2019高考理科數(shù)學(xué)模擬考試試題(一)

2019高考理科數(shù)學(xué)模擬試題（一）

考試時(shí)間：120分鐘

注意事項(xiàng)：

1.答題前填寫(xiě)好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息

2.請(qǐng)將答案正確填寫(xiě)在答題卡上

第I卷（選擇題）

一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合

題意）

1.已知集合M={x|y=x2+1},N={yy=d},則MCN=（）

A.{（0,1）}B.{x|x>-1}C.{x|x「0}D.{x|x「l}

2.復(fù)數(shù)z=9zL的共輾復(fù)數(shù)的虛部為（）

1+i

A.-B.-3c.身D.反

2222

3.已知命題p：存在向量W，K使得「HEEL命題q：對(duì)任意的向量g

總3若丁岸23則拳3則下列判斷正確的是（）

A.命題p\/q是假命題B.命題pAq是真命題

C.命題pV（-1q）是假命題D.命題p八（-'q）是真命題

4.2017年5月30日是我們的傳統(tǒng)節(jié)日-端午節(jié)"，這天小明的媽媽為小明

煮了5個(gè)粽子，其中兩個(gè)臘肉餡三個(gè)豆沙餡，小明隨機(jī)取出兩個(gè)，事件A="取到

的兩個(gè)為同一種餡"，事件B="取到的兩個(gè)都是豆沙餡"，則P（B|A）=（）

A.3B.LC.D.A.

441010

5.已知銳角a的終邊上一點(diǎn)P（sin40。，l+cos40°）,則a等于（）

A.10°B.20°C.70°D.80°

6.已知函數(shù)f(x)=lnx-xJ，若a=f(L>b=f(n),c=f(5),則()

x3

A.c<b<aB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

7.閱讀程序框圖，如果輸出的函數(shù)值在區(qū)間［15］內(nèi)，則輸入的實(shí)數(shù)x的

4

取值范圍是（)

A.（-8,-2]B.[-2,-1]C.[-1,2]D.[2,+°0）

8.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為（）

俯視圖

A（9+2兀）?R（8+2兀）病「（6+兀）愿n（8+H）V3

6666

'y>l

9.在約束條件y42x-4下，當(dāng)6WsW9時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=x-y的最大值的變化范

x+y<s

圍是（）

A.[3,8]B.[5,8]C.[3,6]D.[4,7]

10.已知正實(shí)數(shù)a,b滿足a+b=3,則1+4的最小值為（）

1+a4+b

A.1B.工C.旦D.2

88

11.已知aWR,若f（x）=（x+旦）ex在區(qū)間（0,1）上只有一個(gè)極值點(diǎn)，則a

x

的取值范圍為（）

A.a>0B.aWlC.a>lD.aWO

22

12.設(shè)橢圓C：三_+工=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為％、F2,其焦距為2C,

2,2

ab

點(diǎn)Q（c,A）在橢圓的內(nèi)部，點(diǎn)P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，且|PFi|+|PQ|V5|FIF21

2

恒成立，則橢圓離心率的取值范圍是（）

A.（工，返）B.（1,返）C.（上，返）D.（2,返）

52423252

第H卷（非選擇題，共90分）

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

JV

13.已知a=J2汗cosxdx，則二項(xiàng)式6告）6展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是_____.

--2Vx

14.函數(shù)f（x）=Asin（wx+（|））（A>0,co>O,0<4）<n）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，

該函數(shù)的部分圖象如圖所示，^PIVIN是以MN為斜邊的等腰直角三角形，且

|MN|?|MP|=2點(diǎn)，則f（1）的值為.

產(chǎn)P

ZX.

oMNX

15.在平面直角坐標(biāo)系中，有△ABC,且A（-3,0）,B（3,0）,頂點(diǎn)C到點(diǎn)A

與點(diǎn)B的距離之差為4,則頂點(diǎn)C的軌跡方程為.

16.一個(gè)長(zhǎng)，寬，高分別為1、2、3密封且透明的長(zhǎng)方體容器中裝有部分液體,

如果任意轉(zhuǎn)動(dòng)該長(zhǎng)方體，液面的形狀都不可能是三角形，那么液體體積的取值范

圍是.

三、解答題（共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

17.（12分）已知數(shù)列分J滿足五=1,an+i=l--1-,其中n￡N*.

