(diǎn)(-6,m)、(1,n)，有m＜n.其中正確信息的個(gè)數(shù)有()A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)答案：C5.（2024湖北襄陽(yáng)·一模）函數(shù)與（）的圖像可能是：（）答案：C第5題6.．(2024上海普陀區(qū)·一模)如果a、b同號(hào)，那么二次函數(shù)y=ax2+bx+1的大致圖象是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】二次函數(shù)的圖象．【分析】分a＞0和a＜0兩種情況根據(jù)二次函數(shù)圖象的開口方向、對(duì)稱軸、與y軸的交點(diǎn)情況分析判斷即可得解．【解答】解：a＞0，b＞0時(shí)，拋物線開口向上，對(duì)稱軸x=﹣＜0，在y軸左邊，與y軸正半軸相交，a＜0，b＜0時(shí)，拋物線開口向下，對(duì)稱軸x=﹣＜0，在y軸左邊，與y軸正半軸坐標(biāo)軸相交，D選項(xiàng)符合．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象，熟練掌握函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論．7．(2024山東棗莊·模擬)已知拋物線y=ax2+bx+c（a＞0）過（﹣2，0），（2，3）兩點(diǎn)，那么拋物線的對(duì)稱軸（）A．只能是x=﹣1B．可能是y軸C．可能在y軸右側(cè)且在直線x=2的左側(cè)D．可能在y軸左側(cè)且在直線x=﹣2的右側(cè)【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)題意判定點(diǎn)（﹣2，0）關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)橫坐標(biāo)x2滿足：﹣2＜x2＜2，從而得出﹣2＜＜0，即可判定拋物線對(duì)稱軸的位置．【解答】解：∵拋物線y=ax2+bx+c（a＞0）過（﹣2，0），（2，3）兩點(diǎn)，∴點(diǎn)（﹣2，0）關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)橫坐標(biāo)x2滿足：﹣2＜x2＜2，∴﹣2＜＜0，∴拋物線的對(duì)稱軸在y軸左側(cè)且在直線x=﹣2的右側(cè)．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)判斷出另一個(gè)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵8．(2024上海浦東·模擬)下列函數(shù)的圖像在每一個(gè)象限內(nèi)，隨著的增大而增大的是（A）（A）； （B）；（C）； （D）第9題圖9.(2024陜西師大附中·模擬)已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，頂點(diǎn)為（－1，0），下列結(jié)論：第9題圖①；②；③；④.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）1B.2C.3D.410.（2024江蘇常熟·一模）拋物線y=﹣x2+x﹣1與坐標(biāo)軸（含x軸、y軸）的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．【分析】先根據(jù)判別式的值得到△=﹣3＜0，根據(jù)△=b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)得到拋物線與x軸沒有交點(diǎn)，由于拋物線與y軸總有一個(gè)交點(diǎn)，所以拋物線y=﹣x2+x﹣1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1．【解答】解：∵△=12﹣4×（﹣1）×（﹣1）=﹣3＜0，∴拋物線與x軸沒有交點(diǎn)，而拋物線y=﹣x2+x﹣1與y軸的交點(diǎn)為（0，﹣1），∴拋物線y=﹣x2+x﹣1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：求二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0，即ax2+bx+c=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)．二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點(diǎn)與一元二次方程ax2+bx+c=0根之間的關(guān)系，△=b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：△=b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b2﹣4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．11.（2024江蘇省南京市鐘愛中學(xué)·九年級(jí)下學(xué)期期初考試）已知，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則以下說法不正確的是（）A．根據(jù)圖象可得該函數(shù)y有最小值B．當(dāng)x=﹣2時(shí)，函數(shù)y的值小于0C．根據(jù)圖象可得a＞0，b＜0D．當(dāng)x＜﹣1時(shí)，函數(shù)值y隨著x的增大而減小答案：C12.（2024遼寧丹東七中·一模）二次函數(shù)的圖像如圖所示，則下列說法正確的是（）A.2a+b＜0B.a+b+c＜0C.若-1＜m＜n＜1,則m+n＜-D.3+＞2答案：C13．（2024遼寧丹東七中·一模）函數(shù)y=ax2－2與（a≠0）在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）答案：D14.（2024廣東·一模）如圖，拋物線y=-x2+2x+m+1交x軸于點(diǎn)A（a，0）和B（b，0），交y軸于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D.下列四個(gè)判斷：①當(dāng)x>0時(shí)，y>0；②若a=-1，則b=4；③拋物線上有兩點(diǎn)P（x1,y1）和Q（x2,y2），若x1<1<x2，且x1+x2>2，則y1>y2；④點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為E，點(diǎn)G，F(xiàn)分別在x軸和y軸上，當(dāng)m=2時(shí)，四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小值為，其中正確判斷的序號(hào)是（）A.①B.②C.③D.④答案：C15.（2024廣東深圳·一模）已知二次函數(shù)y=a（x﹣1）2﹣c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=ax+c的大致圖象可能是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】二次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象．【分析】首先根據(jù)二次函數(shù)圖象得出a，c的值，進(jìn)而利用一次函數(shù)性質(zhì)得出圖象經(jīng)過的象限．【解答】解：根據(jù)二次函數(shù)開口向上則a＞0，根據(jù)﹣c是二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)，得出c＞0，故一次函數(shù)y=ax+c的大致圖象經(jīng)過一、二、三象限，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的圖象以及一次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)已知得出a，c的值是解題關(guān)鍵．16.（2024廣東深圳·聯(lián)考）關(guān)于二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A．拋物線開口方向向下B．當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)有最大值-2C．當(dāng)x＞3時(shí)，y隨x的增大而減小D．拋物線可由經(jīng)過平移得到答案：D4.（2024廣東深圳·聯(lián)考）如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為-1，3，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有①ac＜0②2a+b=0③4a+2b+c＞0④對(duì)于任意x均有ax2+bx≥a+bA．1 B．2C．3 D．4答案：C二.填空題1.（2024河大附中·一模）如圖，一段拋物線：y=x(x-2)(0≤x≤2)，記為C1，它與x軸交于點(diǎn)O，A，；將C1繞點(diǎn)A1旋轉(zhuǎn)180°得C2，交x軸于點(diǎn)A2；將C2繞點(diǎn)A2旋轉(zhuǎn)180°得C3，交x軸于點(diǎn)A3；…，如此進(jìn)行下去，直至得C2016．若P(4031，a)在第2016段拋物線C2016上，則a=.第1題答案：12.（2024湖北襄陽(yáng)·一模）教練對(duì)小明推鉛球的錄像進(jìn)行技術(shù)分析，發(fā)現(xiàn)鉛球行進(jìn)高度y(m)與水平距離x(m)之間的關(guān)系為+3，由此可知鉛球推出的距離為.答案：103.(2024陜西師大附中·模擬)請(qǐng)給出一元二次方程＝0的一個(gè)常數(shù)項(xiàng)，使這個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.【答案】任何一個(gè)小于16的數(shù)4．(2024山東棗莊·模擬)二次函數(shù)y=ax2+bx﹣1（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，1），則a+b+1=3．【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．【專題】計(jì)算題．【分析】先把（1，1）代入y=ax2+bx﹣1可得a+b的值，然后利用整體代入的方法計(jì)算a+b+1的值．【解答】解：把（1，1）代入y=ax2+bx﹣1得a+b﹣1=1，所以a+b=2，所以a+b+1=2+1=3．故答案為3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式．解決此題的關(guān)鍵是把拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式得到a、b的等量關(guān)系．5．(2024上海普陀區(qū)·一模)在函數(shù)①y=ax2+bx+c，②y=（x﹣1）2﹣x2，③y=5x2﹣，④y=﹣x2+2中，y關(guān)于x的二次函數(shù)是④．（填寫序號(hào)）【考點(diǎn)】二次函數(shù)的定義．