機(jī)械工程圖學(xué)-基本立體的投影（圓錐）

上節(jié)課的重點(diǎn)：

平面與圓柱相交的截交線。上節(jié)課的難點(diǎn)：平面與圓柱相交的截交線的求法。

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.1圓柱的投影

圓柱面上什么樣的點(diǎn)稱(chēng)為特殊點(diǎn)、一般點(diǎn)？如何求作特殊點(diǎn)、一般點(diǎn)的投影？若點(diǎn)的一個(gè)投影位于轉(zhuǎn)向線或中心線上，則稱(chēng)為特殊點(diǎn)，否則稱(chēng)為一般點(diǎn)。求作一般點(diǎn)的投影時(shí)，可利用圓柱面的積聚性作圖。而求作特殊點(diǎn)的投影時(shí)，除了可利用圓柱面的積聚性之外，還可以利用轉(zhuǎn)向線的投影特性直接作圖。

平面截切圓柱有哪幾種情況？其截交線分別是什么形狀？在平面與回轉(zhuǎn)體的截交線上，什么樣的點(diǎn)稱(chēng)為特殊點(diǎn)？由于平面與圓柱軸線相對(duì)位置的不同，可形成三種截交線——圓、橢圓、矩形（與圓柱面的截交線為兩條平行的直線）。截交線上有些共有點(diǎn)能大致確定截交線的形狀和范圍，其投影也很容易求出，這樣的共有點(diǎn)就稱(chēng)為特殊點(diǎn)，包括截平面與回轉(zhuǎn)面的轉(zhuǎn)向線或中心線的交點(diǎn)，以及截交線上最高（低）、最左（右）、最前（后）等極限位置的點(diǎn)。求作平面與回轉(zhuǎn)體截交線上一般點(diǎn)的投影時(shí)，需要采用什么方法？輔助平面法

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.1圓柱的投影

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3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

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3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

圓錐的形成：圓錐體是由圓錐面和地面所圍成。圓錐面可以看成是由直線SA繞與它相交的軸線SO旋轉(zhuǎn)一周而形成。SA稱(chēng)為圓錐的母線，圓錐面上通過(guò)頂點(diǎn)S的任一直線稱(chēng)為素線。3.3.2圓錐的投影

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影圓錐的投影：圓錐軸線垂直于H面，底面為水平面，其水平投影反映實(shí)形，正面和側(cè)面投影積聚為一直線。1.圓錐的三面投影圖圖3-29圓錐的三面投影

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

投影特性：（1）水平投影為圓（為圓錐面的投影，沒(méi)有積聚性；也是底圓的投影）。（2）正面和側(cè)面投影為對(duì)稱(chēng)的、完全相同的等腰三角形。繪圖步驟

（1）先繪出圓錐的對(duì)稱(chēng)中心線、軸線。（2）在水平投影面上繪出圓錐底圓，其正面投影和側(cè)面投影積聚為直線。（3）再按圓錐體高度畫(huà)出正面轉(zhuǎn)向輪廓線和側(cè)面轉(zhuǎn)向輪廓線。圓錐投影的可見(jiàn)性應(yīng)如何判斷？

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

2.圓錐表面上點(diǎn)和線的投影輔助線輔助素線法輔助平面法（緯圓法）由于圓錐面的三個(gè)投影都沒(méi)有積聚性，因此，除了投影位于轉(zhuǎn)向線或中心線上的特殊點(diǎn)之外，要求作圓錐面上一般點(diǎn)的投影，必須要先作適當(dāng)?shù)妮o助線。通過(guò)實(shí)例說(shuō)明這兩種方法的應(yīng)用。

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

用輔助素線法求作圓錐面上一般點(diǎn)的投影。圖3-30求作圓錐面上一般點(diǎn)的投影

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

過(guò)錐頂S和點(diǎn)K作輔助素線SG的三面投影，再根據(jù)直線上點(diǎn)的投影規(guī)律，由k′作出k、k″。

判別可見(jiàn)性，由k′的位置及可見(jiàn)性可知，點(diǎn)K在右前半圓錐面上，所以k可見(jiàn)，（k″）不可見(jiàn)。用輔助平面法（緯圓法）求作圓錐面上一般點(diǎn)的投影。圖3-30求作圓錐面上一般點(diǎn)的投影

