考研數(shù)學(xué)二(解答題)模擬試卷9(題后含答案及解析)

考研數(shù)學(xué)二（解答題）模擬試卷9(題后含答案及解析)題型有：1.1．正確答案：涉及知識(shí)點(diǎn)：高等數(shù)學(xué)2．設(shè)A為n階實(shí)對稱矩陣，秩(A)=n，Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代數(shù)余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型f(x1，x2，…，xn)=xixj．(1)記X=(x1，x2，…，xn)T，把f(x1，x2，…，xn)寫成矩陣形式，并證明二次型f(X)的矩陣為A-1；(2)二次型g(x)=xTAX與f(X)的規(guī)范形是否相同?說明理由．正確答案：(1)f(X)=(x1，x2，…，xn)因秩(A)=n，故A可逆，且A-1=A*，從而(A-1)T=(AT)-1=A-1，故A-1也是實(shí)對稱矩陣，因此二次型f(X)的矩陣為(2)因?yàn)?A-1)TAA-1=(AT)-1E=A-1，所以A與A-1合同，于是g(X)與f(x)有相同的規(guī)范形．涉及知識(shí)點(diǎn)：二次型3．設(shè)函數(shù)f(x)在x=2的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且f’(x)=ef(x)，f(2)=1，計(jì)算f(n)(2)．正確答案：由f’(x)=ef(x)兩邊求導(dǎo)數(shù)得f”(x)=ef(x)．f’(x)=e2f(x)，兩邊再求導(dǎo)數(shù)得f”‘(x)=e2f(x)2f’(x)=2e3f(x)，兩邊再求導(dǎo)數(shù)得f(4)(x)=2e3f(x)3f’(x)=3!e4f(x)，由以上規(guī)律可得n階導(dǎo)數(shù)f(n)(x)=(n一1)!enf(x)，所以f(n)(2)=(n—1)!en．涉及知識(shí)點(diǎn)：一元函數(shù)微分學(xué)4．求下列不定積分：(Ⅰ)∫secχdχ；正確答案：涉及知識(shí)點(diǎn)：一元函數(shù)積分概念、計(jì)算及應(yīng)用5．設(shè)f(x)在[a，b]上可導(dǎo)，且f’+(a)＞0，f’-(b)＞0，f(a)≥f(b)，求證：f’(x)在(a，b)至少有兩個(gè)零點(diǎn)．正確答案：f(x)在[a，b]的連續(xù)性，保證在[a，b]上f(x)至少達(dá)到最大值和最小值各一次．由f(a)≥f(b)得，若f(x)的最大值在區(qū)間端點(diǎn)達(dá)到，則必在x=a達(dá)到．由f(x)的可導(dǎo)性，必有f’+(a)≤0，條件f’+(a)＞0表明f(x)的最大值不能在端點(diǎn)達(dá)到．同理可證f(x)的最小值也不能在端點(diǎn)x=a或x=b達(dá)到．因此，f(x)在[a，b]的最大值與最小值必在開區(qū)間(a，b)達(dá)到，于是最大值點(diǎn)與最小值點(diǎn)均為極值點(diǎn)．又f(x)在[a，b]可導(dǎo)，在極值點(diǎn)處f’(x)=0，所以f’(x)在(a，b)至少有兩個(gè)零點(diǎn)．涉及知識(shí)點(diǎn)：微分中值定理及其應(yīng)用6．求｜z｜在約束條件下的最大值與最小值．正確答案：｜z｜的最值點(diǎn)與z2的最值點(diǎn)一致，用拉格朗日乘數(shù)法，作F(x，y，z，λ，μ)=z2+λ(x2+9y2一2x2)+μ(x+3y+3z一5)．令涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)微積分學(xué)7．設(shè)α1，α2，β1，β2為三維列向量組，且α1，α2與β1，β2都線性無關(guān)．(1)證明：至少存在一個(gè)非零向量可同時(shí)由α1，α2和β1，β2線性表不；(2)設(shè)α1=，α2=，β1=，β2=，求出可由兩組向量同時(shí)線性表示的向量．正確答案：(1)因?yàn)棣?，α2，β1，β2線性相關(guān)，所以存在不全為零的常數(shù)k1，k2，l1，l2，使得k1α1+k2α2+l1β1+l2β2=0，或k1α1+k2α2=-l1β1-l2β2．令γ=k1α1+k2α2=-l1β1-l2β2，因?yàn)棣?，α2與β1，β2都線性無關(guān)，所以k1，k2及l(fā)1，l2都不全為零，所以γ≠0．(2)令k1α1+k2α2+l1β1+l2β2=0，A=(α1，α2，β1，β2)=所以γ=kα1-3kα2=-kβ1+0β2．涉及知識(shí)點(diǎn)：線性代數(shù)8．求正常數(shù)a、b，使正確答案：a=2，b=1涉及知識(shí)點(diǎn)：高等數(shù)學(xué)9．求y”一y=e|x|的通解．正確答案：自由項(xiàng)帶絕對值，為分段函數(shù)，所以應(yīng)將該方程按區(qū)間(一∞，0)∪[0，+∞)分成兩個(gè)方程，分別求解．