【分析】根據(jù)形如y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函數(shù)，可得答案．【解答】解：①a=0時(shí)y=ax2+bx+c是一次函數(shù)，②y=（x﹣1）2﹣x2是一次函數(shù)；③y=5x2﹣不是整式，不是二次函數(shù)；④y=﹣x2+2是二次函數(shù)，故答案為：④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)，形如y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函數(shù)，注意二次項(xiàng)的系數(shù)不能為零．6．(2024上海普陀區(qū)·一模)二次函數(shù)y=x2+2x﹣3的圖象有最低點(diǎn)．（填：“高”或“低”）【考點(diǎn)】二次函數(shù)的最值．【分析】直接利用二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合其開口方向得出答案．【解答】解：∵y=x2+2x﹣3，a=1＞0，∴二次函數(shù)y=x2+2x﹣3的圖象有最低點(diǎn)．故答案為：低．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，得出二次函數(shù)的開口方向是解題關(guān)鍵．7．(2024上海浦東·模擬)已知函數(shù)，那么38．(2024上海普陀區(qū)·一模)如果拋物線y=2x2+mx+n的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），那么m+n的值等于1．【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】推理填空題．【分析】根據(jù)拋物線y=2x2+mx+n的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），可知，從而可以得到m、n的值，進(jìn)而可以得到m+n的值．【解答】解：∵拋物線y=2x2+mx+n的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），∴，解得m=﹣4，n=5，∴m+n=﹣4+5=1．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式9.（2024吉林東北師范大學(xué)附屬中學(xué)·一模）如．若是以為底邊的等腰三角形，則的面積是．答案：10.（2024江蘇常熟·一模）如圖，在水平地面點(diǎn)A處有一網(wǎng)球發(fā)射器向空中發(fā)射網(wǎng)球，網(wǎng)球飛行路線是一條拋物線，在地面上落點(diǎn)為B，有人在直線AB上點(diǎn)C（靠點(diǎn)B一側(cè)）豎直向上擺放若干個(gè)無(wú)蓋的圓柱形桶．試圖讓網(wǎng)球落入桶內(nèi)，已知AB=4米，AC=3米，網(wǎng)球飛行最大高度OM=5米，圓柱形桶的直徑為0.5米，高為0.3米（網(wǎng)球的體積和圓柱形桶的厚度忽略不計(jì)）．當(dāng)豎直擺放圓柱形桶至少8個(gè)時(shí)，網(wǎng)球可以落入桶內(nèi)．【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用．【分析】以拋物線的對(duì)稱軸為y軸，水平地面為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)解析式，結(jié)合已知確定拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)，代入解析式確定拋物線的解析式，由圓桶的直徑，求出圓桶兩邊緣縱坐標(biāo)的值，確定m的范圍，根據(jù)m為正整數(shù)，得出m的值，即可得到當(dāng)網(wǎng)球可以落入桶內(nèi)時(shí)，豎直擺放圓柱形桶個(gè)數(shù)．【解答】解：（1）以點(diǎn)O為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系（如圖），M（0，5），B（2，0），C（1，0），D（，0）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+k，拋物線過點(diǎn)M和點(diǎn)B，則k=5，a=﹣．∴拋物線解析式為：y=﹣x2+5；∴當(dāng)x=1時(shí)，y=；當(dāng)x=時(shí)，y=．∴P（1，），Q（，）在拋物線上；設(shè)豎直擺放圓柱形桶m個(gè)時(shí)網(wǎng)球可以落入桶內(nèi)，由題意，得，≤m≤，解得：7≤m≤12；∵m為整數(shù)，∴m的最小整數(shù)值為：8，∴豎直擺放圓柱形桶至少8個(gè)時(shí)，網(wǎng)球可以落入桶內(nèi)．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】研究拋物線的問題，需要建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，根據(jù)已知條件，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，確定解析式，這是解答其它問題的基礎(chǔ)．11.（2024江蘇丹陽(yáng)市丹北片·一模）拋物線先向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，得到拋物線答案：；12.（2024江蘇丹陽(yáng)市丹北片·一模）如圖，已知⊙P的半徑為1，圓心P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)⊙P與軸相切時(shí)，圓心P的坐標(biāo)為．答案：,（0，-1）13.（2024江蘇省南京市鐘愛中學(xué)·九年級(jí)下學(xué)期期初考試）二次函數(shù)y=x2﹣4x﹣3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，）．答案：（2，﹣7）14.（2024江蘇省南京市鐘愛中學(xué)·九年級(jí)下學(xué)期期初考試）若函數(shù)y=mx2﹣2x+1的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則m=．答案：0或115.（2024上海市閘北區(qū)·中考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)4月卷）二次函數(shù)的對(duì)稱軸是直線x=▲．16,（2016·河南三門峽·一模）二次函數(shù)y=x2﹣2x的圖象的對(duì)稱軸是直線__________．答案：17．（2024河南三門峽·二模）如圖，拋物線y=x2﹣2x﹣3交x軸于A（﹣1，0）、B（3，0），交y軸于C（0，﹣3），M是拋物線的頂點(diǎn)，現(xiàn)將拋物線沿平行于y軸的方向向上平移三個(gè)單位，則曲線CMB在平移過程中掃過的面積為__________（面積單位）．答案：918.（2024河南洛陽(yáng)·一模）對(duì)于二次函數(shù)y=-x2+2x.有下列四個(gè)結(jié)論：①它的對(duì)稱軸是直線x=1;②設(shè)y1=-x12+2x1，y2=-x22+2x2，則當(dāng)x2>x1時(shí)，有y2>y1;③它的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)是(0.0)和(2，0);④當(dāng)0<x<2時(shí)，y>0．其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為個(gè)．答案：319．（2024吉林長(zhǎng)春朝陽(yáng)區(qū)·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2﹣2x﹣1交y軸于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AB∥x軸交拋物線于點(diǎn)B，點(diǎn)P在拋物線上，連結(jié)PA、PB，若點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在直線AB上，則△ABP的面積是2．【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．【分析】求得C的坐標(biāo)，進(jìn)而求得B的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在直線AB上得出三角形的高，然后根據(jù)三角形面積公式即可求得．【解答】解：令x=0，則y=x2﹣2x﹣1=﹣1，∴A（0，﹣1），把y=﹣1代入y=x2﹣2x﹣1得﹣1=x2﹣2x﹣1，解得x1=0，x2=2，∴B（2，﹣1），∴AB=2，∵點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在直線AB上，∴△PAB邊AB上的高為2，∴S=×2×2=2．故答案為2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求得A、B的坐標(biāo)以及三角形的高是解題的關(guān)鍵．20．（2024湖南省岳陽(yáng)市十二校聯(lián)考·一模）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個(gè)結(jié)論：①c=0；②該拋物線的對(duì)稱軸是直線x=﹣1；③當(dāng)x=1時(shí)，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）；⑤設(shè)A（100，y1），B（﹣100，y2）在該拋物線上，則y1＞y2．其中正確的結(jié)論有①②④⑤．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．【分析】由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷．【解答】解：拋物線與y軸交于原點(diǎn)，c=0，（故①正確）；該拋物線的對(duì)稱軸是：，直線x=﹣1，（故②正確）；當(dāng)x=1時(shí)，y=a+b+c∵對(duì)稱軸是直線x=﹣1，∴﹣b/2a=﹣1，b=2a，又∵c=0，∴y=3a，（故③錯(cuò)誤）；x=m對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為y=am2+bm+c，x=﹣1對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為y=a﹣b+c，又∵x=﹣1時(shí)函數(shù)取得最小值，∴a﹣b+c＜am2+bm+c，即a﹣b＜am2+bm，∵b=2a，∴am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．（故④正確），∵|100+1|＞|﹣100+1|，且開口向上，∴y1＞y2．（故⑤正確）．故答案為：①②④⑤．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）系數(shù)符號(hào)由拋物線開口方向、對(duì)稱軸、拋物線與y軸的交點(diǎn)、拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定．