【高考數(shù)學(xué)】導(dǎo)數(shù)的切線方程(原卷版含參考答案)

【高考數(shù)學(xué)】導(dǎo)數(shù)的切線方程【套路秘籍】導(dǎo)數(shù)的幾何意義：切線的斜率求斜率的方法公式：當(dāng)直線l1、l2的斜率都存在時(shí)：，切線方程的求法求出直線的斜率求出直線上的一點(diǎn)或切點(diǎn)（3）利用點(diǎn)斜式寫出直線方程?！咎茁沸逕挕靠枷蛞恍甭剩ɑ騼A斜角）與切點(diǎn)互求【例1】（1）曲線y＝eq\f(1,3)x3在x＝1處切線的傾斜角為。(2)設(shè)函數(shù)，若，則______________．【套路總結(jié)】【套路總結(jié)】1.已知切點(diǎn)求切線的斜率解題思路（1）求導(dǎo)：求出導(dǎo)函數(shù)（2）將切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)計(jì)算即可2.求切點(diǎn)的坐標(biāo)的解題思路(1)設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)(2)利用導(dǎo)數(shù)或斜率公式求出斜率(3)利用斜率關(guān)系列方程，求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)(4)把橫坐標(biāo)代入曲線或切線方程，求出切點(diǎn)縱坐標(biāo)【舉一反三】1.已知在曲線上過(guò)點(diǎn)的切線為．（1）若切線平行于直線，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若切線垂直于直線，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若切線的傾斜角為，求點(diǎn)的坐標(biāo)．考向二在某點(diǎn)處求切線方程【例2】設(shè)函數(shù)f(x)＝xlnx，則點(diǎn)(1,0)處的切線方程是________．【套路總結(jié)】【套路總結(jié)】已知切點(diǎn)(x0,y0)求切線方程表述：在某點(diǎn)處的切線方程，該點(diǎn)為切點(diǎn)。求切線方程的基本思路求導(dǎo)：利用求導(dǎo)公式進(jìn)行求導(dǎo)f’(x)求k:將切點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0代入f’(x0)=k求線：利用點(diǎn)斜式y(tǒng)-y0=f’(x0)(x-x0)注意：如果切點(diǎn)的橫坐標(biāo)已知，求縱坐標(biāo)，可以將切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入原函數(shù)（曲線）求縱坐標(biāo)。記得切點(diǎn)即在切線方程上也在原函數(shù)上?！九e一反三】1.函數(shù)f(x)＝excosx在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為。2.曲線y＝－5ex＋3在點(diǎn)(0，－2)處的切線方程為___.考向三過(guò)某點(diǎn)處求切線方程【例3】已知函數(shù)，則過(guò)（1,1）的切線方程為__________．【套路總結(jié)】【套路總結(jié)】未知切點(diǎn)求切線方程1.表述：過(guò)某點(diǎn)且與函數(shù)（曲線）相切的切線方程2.求切線方程的基本思路（1）判斷：判斷點(diǎn)是否在曲線上---將點(diǎn)代入曲線①曲線等式成立即點(diǎn)在曲線上，那該點(diǎn)可能是切點(diǎn)可能不是切點(diǎn)，分類討論；一類該點(diǎn)是切點(diǎn)，參考以上一的求法求切線方程，一類不是切點(diǎn)，請(qǐng)參考下面的方法求切點(diǎn)。②曲線等式不成立，即該點(diǎn)不是切點(diǎn)（2）該點(diǎn)(x1,y1)不是切點(diǎn)但在切線上時(shí)，求切線方程的思路①設(shè)點(diǎn)：設(shè)切點(diǎn)(x0，y0)②求x0：利用斜率的關(guān)系求切點(diǎn)橫坐標(biāo)k＝f′(x0)=y1-y0y1-x③求k:利用k＝f′(x0)④求線：利用點(diǎn)斜式y(tǒng)-y0=f’(x0)(x-x0)或利用點(diǎn)斜式y(tǒng)-y1=f’(x0)(x-x1)【舉一反三】已知曲線f(x)=1x，則過(guò)點(diǎn)(-1,3)2．過(guò)點(diǎn)p(-4,0)3．過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)(0,?0)作曲線考向四求參數(shù)【例4】已知函數(shù)f(x)＝bx＋lnx，其中b∈R，若過(guò)原點(diǎn)且斜率為k的直線與曲線y＝f(x)相切，則k－b的值為．【舉一反三】1.已知f(x)＝lnx，g(x)＝eq\f(1,2)x2＋mx＋eq\f(7,2)(m<0)，直線l與函數(shù)f(x)，g(x)的圖象都相切，與f(x)圖象的切點(diǎn)為(1，f(1))，則m＝.2.