由于y”=y+e|x|在x=0處具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，所以求出解之后，在x=0處拼接成二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，便得原方程的通解．當(dāng)x≥0時(shí)，方程為y”一y=ex，求得通解y=C1ex+C2e一x+xex．當(dāng)x＜0時(shí)，方程為y”一y=e一x，求得通解y=C3ex+C4e一x一xe一x．因?yàn)樵匠痰慕鈟(x)在x=0處連續(xù)且y’(x)也連續(xù)，據(jù)此，有其中C1，C1為任意常數(shù)．此y在x=0處連續(xù)且y’連續(xù)．又因y”=y+e|x|，所以在x=0處y”亦連續(xù)，即是通解．涉及知識(shí)點(diǎn)：微分方程10．設(shè)X1，X2分別為A的屬于不同特征值λ1，λ2的特征向量．證明：X1+X2不是A的特征向量．正確答案：反證法不妨設(shè)X1+X2是A的屬于特征值λ的特征向量，則有A(X1+X2)=λ(X1+X2)，因?yàn)锳X1=λ1X1，AX2=λ1X2，所以(λ1-λ)X1+(λ2-λ)X2=0，而X1，X2線性無關(guān)，于是λ1=λ2=λ矛盾，故X1+X2不是A的特征向量．涉及知識(shí)點(diǎn)：線性代數(shù)部分11．設(shè)有微分方程y’一2y=φ(x)，其中φ(x)=試求在(一∞，+∞)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)y=y(x)，使之在(一∞，1)，(1，+∞)內(nèi)都滿足所給方程，且滿足條件y(0)=0．正確答案：涉及知識(shí)點(diǎn)：高等數(shù)學(xué)12．An×n(α1，α2，…，αn)，Bn×n＝(α1＋α2，α2＋α3，…，αn＋α1)，當(dāng)r(A)＝n時(shí)，方程組BX＝0是否有非零解?正確答案：B＝(α1＋α2，α2＋α3，…，αn＋α1)＝(α1，α2，…，αn)由r(A)＝n可知｜A｜≠0，而｜B｜＝｜A｜＝｜A｜[1＋(－1)n+1]，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，｜B｜≠0，方程組BX＝0只有零解；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，｜B｜＝0，方程組BX＝0有非零解．涉及知識(shí)點(diǎn)：線性方程組13．已知4階方陣A=[α1，α2，α3，α4]，α1，α2，α3，α4均為4維列向量，其中α2，α3，α4線性無關(guān)，α1=2α2一α3，如果β=α1+α2+α3+α4，求線性方程組AX=β的通解．正確答案：由α1=2α2一α3及α2，α3，α4線性無關(guān)知r(A)=r(α1，α2，α3，α4)=3，且對應(yīng)齊次方程AX=0有通解k[1，一2，1，0]T，又β=α1+α2+α3+α4，即[α1，α2，α3，α4]X=β=α1+α2+α3+α4=[α1，α2，α3，α4]故非齊次方程有特解η=[1，1，1，1]T，故方程組的通解為k[1，一2，1，0]T+[1，1，1，1]T．涉及知識(shí)點(diǎn)：線性代數(shù)14．已知二次型f(x1，x2，x3)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩為2．(1)求a．(2)求作正交變換X=QY，把f(x1，x2，x3)化為標(biāo)準(zhǔn)形．(3)求方程f(x1，x2，x3)=0的解．正確答案：(1)此二次型的矩陣為則r(A)=2，｜A｜=0．求得｜A｜=-8a，得a=0．(2)｜λE-A｜==λ(λ-2)2，得A的特征值為2，2，0．對特征值2求兩個(gè)正交的單位特征向量：得(A-2E)X=0的同解方程組x1-x2=0，求出基礎(chǔ)解系η1=(0，0，1)v，η2=(1，1，0)T．它們正交，單位化：α1=η1，α2=方程x1-x2=0的系數(shù)向量(1，-1，0)T和η1，η2都正交，是屬于特征值0的一個(gè)特征向量，單位化得α3=作正交矩陣Q=(α1，α2，α3)，則QTAQ=作正交變換X=QY，則f化為Y的二次型f=2y12+2y22．(3)f(X)=x12+x22+2x32+2x1x2=(x1+x2)2+2x32．于是f(x1，x2，x3)=0求得通解為：，c任意．涉及知識(shí)點(diǎn)：二次型15．設(shè)f’(x)連續(xù)，f(0)=0，f’(0)≠0，求正確答案：由涉及知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)、極限、連續(xù)16．求下列不定積分：正確答案：(1)令則x=1一t2，dx=一2tdt，于是(2)涉及知識(shí)點(diǎn)：一元函數(shù)積分學(xué)設(shè)X～b(25，p1)，Y～b