4an

（I）設(shè)>=」一，求證：數(shù)列｛bj是等差數(shù)列，并求出｛aj的通項(xiàng)公式a*

2an-l

4a

（H）設(shè)Cn=",數(shù)歹MCnCn"的前n項(xiàng)和為心，是否存在正整數(shù)m,使得Tn

n+1

一對(duì)于nWN*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

由.

18.(12分)從某校高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)考試成績(jī)中，隨機(jī)抽取了60名學(xué)生的

成績(jī)得到如圖所示的頻率分布直方圖：

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該校高三學(xué)生本次數(shù)學(xué)考試的平均分；

(2)若用分層抽樣的方法從分?jǐn)?shù)在［30,50)和［130,150］的學(xué)生中共抽取6

人，該6人中成績(jī)?cè)冢?30,150］的有幾人？

(3)在(2)抽取的6人中，隨機(jī)抽取3人，計(jì)分?jǐn)?shù)在［130,150］內(nèi)的人數(shù)為

求期望E(￡).

19.(12分)如圖，已知平面QBC與直線PA均垂直于RtAABC所在平面，且

PA=AB=AC.

(I)求證：PA〃平面QBC；

(II)PQ_L平面QBC,求二面角Q-PB-A的余弦值.

22

20.(12分)已知橢圓C：工(a>b>0),圓Q：(x-2)2+(y-a)2=2

2,2

ab

的圓心Q在橢圓C上，點(diǎn)P(0,V2)到橢圓C的右焦點(diǎn)的距離為在.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)P作互相垂直的兩條直線li，12,且II交橢圓C于A,B兩點(diǎn)，直線12

交圓Q于C,D兩點(diǎn)，且M為CD的中點(diǎn)，求aMAB的面積的取值范圍.

21.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+aln(x+1)(a為常數(shù))

(I)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［1,+8)上是單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范

圍;

(II)若函數(shù)y=f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)xi，X2,且Xi〈X2,求證：0<——組—〈工?ln2?

X12

請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分

22.(10分)直角坐標(biāo)系xOy和極坐標(biāo)系Ox的原點(diǎn)與極點(diǎn)重合，x軸正半軸與極

軸重合，單位長(zhǎng)度相同，在直角坐標(biāo)系下，曲線C的參數(shù)方程為［x=4cos0,

［y=2sin。

為參數(shù)).

(1)在極坐標(biāo)系下，曲線C與射線口射線e=工分別交于A,B兩點(diǎn)，

44

求AAOB的面積；

(2)在直角坐標(biāo)系下，直線I的參數(shù)方程為［『明；2t1為參數(shù))，求曲線c

(y=t-V2

與直線I的交點(diǎn)坐標(biāo).

23.(10分)已知函數(shù)f(x)=2x+l|-12x-3|,g(x)=|x+l|+|x-a

(1)求f(x)21的解集

(2)若對(duì)任意的tGR,都存在一個(gè)s使得g(s)2f(t).求a的取位范圍.

2018高考理科數(shù)學(xué)模擬試題(一)

參考答案與試題解析

一.選擇題(共12小題)

1.已知集合M={x|y=x2+1},N={yy=V7Tl}?則MCN=()

A.{(0,1)}B.{x|x^-1}C.{x|x20}D.{x|x>l}

【分析】求出M中x的范圍確定出M,求出N中y的范圍確定出N,找出兩集

合的交集即可.

【解答】解：由M中y=x2+l,得至【」xGR,即M=R,

由N中y=?7I>0,得到N={xx，0},

則MANYXX?0},

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵.

2.復(fù)數(shù)Z=9zk的共匏復(fù)數(shù)的虛部為()

1+1

A.-由B.-3c.身D.A

2222

【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，進(jìn)一步求出京答案.

【解答】解：?.NizMTG-i)=3-5i△莒「

1+i(l+i)(l-i)222

復(fù)數(shù)z=殳士的共規(guī)復(fù)數(shù)的虛部為反.