已知直線y＝x＋1與曲線y＝ln(x＋a)相切，則a的值為。3.設(shè)曲線y＝eq\f(2－cosx,sinx)在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，2))處的切線與直線x＋ay＋1＝0垂直，則a＝____________.4，已知函數(shù)y＝f(x)及其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)P處的切線方程是．【套路運(yùn)用】1.已知函數(shù)f(x)＝ax3＋x＋1的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線過(guò)點(diǎn)(2,7)，則a＝_______.2.已知f(x)＝x2，則曲線y＝f(x)過(guò)點(diǎn)P(－1,0)的切線方程是．3.已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝ln(－x)＋3x，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，－3)處的切線方程是__4.若直線y＝kx＋b是曲線y＝lnx＋2的切線，也是曲線y＝ln(x＋1)的切線，則b＝____.5．已知函數(shù)fx=ln6．已知某曲線的方程為y=x2+27．已知a∈R，函數(shù)fx=a?ex-xlnx8．已知恰有兩條不同的直線與曲線y=ex-2和9．已知函數(shù)fx=x2+alnx+b10．已知函數(shù)f(x)=ln(x-1)-11．已知曲線f(x)=x(Ⅰ)求曲線y=f(x)在x=2處的切線方程；(Ⅱ)求曲線y=f(x)過(guò)原點(diǎn)O的切線方程.11．已知函數(shù)f(x)=x（Ⅰ）求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,8)處的切線方程；（Ⅱ）直線l為曲線y=f(x)的切線，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo).12．已知曲線C：y＝x3－6x2－x＋6.(1)求C上斜率最小的切線方程；(2)證明：C關(guān)于斜率最小時(shí)切線的切點(diǎn)對(duì)稱．13．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋eq\f(1,x＋b)(a，b∈Z)，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為y＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)證明：曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)的切線與直線x＝1和直線y＝x所圍成的三角形的面積為定值，并求出此定值．【高考數(shù)學(xué)】導(dǎo)數(shù)的切線方程【套路秘籍】導(dǎo)數(shù)的幾何意義：切線的斜率求斜率的方法公式：當(dāng)直線l1、l2的斜率都存在時(shí)：，切線方程的求法求出直線的斜率求出直線上的一點(diǎn)或切點(diǎn)（3）利用點(diǎn)斜式寫出直線方程?！咎茁沸逕挕靠枷蛞恍甭剩ɑ騼A斜角）與切點(diǎn)互求【例1】（1）曲線y＝eq\f(1,3)x3在x＝1處切線的傾斜角為。（2）設(shè)函數(shù)，若，則______________．【答案】（1）eq\f(π,4).（2）e【解析】（1）∵y′＝x2，∴y′|x＝1＝1，∴切線的傾斜角α滿足tanα＝1，∵0≤α<π，∴α＝eq\f(π,4).由題意得，又，解得．【套路總結(jié)】【套路總結(jié)】1.已知切點(diǎn)求切線的斜率解題思路（1）求導(dǎo)：求出導(dǎo)函數(shù)（2）將切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)計(jì)算即可2.求切點(diǎn)的坐標(biāo)的解題思路(1)設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)(2)利用導(dǎo)數(shù)或斜率公式求出斜率(3)利用斜率關(guān)系列方程，求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)(4)把橫坐標(biāo)代入曲線或切線方程，求出切點(diǎn)縱坐標(biāo)【舉一反三】1.已知在曲線上過(guò)點(diǎn)的切線為．（1）若切線平行于直線，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若切線垂直于直線，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若切線的傾斜角為，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）兩條直線平行斜率相等，2x0=4,x0=2,代入曲線y0=4,切點(diǎn)P（2,4）（2）直線直線垂直，斜率相乘等于-1.（3）因?yàn)榍芯€的傾斜角為，所以其斜率為．即，得，，故．