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

過(guò)點(diǎn)K作一輔助水平面，與圓錐面的交線是一個(gè)水平圓（緯圓），即在正面投影中過(guò)k′作水平線1′2′，則1′2′即為緯圓的正面投影（也就是緯圓的直徑），其側(cè)面投影則積聚為3″4″；在水平投影中，以s為圓心、1′2′為直徑作圓，即為緯圓的水平投影。由于點(diǎn)K在緯圓上，故可根據(jù)緯圓的三面投影由k′作出k、（k″）。（1）作圓錐的W面投影（2）作特殊點(diǎn)A、B、C、D（3）作一般點(diǎn)E（用素線法）（4）作一般點(diǎn)E（用輔助平面法）（作圖結(jié)束）輔助平面輔助素線（a）求特殊點(diǎn)

（b）用素線法求一般點(diǎn)（c）用輔助平面法求一般點(diǎn)【例】求作圓錐表面上點(diǎn)的投影。

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

abca′′(c′′)b′′d(d′′)【例】求作圓錐表面上線的投影。（a）作圖過(guò)程先求作線上若干點(diǎn)的投影

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

（b）作圖結(jié)果

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

【例3-16】已知圓錐表面上的曲線SAB的正面投影，試求作其水平投影和側(cè)面投影。圖3-31圓錐表面上線的投影

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

為求作圓錐面上曲線的投影，可先求作曲線上若干點(diǎn)的投影，然后順次連接同面投影即可。

SA段為圓錐素線的一部分（因s′a′過(guò)錐頂），其投影為直線。

AB段為一正垂面與圓錐的交線——橢圓的一部分。（1）先求曲線上若干點(diǎn)的投影。（在AB段上選取點(diǎn)C、D、E

）

（2）判別可見(jiàn)性并順次連線。

圖3-31圓錐表面上線的投影（續(xù)）

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

3.平面與圓錐相交由于平面與圓錐軸線相對(duì)位置的不同，可形成五種截交線：圓、橢圓、拋物線、雙曲線、三角形（與圓錐面的截交線為兩條相交的直線）

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

（1）截平面垂直于圓錐軸線，截交線為圓。

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

（2）截平面傾斜于圓錐軸線，截交線為橢圓。

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

（1）求截交線上的特殊點(diǎn)；

（2）求一般點(diǎn)；

（3）判斷可見(jiàn)性，順次光滑連接各點(diǎn)；

（4）整理輪廓線。作圖步驟

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

作圖結(jié)果

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

（3）截平面平行一條素線，截交線為拋物線+直線。

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

=

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

（4）截平面平行于軸線，截交線為雙曲線+直線。

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

11’1”2”(3”)4”(5”)4’5’2’3’2453作圖過(guò)程

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

作圖結(jié)果

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

（5）截平面過(guò)錐頂，截交線為三角形。

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

【例3-17】試求作圓錐被正平面P截切后截交線的投影。因正平面P與圓錐的軸線平行，故截交線為雙曲線，且其正面投影反映實(shí)形，水平投影積聚在PH上（側(cè)面投影也積聚為直線）。圖3-32求作圓錐被正平面P截切后截交線的投影

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

圖3-32求作圓錐被正平面P截切后截交線的投影（續(xù)）

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

最低點(diǎn)A、B是正平面P與圓錐底圓的交點(diǎn)。

最高點(diǎn)E的水平投影e位于ab的中點(diǎn)，為了求作e′，可在水平投影中以s為圓心、se為半徑作圓，再求出其正面投影，即可求得e′。利用緯圓法還可求得一般點(diǎn)C、D正面投影c′、d′。

【例3-18】試求作圓錐被正垂面P截切后截交線的投影。因正垂面P傾斜于圓錐的軸線，故截交線為橢圓，其正面投影積聚為直線，水平投影和側(cè)面投影為橢圓的類(lèi)似形（仍為橢圓）。圖3-33求作圓錐被正垂面P截切后截交線的投影

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

圖3-33求作圓錐被正垂面P截切后截交線的投影（續(xù)）

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

橢圓上的特殊點(diǎn)有橢圓長(zhǎng)、短軸AB、CD的端點(diǎn)。

長(zhǎng)軸AB的正面投影a′b′反映AB的實(shí)長(zhǎng)，A、B兩點(diǎn)是圓錐正面轉(zhuǎn)向輪廓線上的點(diǎn)，可直接由a′、b′求出a、b和a″、b″。

短軸CD為正垂線且與長(zhǎng)軸AB垂直平分，求作a′b′的中點(diǎn)即得到短軸兩端點(diǎn)的正面投影c′（d′），過(guò)c′（d′）作緯圓，求出緯圓的水平投影并在其上得到c、d，然后可求出c″、d″，圖3-33求作圓錐被正垂面P截切后截交線的投影（續(xù)）