1+i2

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

3.已知命題p：存在向量a，b，使得a，b=laeb1，命題q：對(duì)任意的向量a，

b-c-若則正；則下列判斷正確的是()

A.命題pVq是假命題B.命題pAq是真命題

C.命題pV(-1q)是假命題D.命題pA(-1q)是真命題

【分析】命題P：存在同方向向量w,b,使得;?國(guó),即可判斷出真假.命

題q：取向量a=(1,0),b=(0，1)，c=(0，2),滿足a?b=a?c,則bWc，即

可判斷出真假.再利用復(fù)合命題真假的判定方法即可得出.

【解答】解：命題p：存在同方向向量a,b,使得a,b=Ial,IbN真命題.

命題q：取向量a=(1,0),b=(0，1)，cr(0，2),則a，b=c，b#c，因此

是假命題.

則下列判斷正確的是：pA(「q)是真命題.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、復(fù)合命題的判定方法，考查了推理能力與

計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.2017年5月30日是我們的傳統(tǒng)節(jié)日-端午節(jié)"，這天小明的媽媽為小明

煮了5個(gè)粽子，其中兩個(gè)臘肉餡三個(gè)豆沙餡，小明隨機(jī)取出兩個(gè)，事件A="取到

的兩個(gè)為同一種餡"，事件B="取到的兩個(gè)都是豆沙餡"，則P(B|A)=()

A.芻B.LC.工D.且

441010

【分析】求出P(A)=包以上L,p(AB)=5且，利用P(BA)=「(杷),

10101010P(A)

可得結(jié)論.

【解答】解：由題意，P(A)4P(AB)=5_",

10101010

：.P(B|A)=F(AB)=員,

P(A)4

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查條件概率，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用公式是關(guān)鍵.

5.已知銳角a的終邊上一點(diǎn)P(sin40。，l+cos40°),則a等于()

A.10°B.20°C.70°D.80°

【分析】由題意求出PO的斜率，利用二倍角公式化簡(jiǎn)，通過(guò)角為銳角求出角的

大小即可.

【解答】解：由題意可知sin40。>。，l+cos40°>0,

點(diǎn)P在第一象限，0P的斜率

tana-li￡os40___l+2cos20_zl^cot20°=tan70°，

sin40°2sin20cos20

由a為銳角，可知a為70。.

故選C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的斜率公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查計(jì)算能力.

6.已知函數(shù)f(x)=lnx-xJ，若a=f(L>b=f(n),c=f(5),則()

x3

A.c<b<aB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

【分析】求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而比較函數(shù)值的大小即

可.

【解答】解：f(x)的定義域是(0,+8),

2

(XA)+3

f(x)

XX2X2

故f(x)在(0,+8)遞減，

而5>n>—,

3

,*.f(5)<f(71)<f(力，

3

即c<b<a,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題.

7.閱讀程序框圖，如果輸出的函數(shù)值在區(qū)間［卷，1］內(nèi)，則輸入的實(shí)數(shù)x的

取值范圍是()

A.(-8,-2]B.[-2,-1]C.[-1,2]D.[2,+°0)

【分析】分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：

該程序的作用是計(jì)算分段函數(shù)2]的函數(shù)值.根

,2,X€(-8,-2)U(2,+8)

據(jù)函數(shù)的解析式，結(jié)合輸出的函數(shù)值在區(qū)間[],1]內(nèi)，即可得到答案.

【解答】解：分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用

再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：

該程序的作用是計(jì)算分段函數(shù)f(x)J2、'x￡[-2,2]的函數(shù)值.

,2,X€(-8,-2)U(2,+co)

又?輸出的函數(shù)值在區(qū)間[],寺]內(nèi)，

Axe[-2,-1]

故選B

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是選擇結(jié)構(gòu)，其中根據(jù)函數(shù)的流程圖判斷出程序的功

能是解答本題的關(guān)鍵.

8.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為()

俯視圖

A（9+2兀）?R（8+271）73r（6+兀）gn（8+H）V3

6666

【分析】這個(gè)幾何體由半個(gè)圓錐與一個(gè)四棱錐組合而成，從而求兩個(gè)體積之和即

可.

【解答】解：這個(gè)幾何體由半個(gè)圓錐與一個(gè)四棱錐組合而成,

半個(gè)圓錐的體積為方X/XnXlxJ吟兀仃

四棱錐的體積為.X2X2X后爭(zhēng)行

K

故這個(gè)幾何體的體積V=I§t2<3.