考向二在某點(diǎn)處求切線方程【例2】設(shè)函數(shù)f(x)＝xlnx，則點(diǎn)(1,0)處的切線方程是________．【解析】因?yàn)閒′(x)＝lnx＋1，所以f′(1)＝1，所以切線方程為x－y－1＝0.【答案】x－y－1＝0【套路總結(jié)】【套路總結(jié)】已知切點(diǎn)(x0,y0)求切線方程表述：在某點(diǎn)處的切線方程，該點(diǎn)為切點(diǎn)。求切線方程的基本思路求導(dǎo)：利用求導(dǎo)公式進(jìn)行求導(dǎo)f’(x)求k:將切點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0代入f’(x0)=k求線：利用點(diǎn)斜式y(tǒng)-y0=f’(x0)(x-x0)注意：如果切點(diǎn)的橫坐標(biāo)已知，求縱坐標(biāo)，可以將切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入原函數(shù)（曲線）求縱坐標(biāo)。記得切點(diǎn)即在切線方程上也在原函數(shù)上?！九e一反三】1.函數(shù)f(x)＝excosx在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為?！敬鸢浮縳－y＋1＝0【解析】∵f′(x)＝excosx＋ex(－sinx)＝ex(cosx－sinx)，∴f′(0)＝e0(cos0－sin0)＝1．又∵f(0)＝1，∴f(x)在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為y－1＝x，即x－y＋1＝0．2.曲線y＝－5ex＋3在點(diǎn)(0，－2)處的切線方程為___.【答案】5x＋y＋2＝0【解析】由y＝－5ex＋3得，y′＝－5ex，所以切線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝0＝－5，所以切線方程為y＋2＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.考向三過(guò)某點(diǎn)處求切線方程【例3】已知函數(shù)，則過(guò)（1,1）的切線方程為__________．【答案】【解析】由函數(shù)，則，當(dāng)點(diǎn)為切點(diǎn)時(shí)，則，即切線的斜率，所以切線的方程為，即，當(dāng)點(diǎn)不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)，則，即，解得或（舍去），所以所以切線的方程為，即.【套路總結(jié)】未知切點(diǎn)求切線方程【套路總結(jié)】未知切點(diǎn)求切線方程1.表述：過(guò)某點(diǎn)且與函數(shù)（曲線）相切的切線方程2.求切線方程的基本思路（1）判斷：判斷點(diǎn)是否在曲線上---將點(diǎn)代入曲線①曲線等式成立即點(diǎn)在曲線上，那該點(diǎn)可能是切點(diǎn)可能不是切點(diǎn)，分類討論；一類該點(diǎn)是切點(diǎn)，參考以上一的求法求切線方程，一類不是切點(diǎn)，請(qǐng)參考下面的方法求切點(diǎn)。②曲線等式不成立，即該點(diǎn)不是切點(diǎn)（2）該點(diǎn)(x1,y1)不是切點(diǎn)但在切線上時(shí)，求切線方程的思路①設(shè)點(diǎn)：設(shè)切點(diǎn)(x0，y0)②求x0：利用斜率的關(guān)系求切點(diǎn)橫坐標(biāo)k＝f′(x0)=y1-y0y1-x③求k:利用k＝f′(x0)④求線：利用點(diǎn)斜式y(tǒng)-y0=f’(x0)(x-x0)或利用點(diǎn)斜式y(tǒng)-y1=f’(x0)(x-x1)已知曲線f(x)=1x，則過(guò)點(diǎn)(-1,3)【答案】y=-x+2【解析】設(shè)切點(diǎn)為(x0,則切線方程是y-y0=-1又y0=1x0，②由①②切線方程為x+y-2=0或2．過(guò)點(diǎn)p(-4,0)【答案】x+【解析】點(diǎn)p(-4,0)不為切點(diǎn)，可設(shè)出切點(diǎn)Mm,n又y'=ex+xex，則切線斜率為由①②得，m=-2,n=-即x+e2y+4=03．過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)(0,?0)作曲線【答案】y=ex【解析】因?yàn)閥=ex，所以y'=e則切線斜率為em，切線方程為y把原點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程可得m=1，所以過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)(0,?0)作曲線y=ex的切線,則切線方程為考向四求參數(shù)【例4】已知函數(shù)f(x)＝bx＋lnx，其中b∈R，若過(guò)原點(diǎn)且斜率為k的直線與曲線y＝f(x)相切，則k－b的值為．