2019年山東省威海市中考數(shù)學試卷（解析版）

2019年山東省威海市中考數(shù)學試卷

一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個選項中，只有

一個是正確的.每小題選對得3分，選錯、不選或多選，均不得分）

1.（3分）（2019?威海）-3的相反數(shù)是（）

A.-3B.3C.1D.-X

33

【考點】14：相反數(shù).

【分析】依據(jù)相反數(shù)的定義解答即可.

【解答】解：-3的相反數(shù)是3.

故選：B.

【點評】本題主要考查的是相反數(shù)的定義，掌握相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

2.（3分）（2019?威海）據(jù)央視網(wǎng)報道，2019年1?4月份我國社會物流總額為88.9萬億元

人民幣，“88.9萬億”用科學記數(shù)法表示為（）

A.8.89X1013B.8.89X1012C.88.9X1012D.8.89X1011

【考點】II：科學記數(shù)法一表示較大的數(shù).

【專題】511：實數(shù).

【分析】利用科學記數(shù)法的表示形式進行解答即可

【解答】解：法一：88.9萬億=88.9X1（）4X108=88.9X1012

用科學記數(shù)法表示：88.9X1012=8.89X1013

法二：科學記數(shù)法表示為：88.9萬億=8890000000000=8.89X1（）13

故選：A.

【點評】本題主要考查科學記數(shù)法，科學記數(shù)法是指把一個數(shù)表示成aXIO的"次哥的

形式（lWa<10,”為正整數(shù).）

3.（3分）（2019?威海）如圖，一個人從山腳下的A點出發(fā)，沿山坡小路AB走到山頂B點.已

知坡角為20°,山高BC=2千米.用科學計算器計算小路的長度，下列按鍵順序正

A0EUH00SB.IUHS00S

c.因臼回回叵ED.30B00H

【考點】T6：計算器一三角函數(shù)；T9：解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.

【專題】55E：解直角三角形及其應(yīng)用.

【分析】在△ABC中，通過解直角三角形可得出sinA=理，則42=―曳-，即可得

ABsin20

出結(jié)論.

【解答】解：在△ABC中，sinA=sin20°=屁，

AB

：.AB=——=——Z——，

sin20sin20

按鍵順序為：2+sin20=

故選：A.

【點評】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題以及計算器，熟練應(yīng)用計算

器是解題關(guān)鍵.

4.（3分）（2019?威海）如圖所示的幾何體是由幾個大小相同的小正方體搭成的，其俯視圖

【考點】U2：簡單組合體的三視圖.

【專題】55F：投影與視圖.

【分析】根據(jù)俯視圖是從上面看到的圖形進而得出答案.

【解答】解：從上面看，得到的視圖是：1—1,

故選：C.

【點評】本題考查了三視圖的知識，關(guān)鍵是找準俯視圖所看的方向.

5.（3分）（2019?威海）下列運算正確的是（）

A.（/）3=。5B.3a1+a=3ai

C.cv'^ra1—^（aWO）D.a（o+l）=/+l

【考點】35：合并同類項；47：哥的乘方與積的乘方；4A：單項式乘多項式.

【專題】11:計算題.

【分析】根據(jù)合并同類項法則，幕的乘方的性質(zhì)，單項式與多項式乘法法則，同底數(shù)賽

的除法的性質(zhì)對各選項分析判斷后利用排除法求解.

【解答】解：A、（/）3=小，故本選項錯誤；

B、3a2+a,不是同類項，不能合并，故本選項錯誤；

C、a5-r-a2—a3（。70）,正確；

D、a（tz+1）=a2+a,故本選項錯誤.

故選：C.

【點評】本題考查了合并同類項法則，騫的乘方的性質(zhì)，單項式與多項式乘法法則，同

底數(shù)暴的除法的性質(zhì).熟練掌握法則是解題的關(guān)鍵.

6.（3分）（2019?威海）為配合全科大閱讀活動，學校團委對全校學生閱讀興趣調(diào)查的數(shù)據(jù)

進行整理.欲反映學生感興趣的各類圖書所占百分比，最適合的統(tǒng)計圖是（）

A.條形統(tǒng)計圖B.頻數(shù)直方圖C.折線統(tǒng)計圖D.扇形統(tǒng)計圖

【考點】VE：統(tǒng)計圖的選擇.

【專題】541：數(shù)據(jù)的收集與整理；65：數(shù)據(jù)分析觀念.

【分析】根據(jù)題意，需要反映部分與總體的關(guān)系，故最適合的統(tǒng)計圖是扇形統(tǒng)計圖.

【解答】解：欲反映學生感興趣的各類圖書所占百分比，最適合的統(tǒng)計圖是扇形統(tǒng)計圖.

故選：D.