21.三.解答題1.（2024河北石家莊·一模）如圖，拋物線y=﹣x2+x+1與y軸交于A點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線與拋物線交于另一點(diǎn)B，過點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C（3，0）（1）求直線AB的函數(shù)關(guān)系式；（2）動(dòng)點(diǎn)P在線段OC上從原點(diǎn)出發(fā)以每秒一個(gè)單位的速度向C移動(dòng)，過點(diǎn)P作PN⊥x軸，交直線AB于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N．設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間為t秒，MN的長(zhǎng)度為s個(gè)單位，求s與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；（3）設(shè)在（2）的條件下（不考慮點(diǎn)P與點(diǎn)O，點(diǎn)C重合的情況），連接CM，BN，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形BCMN為平行四邊形？問對(duì)于所求的t值，平行四邊形BCMN是否菱形？請(qǐng)說明理由．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題．【分析】（1）由題意易求得A與B的坐標(biāo)，然后有待定系數(shù)法，即可求得直線AB的函數(shù)關(guān)系式；（2）由s=MN=NP﹣MP，即可得s=﹣t2+t+1﹣（t+1），化簡(jiǎn)即可求得答案；（3）若四邊形BCMN為平行四邊形，則有MN=BC，即可得方程：﹣t2+t=，解方程即可求得t的值，再分別分析t取何值時(shí)四邊形BCMN為菱形即可．【解答】解：（1）∵當(dāng)x=0時(shí)，y=1，∴A（0，1），當(dāng)x=3時(shí)，y=﹣×32+×3+1=2.5，∴B（3，2.5），設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則：，解得：，∴直線AB的解析式為y=x+1；（2）根據(jù)題意得：s=MN=NP﹣MP=﹣t2+t+1﹣（t+1）=﹣t2+t（0≤t≤3）；（3）若四邊形BCMN為平行四邊形，則有MN=BC，此時(shí)，有﹣t2+t=，解得t1=1，t2=2，∴當(dāng)t=1或2時(shí)，四邊形BCMN為平行四邊形．①當(dāng)t=1時(shí)，MP=，NP=4，故MN=NP﹣MP=，又在Rt△MPC中，MC=，故MN=MC，此時(shí)四邊形BCMN為菱形，②當(dāng)t=2時(shí)，MP=2，NP=，故MN=NP﹣MP=，又在Rt△MPC中，MC=，故MN≠M(fèi)C，此時(shí)四邊形BCMN不是菱形．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，線段的長(zhǎng)與函數(shù)關(guān)系式之間的關(guān)系，平行四邊形以及菱形的性質(zhì)與判定等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．2．（2024河大附中·一模）（本題滿分11分）如圖，拋物線y=-x2+bx+c與直線y=x+l+交與A,B兩點(diǎn)，其中A在y軸上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4，P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)。過點(diǎn).P作PC垂直于AB，垂足為C．(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)P在直線AB上方的拋物線上，設(shè)P的橫坐標(biāo)為m，用m的代數(shù)式表示線段PC的長(zhǎng)，并求出線段PC的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)P是拋物線上任意一點(diǎn)，且滿足0°<∠PAB≤45°．請(qǐng)直接寫出①點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍；②縱坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)P為“巧點(diǎn)”，“巧點(diǎn)”的個(gè)數(shù).答案：第2題3.（2024黑龍江大慶·一模）（本題7分）東風(fēng)商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)一批單價(jià)為4元的日用品．若按每件5元的價(jià)格銷售，每月能賣出3000件；若按每件6元的價(jià)格銷售，每月能賣出2000件，假定每月銷售件數(shù)y（件）與價(jià)格x（元/件）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系．（1）試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)銷售價(jià)格定為多少時(shí)，才能使每月的利潤(rùn)最大？每月的最大利潤(rùn)是多少？答案：解：（1）由題意，可設(shè)y=kx+b，把（5，3000），（6，2000）代入得：，解得：k=-1000，b=8000，∴y與x之間的關(guān)系式為：y=﹣1000x+8000； 3分（2）設(shè)利潤(rùn)為W，則W=（x﹣4）（﹣1000x+8000）=﹣1000（x﹣4）（x﹣8）=﹣1000（x﹣6）2+4000所以當(dāng)x=6時(shí)，W取得最大值，最大值為4000元． 6分答：當(dāng)銷售價(jià)格定為6元時(shí)，每月的利潤(rùn)最大，每月的最大利潤(rùn)為4000元． 7分4.（2024黑龍江大慶·一模）（本題9分）在平面直角坐標(biāo)系中，有三點(diǎn)A（-1，0），B（0，錯(cuò)誤！未找到引用源。），C（3，0）．（1）求過點(diǎn)A、B、C的拋物線的解析式；（2）如圖1，在線段AC上有一動(dòng)點(diǎn)P，過P點(diǎn)作直線PD∥AB交BC于點(diǎn)D，求出△PBD面積的最大值；（3）如圖2，在（2）的情況下，在拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使△QBD的面積與△PBD面積相等，如存在，直接寫出Q點(diǎn)坐標(biāo)，如不存在，請(qǐng)說明理由．第4題圖1圖2答案：解:（1）∵所求的函數(shù)解析式過A（-1，0），B（0，），C（3，0），∴設(shè)所求的函數(shù)解析式為：，當(dāng)，時(shí)，，解得：，∴所求的函數(shù)解析式為:或． 2分（2）∵A（-1，0），B（0，），C（3，0），OA=1，OB=，OC=3，OB⊥AC，∴在Rt△AOB和Rt△BOC中，tan∠BAO=，tan∠BCO=，∴∠BAO=60°，∠BCO=30°則∠ABC=90°，∴AB⊥BC，∴BC=2OB=；又∵AB⊥BC，PD//AB，∴PD⊥AC，∵P在線段AC上，設(shè)P（m，0），∴PC==3-m∵∠BCO=30°，PD⊥AC，∴PD=PC=；DC===，BD=BC-DC==，∴=，∴△PBD面積的最大值是； 5分（3）（，），（，），（1，），（2，）． 9分圖1圖25.（2024黑龍江齊齊哈爾·一模）（本題8分）如圖，過點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0）的拋物線y=-x2+bx+c與y軸交于點(diǎn)C，它的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E.求拋物線解析式；求拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；DE若拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P使，求此時(shí)DP的長(zhǎng).DE第5題答案：解：（1）y=-x2+2x+3；（2）D（1，4）；-（3）1或7.6.（2024湖北襄陽(yáng)·一模）（本小題滿分13分）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于A（－3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)P是直線AC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使△ACP的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；（3）點(diǎn)Q是直線AC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QE垂直于軸，垂足為E．是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)B、Q、E為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；第6題答案：解：（1）由拋物線過點(diǎn)A（－3，0），B（1，0），則解得∴二次函數(shù)的關(guān)系解析式．（2）連接PO，作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N．…4分設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，n），則．PM=，，AO=3．（5分）當(dāng)時(shí)，＝２．∴OC=2．＝＝＝．8分∵＝－１＜0，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值．此時(shí)＝．∴存在點(diǎn)，使△ACP的面積最大．（3）存在點(diǎn)Q，坐標(biāo)為：，．分△BQE∽△AOC，△EBQ∽△AOC，△QEB∽△AOC三種情況討論可得出．7.．(2024山東棗莊·模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的邊長(zhǎng)為4，頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正半軸，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，連接AC、BD、CD．（1）求此拋物線的解析式．（2）求此拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)和四邊形ABCD的面積．【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．【專題】計(jì)算題．【分析】（1）根據(jù)題意確定出B與C的坐標(biāo)，代入拋物線解析式求出b與c的值，即可確定出解析式；（2）把拋物線解析式化為頂點(diǎn)形式，找出頂點(diǎn)坐標(biāo)，四邊形ABDC面積=三角形ABC面積+三角形BCD面積，求出即可．