【答案】eq\f(1,e)【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，bx0＋lnx0)，因?yàn)閒′(x)＝b＋eq\f(1,x)，所以k＝b＋eq\f(1,x0)，則切線方程為y－(bx0＋lnx0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,x0)))(x－x0)．因?yàn)榍芯€過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以－(bx0＋lnx0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,x0)))(0－x0)，即lnx0＝1，所以x0＝e，所以k－b＝eq\f(1,x0)＝eq\f(1,e).【舉一反三】1.已知f(x)＝lnx，g(x)＝eq\f(1,2)x2＋mx＋eq\f(7,2)(m<0)，直線l與函數(shù)f(x)，g(x)的圖象都相切，與f(x)圖象的切點(diǎn)為(1，f(1))，則m＝.【答案】－2【解析】∵f′(x)＝eq\f(1,x)，∴直線l的斜率k＝f′(1)＝1.又f(1)＝0，∴切線l的方程為y＝x－1.g′(x)＝x＋m，設(shè)直線l與g(x)的圖象的切點(diǎn)為(x0，y0)，則有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝eq\f(1,2)xeq\o\al(2,0)＋mx0＋eq\f(7,2)，m<0，∴m＝－2.2.已知直線y＝x＋1與曲線y＝ln(x＋a)相切，則a的值為。【答案】2【解析】設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，y′＝eq\f(1,x＋a)，所以有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝x0＋1，,\f(1,x0＋a)＝1，,y0＝ln（x0＋a），))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝－1，,y0＝0，,a＝2.))3.設(shè)曲線y＝eq\f(2－cosx,sinx)在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，2))處的切線與直線x＋ay＋1＝0垂直，則a＝____________.【答案】1【解析】y′＝eq\f(（2－cosx）′sinx－（2－cosx）（sinx）′,sin2x)＝eq\f(1－2cosx,sin2x)，則曲線y＝eq\f(2－cosx,sinx)在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，2))處的切線的斜率為k1＝1.因?yàn)橹本€x＋ay＋1＝0的斜率k2＝－eq\f(1,a)，又該切線與直線x＋ay＋1＝0垂直，所以k1k2＝－1，解得a＝1.4，已知函數(shù)y＝f(x)及其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)P處的切線方程是．【答案】x－y－2＝0【解析】由題圖可知，f′(2)＝1，過(guò)P(2,0)，∴切線方程為y＝x－2，即x－y－2＝0.【套路運(yùn)用】1.已知函數(shù)f(x)＝ax3＋x＋1的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線過(guò)點(diǎn)(2,7)，則a＝_______.【答案】【解析】∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1．又f(1)＝a＋2，∴切線方程為y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．∵切線過(guò)點(diǎn)(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1．2.已知f(x)＝x2，則曲線y＝f(x)過(guò)點(diǎn)P(－1,0)的切線方程是．【答案】y＝0或4x＋y＋4＝0【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，xeq\o\al(2,0))，∵f′(x)＝2x，∴切線方程為y－0＝2x0(x＋1)，∴xeq\o\al(2,0)＝2x0(x0＋1)，解得x0＝0或x0＝－2，∴所求切線方程為y＝0或y＝－4(x＋1)，即y＝0或4x＋y＋4＝0.3.已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝ln(－x)＋3x，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，－3)處的切線方程是__【答案】y＝－2x－1【解析】令x>0，則－x<0，f(－x)＝lnx－3x，又f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝lnx－3x(x>0)，則f′(x)＝eq\f(1,x)－3(x>0)，∴f′(1)＝－2，∴在點(diǎn)(1，－3)處的切線方程為y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1．4.