【點評】本題主要考查了統(tǒng)計圖的應(yīng)用，熟練掌握各種統(tǒng)計圖的特點是解答本題的關(guān)鍵.

7.（3分）（2019?威海）如圖，E是邊AO延長線上一點，連接BE,CE,BD,BE

交CD于點F.添加以下條件，不能判定四邊形BCEO為平行四邊形的是（）

A./ABD=/DCEB.DF=CFC./AEB=/BCDD./AEC=/CBD

【考點】L7：平行四邊形的判定與性質(zhì).

【專題】555：多邊形與平行四邊形.

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD//BC,AB//CD,求得DE〃BC,ZABD=ZCDB,

推出于是得到四邊形BC即為平行四邊形，故A正確；根據(jù)平行線的性質(zhì)得

到N。&7=NC8R根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得至于是得到四邊形BCE。為平行

四邊形，故5正確；根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NAE8=NC3R求得/CBF=/BCD,求得

CF=BF,同理，EF=DF,不能判定四邊形8。即為平行四邊形；故C錯誤；根據(jù)平行

線的性質(zhì)得到NOEC+N5CE=NED5+NZ)3C=180°,推出N3OE=N3CE,于是得到

四邊形3CEO為平行四邊形，故。正確.

【解答】解：???四邊形A5CD是平行四邊形，

：.AD//BC,AB//CD,

J.DE//BC,NABD=/CDB,

9：NABD=NDCE,

：.ZDCE=ZCDB,

J.BD//CE,

???5。皮)為平行四邊形，故A正確；

■:DE//BC,

：.ZDEF=ZCBF,

'/DEF=NCBF

在ADEF與ACBF中,ZDFE=ZCFB，

DF二CF

:ADEFQXCBF(A4S),

：.EF=BF9

■:DF=CF,

???四邊形5CED為平行四邊形，故8正確；

9

：AE//BCf

：.NAEB=NCBF,

NAEB=NBCD,

：.ZCBF=ZBCD,

：?CF=BF,

同理，EF=DF,

???不能判定四邊形BC即為平行四邊形；故C錯誤；

'：AE//BCf

：./DEC+/BCE=ZEDB+ZDBC=180°,

???/AEC=/CBD,

，ZBDE=ZBCE,

，四邊形BCE。為平行四邊形，故D正確,

故選：C.

【點評】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平

行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

8.（3分）（2019?威海）計算（g-3）0+&?-（-”的結(jié)果是（）

3

A.1+斷B.1+273C.MD.1+473

3

【考點】2C：實數(shù)的運算；6E：零指數(shù)嘉；6F：負整數(shù)指數(shù)塞.

【專題】511：實數(shù)；66：運算能力.

【分析】分別根據(jù)零次幕、二次根式的性質(zhì)以及負指數(shù)幕化簡即可求解.

【解答】解：原式=1+3>&+/5=1+5年.

故選：D.

【點評】本題考查實數(shù)的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型.解決此類題

目的關(guān)鍵是熟練掌握負整數(shù)指數(shù)幕、二次根式、絕對值等考點的運算.

‘3-x》4①

9.（3分）（2019?威海）解不等式組［22…時，不等式①②的解集在同一條數(shù)

■②

,JJ

軸上表示正確的是（）

11L11111k

A.-3-2-101234名

<I?11j1?1?

B.-3-2-1012345

111」1」」」人

C.-3-2-1012345

111」11］」4

D.-3-2-1012345

【考點】C4：在數(shù)軸上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式組.

【專題】524：一元一次不等式（組）及應(yīng)用；62：符號意識；66：運算能力；68：模型思

想.

【分析】先求出不等式組中各個不等式的解集，再利用數(shù)軸確定不等式組的解集.

【解答】解：解不等式①得：xW-1,

解不等式②得：%<5,

將兩不等式解集表示在數(shù)軸上如下：

?1jI1111A.

-3-2-1012345

故選：D.

【點評】本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式的解集解不等式組時要

注意解集的確定原則：同大取大，同小取小，大小小大取中間，大大小小無解了.

10.（3分）（2019?威海）已知a,6是方程d+x-3=0的兩個實數(shù)根，則6+2019的值

是（）

A.2023B.2021C.2020D.2019

【考點】AB：根與系數(shù)的關(guān)系.

【專題】52：方程與不等式.

【分析】根據(jù)題意可知b—3-b2,a+b=-1,ab-3,所求式子化為a2-Z?+2019=a2-

3+廿+2019=Ca+b'）2-2M+2016即可求解；

【解答】解：a,6是方程3=0的兩個實數(shù)根，

:.b=3-b2,a+b—-1,ab=3,

-6+2019=/-3+廬+2019=（a+b）2-2aZ?+2016=1+6+2016=2023；

故選：A.