6

故選D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了學(xué)生的空間想象力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

'y>l

9.在約束條件yq2x-4下，當(dāng)6WsW9時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=x-y的最大值的變化范

x+y<s

圍是（）

A.[3,8]B.[5,8]C.[3,6]D.[4,7]

【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域，由z=x

-丫得丫=乂口,利用平移即可得到結(jié)論.

'y>l

【解答】解：約束條件y<2x-4對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部

x+yCs

分）.

由z=x-y得y=x-z,平移直線y=x-z,

s=6時(shí)由平移可知當(dāng)直線y=x-z,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，

直線y=x-z的截距最小，此時(shí)z取得最大值，x-y取得最大值；

由（x+k6,解得人⑸1）代入z=x-y得z=5-1=4,

1y=l

即Z=x-y的最大值是4,

s=9時(shí)由平移可知當(dāng)直線y=x-z,經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，

直線y=x-z的截距最小，此時(shí)z取得最大值，x-y取得最大值；

由卜+k9解得B⑶1）代入z=x-y得z=8-1=7,

ly=l

即z=x-y的最大值是7,

目標(biāo)函數(shù)2=*-丫的最大值的變化范圍是：[4,7].

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃問(wèn)題中的基

本方法.

M已知正實(shí)數(shù)a,b滿足a+b=3,則去媼的最小值為（）

A.1B.工C.旦D.2

88

【分析】由已知可得且+l=i，代入」然后利用基本不等式求最值.

331+a4+b

【解答】解：???a+b=3,

a,b4a,4b包住4a4b

—三工止占

4ab4afb

VTV^T

當(dāng)且僅當(dāng)(也Jk)=2(&?/)，即a=$，b=&時(shí)等號(hào)成立.

333333

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用基本不等式求最值，關(guān)鍵是掌握該類問(wèn)題的求解方法，是

中檔題.

11.已知aGR,若f(x)=(x+旦)ex在區(qū)間(0,1)上只有一個(gè)極值點(diǎn)，則a

x

的取值范圍為()

A.a>0B.aWlC.a>lD.aWO

【分析】求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用極值、函數(shù)單調(diào)性，即可確定a的取值范圍.

【解答】解：:f(x)=(x+A)ex,

x

32

..」，(X)=(xj：..x+..ax-a.)ex?

x2

設(shè)h(x)=x3+x2+ax-a,

，h'(x)=3x2+2x+a,

a>0,hz(x)>0在(0,1)上恒成立，即函數(shù)h(x)在(0,1)上為增函數(shù)，

Vh(0)=-a<0,h(1)=2>0,

Ah(x)在(0,1)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)xo，使得「(X。)二0,

z

且在(0,x0)上，f(x)<0,在(Xo，1)上，f(x)>0,

.??X。為函數(shù)f(x)在(0,1)上唯一的極小值點(diǎn)；

a=0時(shí)，xe(0,1),卜(x)=3x2+2x>0成立，函數(shù)h(x)在(0,1)上為增函

數(shù)，

此時(shí)h(0)=0,Ah(x)>0在(0,1)上恒成立，

即f(x)>0,函數(shù)f(x)在(0,1)上為單調(diào)增函數(shù)，函數(shù)f(x)在(0,1)

上無(wú)極值；

aVO時(shí),h(x)=x3+x2+a(x-1),

Vxe(0,1),Ah(x)>0在(0,1)上恒成立,

即f(x)>0,函數(shù)f(x)在(0,1)上為單調(diào)增函數(shù)，函數(shù)f(x)在(0,1)

上無(wú)極值.

綜上所述，a>0.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性、極值，考查學(xué)生分

析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題.

22

12.設(shè)橢圓C：3T(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi、F2,其焦距為2C,

a2b2

點(diǎn)Q(c,A)在橢圓的內(nèi)部，點(diǎn)P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，且|PFi|+|PQ|<5忤抵|

2

恒成立，則橢圓離心率的取值范圍是()

A.(L,返)B.(L,返)c.(L,返)D.(2,返)

52423252

2

【分析】點(diǎn)Q(c,A)在橢圓的內(nèi)部，“〉包，PFi|+|PQ|=2a-PF2|+|PQ|,

2a2

由-IQFZI+IPQIW|PQ|-IPF2IWIQF21,1.|QF|=A,要|PF/+|PQ|<5FIF|

222

恒成立，即2a-|PF21+|PQW2a+且<5X2C.