【解答】解：（1）由已知得：C（0，4），B（4，4），把B與C坐標(biāo)代入y=﹣x2+bx+c得：，解得：b=2，c=4，則解析式為y=﹣x2+2x+4；（2）∵y=﹣x2+2x+4=﹣（x﹣2）2+6，∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，6），則S四邊形ABDC=S△ABC+S△BCD=×4×4+×4×2=8+4=12．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．20．(2024上海普陀區(qū)·一模)將拋物線y=先向上平移2個(gè)單位，再向左平移m（m＞0）個(gè)單位，所得新拋物線經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，4），求新拋物線的表達(dá)式及新拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【分析】利用二次函數(shù)平移的性質(zhì)得出平移后解析式，進(jìn)而利用x=0時(shí)求出新拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：由題意可得：y=（x+m）2+2，代入（﹣1，4），解得：m1=3，m2=﹣1（舍去），故新拋物線的解析式為：y=（x+3）2+2，當(dāng)x=0時(shí)，y=，即與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，）．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，正確利用二次函數(shù)平移的性質(zhì)得出解析式是解題關(guān)鍵．8．(2024上海普陀區(qū)·一模)已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=ax2﹣的圖象經(jīng)過點(diǎn)、A（0，8）、B（6，2）、C（9，m），延長(zhǎng)AC交x軸于點(diǎn)D．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式及的m值；（2）求∠ADO的余切值；（3）過點(diǎn)B的直線分別與y軸的正半軸、x軸、線段AD交于點(diǎn)P（點(diǎn)A的上方）、M、Q，使以點(diǎn)P、A、Q為頂點(diǎn)的三角形與△MDQ相似，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求得系數(shù)a、c的值，從而得到函數(shù)解析式，然后把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入來(lái)求m的值；（2）由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)求得直線AC的解析式，然后根據(jù)直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求法得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，所以結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義解答即可；（3）根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等進(jìn)行解答．【解答】解：（1）把A（0，8）、B（6，2）代入y=ax2﹣，得，解得，故該二次函數(shù)解析式為：y=x2﹣x+8．把C（9，m），代入y=x2﹣x+8得到：m=y=×92﹣×9+8=5，即m=5．綜上所述，該二次函數(shù)解析式為y=x2﹣x+8，m的值是5；（2）由（1）知，點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（9，5），又由點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，8），所以直線AC的解析式為：y=﹣x+8，令y=0，則0=﹣x+8，解得x=24，即OD=24，所以cot∠ADO===3，即cot∠ADO=3；（3）在△APQ與△MDQ中，∠AQP=∠MQD．要使△APQ與△MDQ相似，則∠APQ=∠MDQ或∠APQ=∠DMQ（根據(jù)題意，這種情況不可能），∴cot∠APQ=cot∠MDQ=3．作BH⊥y軸于點(diǎn)H，在直角△PBH中，cot∠P==3，∴PH=18，OP=20，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，20）．【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．9.(2024陜西師大附中·模擬)(10分)如圖，拋物線與x軸交與A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C.點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，直線AD與y軸相交于點(diǎn)E.（1）求直線AD的解析式；（2）如圖1，直線AD上方的拋物線上有一點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G，作FH平行于x軸交直線AD于點(diǎn)H，求△FGH的周長(zhǎng)的最大值；（3）點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以A，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是AM為邊的矩形，若點(diǎn)T和點(diǎn)Q關(guān)于AM所在直線對(duì)稱，求點(diǎn)T的坐標(biāo).24.(滿分10分)解：⑴AD：y＝x+1；⑵過點(diǎn)F作x軸的垂線，交直線AD于點(diǎn)M，易證△FGH≌△FGM故設(shè)則FM=則C=故最大周長(zhǎng)為⑶①若AP為對(duì)角線如圖，由△PMS∽△MAR可得由點(diǎn)的平移可知故Q點(diǎn)關(guān)于直線AM的對(duì)稱點(diǎn)T為②若AQ為對(duì)角線如圖，同理可知P由點(diǎn)的平移可知Q故Q點(diǎn)關(guān)于直線AM的對(duì)稱點(diǎn)T為10．(2024上海閔行區(qū)·二模)如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與y軸相交于點(diǎn)C（0，3），拋物線的對(duì)稱軸為直線l．（1）求這條拋物線的關(guān)系式，并寫出其對(duì)稱軸和頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）如果直線y=kx+b經(jīng)過C、M兩點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為N，試證明四邊形CDAN是平行四邊形；（3）點(diǎn)P在直線l上，且以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，并且與直線CD相切，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可求出a、c，將解析式配成頂點(diǎn)式即可得到對(duì)稱軸方程和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）先由C、M兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線CM解析式，進(jìn)而求出D點(diǎn)坐標(biāo)，由于C、N兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，則CN∥AD，同時(shí)可求出N點(diǎn)坐標(biāo)，然后得出CN=AD，結(jié)論顯然；（3）設(shè)出P點(diǎn)縱坐標(biāo)，表示出MP的長(zhǎng)度，過點(diǎn)P作PH⊥DM于H，表示出PH的長(zhǎng)度，在直角三角形PAE中用勾股定理列出方程，解之即得答案．【解答】解：（1）∵拋物線y=ax2+2x+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)C（0，3），∴，∴，∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，對(duì)稱軸為直線x=1，頂點(diǎn)M（1，4）；（2）如圖1，∵點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為N，∴N（2，3），∵直線y=kx+b經(jīng)過C、M兩點(diǎn)，∴，∴，∴y=x+3，∵y=x+3與x軸交于點(diǎn)D，∴D（﹣3，0），∴AD=2=CN又∵AD∥CN，∴CDAN是平行四邊形；（3）設(shè)P（1，a），過點(diǎn)P作PH⊥DM于H，連接PA、PB，如圖2，則MP=4﹣a，又∠HMP=45°，∴HP=AP=，Rt△APE中，AP2=AE2+PE2，即：，解得：，∴P1（1，﹣4+2），P2（1，﹣4﹣2）．第24第24題圖11．(2024上海浦東·模擬)如圖，二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)A，且過點(diǎn)．（1）試求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)關(guān)于二次函數(shù)對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，試求的正切值；（3）若在軸上有一點(diǎn)，使得點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在軸上，試求點(diǎn)的坐標(biāo)．解：(1)將點(diǎn)代入解析式，可得：，解之得所以二次函數(shù)解析式為．點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2）．（2）由題意，，，，．過點(diǎn)作于點(diǎn)．∴，，∴．(3)由題意，，從而點(diǎn)的坐標(biāo)為或．①若點(diǎn)，設(shè)，由，有，解得:，即②若點(diǎn)，設(shè)，由，有，解得:，即綜合知，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．12.（2024河南三門峽·二模）（11分）如圖，已知拋物線（a＞0）與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線過點(diǎn)N（6，-4）．（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)H，使得BH+CH最小，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；（3）若把題干中“拋物線過點(diǎn)N（6，﹣4）”這一條件去掉，試問在第四象限內(nèi)，拋物線上是否存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)B，A，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與△BAC相似？