【點評】本題考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系將所求式子進

行化簡代入是解題的關(guān)鍵.

11.（3分）（2019?威海）甲、乙施工隊分別從兩端修一段長度為380米的公路.在施工過

程中，乙隊曾因技術(shù)改進而停工一天，之后加快了施工進度并與甲隊共同按期完成了修

路任務(wù).下表是根據(jù)每天工程進度繪制而成的.

施工時間/天123456789

累計完成施工量/米3570105140160215270325380

下列說法錯誤的是（）

A.甲隊每天修路20米

B.乙隊第一天修路15米

C.乙隊技術(shù)改進后每天修路35米

D.前七天甲，乙兩隊修路長度相等

【考點】FH：一次函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】533：一次函數(shù)及其應(yīng)用；68：模型思想；69：應(yīng)用意識.

【分析】根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)可以判斷各個選項中的說法是否正確，本題得以解決.

【解答】解：由題意可得，

甲隊每天修路：160-140=20（米），故選項A正確；

乙隊第一天修路：35-20=15（米），故選項8正確；

乙隊技術(shù)改進后每天修路：215-160-20=35（米），故選項C正確；

前7天，甲隊修路：20X7=140米，乙隊修路：270-140=130米，故選項O錯誤；

故選：D.

【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)

解答.

12.（3分）（2019?威海）如圖，。尸與無軸交于點A（-5,0）,B（1,0）,與y軸的正半

軸交于點C.若/AC3=60°,則點C的縱坐標為（）

A.V13+V3B.2“丐班C.472D.272+2

【考點】D5：坐標與圖形性質(zhì)；M2：垂徑定理；M5：圓周角定理.

【專題】559：圓的有關(guān)概念及性質(zhì).

【分析】連接B4,PB,PC,過產(chǎn)作POLAB于。，PELBC于E,根據(jù)圓周角定理得到

ZAPB=120°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/抬8=/尸54=30°,由垂徑定理得到

=BD=3,解直角三角形得到PD=M，E4=P2=PC=2b，根據(jù)勾股定理得到CE=

Jp,2_pE2=412-4于是得到結(jié)論.

【解答】解：連接B4,PB,PC,過P作尸于。，PELBC于E,

VZACB=60°,

/.ZAPS=120°,

"：PA=PB,

：.ZPAB=ZPBA=3Q°,

VA(-5,0),B(1,0),

：.AB=6,

：.AD=BD^3,

:.PD=M，PA=PB=PC=?M，

'：PD±AB,PE±BC,ZAOC=90°,

四邊形PEOO是矩形，

：.OE=PD=M，PE=OD=2,

CE=pQ2_pg2=(^12-4=2V2>

?.OC=CE+OE=2&+V5，

點C的縱坐標為2A/2+V3.

故選：B.

【點評】本題考查了圓周角定理，坐標與圖形性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，正確的作出

輔助線是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分.只要求填出最后結(jié)果）

13.（3分）（2019?威海）把一塊含有45°角的直角三角板與兩條長邊平行的直尺如圖放置

（直角頂點在直尺的一條長邊上）.若Nl=23°,則N2=68°.

【考點】JA：平行線的性質(zhì)；KW：等腰直角三角形.

【專題】551：線段、角、相交線與平行線；554：等腰三角形與直角三角形.

【分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)得出/A=/C=45°,由三角形的外角性質(zhì)得出/AGB

=68°,再由平行線的性質(zhì)即可得出N2的度數(shù).

【解答】解：ABC是含有45°角的直角三角板，

AZA=ZC=45",

VZ1=23°,

：.ZAGB=ZC+Z1=68°,

'：EF//BD,

.?.N2=NAGB=68°；

故答案為：68.

【點評】此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)，

關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同位角相等.

14.（3分）（2019?威海）分解因式：2/-2X+L=2（尤-1）2.

22

【考點】57：因式分解-十字相乘法等.

【專題】512：整式.

【分析】直接提取公因式2,再利用公式法分解因式即可.

【解答】解：原式=2（x2-x+1）

4

—2（x--）2.

2

故答案為：2（x-2）2.

2

【點評】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確應(yīng)用公式是解題關(guān)鍵.

15.（3分）（2019?威海）如圖，在四邊形A3C。中，AB//DC,過點C作CE_L8C,交A。

于點E,連接BE,ZBEC=ZDEC,若AB=6,則CD=3.

DC

且

AB

【考點】JA：平行線的性質(zhì).

【專題】11：計算題；551：線段、角、相交線與平行線.

【分析】延長BC、AD相交于點F,可證△EBCgZkEFC,可得BC=CF,則CD為AABF

的中位線，故可求出.