2

2

【解答】解：???點(diǎn)Q(c,A)在橢圓的內(nèi)部，.?.">2,=>2b2>a2=>a2>2c2.

2a2

|PFi|+|PQ=2a-|PF2|+PQ|

又因?yàn)?|QF|+|PQ|^|PQ|.-|PF|^|QF|,且

2222

要住臼|+3（21]<5昨正2卜恒成立，即2a-IPF2I+IPQIW2a+且V5X2c

2

且<ioc，￡〉工，則橢圓離心率的取值范圍是（工，返）.

2a442

故選：B

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的方程、性質(zhì)，橢圓的離心率，轉(zhuǎn)化思想是解題關(guān)鍵,

屬于難題.

填空題（共4小題）

13.已知a=J2汗cosxdx，則二項(xiàng)式（x+V展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是

【分析】利用定積分求出a,寫(xiě)出展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令x的指數(shù)為0,即可得

出結(jié)論.

JTTT

6

【解答]解：a=J2ncosxdx=sinx|2n=2,貝ij二項(xiàng)式（x+-^）=展開(kāi)

式的通項(xiàng)公式為T(mén)r+l=案236-乳

令6~4廠0，求得r=4,所以二項(xiàng)式代之）6展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是編*24=240-

故答案為：240.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查定積分知識(shí)的運(yùn)用，考查二項(xiàng)式定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，

屬于中檔題.

14.函數(shù)f（x）=Asin（3X+6）（A>0,3>0,0<4）<n）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,

該函數(shù)的部分圖象如圖所示，^PIVIN是以MN為斜邊的等腰直角三角形，且

|MN|?|MP|=2a，則f（1）的值為o.

Z\.

oMNX

【分析】由題意，求出結(jié)合函數(shù)的圖象，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，巾=工，△PIVIN是

2

以MN為斜邊的等腰直角三角形,可得|PM|?sin45°=l|MN|,且|MN|,|MP|=2后,

求解|MN|和A,即得函數(shù)f(x)=Asin(3x+。)

【解答】解：由題意，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，力=工，

2

VAPMN是以MN為斜邊的等腰直角三角形，可得住1\/||”仍45。=山MN1，且

2

|MN|,|MP|=2加,

解得：)MN|=2,PM|=V2

在等腰三角形PMN中，可求的△PMN的高為1,即P點(diǎn)的縱坐標(biāo)是1,

故得A=l,

T=2MNI=4,

.2兀兀

42

函數(shù)f(x)=Asin(3X+6)=sin(=cos(^_x),

當(dāng)x=l時(shí)，即f(1)=cos-2L^0.

2

故答案為0.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用y=Asin(ax+巾)的圖象特征，由函數(shù)y=Asin(cox+4))

的部分圖象求解析式，屬于中檔題.

15.在平面直角坐標(biāo)系中，有△ABC,且A(-3,0),B(3,0),頂點(diǎn)C到點(diǎn)A

22

與點(diǎn)B的距離之差為4,則頂點(diǎn)C的軌跡方程為2Ll(x22).

~45

【分析】利用A(-3,0),B(3,0),頂點(diǎn)C到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離之差為4,

由雙曲線的定義可得點(diǎn)C的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的右支，2a=4,c=3,

求出b,即可求出點(diǎn)C的軌跡方程.

【解答】解：.(-3,0),B(3,0),頂點(diǎn)C到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離之差為4,

...由雙曲線的定義可得點(diǎn)C的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的右支，2a=4,c=3,

??a=2,b—

22

.?.點(diǎn)P的軌跡方程為--匕』（x22）,

45

22

故答案為口」1（x22）.

45

【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)C的軌跡方程，考查雙曲線的定義，正確運(yùn)用雙曲線的定義

是關(guān)鍵.

16.一個(gè)長(zhǎng)，寬，高分別為1、2、3密封且透明的長(zhǎng)方體容器中裝有部分液體,

如果任意轉(zhuǎn)動(dòng)該長(zhǎng)方體，液面的形狀都不可能是三角形，那么液體體積的取值范

圍是（上，旦）.

A

【分析】畫(huà)出長(zhǎng)方體，使其一個(gè)頂點(diǎn)放在桌面上，容易觀察出液體體積何時(shí)取得

最小值和最大值.