若存在，求a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．答案：解：（1）∵拋物線過點(diǎn)N（6，一4），∴解得：，（2）∵∴令y=0，得x1=﹣2，x2=4；令x=0，得y=2∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2）∵點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，∴在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)H，使得BH+CH最小，即AH+CH最小，連接AC，則AC與拋物線的對(duì)稱軸x=1的交點(diǎn)H即為所求如下圖所示：設(shè)過點(diǎn)A（4，0），C（0，2）的直線解析式為：則解得，b=2∴令x=1代入，得∴AC與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)H的坐標(biāo)為（1，）即點(diǎn)H的坐標(biāo)為（1，）時(shí)，使得BH+CH最?。唬?）①作BF∥AC交拋物線于點(diǎn)F，如圖：則∠FBA=∠BAC，由令x=0，則y=2，∴C（0，2），又∵A（，0），∴AC的解析式為設(shè)BF的解析式為，∵BF過點(diǎn)B（﹣2，0），∴∴BF的解析式為：∴解得：∴∵△BFA∽△ABC，∴AB2=BF?AC，∴化簡(jiǎn)整理得：16=0，不存在這種情形，即這種情況不存滿足要求的F點(diǎn)；②∵B（﹣2，0），C（2，0），∴BC的解析式為，∠ABC=45°，在x軸下方作∠ABF=∠ABC=45°，如圖：∴BF⊥BC，∴BF的解析式為∴解得：F（2a，﹣2a﹣2），∴∵△BFA∽△BAC，∴AB2=BF?BC，∴整理得：解得或（舍去），綜上所述，時(shí)，以點(diǎn)B，A，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與△BAC相似．13.（2024河南三門峽·一模）（11分）如圖，拋物線（a≠0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，已知B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）．（1）求拋物線的解析式；（2）試探究△ABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)M是線段BC下方的拋物線上一點(diǎn)，求△MBC的面積的最大值，并求出此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)．解：（1）將B（4，0）代入拋物線的解析式中，得：，即：；∴拋物線的解析式為：（2）由（1）的函數(shù)解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；∴OA=1，OC=2，OB=4，即：又∵OC⊥AB∴△OAC∽△OCB∴∠OCA=∠OBC∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，∴△ABC為直角三角形，AB為△ABC外接圓的直徑；∴該外接圓的圓心為AB的中點(diǎn)，且坐標(biāo)為（1.5，0）．（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直線BC的解析式為：；設(shè)直線l∥BC，則該直線的解析式可表示為：，當(dāng)直線l與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可列方程：，即：，且△=0；∴，即∴直線l：由于S△MBC=BC×h，當(dāng)h最大（即點(diǎn)M到直線BC的距離最遠(yuǎn)）時(shí)，△ABC的面積最大所以點(diǎn)M即直線l和拋物線的唯一交點(diǎn)，有：解得：即M（2，﹣3）．14.（2024吉林東北師范大學(xué)附屬中學(xué)·一模）（10分）如圖，在中，，，于點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿以的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)不與重合．過點(diǎn)作交折線于點(diǎn)，以為邊向右側(cè)作正方形．設(shè)正方形與重疊部分圖形的面積為，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．（1）當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，求的值．（2）用含的代數(shù)式表示的長(zhǎng)．（3）求與之間的函數(shù)關(guān)系式．（第23題）

答案：解：（1）如圖①，，．（2分）（第23題）圖①圖圖①圖②圖③圖④（2）①當(dāng)時(shí)，．（3分）②當(dāng)時(shí)，．（4分）（3）①如圖②，當(dāng)時(shí)，．（6分）②如圖③，當(dāng)時(shí)，．（8分）③如圖④，當(dāng)時(shí)，．（10分）15.（2024吉林東北師范大學(xué)附屬中學(xué)·一模）（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與直線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、．點(diǎn)在拋物線上，且不與點(diǎn)、重合，過點(diǎn)作軸的平行線交射線于點(diǎn)，以為邊作矩形，與點(diǎn)始終在同側(cè)，且．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（），矩形的周長(zhǎng)為．（1）用含的代數(shù)式表示點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）求與之間的函數(shù)關(guān)系式．（3）當(dāng)矩形是正方形時(shí)，求的值．（4）直接寫出矩形的邊與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)的取值范圍．答案：解：（1）∵點(diǎn)在拋物線上，∴．（2分）（2）∵軸，∴．當(dāng)時(shí)，如圖①，．．當(dāng)時(shí)，如圖②，．．圖圖①圖②圖③圖④（3）∵矩形是正方形，∴．當(dāng)時(shí)，如圖③，．解得．（7分）當(dāng)時(shí)，如圖④，．解得（舍去），．（9分）（4）或或．（12分）如圖⑤、⑥、⑦．圖圖⑤圖⑥圖⑦16.（2024江蘇常熟·一模）某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)某種品牌的玩具，購(gòu)進(jìn)時(shí)的單價(jià)是30元，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查：在一段時(shí)間內(nèi)，銷售單價(jià)是40元時(shí)，銷售量是600件，而銷售單價(jià)每漲2元，就會(huì)少售出20件玩具．（1）不妨設(shè)該種品牌玩具的銷售單價(jià)為x元（x＞40），請(qǐng)你分別用x的代數(shù)式來(lái)表示銷售量y件和銷售該品牌玩具獲得利潤(rùn)ω元，并把結(jié)果填寫在表格中：銷售單價(jià)（元）x銷售量y（件）1000﹣10x銷售玩具獲得利潤(rùn)ω（元）﹣10x2+1300x﹣30000（2）在（1）問條件下，若商場(chǎng)獲得了10000元銷售利潤(rùn)，求該玩具銷售單價(jià)x應(yīng)定為多少元？（3）在（1）問條件下，若玩具廠規(guī)定該品牌玩具銷售單價(jià)不低于44元，且商場(chǎng)要完成不少于400件的銷售任務(wù)，求商場(chǎng)銷售該品牌玩具獲得的最大利潤(rùn)是多少元？【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用；一元二次方程的應(yīng)用．【分析】（1）利用已知結(jié)合銷售單價(jià)每漲2元，就會(huì)少售出20件玩具，表示出漲價(jià)后的銷量即可，進(jìn)而得出w與x的函數(shù)關(guān)系；（2）利用（1）中所求，得出關(guān)于x的等式方程求出即可；（3）利用“玩具廠規(guī)定該品牌玩具銷售單價(jià)不低于44元，且商場(chǎng)要完成不少于400件的銷售任務(wù)”進(jìn)而得出不等式組求出x的取值范圍，再利用二次函數(shù)性質(zhì)求出最值即可即可．【解答】解：（1）由題意可得：y=600﹣×20=1000﹣10x，w=y（x﹣30）=﹣10x2+1300x﹣30000，銷售單價(jià)（元）x銷售量y（件）1000﹣10x銷售玩具獲得利潤(rùn)w（元）﹣10x2+1300x﹣30000（2）根據(jù)題意得出：﹣10x2+1300x﹣30000=10000，解得：x1=50，x2=80，答：玩具銷售單價(jià)為50元或80元時(shí)，可獲得10000元銷售利潤(rùn)．（3）根據(jù)題意得：解得：44≤x≤60，w=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10（x﹣65）2+12250，∵a=﹣10＜0，對(duì)稱軸是直線x=65，∴當(dāng)44≤x≤60時(shí)，w隨x增大而增大．∴當(dāng)x=60時(shí)，w最大值=12000（元）．答：商場(chǎng)銷售該品牌玩具獲得的最大利潤(rùn)為12000元．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及不等式組的應(yīng)用，根據(jù)題意得出x的取值范圍是解題關(guān)鍵．17.（2024江蘇常熟·一模）如圖，一次函數(shù)y=kx的圖象與二次函數(shù)y=﹣x2+bx圖象的交點(diǎn)M的坐標(biāo)是（﹣4，﹣4）．（1）求k、b的值；（2）將直線y=kx沿y軸平移，分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)問：二次函數(shù)y=﹣x2+bx圖象上是否存在點(diǎn)P，使得以P、A、B為頂點(diǎn)的△PAB與△OAB相似，若存在求點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在說明理由．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）把點(diǎn)M的坐標(biāo)（﹣4，﹣4）分別代入一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式即可求出k和b的值；（2）存在點(diǎn)P，使得以P、A、B為頂點(diǎn)的△PAB與△OAB相似，設(shè)y=x+a，易證∠BAO=45°，所以可得△AOB為等腰直角三角形，若以P、A、B為頂點(diǎn)的△PAB與△OAB相似，則△PAB也為等腰直角三角形，由此可分四種情況分別討論求出符合題意點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．