【解答】解：如圖，延長BC、AO相交于點凡

FX

；?/BCE=NFCE=9b°,

?：/BEC=NDEC,CE=CE,

:?△EBC"AEFC（ASA）,

：.BC=CF,

'JAB//DC,

：.AD=DF,

?'-DC=7TAB=6X-^=3-

故答案為：3.

【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線定理等

知識，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線.

16.（3分）（2019?威海）一元二次方程3/=4-2尤的解是凡=,羽=.

33―

【考點】A7：解一元二次方程-公式法.

【專題】523：一元二次方程及應(yīng)用.

【分析】直接利用公式法解方程得出答案.

【解答】解：3?=4-2%

3/+2x-4=0,

則■-4ic=4-4X3X(-4)=52>0,

故L盤厘

6__

解得：11+呵X2=-1WT3

33

故答案為：xi=-----"1」，x2~~—]3-

【點評】此題主要考查了公式法解方程，正確掌握公式法是解題關(guān)鍵.

17.（3分）（2019?威海）如圖，在四邊形48C。中，AB//CD,連接AC,BD.若/ACB=

90°，AC=BC,AB=BD,則/A￡>C=105°.

【考點】JA：平行線的性質(zhì)；KO：含30度角的直角三角形；KW：等腰直角三角形.

【專題】551：線段、角、相交線與平行線；554：等腰三角形與直角三角形.

【分析】作DE±AB于E,CF±AB于F,則DE=CF,由等腰直角三角形的性質(zhì)得出

CF^AF^BF^—AB,得出DE^CF^—AB=^BD,ZBAD=ZBDA,由直角三角形的

222

性質(zhì)得出NAB￡）=3（r,得出/8AD=N8D4=75°,再由平行線的性質(zhì)即可得出答案.

【解答】解：作DELA8于E,CFLABF,如圖所示：

貝I]DE=CF,

；CF_LAB,ZACB=90°,AC=BC,

：.CF^AF^BF=1-AB,

2

\'AB=BD,；.DE=CF=LAB=LBD,ZBAD=ZBDA,

22

/.ZABD=3Q°,

：.ZBAD=ZBDA=15°,

'."AB//CD,

：.ZADC+ZBAD=1SQ°,

AZAZ)C=105°；

故答案為：105°.

DC

【點評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的

性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證出NABO=30°是解

題的關(guān)鍵.

18.（3分）（2019?威海）如圖，在平面直角坐標系中，點A,8在反比例函數(shù)y=k（人力0）

X

的圖象上運動，且始終保持線段A8=4料的長度不變.M為線段48的中點，連接OM.則

線段OM長度的最小值是—及國—（用含左的代數(shù)式表示）.

【考點】G4：反比例函數(shù)的性質(zhì)；G6：反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征.

【專題】534：反比例函數(shù)及其應(yīng)用.

【分析】如圖，當時，線段長度的最小.首先證明點A與點8關(guān)于直線y

=x對稱，因為點A,8在反比例函數(shù)y=K"/0）的圖象上，AB=4^,所以可以假

X

設(shè)A（m,—）,則5（m+4,—-4）,則有」￡_=，—，解得％=毋+4處推出A（m,

minnrl-4in-4

m+4）,B（m+4,m）,可得M（m+2,m+2）,求出OAf即可解決問題.

【解答】解：如圖，當。A3時，線段OM長度的最小，

???〃為線段A3的中點，

：.OA=OB,

二?點A,5在反比例函數(shù)y=竺（ZW0）的圖象上,

x

???點A與點5關(guān)于直線y=x對稱，

???A8=4&,

...可以假設(shè)A(m,—則B(利+4,—-4),

inm

irr+4m-4

解得k—tir+^m,

'.A(m,m+4),B(機+4,m),

'.M(.m+2,m+1),

的最小值為V2k+8.

故答案為A/2k+8.

【點評】本題考查反比例函數(shù)圖象上的點的特征，反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)

鍵是理解題意，學會利用參數(shù)解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

三、解答題（本大題共7小題，共66分）

19.（7分）（2019?威海）列方程解應(yīng)用題：

小明和小剛約定周末到某體育公園打羽毛球.他們兩家到體育公園的距離分別是1200米,

3000米，小剛騎自行車的速度是小明步行速度的3倍，若二人同時到達，則小明需提前

4分鐘出發(fā)，求小明和小剛兩人的速度.

【考點】B7：分式方程的應(yīng)用.

【專題】522：分式方程及應(yīng)用.

【分析】直接利用小剛騎自行車的速度是小明步行速度的3倍，若二人同時到達，則小

明需提前4分鐘出發(fā)，進而得出等式求出答案.