【解答】解：長(zhǎng)方體ABCD-EFGH,若要使液面不為三角形，

則液面必須高于平面EHD,且低于平面AFC；

而當(dāng)平面EHD平行水平面放置時(shí)，若滿足上述條件，則任意轉(zhuǎn)動(dòng)該長(zhǎng)方體,

液面的形狀都不可能是三角形；

所以液體體積必須大于三棱柱G-EHD的體積工，

6

并且小于長(zhǎng)方體ABCD-EFGH體積-三棱柱B-AFC體積1-1=反，

66

故答案為：（工，1）.

66

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征以及幾何體的體積求法問(wèn)題，也考查了空間

想象能力，是難題.

三.解答題（共7小題，滿分70分）

17.（12分）已知數(shù)列｛a）滿足ai=l,an+1=l--1—,其中n@N*.

4an

（I）設(shè)bn=—？一，求證：數(shù)列｛bn｝是等差數(shù)列，并求出｛aj的通項(xiàng)公式an；

2an-1

4a

（H）設(shè)Cn=3M,數(shù)歹（HCnCn」的前n項(xiàng)和為T(mén)n，是否存在正整數(shù)m,使得八

n+1

<_1__對(duì)于ndN*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

CjnCjitH

由.

【分析】（I）利用遞推公式即可得出bnr-bn為一個(gè)常數(shù)，從而證明數(shù)列｛bn｝

是等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到加，進(jìn)而得到an；

（II）利用（I）的結(jié)論，利用"裂項(xiàng)求和"即可得到心，要使得％V二一對(duì)

CmCjrrH

于nGN*恒成立，只要34一--，即還也->3,解出即可.

"c/14

[解答]([)證明：???bn「bn=c22——?------------

2a

2an+「l2an-ln-l

4an

4an_2

_

2^Fr2an-r，

???數(shù)列｛bj是公差為2的等差數(shù)歹I],

2

又b]==2,bn=2+(n-1)X2=2n.

2a?-1

A2n=.2，解得&山

2^2n

4X-^

(II)解：由(I)可得?=——過(guò)一上，

nn+1n

，cc2=—X9(---------)，

nn+nn+2nn+2'

，數(shù)列｛CnC—的前n項(xiàng)和為171=2[(13)+仕工)+(1二-升..+(-11)+

32435n-1n+1

(n^?2)]

=2［1+^---------］<3.

L2n+1n+2」

要使得%〈二~對(duì)于n《N*恒成立，只要我」—，即賦她_〉3，

,而,/1cmcnr+-l4

解得m23或m<-4,

而m>0,故最小值為3.

【點(diǎn)評(píng)】正確理解遞推公式的含義，熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和"、

等價(jià)轉(zhuǎn)化等方法是解題的關(guān)鍵.

18.（12分）從某校高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)考試成績(jī)中，隨機(jī)抽取了60名學(xué)生的

成績(jī)得到如圖所示的頻率分布直方圖：

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該校高三學(xué)生本次數(shù)學(xué)考試的平均分；

（2）若用分層抽樣的方法從分?jǐn)?shù)在［30,50）和［130,150］的學(xué)生中共抽取6

人，該6人中成績(jī)?cè)冢?30,150］的有幾人?

（3）在（2）抽取的6人中，隨機(jī)抽取3人，計(jì)分?jǐn)?shù)在［130,150］內(nèi)的人數(shù)為

求期望E（0.

【分析】（1）由頻率分布直方圖計(jì)算數(shù)據(jù)的平均分；

（2）計(jì)算樣本中分?jǐn)?shù)在［30,50）和［130,150］的人數(shù)，根據(jù)分層抽樣原理求出

抽取的人數(shù)；

（3）計(jì)算抽取的6人中分?jǐn)?shù)在［130,150］的人數(shù)，求出￡的所有取值與概率分

布，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值.