【解答】解：（1）∵一次函數(shù)y=kx的圖象與二次函數(shù)y=﹣x2+bx圖象的交點(diǎn)M的坐標(biāo)是（﹣4，﹣4），∴﹣4k=﹣4，﹣4=﹣16﹣4b，∴k=1，b=﹣3；（2）存在點(diǎn)P，使得以P、A、B為頂點(diǎn)的△PAB與△OAB相似，理由如下：設(shè)y=x+a，則∠BAO=45°，所以可得△AOB為等腰直角三角形，若以P、A、B為頂點(diǎn)的△PAB與△OAB相似，則△PAB也為等腰直角三角形，①如圖①當(dāng)∠BPA=90°時(shí)，則有OB=OA=PB=PA=a，所以點(diǎn)P（﹣a，a）代入y=﹣x2﹣3x得﹣a=a2﹣3a，解得：a=2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)（﹣2，2）；②如圖②當(dāng)∠BPA=90°時(shí)，則有AP=AB，PB=2OB，所以點(diǎn)P（﹣2a，a）代入y=﹣x2﹣3x得a=4a2+6a，解得：a=，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)（﹣，）；③如圖③當(dāng)∠BPA=90°時(shí)，且B在x軸上方時(shí)，則有AP=AB，PB=2OB，所以點(diǎn)P（﹣a，a）代入y=﹣x2﹣3x得2a=﹣a2+3a，解得a=1，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)（﹣1，2）；④如圖④當(dāng)∠BPA=90°時(shí)，且B在x軸上，則有BP=AB，所以點(diǎn)P（﹣a，0）代入y=﹣x2﹣3x得0=﹣a2+3a，解得a=3，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)（﹣3，0）．【點(diǎn)評(píng)】本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、相似三角形的判定和性質(zhì)、探究等腰三角形的構(gòu)成情況等重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，能力要求極高．考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．18.（2024江蘇丹陽(yáng)市丹北片·一模）（7分）今年以來(lái)，國(guó)務(wù)院連續(xù)發(fā)布了《關(guān)于加快構(gòu)建大眾創(chuàng)業(yè)萬(wàn)眾創(chuàng)新支撐平臺(tái)的指導(dǎo)意見》等一系列支持性政策，各地政府高度重視、積極響應(yīng)，中國(guó)掀起了大眾創(chuàng)業(yè)萬(wàn)眾創(chuàng)新的新浪潮.某創(chuàng)新公司生產(chǎn)營(yíng)銷A、B兩種新產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，發(fā)現(xiàn)如下信息：信息1：銷售A種產(chǎn)品所獲利潤(rùn)y（萬(wàn)元）與所售產(chǎn)品x（噸）之間存在二次函數(shù)關(guān)系，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝7；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝12.信息2：銷售B種產(chǎn)品所獲利潤(rùn)y（萬(wàn)元）與所售產(chǎn)品x（噸）之間存在正比例函數(shù)關(guān)系.根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）求；（2）該公司準(zhǔn)備生產(chǎn)營(yíng)銷A、B兩種產(chǎn)品共10噸，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)生產(chǎn)方案，使銷售A、B兩種產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)之和最大，最大利潤(rùn)是多少？答案：（1）a=-1，b=8（2）方案：A3噸，B7噸，最大利潤(rùn)29萬(wàn)元。19.（2024江蘇丹陽(yáng)市丹北片·一模）（本題滿分10分）如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A（2，0）、C（0，2）．將矩形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°．得矩形OEFG，線段GE、FO相交于點(diǎn)H，平行于y軸的直線MN分別交線段GF、GH、GO和x軸于點(diǎn)M、P、N、D，連結(jié)MH．（1）若拋物線l：y=ax2+bx+c經(jīng)過G、O、E三點(diǎn)，求它的解析式。（2）如果四邊形OHMN為平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）在（1）（2）的條件下，直線MN與拋物線l交于點(diǎn)R，動(dòng)點(diǎn)Q在拋物線l上且在R、E兩點(diǎn)之間（不含點(diǎn)R、E）運(yùn)動(dòng)，設(shè)△PQH的面積為s，當(dāng)時(shí)，確定點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)的取值范圍．答案：（10分）（1）如圖1，過G作GI⊥CO于I，過E作EJ⊥CO于J，∵A（2，0）、C（0，2），∴OE=OA=2，OG=OC=2，∵∠GOI=30°，∠JOE=90°﹣∠GOI=90°﹣30°=60°，∴GI=sin30°?GO==，IO=cos30°?GO==3，JO=cos30°?OE==，JE=sin30°?OE==1，∴G（﹣，3），E（，1），設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c，∵經(jīng)過G、O、E三點(diǎn)，∴，解得，∴y=x2﹣x．（3分）（2）∵四邊形OHMN為平行四邊形，∴MN∥OH，MN=OH，∵OH=OF，∴MN為△OGF的中位線，∴xD=xN=?xG=﹣，∴D（﹣，0）．（3）設(shè)直線GE的解析式為y=kx+b，∵G（﹣，3），E（，1），∴，解得，∴y=﹣x+2．∵Q在拋物線y=x2﹣x上，∴設(shè)Q的坐標(biāo)為（x，x2﹣x），∵Q在R、E兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)，∴﹣＜x＜．①當(dāng)﹣＜x＜0時(shí)，如圖2，連接PQ，HQ，過點(diǎn)Q作QK∥y軸，交GE于K，則K（x，﹣x+2），∵S△PKQ=?（yK﹣yQ）?（xQ﹣xP），S△HKQ=?（yK﹣yQ）?（xH﹣xQ），∴S△PQH=S△PKQ+S△HKQ=?（yK﹣yQ）?（xQ﹣xP）+?（yK﹣yQ）?（xH﹣xQ）=?（yK﹣yQ）?（xH﹣xP）=?[﹣x+2﹣（x2﹣x）]?[0﹣（﹣）]=﹣x2+．②當(dāng)0≤x＜時(shí)，如圖3，連接PQ，HQ，過點(diǎn)Q作QK∥y軸，交GE于K，則K（x，﹣x+2），同理S△PQH=S△PKQ﹣S△HKQ=?（yK﹣yQ）?（xQ﹣xP）﹣?（yK﹣yQ）?（xQ﹣xH）=?（yK﹣yQ）?（xH﹣xP）=﹣x2+．綜上所述，S△PQH=﹣x2+．∵，∴＜﹣x2+≤，解得﹣＜x＜，∵﹣＜x＜，∴﹣＜x＜．20.（2024江蘇省南京市鐘愛中學(xué)·九年級(jí)下學(xué)期期初考試）（14分）如圖所示，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（﹣1，0）、（0，﹣3）．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）點(diǎn)E為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)C為拋物線與x軸的另一交點(diǎn)，點(diǎn)D為y軸上一點(diǎn)，且DC=DE，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）在第二問的條件下，在直線DE上存在點(diǎn)P，使得以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形與△DOC相似，請(qǐng)你直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．答案：（14分）解：（1）∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0）、B（0，﹣3），∴，解得，故拋物線的函數(shù)解析式為y=x2﹣2x﹣3；（2）令x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（1，﹣4），設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，m），作EF⊥y軸于點(diǎn)F，∵DC2=OD2+OC2=m2+32，DE2=DF2+EF2=（m+4）2+12，∵DC=DE，∴m2+9=m2+8m+16+1，解得m=﹣1，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，﹣1）；（3）∵點(diǎn)C（3，0），D（0，﹣1），E（1，﹣4），∴CO=DF=3，DO=EF=1，根據(jù)勾股定理，CD===，在△COD和△DFE中，∵，∴△COD≌△DFE（SAS），∴∠EDF=∠DCO，又∵∠DCO+∠CDO=90°，∴∠EDF+∠CDO=90°，∴∠CDE=180°﹣90°=90°，∴CD⊥DE，①分OC與CD是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，∵△DOC∽△PDC，∴=，即=，解得DP=，過點(diǎn)P作PG⊥y軸于點(diǎn)G，則==，即==，解得DG=1，PG=，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D的左邊時(shí)，OG=DG﹣DO=1﹣1=0，所以點(diǎn)P（﹣，0），當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D的右邊時(shí)，OG=DO+DG=1+1=2，所以，點(diǎn)P（，﹣2）；②OC與DP是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，∵△DOC∽△CDP，∴=，即=，解得DP=3，過點(diǎn)P作PG⊥y軸于點(diǎn)G，則==，即==，解得DG=9，PG=3，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D的左邊時(shí)，OG=DG﹣OD=9﹣1=8，所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（﹣3，8），當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D的右邊時(shí)，OG=OD+DG=1+9=10，所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（3，﹣10），綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P共有4個(gè)，其坐標(biāo)分別為（﹣，0）、（，﹣2）、（﹣3，8）、（3，﹣10）．