【解答】解：設(shè)小明的速度是x米/分鐘，則小剛騎自行車的速度是3尤米/分鐘，根據(jù)題

意可得：

1200_3000

x3x

解得：x=50,

經(jīng)檢驗得：x=50是原方程的根，故3x=150,

答：小明的速度是50米/分鐘，則小剛騎自行車的速度是150米/分鐘.

【點評】此題主要考查了分式方程的應(yīng)用，正確得出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵.

20.（8分）（2019?威海）在一個箱內(nèi)裝入只有標號不同的三顆小球，標號分別為1,2,3.每

次隨機取出一顆小球，記下標號作為得分，再將小球放回箱內(nèi).小明現(xiàn)已取球三次，得

分分別為1分，3分，2分，小明又從箱內(nèi)取球兩次，若五次得分的平均數(shù)不小于2.2分,

請用畫樹狀圖或列表的方法，求發(fā)生“五次取球得分的平均數(shù)不小于2.2分”情況的概率.

【考點】W1：算術(shù)平均數(shù)；X6：列表法與樹狀圖法.

【專題】543：概率及其應(yīng)用.

【分析】先畫樹狀圖展示所有9種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出發(fā)生“五次取球得分的平均

數(shù)不小于2.2分”的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解.

【解答】解：樹狀圖如下：

123

/T\/T\

123123123

共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，

由于五次得分的平均數(shù)不小于2.2分，

五次的總得分不小于11分，

.?.后2次的得分不小于5分，

而在這9種結(jié)果中，得出不小于5分的有3種結(jié)果，

發(fā)生”五次取球得分的平均數(shù)不小于2.2分”情況的概率為蟲=1.

93

【點評】本題考查了列表法或樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果

求出n,再從中選出符合事件A或8的結(jié)果數(shù)目m,然后根據(jù)概率公式求出事件A或8

的概率.

21.（8分）（2019?威海）（1）閱讀理解

如圖，點A,8在反比例函數(shù)y=1的圖象上，連接A8,取線段A8的中點C.分別過點

X

A,C,8作x軸的垂線，垂足為E,F,G,CF交反比例函數(shù)y=L的圖象于點。.點E,

X

F,G的橫坐標分別為幾-1,幾,n+1（n>l）.

小紅通過觀察反比例函數(shù)y=L的圖象，并運用幾何知識得出結(jié)論：

AE+BG=2CF,CF>DF

由此得出一個關(guān)于」一,」一,2,之間數(shù)量關(guān)系的命題：

n-ln+1n

若">i,則.

-n-l-n+l-n-

(2)證明命題

小東認為：可以通過“若>20,則。的思路證明上述命題.

小晴認為：可以通過“若a>0,b>0,且則的思路證明上述命題.

請你選擇一種方法證明(1)中的命題.

【考點】G2：反比例函數(shù)的圖象；G6：反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征.

【專題】534：反比例函數(shù)及其應(yīng)用.

【分析】(1)求出AE,BG,DF,利用AE+8G=2CR可得」

n-ln+1n

(2)方法一利用求差法比較大小，方法二：利用求商法比較大小.

【解答】解：(1)\'AE+BG^2CF,CF>DF,。/=工,

n-ln+1n

n-ln+1n

故答案為：

n-ln+1n

999

(2)方法一：???，+，-2=n+[+n己-2n+2=__2__

n-ln+1nn(n-l)(n+1)n(n-l)(n+1)

Vn>l,

???孔(n-1)(n+1)>0,

；'L.+-L--2>o,

n-ln+1n

n-ln+1n

11

方法二：?.?亙4=4>1,

一n-1

n

n-ln+1n

【點評】本題考查反比例函數(shù)圖形上的點的坐標特征，反比例函數(shù)的圖象等知識，解題

的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題.

22.(9分)(2019?威海)如圖是把一個裝有貨物的長方體形狀的木箱沿著坡面裝進汽車貨

廂的示意圖.已知汽車貨廂高度BG=2米，貨廂底面距地面的高度BH=0.6米，坡面與

地面的夾角N548=a,木箱的長(FC)為2米，高(EF)和寬都是1.6米.通過計算

判斷：當sina=上，木箱底部頂點C與坡面底部點A重合時，木箱上部頂點E會不會觸

5

【考點】T9：解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.

【專題】55E：解直角三角形及其應(yīng)用.

【分析】根據(jù)題意作出合適的輔助線，然后利用銳角三角函數(shù)求出BM+EN的長度，再

與2比較大小即可解答本題.