【解答】解：（1）由頻率分布直方圖，得

該校高三學(xué)生本次數(shù)學(xué)考試的平均分為

0.0050X20X40+0.0075X20X60+0,0075X20X80+0.0150X20X100

+0.0125X20X120+0.0025X20X140=92；...（4分）

（2）樣本中分?jǐn)?shù)在［30,50）和［130,150］的人數(shù)分別為6人和3人,

所以抽取的6人中分?jǐn)?shù)在［130,150］的人有3義,=2（人）；…（8分）

（3）由（2）知：抽取的6人中分?jǐn)?shù)在［130,150］的人有2人，

依題意S的所有取值為0、1、2,

c3

當(dāng)［=0時(shí)，p（g=o）=—^=春；

5

r2rl

當(dāng)s=i時(shí)，p（g=i）=號(hào)

「J5

,,ClCn1

當(dāng)s=2時(shí)，

「J5

AE（^）=0X-^+1X4+2X-^=1--（12分）

555

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了頻率分布直方圖以及平均數(shù)和概率的計(jì)算問(wèn)題，也考查

了運(yùn)用統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力，是基礎(chǔ)題.

19.（12分）如圖，已知平面QBC與直線PA均垂直于RtAABC所在平面，且

PA=AB=AC.

（I）求證：PA〃平面QBC；

（II）PQ_L平面QBC,求二面角Q-PB-A的余弦值.

【分析】（I）利用線面垂直的性質(zhì)定理及線面平行的判定定理即可證明；

（II）方法一：利用三角形的中位線定理及二面角的平面角的定義即可求出.

方法二：通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量所成的夾角來(lái)求兩平面的

二面角的平面角.

【解答】解：(I)證明：過(guò)點(diǎn)Q作QDLBC于點(diǎn)D,

?.?平面QBC_L平面ABC,，QD_L平面ABC,

又YPA，平面ABC,

，QD〃PA,又?.?QDu平面QBC,PA6平面QBC,

；.PA〃平面QBC.

(II)方法一：:PQ，平面QBC,

，NPQB=NPQC=90。，XVPB=PC,PQ=PQ,R

.,.△PQB^APQC,，BQ=CQ.

，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),連接AD,則ADLBC,

.?.AD_L平面QBC,；.PQ〃AD,AD±QD,

，四邊形PADQ是矩形.

設(shè)PA=2a,

，PQ=AD=&a,PB=2、/^a,/.BQ=V6a.

過(guò)Q作QR±PB于點(diǎn)R,

/.r)R=V2a'V6a-V6,

,?2&ara，

PQL2a2二返,

PR-PB2V2a2a，

取PB中點(diǎn)M,連接AM,取PA的中點(diǎn)N,連接RN,

吟PA，

VPR=LpB^LpM,p，MA〃RN.

VPA=AB,.，.AM±PB,/.RN±PB.

，NQRN為二面角Q-PB-A的平面角.

連接QN,則又曲

32J_2,2

222Ra+77a-3a

...COSZQRN=QR^RN!ZQNL22__

2QR-RN9yV6yV23

2X—aX—a

即二面角Q-PB-A的余弦值為

3

(II)方法二:*..PQ_L平面QBC,

，NPQB=NPQC=90°,又：PB=PC,PQ=PQ,

.?.△PQB絲ZXPQC,，BQ=CQ.

...點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，連AD,則AD±BC.

.?.AD_L平面QBC,；.PQ〃AD,AD1QD,

四邊形PADQ是矩形.

分別以AC、AB、AP為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系。-xyz.

不妨設(shè)PA=2,則Q(1,1,2),B(0,2,0),P(0,0,2),

設(shè)平面QPB的法向量為主(x,y,z)?

VPQ=(1,1,0),PB=(0,2,-2).

...，x+y=°令x=],則y=z=_i.

l2y-2z=0

又?..平面PAB的法向量為需(i,0,0).

設(shè)二面角Q-PB-A為0,則Icose1=|cos<3,竹>|==可

ImIIn|3

又?二面角Q-PB-A是鈍角

cos

【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握線面垂直的性質(zhì)定理及線面平行的判定定理、二面角的定義及

通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系并利用平面的法向量所成的夾角來(lái)求二面角的平面角

是解題的關(guān)鍵.

22

20.(12分)已知橢圓C：A_+y_=i(a>b>0),圓Q：(x-2)2+(y-a)2=2

2,2

ab

的圓心Q在橢圓C上，點(diǎn)P(0,a)到橢圓C的右焦點(diǎn)的距離為在.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)P作互相垂直的兩條直線li，12,且li交橢圓C于A,B兩點(diǎn)，直線I

交圓Q于C,D兩點(diǎn)，且M為CD的中點(diǎn)，求^MAB的面積的取值范圍.