若直線y＝kx＋b是曲線y＝lnx＋2的切線，也是曲線y＝ln(x＋1)的切線，則b＝____.【答案】1－ln2【解析】直線y＝kx＋b與曲線y＝lnx＋2，y＝ln(x＋1)均相切，設(shè)切點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝lnx＋2得y′＝eq\f(1,x)，由y＝ln(x＋1)得y′＝eq\f(1,x＋1)，∴k＝eq\f(1,x1)＝eq\f(1,x2＋1)，∴x1＝eq\f(1,k)，x2＝eq\f(1,k)－1，∴y1＝－lnk＋2，y2＝－lnk，即Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)，－lnk＋2))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)－1，－lnk))，∵A，B在直線y＝kx＋b上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－lnk＝k·\f(1,k)＋b，,－lnk＝k·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)－1))＋b))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝1－ln2，,k＝2.))5．已知函數(shù)fx=ln【答案】x+y=0.【解析】fx=lnx-y-6．已知某曲線的方程為y=x2+2【答案】2x+y-1=0【解析】設(shè)直線與曲線切于點(diǎn)（x0，y0）（x0≠2），則k=y0∵y0=x02+2，且∵k=y′|x=x0=2x0，∴y0+3x0-2=2x∵x0=-1，或x0=5，∴k=2x0=-2或10，故直線l的方程2x+y-1=0或故答案為：2x+y-1=0或7．已知a∈R，函數(shù)fx=a?ex-xlnx【答案】1【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=aex-則切線的斜率為k=f'1=ae-所以切線方程l為y-ae=ae可得l在y軸上的截距為ae+ae8．已知恰有兩條不同的直線與曲線y=ex-2和【答案】0,2【解析】設(shè)曲線y=ex-2的切點(diǎn)為（x1，y'=k1=e切線方程為y-ex1-2=ex由①②得x22+1=x1,故1p=ex22-1x2有兩解，由①知x2p>0，若x2<0,p<0不合題意；所以必有x29．已知函數(shù)fx=x2+alnx+b【答案】3【解析】函數(shù)f（x）＝x2+alnx+b，所以f′（x）＝2x+ax（又f（x）在x＝1處的切線方程為y＝4x﹣2，所以2+a＝4解得：a＝2，f（1）＝4﹣2＝2，可得2＝1+2ln1+bb＝1，所以a+b＝3．故答案為：3．10．已知函數(shù)f(x)=ln(x-1)-【答案】y+5=0.【解析】因?yàn)閒x=可知點(diǎn)在曲線上則f'x=即切線的斜率為0又因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)2,-511．已知曲線f(x)=x(Ⅰ)求曲線y=f(x)在x=2處的切線方程；(Ⅱ)求曲線y=f(x)過(guò)原點(diǎn)O的切線方程.【答案】(Ⅰ)5x-y【解析】(Ⅰ)由題意得f'x=3x2-4x+1，所以f(Ⅱ)令切點(diǎn)為x0,y0，因?yàn)榍悬c(diǎn)在函數(shù)圖像上，所以y0因?yàn)榍芯€過(guò)原點(diǎn)，所以0-x03-2x02+x0=3x12．已知函數(shù)f(x)=x（Ⅰ）求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,8)處的切線方程；（Ⅱ）直線l為曲線y=f(x)的切線，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo).【答案】(1)13x-y-18=0【解析】（Ⅰ）f'(x)=3x2+1，所以（Ⅱ）設(shè)切點(diǎn)為（x0,所以切線方程為y-因?yàn)榍芯€過(guò)原點(diǎn)，所以-x所以2x03=-2，解得又因?yàn)閒(-1)=13．已知曲線C：y＝x3－6x2－x＋6.(1)求C上斜率最小的切線方程；(2)證明：C關(guān)于斜率最小時(shí)切線的切點(diǎn)對(duì)稱．【答案】見解析【解析】(1)y′＝3x2－12x－1＝3(x－2)2－13.當(dāng)x＝2時(shí)，y′最小，即切線斜率的最小值為－13，切點(diǎn)為(2，－12)，切線方程為y＋12＝－13(x－2)，即13x＋y－14＝0.(2)證明：設(shè)點(diǎn)(x0，y0)∈C，點(diǎn)(x，y)是點(diǎn)(x0，y0)關(guān)于切點(diǎn)(2，－12)對(duì)稱的點(diǎn)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝4－x，,y0＝－24－y.))∵點(diǎn)(x0，y0)∈C，∴－24－y＝(4－x)3－6(4－x)2－(4－x)＋6，整理得y＝x3－6x2－x＋6.∴點(diǎn)(x，y)∈C，于是曲線C關(guān)于切點(diǎn)(2，－12)對(duì)稱．14．