【解答】解：：8H=0.6米，sina=2,

5

BH0.6

：.AB=.=1米,

sinaQ3

T

：.AH=Q.S米,

：AF="=2米,

；.BF=1米,

作FJ1BG于點J,作EKLFJ于點K,

ZEKF=ZFJB=ZAHB=90°,/EFK=NFBJ=NABH,BF=AB,

，AFBJcz,AABH,△尸8修AABH,

AEF^FK_EK_；BJ=BH=0.6米,

ABBHAH

gpl.6_FK_EK

1=0.6=0.8'

解得，EK=1.28,

：.BJ+EK=0.6+1.28=1.88<2,

，木箱上部頂點E不會觸碰到汽車貨廂頂部.

【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，

利用銳角三角函數(shù)和數(shù)形結(jié)合的思想解答.

23.(10分)(2019?威海)在畫二次函數(shù)y=a?+bx+c(aWO)的圖象時，甲寫錯了一次項

的系數(shù)，列表如下

X......-10123......

y甲......63236......

乙寫錯了常數(shù)項，列表如下：

X......-10123......

............

y乙-2-12714

通過上述信息，解決以下問題：

(1)求原二次函數(shù)y=a，+b.t+c(aNO)的表達式；

(2)對于二次函數(shù)y=/+6x+c(aWO),當尤2-1時,y的值隨x的值增大而增大;

(3)若關(guān)于X的方程a^+bx+cu笈(cz#O)有兩個不相等的實數(shù)根，求左的取值范圍.

【考點】AA：根的判別式；H3：二次函數(shù)的性質(zhì)；H8：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式;

HA：拋物線與x軸的交點.

【專題】535：二次函數(shù)圖象及其性質(zhì).

【分析】(1)由甲同學的錯誤可知c=3,由乙同學提供的數(shù)據(jù)選尤=-1,y=-2；x=l,

y=2,代入解析式求出a和6即可；

(2)y=-3/+2x+3的對稱軸為直線》=上，拋物線開口向下；

3

(3)-3x?+2x+3-4=0有兩個不相等的實數(shù)根，判別式△>()即可;

【解答】解：(1)由甲同學的錯誤可知c=3,

由甲同學提供的數(shù)據(jù)選x=-1,y=6；x=l,y=2,

有16=a-b+3

12=a+b+3

??〃=1,

由甲同學給的數(shù)據(jù)a=l,c=3是正確的；

由乙同學提供的數(shù)據(jù)，可知c=-l,

x=~1,y=~2；x=1fy=2,

有卜2=a-b+c,

(2-a+b+c

.?尸，

lb=2

??d~~1fZ?=2,

；.y=x~+2x+3；

(2)y=f+2x+3的對稱軸為直線尤=-1,

...拋物線開口向上，

當尤2-1時，y的值隨x的值增大而增大；

故答案為三-1；

(3)方程尤+c=笈(aWO)有兩個不相等的實數(shù)根，

即/+2尤+3-k=Q有兩個不相等的實數(shù)根，

.,.△=4-4(3-%)>0,

：.k>2；

【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，熟練函數(shù)圖

象是解題的關(guān)鍵.

24.(12分)(2019?威海)如圖，在正方形ABCD中，AB=10cm,E為對角線8。上一動點，

連接AE,CE,過E點作EFLAE,交直線8C于點?E點從2點出發(fā)，沿著2D方向

以每秒2c機的速度運動，當點E與點D重合時，運動停止.設(shè)ABE尸的面積為yc相2,E

點的運動時間為X秒.

備用圖

（1）求證：CE=EF；

（2）求y與x之間關(guān)系的函數(shù)表達式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）求面積的最大值.

【考點】LO：四邊形綜合題.

【專題】152：幾何綜合題.

【分析】（1）作輔助線，構(gòu)建三角形全等，證明△AEA/gzXEFN和△ADEgZkCQElSAS）,

可得AE=CE=EF；

（2）分兩種情況：根據(jù)三角形的面積公式可得y與x之間關(guān)系的函數(shù)表達式，根據(jù)勾股

定理計算BD的長可得x的取值；

（3）根據(jù)（2）中的兩種情況，分別利用配方法和二次函數(shù)的增減性可得結(jié)論.

【解答】（1）證明：如圖1,過E作交AD于M,交BC于N,

:四邊形ABCD是正方形,

C.AD//BC,AB±AD,

：.MN±AD,MNLBC,

：./AME=ZFNE=90°=ZNFE+ZFEN,

,：AE1EF,

：./AEF=ZAEM+ZFEN=90°,

ZAEM=ZNFE,

VZ￡)BC=45°,ZBNE=90°,

：?BN=EN=AM,

：.AAEM^AEFN(A4S),

：.AE=EF,

???四邊形A3CD是正方形，

：.AD=CD,NADE=NCDE,

?：DE=DE,

：.AADE^ACDE(SAS),

：.AE=CE=EF；

(2)解：在RtABCD中，由勾股定理得：5。={102+]02=10&,

???0?加,

由題意得：BE=2x,

:.BN=EN=4^,

由(1)知：AE=EF=EC,

分兩種情況：

①當OWxwEZ時，如圖1,

2

;AB=MN=1O,

:.ME=FN=10-，揚,

：.BF=FN-BN=TQ--揚=10-2、后,

?■?v=yBF'EN=y(10-2V2x)'V2x=-2/+5每

②當寫2Vx《5g時，如圖2,過E作EN_LBC于N,

:.EN=BN=4^K,

:.FN=CN=10-、&

:.BF=BC-2CN=10-2(10-揚)=2匹'-10,

???尸犧回瑟(2后x-10)?后x=27-5揚；

產(chǎn)-2x2+5&x(04x《)