【分析】(1)求得圓Q的圓心，代入橢圓方程，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，解方程

可得a,b的值，進(jìn)而得到橢圓方程；

(2)討論兩直線的斜率不存在和為0,求得三角形MAB的面積為4；設(shè)直線y=kx+

加,代入圓Q的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得M的坐標(biāo)，求得MP

的長(zhǎng)，再由直線AB的方程為y=-b+&,代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)

k

公式，由三角形的面積公式，化簡(jiǎn)整理，由換元法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可得面

積的范圍.

【解答】解：(1)圓Q：(x-2)2+(y-V2)2=2的圓心為(2,a),

代入橢圓方程可得3+4廣1,

2,2

ab

由點(diǎn)P(o,V2)到橢圓C的右焦點(diǎn)的距離為泥，即有在不=加,

解得c=2,即a2-b2=4,

解得a=2、歷，b=2,

22

即有橢圓的方程為工_+工=1;

84

(2)當(dāng)直線I2：y=&，代入圓的方程可得x=2±加，

可得M的坐標(biāo)為(2,&),又|AB|=4,

可得AMAB的面積為L(zhǎng)X2X4=4；

2

設(shè)直線y=kx+J^，代入圓Q的方程可得，(1+k2)x2-4x+2=0,

可得中點(diǎn)M(—2—,返電空1生)，

1+k21+k2

|MP|=J4+4卜？2,

V(1+k2)2(1+k2)2Vl+k2

設(shè)直線AB的方程為y=-b+&,代入橢圓方程，可得：

k

(2+k2)x2-4Mx-妹2=0,

2

設(shè)t=4+k2(5>t>4),可得一^一=—1——=—；—<—；_=1,

(2+k2)2(t-2)2t+y-44+y-4

可得SV4,

且S>4r.W5

3

綜上可得，^MAB的面積的取值范圍是(延4].

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用點(diǎn)滿足橢圓方程，考查三角形的

面積的范圍，注意運(yùn)用直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，以

及三角形的面積公式，運(yùn)用換元法和函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.

21.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+aln(x+1)(a為常數(shù))

(I)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,+8)上是單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范

圍；

(II)若函數(shù)y=f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,X2,且x1<X2,求證：0C色吐〈工m2-

X]2

【分析】(I)已知原函數(shù)的值為正，得到導(dǎo)函數(shù)的值非負(fù)，從而求出參量的范

圍；

(H)利用韋達(dá)定理，對(duì)所求對(duì)象進(jìn)行消元，得到一個(gè)新的函數(shù)，對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)

后，再對(duì)導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)，通過(guò)對(duì)導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)導(dǎo)函數(shù)的研究，得到導(dǎo)函數(shù)的最值，從

而得到原函數(shù)的最值，即得到本題結(jié)論.

【解答】解：(I)根據(jù)題意知：f(x)=2x+2x+a>河1,+8)上恒成立.

x+1

即a2-2x2_2x在區(qū)間口，+oo)上恒成立.

-2x2-2x在區(qū)間[1,+8)上的最大值為-4,

二?a2-4；

經(jīng)檢驗(yàn)：當(dāng)a=-4時(shí)，f，(x)=2x2+2x-4=2(xy)(/l)〉0,xe[i,+8).

x+1(x+1)

??.a的取值范圍是[-4,+8).

2

(H)f，&)=2x+2x+a=o在區(qū)間(-+<x,)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

x+1

即方程2x2+2x+a=0在區(qū)間(-1,+8)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

記g(x)=2x2+2x+a,則有，g(_L)<o，解得0<a〈L.

22

g(T)>0

2+a=,=

??X]+X2=-1，2x2+2x2Q^2^+—^2^~*4＜入2＜。

22nx+

.f(x2)x2-(2x2+2x2)l(2^

??--------—二------------------------------------------------

XjT-x2

令k(x)=&返智皿2,x€(4,0)?

-1-x2

2

k‘(x)=-J^21n(x+1)，

(1+x)2

、一2

記p(x)=—~—/21n(x+l)?

(1+x/

2x2+6x+2

，p'(x)-

(1+x)3

Pq=-4,P，（0）=2

在（耳，o）使得p'（Xo）=0.

當(dāng)x￡（—i-,x。），P'