21.（2024河南洛陽(yáng)·一模）(11分)如圖12，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A(-4，0)，B（-1，0）兩點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)在y軸左側(cè)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)D．①如圖(a)，直線y-x+3與拋物線交于點(diǎn)Q、C兩點(diǎn)，過點(diǎn)D作直線DF⊥x軸，交QC于點(diǎn)F。請(qǐng)問是否存在這樣的點(diǎn)D，使點(diǎn)D到直線CQ的距離與點(diǎn)C到直線DF的距離之比為：1？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由，②如圖(b)，若四邊形ODAE是以O(shè)A為對(duì)角線的平行四邊形，當(dāng)□ODAE的面積S為何值時(shí)，滿足條件的點(diǎn)D恰好有3個(gè)？請(qǐng)直接寫出此時(shí)S的值以及相應(yīng)的D點(diǎn)坐標(biāo)．（1）把點(diǎn)A（－4，0）、B（－1，0）代入解析式y(tǒng)=ax2+bx+3，得，解得，∴拋物線的解析式為：……….….……….……….3(2)過C作CM⊥DF于M，過D作DN⊥CQ于N，則CM=-2x，DF=DN，由題意可得DF=2CM，①當(dāng)D在Q點(diǎn)右側(cè)時(shí)：解得（x=0舍去）∴D(-1，0)…….5②當(dāng)D在Q點(diǎn)左側(cè)時(shí)：解得（x=0舍去）∴D()(3)當(dāng)D點(diǎn)到x軸的距離等于拋物線頂點(diǎn)到x軸距離時(shí)，這樣的點(diǎn)恰好只有3個(gè)，此時(shí)S=此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)：、、22.（2024遼寧丹東七中·一模）（14分）如圖，拋物線y=—2x2+x+1交y軸于點(diǎn)A，交x軸正半軸于點(diǎn)B．P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，作直線PC⊥PO，交過點(diǎn)B垂直于x軸的直線于點(diǎn)C．過P點(diǎn)作直線MN平行于x軸，交y軸于點(diǎn)M，交過點(diǎn)B垂直于x軸的直線于點(diǎn)N．（1）求線段AB長(zhǎng)；（2）證明：OP=PC；（3）當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，設(shè)AP長(zhǎng)為m，⊿OBC的面積為S，請(qǐng)求出S與m間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；（4）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C也隨之在直線x=1上移動(dòng)，⊿PBC是否可能成為等腰三角形？如果可能，直接寫出所有能使⊿PBC成為等腰三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不可能，請(qǐng)說明理由．（1）AB＝（2）△PMO≌△CNP∴OP＝PC（3）①當(dāng)0＜m＜時(shí)，BC＝1－m－m＝1－m∴S＝②當(dāng)＜m＜時(shí)，BC＝m－1S＝(4)(0,1)或(,1－)23．（2024吉林長(zhǎng)春朝陽(yáng)區(qū)·一模）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（﹣1，0）、（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P在第一、二象限的拋物線上，過點(diǎn)P作x軸的平行線分別交y軸和直線BC于點(diǎn)D、E，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，線段DE的長(zhǎng)度為d．（1）求這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，求d與m之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，當(dāng)PE=2DE時(shí)，求m的值；（4）如圖②，過點(diǎn)E作EF∥y軸交x軸于點(diǎn)F，直接寫出四邊形ODEF的周長(zhǎng)不變時(shí)m的取值范圍．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得BC的解析式，根據(jù)E點(diǎn)的縱坐標(biāo)，可得E點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離，可得答案；（3）根據(jù)PE與DE的關(guān)系，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程根據(jù)解方程，可得答案；（4）根據(jù)周長(zhǎng)公式，可得答案．【解答】解：（1）由題意，得解得∴這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是y=﹣x2+3x+4；（2）當(dāng)x=0時(shí)，y=4．∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，4）．設(shè)直線BC的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b．由題意，得解得∴直線BC的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣x+4，∵PD∥x軸，∴yP=yE=﹣m2+3m+4．．∴xE=﹣m2+3m．圖①，當(dāng)0＜m＜3時(shí)，如圖①，d=﹣m2+3m．當(dāng)3＜m＜4時(shí)，如圖②，d=m2﹣3m．（3）當(dāng)0＜m＜3時(shí)，DE=﹣m2+3m，PE=﹣m2+4m．∵PE=2DE，∴﹣m2+4m=2（﹣m2+3m）．解得m1=0（不合題意，舍去），m2=2．當(dāng)3＜m＜4時(shí)，DE=m2﹣3m，PE=﹣m2+4m．∵PE=2DE，∴﹣m2+4m=2（m2﹣3m）．解得m1=0（不合題意，舍去），m2=．當(dāng)PE=2DE時(shí)，m=2或m=．（4）﹣1＜m＜0或3＜m＜4．解答如下：當(dāng)0＜m＜3時(shí)，如圖③，DE=﹣m2+3m，EF=﹣m2+3m+4．∴C=2（﹣m2+3m+4﹣m2+3m）=﹣4m2+12m+8．當(dāng)﹣1＜m＜0或3＜m＜4時(shí)，如圖④、⑤，DE=m2﹣3m，EF=﹣m2+3m+4．∴C=2（﹣m2+3m+4+m2﹣3m）=8．綜上所述：四邊形ODEF的周長(zhǎng)不變時(shí)m的取值范圍是﹣1＜m＜0或3＜m＜4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用平行于x軸直線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等得出E點(diǎn)的縱坐標(biāo)是解題關(guān)鍵；利用PE與DE的關(guān)系得出關(guān)于m的方程是解題關(guān)鍵；利用矩形的周長(zhǎng)公式是解題關(guān)鍵．24．（2024湖南省岳陽(yáng)市十二校聯(lián)考·一模）如圖，已知拋物線經(jīng)過A（1，0），B（0，3）兩點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線x=﹣1．（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（2）點(diǎn)N在線段OA上，點(diǎn)M在線段OB上，且OM=2ON，過點(diǎn)N作x軸的垂線交線段AB于點(diǎn)Q，交拋物線于點(diǎn)P．①當(dāng)ON為何值時(shí)，四邊形OMPN為矩形；②△AOQ能否為等腰三角形？若能，求出此時(shí)ON的值；若不能，請(qǐng)說明理由．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）可設(shè)頂點(diǎn)式，根據(jù)待定系數(shù)法可求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（2）①當(dāng)四邊形OMPN為矩形時(shí)，滿足條件OM=PN，據(jù)此列一元二次方程求解；②△AOQ為等腰三角形時(shí)，可能存在三種情形，需要分類討論，逐一計(jì)算．【解答】解：（1）根據(jù)題意，設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+1）2+k，∵點(diǎn)A（1，0），B（0，3）在拋物線上，∴，解得：．∴拋物線的解析式為：y=﹣（x+1）2+4；（2）①設(shè)ON=t（0＜t＜1）．則OM=2t，PN=﹣（t+1）2+4，∵四邊形OMPN為矩形，∴OM=PN，即2t=﹣（t+1）2+4，整理得：t2+4t﹣3=0，解得t=﹣2，由于t=﹣﹣2＜0，故舍去，∴當(dāng)ON=﹣2時(shí)，四邊形OMPN為矩形；②Rt△AOB中，OA=1，OB=3，∴tanA=3．若△AOQ為等腰三角形，有三種情況：（I）若OQ=AQ，如答圖1所示：則N為OA中點(diǎn)，ON=OA=，∴ON=；（II）若OQ=OA，如答圖2所示：設(shè)AN=x，則QD=AD?tanA=3x，ON=OA﹣AN=1﹣x，在Rt△QON中，由勾股定理得：ON2+QN2=OQ2，即（1﹣x）2+（3x）2=12，解得x1=，x2=0（舍去），∴x=，ON=1﹣x=，∴ON=；（III）若OA=AQ，如答圖3所示：設(shè)AN=x，則QD=AN?tanA=3x，在Rt△AQN中，由勾股定理得：QN2+AN2=AQ2，即x2+（3x）2=12，解得x1=，x2=﹣（舍去），∴ON=1﹣x=1﹣，∴ON=1﹣．綜上所述，當(dāng)ON為、、（1﹣）時(shí)，△AOQ為等腰三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、解一元二次方程、勾股定理、解直角三角形、矩形性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．第（2）問為運(yùn)動(dòng)型與存在型的綜合性問題，注意要弄清動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程，進(jìn)行分類討論計(jì)算．26．（2024湖南湘潭·一模）（10分）如圖，已知直線與軸交于點(diǎn)A，與軸交于點(diǎn)D，拋物線（1）求該拋物線的解析式；（2）動(dòng)點(diǎn)P在軸上移動(dòng)，當(dāng)△PAE是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