綜上，y與尤之間關(guān)系的函數(shù)表達式為：廠

y=2x2-5V2x(-^-<X<5V2)

(3)解：①當OWxW且0時，如圖1,

2

尸-2?+5V5C=-2(x--^2.)2+空,

44

:-2<0,

.?.當苫=平時，y有最大值是蓍；

②當岑2VxW5加時，如圖2,

，尸2/-5揚=2(x--^-)2-空,

44

V2>0,

當尤>勺返時，y隨尤的增大而增大

4

當尤=5加時，y有最大值是50；

綜上，△BEF面積的最大值是50.

圖2

【點評】此題是四邊形的綜合題，主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，

勾股定理，三角形面積，二次函數(shù)的最值等知識點的理解和掌握，難度適中，熟練掌握

正方形中利用輔助線構(gòu)建全等來解決問題是本題的關(guān)鍵.

25.(12分)(2019?威海)(1)方法選擇

如圖①，四邊形ABC。是。。的內(nèi)接四邊形，連接AC,BD,AB^BC^AC.求證：BD

^AD+CD.

小穎認為可用截長法證明：在。8上截取連接AM…

小軍認為可用補短法證明：延長CZ)至點N,使得ON=A。…

請你選擇一種方法證明.

(2)類比探究

【探究11

如圖②，四邊形ABC。是。0的內(nèi)接四邊形，連接AC,BD,BC是。。的直徑，AB=

AC.試用等式表示線段AD,BD,CZ)之間的數(shù)量關(guān)系，井證明你的結(jié)論.

【探究2】

如圖③，四邊形ABC。是。。的內(nèi)接四邊形，連接AC,BD.若是。。的直徑，Z

ABC=30°,則線段A。，BD,CD之間的等量關(guān)系式是BD=^^CD+2AD.

(3)拓展猜想

如圖④，四邊形ABC。是。。的內(nèi)接四邊形，連接AC,BD.若BC是。。的直徑，BC-.

AC：AB=a：b：c,則線段A。，BD,CD之間的等量關(guān)系式是BD=&CD+2AD.

bb

【專題】152：幾何綜合題.

【分析】(1)方法選擇：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到NACB=/ABC=60°,如圖①，

在上截取。EMA。，連接AM,由圓周角定理得到NAO8=/ACB=60°,得到AM

=A。，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到于是得到結(jié)論；

(2)類比探究：如圖②，由2C是O。的直徑，得到/BAC=90°,根據(jù)等腰直角三角

形的性質(zhì)得到/ABC=/ACB=45°,過A作交8D于推出是等腰

直角三角形，求得DM=GD根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；

【探究2】如圖③，根據(jù)圓周角定理和三角形的內(nèi)角和得到NBAC=90°,NACB=60°,

過A作AM±AD交BD于M,求得NAM￡)=30°,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到MD=2AD,

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BM=4^CD,于是得到結(jié)論；

(3)如圖④，由BC是。。的直徑，得到NBAC=90°,過A作交8。于

求得/MAO=90°,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BM=&CD,DM=^-AD,于是得到結(jié)

bb

論.

【解答】解：(1)方法選擇：'：AB=BC=AC,

：.ZACB^ZABC^60°,

如圖①，在8。上截取連接AM,

VZADB=ZACB=60°,

??.△AOM是等邊三角形，

：.AM=AD,

'：ZABM=NACD,

VZAMB=ZADC=120°,

AABM^AACD(AA5),

：.BM=CD,

：.BD=BM+DM=CD-^-AD；

(2)類比探究：如圖②，

???5C是OO的直徑，

ZBAC=90°,

*：AB=AC,

：.ZABC=ZACB=45°,

過A作AM±AD交BD于M,

VZADB=ZACB=45°,

???AADM是等腰直角三角形，

：.AM=ADfZAMD=45°,

：.DM=^2AD,

：.ZAMB=ZADC=135°,

???ZABM=ZACD,

：.AABM^AACD(AAS),

；.BM=CD,

???BD=BM+DM=CD-^/2AD；

【探究2】如圖③，:若5C是。。的直徑，ZABC=30°,

AZBAC=90°,ZACB=60°,

過A作AM±AD交BD于M,

VZADB=ZACB=60°,

ZAMD=30°,

：.MD=2AD,

VZABD=ZACDfZAMB=ZADC=150°,

，AABM^/\ACD,

，典4s

CDAC

:.BM=MCD,

：.BD=BM+DM=y/3CD+2AD；

故答案為：BD=^f3CD+2AD；

(3)拓展猜想：BD=BM+DM=&CD+且AD；

bb

理由：如圖④，：若8C是。。的直徑，

/.ZBAC=90°,

過A作AM1AD交BD于M,

：.ZMAD=90°,

：.ZBAM=ZDAC,

：.^ABM^AACD,

?BM_AB_C

,百『V

b

VZADB=ZACB,ZBAC=ZNAD=90°,

AADM^/\ACB,

.AD=AC=b_

"DMBC7'

：.DM=—AD,

b

：.BD=BM+DM=SCD+AAD.

bb

故答案為：BD^CD+^-AD

bb

國④

A

D

C

圖③

【點評】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等

腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

考點卡片

1.相反數(shù)

（1）相反數(shù)的概念：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù).

（2）相反數(shù)的意義：掌握相反數(shù)是成對出現(xiàn)的，不能單獨存在，從數(shù)軸上看，除0外，互

為相反數(shù)的兩個數(shù)，它們分別在原點兩旁且到原點距離相等.

（3）多重符號的化簡：與“+”個數(shù)無關(guān)，有奇數(shù)個“-”號結(jié)果為負，有偶數(shù)個“-”

號，結(jié)果為正.

（4）規(guī)律方法總結(jié)：求一個數(shù)的相反數(shù)的方法就是在這個數(shù)的前邊添加“-如。的相反

數(shù)是-a,的相反數(shù)是-（m+n）,這時機+〃是一個整體，在整體前面添負號時，要用

小括號.

2.科學記數(shù)法一表示較大的數(shù)

（1）科學記數(shù)法：把一個大于10的數(shù)記成。義10"的形式，其中。是整數(shù)數(shù)位只有一位的

數(shù)，〃是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學記數(shù)法.【科學記數(shù)法形式：oXIO",其中l(wèi)Wa<10,

〃為正整數(shù)

（2）規(guī)律方法總結(jié)：

①科學記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)

位數(shù)少1；按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)加

②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學記數(shù)法表示，實質(zhì)上絕對值大于10的負數(shù)同樣可用

此法表示，只是前面多一個負號.

3.實數(shù)的運算

（1）實數(shù)的運算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實數(shù)既可以進行加、減、乘、除、

乘方運算，又可以進行開方運算，其中正實數(shù)可以開平方.

（2）在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算

乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到有的順序進行.

另外，有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.

【規(guī)律方法】實數(shù)運算的“三個關(guān)鍵”

1.運算法則：乘方和開方運算、幕的運算、指數(shù)（特別是負整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運算、根

式運算、特殊三角函數(shù)值的計算以及絕對值的化簡等.

2.運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從

左到右依次運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算.

3.運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準確度.

4.合并同類項

（1）定義：把多項式中同類項合成一項，叫做合并同類項.

（2）合并同類項的法則：把同類項的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不

變.

（3）合并同類項時要注意以下三點：

①要掌握同類項的概念，會辨別同類項，并準確地掌握判斷同類項的兩條標準：帶有相同

系數(shù)的代數(shù)項；字母和字母指數(shù)；

②明確合并同類項的含義是把多項式中的同類項合并成一項，經(jīng)過合并同類項，式的項數(shù)

會減少，達到化簡多項式的目的；

③“合并”是指同類項的系數(shù)的相加，并把得到的結(jié)果作為新的系數(shù)，要保持同類項的字

母和字母的指數(shù)不變.

5.塞的乘方與積的乘方

（1）事的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

S）n=amn〃是正整數(shù)）

注意：①幕的乘方的底數(shù)指的是幕的底數(shù)；②性質(zhì)中“指數(shù)相乘”指的是幕的指數(shù)與乘方

的指數(shù)相乘，這里注意與同底數(shù)塞的乘法中“指數(shù)相加”的區(qū)別.

（2）積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的幕相乘.

（ab）（"是正整數(shù)）

注意：①因式是三個或三個以上積的乘方，法則仍適用；②運用時數(shù)字因數(shù)的乘方應(yīng)根據(jù)

乘方的意義，計算出最后的結(jié)果.

6.單項式乘多項式

（1）單項式與多項式相乘的運算法則：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的

每一項，再把所得的積相加.

（2）單項式與多項式相乘時，應(yīng)注意以下