26．（1）將A（0，1）、B（1，0）坐標(biāo)代入得解得∴拋物線的解折式為（2）設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，則它的縱坐標(biāo)為即E點(diǎn)的坐標(biāo)（，）又∵點(diǎn)E在直線上∴解得（舍去），，∴E的坐標(biāo)為（4，3）（Ⅰ）當(dāng)A為直角頂點(diǎn)時(shí)過A作AP1⊥DE交x軸于P1點(diǎn)，設(shè)P1（a,0）,易知D點(diǎn)坐標(biāo)為（－2，0）由Rt△AOD∽R(shí)t△P1OA得即，∴＝∴P1（，0）（Ⅱ）同理，當(dāng)E為直角頂點(diǎn)時(shí)，P2點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）（Ⅲ）當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，過E作EF⊥x軸于F，設(shè)P3（,0）由∠OP3A+∠FP3E＝90°，得∠OP3A＝∠FEP3Rt△AOP3∽R(shí)t△P3FE由得解得，∴此時(shí)的點(diǎn)P3的坐標(biāo)為（1，0）或（3，0）綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）.27.（2024廣東·一模）（本題滿分12分）拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B、C，已知A（-1，0），C（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，P為線段BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸平行線，交拋物線于點(diǎn)D，當(dāng)△BDC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，拋物線頂點(diǎn)為E，EF⊥x軸于F點(diǎn)，M（m，0）是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，N是線段EF上一點(diǎn)，若∠MNC=90°，請(qǐng)指出實(shí)數(shù)m的變化范圍，并說明理由．25.（12分）解：（1）由題意得：，解得：，∴拋物線解析式為；（2）令，∴x1=-1，x2=3，即B（3，0），設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b′，∴，解得：，∴直線BC的解析式為，設(shè)P（a，3-a），則D（a，-a2+2a+3），∴PD=（-a2+2a+3）-（3-a）=-a2+3a，∴S△BDC=S△PDC+S△PDB，∴當(dāng)時(shí)，△BDC的面積最大，此時(shí)P（，）；（3）由（1），y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴OF=1，EF=4，OC=3，過C作CH⊥EF于H點(diǎn)，則CH=EH=1，當(dāng)M在EF左側(cè)時(shí)，∵∠MNC=90°，則△MNF∽△NCH，∴，設(shè)FN=n，則NH=3-n，∴，即n2-3n-m+1=0，關(guān)于n的方程有解，△=（-3）2-4（-m+1）≥0，得m≥，當(dāng)M在EF右側(cè)時(shí)，Rt△CHE中，CH=EH=1，∠CEH=45°，即∠CEF=45°，作EM⊥CE交x軸于點(diǎn)M，則∠FEM=45°，∵FM=EF=4，∴OM=5，即N為點(diǎn)E時(shí)，OM=5，∴m≤5，綜上，m的變化范圍為：≤m≤5．27.（2024廣東東莞·聯(lián)考）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)B在x正半軸上，且∠ABO=30度．動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上從點(diǎn)A向點(diǎn)B以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．在x軸上取兩點(diǎn)M，N作等邊△PMN．（1）求直線AB的解析式；（2）求等邊△PMN的邊長(zhǎng)（用t的代數(shù)式表示），并求出當(dāng)?shù)冗叀鱌MN的頂點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到與原點(diǎn)O重合時(shí)t的值；（3）如果取OB的中點(diǎn)D，以O(shè)D為邊在Rt△AOB內(nèi)部作如圖2所示的矩形ODCE，點(diǎn)C在線段AB上．設(shè)等邊△PMN和矩形ODCE重疊部分的面積為S，請(qǐng)求出當(dāng)0≤t≤2秒時(shí)S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型；分類討論．【分析】（1）先在直角三角形AOB中，根據(jù)∠ABO的度數(shù)和OA的長(zhǎng)，求出OB的長(zhǎng)，即可得出B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式．（2）求等邊三角形的邊長(zhǎng)就是求出PM的長(zhǎng)，可在直角三角形PMB中，用t表示出BP的長(zhǎng)，然后根據(jù)∠ABO的度數(shù)，求出PM的長(zhǎng)．當(dāng)M、O重合時(shí)，可在直角三角形AOP中，根據(jù)OA的長(zhǎng)求出AP的長(zhǎng)，然后根據(jù)P點(diǎn)的速度即可求出t的值．（3）本題要分情況進(jìn)行討論：①當(dāng)N在D點(diǎn)左側(cè)且E在PM右側(cè)或在PM上時(shí)，即當(dāng)0≤t≤1時(shí)，重合部分是直角梯形EGNO．②當(dāng)N在D點(diǎn)左側(cè)且E在PM左側(cè)時(shí)，即當(dāng)1＜t＜2時(shí)，此時(shí)重復(fù)部分為五邊形，（如圖3）其面積可用△PMN的面積﹣△PIG的面積﹣△OMF的面積來(lái)求得．（也可用梯形ONGE的面積﹣三角形FEI的面積來(lái)求）．③當(dāng)N、D重合時(shí)，即t=2時(shí)，此時(shí)M、O也重合，此時(shí)重合部分為等腰梯形．根據(jù)上述三種情況，可以得出三種不同的關(guān)于重合部分面積與t的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和各自的自變量的取值范圍求出對(duì)應(yīng)的S的最大值．【解答】解：（1）由OA=4，∠ABO=30°，得到OB=12，∴B（12，0），設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，把A和B坐標(biāo)代入得：，解得：，則直線AB的解析式為：y=﹣x+4．（2）∵∠AOB=90°，∠ABO=30°，∴AB=2OA=8，∵AP=t，∴BP=AB﹣AP=8t，∵△PMN是等邊三角形，∴∠MPB=90°，∵tan∠PBM=，∴PM=（8﹣t）×=8﹣t．如圖1，過P分別作PQ⊥y軸于Q，PS⊥x軸于S，可求得AQ=AP=t，PS=QO=4﹣t，∴PM=（4﹣）÷=8﹣t，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)O重合時(shí)，∵∠BAO=60°，∴AO=2AP．∴4=2t，∴t=2．（3）①當(dāng)0≤t≤1時(shí)，見圖2．設(shè)PN交EC于點(diǎn)G，重疊部分為直角梯形EONG，作GH⊥OB于H．∵∠GNH=60°，，∴HN=2，∵PM=8﹣t，∴BM=16﹣2t，∵OB=12，∴ON=（8﹣t）﹣（16﹣2t﹣12）=4+t，∴OH=ON﹣HN=4+t﹣2=2+t=EG，∴S=（2+t+4+t）×2=2t+6．∵S隨t的增大而增大，∴當(dāng)t=1時(shí)，Smax=8．②當(dāng)1＜t＜2時(shí)，見圖3．設(shè)PM交EC于點(diǎn)I，交EO于點(diǎn)F，PN交EC于點(diǎn)G，重疊部分為五邊形OFIGN．作GH⊥OB于H，∵FO=4﹣2t，∴EF=2﹣（4﹣2t）=2t﹣2，∴EI=2t﹣2．∴S=S梯形ONGE﹣S△FEI=2t+6﹣（2t﹣2）（2t﹣2）=﹣2t2+6t+4由題意可得MO=4﹣2t，OF=（4﹣2t）×，PC=4﹣t，PI=4﹣t，再計(jì)算S△FMO=（4﹣2t）2×S△PMN=（8﹣t）2，S△PIG=（4﹣t）2，∴S=S△PMN﹣S△PIG﹣S△FMO=（8﹣t）2﹣（4﹣t）2﹣（4﹣2t）2×=﹣2t2+6t+4∵﹣2＜0，∴當(dāng)時(shí)，S有最大值，Smax=．③當(dāng)t=2時(shí)，MP=MN=6，即N與D重合，設(shè)PM交EC于點(diǎn)I，PD交EC于點(diǎn)G，重疊部分為等腰梯形IMNG，見圖4．S=×62﹣×22=8，綜上所述：當(dāng)0≤t≤1時(shí)，S=2t+6；當(dāng)1＜t＜2時(shí)，S=﹣2t2+6t+4；當(dāng)t=2時(shí)，S=8．∵，∴S的最大值是．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法、三角形相似及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．28.（2024廣東深圳·一模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A（，0）為圓心，以2為半徑的圓與x軸交于B，C兩點(diǎn)，與y軸交于D，E兩點(diǎn)．（1）寫出B，C，D點(diǎn)坐標(biāo)（不寫計(jì)算過程）（2）若B、C、D三點(diǎn)在拋物線y=ax2+bx+c上，求這個(gè)拋物線的解析式．（3）若圓A的切線交于x軸正半軸于點(diǎn)M，交y軸負(fù)半軸與點(diǎn)N，切點(diǎn)為P，∠OMN=30°，試判斷直線MN是否經(jīng)過所示拋物線的頂點(diǎn)？說明理由．【考點(diǎn)】圓的綜合題．【分析】（1）連接AD，構(gòu)造直角三角形解答，在直角△ADO中，OA=，AD=2，根據(jù)勾股定理就可以求出AD的長(zhǎng)，求出D的坐標(biāo)，再利用圓的性質(zhì)得出B，C的坐標(biāo)．（2）求出B、C、D的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法設(shè)出一般式解答；（3）求出拋物線交點(diǎn)坐標(biāo)，連接AP，則△APM是直角三角形，且AP等于圓的半徑，根據(jù)三角函數(shù)就可以求出AM的長(zhǎng)，已知OA，就可以得到OM，則M點(diǎn)的坐標(biāo)可以求出；同理可以在直角△BNM中，根據(jù)三角函數(shù)求出BN的長(zhǎng)，求出N的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出直線MN的解析式．將交點(diǎn)坐標(biāo)代入直線解析式驗(yàn)證即可．【解答】解：（1）如圖1，連接AD，得OA=，AD=2，∴OD===3，∴D（0，﹣3），∵點(diǎn)A（，0）為圓心，以2為半徑的圓與x軸交于B、C兩點(diǎn)，∴B（﹣，0），C（3，0）；（2）∵B（﹣，0），C（3，0），D（0，﹣3