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

特殊點(diǎn)E、F的側(cè)面投影位于圓錐的側(cè)面轉(zhuǎn)向輪廓線上，可由e′（f

′）直接求出e″、f

″和e、f

。在截交線的積聚性投影a′b′的適當(dāng)位置選取位于同一緯圓上的一般點(diǎn)G、H，用緯圓法由g′（h′）求出其水平投影g、h和側(cè)面投影g″、h″。圖3-33求作圓錐被正垂面P截切后截交線的投影（續(xù)）

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

順次光滑連接各點(diǎn)的同面投影，整理、加深，補(bǔ)畫(huà)側(cè)面投影的轉(zhuǎn)向輪廓線，即完成作圖。

【例3-19】試求作圓錐被水平面Q和正垂面P截切后截交線的投影。

水平面Q與圓錐的軸線垂直，故截交線為圓的一部分，其正面投影積聚在QV上。圖3-34求作圓錐被水平面Q和正垂面P截切后截交線的投影

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

由于正垂面P過(guò)圓錐的錐頂，故截交線為兩條過(guò)錐頂?shù)闹本€，其正面投影與PV重合。圖3-34求作圓錐被水平面Q和正垂面P截切后截交線的投影（續(xù)）

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

在正面投影中延長(zhǎng)QV投影，作直線c′d′,求出水平投影c，以s

為圓心、sc為半徑作圓，根據(jù)“三等規(guī)律”，保留截平面Q范圍內(nèi)的部分圓弧afceb。再根據(jù)截交線的正面投影和水平投影，求出其側(cè)面投影e″f

″。圖3-34求作圓錐被水平面Q和正垂面P截切后截交線的投影（續(xù)）

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

正垂面P與圓錐的截交線為直線，連接水平投影sa、sb，s″a″、s″b″。水平面Q與正垂面P交線的水平投影ab為不可見(jiàn)，應(yīng)畫(huà)成細(xì)虛線。

【例3-20】試求作同軸組合回轉(zhuǎn)體被水平面P和正垂面Q截切后截交線的投影。圖3-35求同軸組合回轉(zhuǎn)體被水平面P和正垂面Q截切后截交線的投影

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

同軸組合回轉(zhuǎn)體由若干個(gè)同軸的基本回轉(zhuǎn)體組合而成，可分別求出截平面與各個(gè)回轉(zhuǎn)體的截交線并將其組合起來(lái)，就是同軸組合回轉(zhuǎn)體的截交線。本題的同軸組合回轉(zhuǎn)體由圓錐和圓柱組成。

水平面P截切了圓錐和部分圓柱，與圓錐面的截交線為雙曲線，與圓柱面的截交線為兩條平行直線。

正垂面Q只截切了部分圓柱，與圓柱面的截交線是橢圓的一部分。

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

圖3-35求同軸組合回轉(zhuǎn)體被水平面P和正垂面Q截切后截交線的投影（續(xù)）

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

水平面P截切了圓錐和部分圓柱，與圓錐面的截交線為雙曲線，與圓柱面的截交線為兩條平行直線。水平面P與圓錐截得的雙曲線中，點(diǎn)A、B、C為特殊點(diǎn)，點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ?yàn)橐话泓c(diǎn)。水平面P與圓柱面截得的兩條平行直線必定與雙曲線位于同一平面上，其交點(diǎn)為B、C。

圖3-35求同軸組合回轉(zhuǎn)體被水平面P和正垂面Q截切后截交線的投影（續(xù)）

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

正垂面Q與圓柱的截交線為橢圓的一部分，點(diǎn)D、E、F為橢圓上的特殊點(diǎn)，點(diǎn)Ⅲ、Ⅳ為一般點(diǎn)。水平面P與正垂面Q的交線DE為正垂線。圖3-35求同軸組合回轉(zhuǎn)體被水平面P和正垂面Q截切后截交線的投影（續(xù)）

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

圓錐與圓柱的交線為圓，其水平投影積聚為直線，由于圓的上半部被截掉一部分，而下半部為不可見(jiàn)，故b、c至轉(zhuǎn)向線的一段要畫(huà)成粗實(shí)線，而b、c之間的一段則要畫(huà)成細(xì)虛線。順次光滑連接水平投影中的各點(diǎn)，整理、加深，完成作圖?！瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛袷紫确治鰪?fù)合回轉(zhuǎn)體由哪些基本回轉(zhuǎn)體組成以及它們的連接關(guān)系，然后分別求出這些基本回轉(zhuǎn)體的截交線，并依次將其連接?！纠垦a(bǔ)畫(huà)立體的水平投影。

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

作圖結(jié)果

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

本節(jié)課的重點(diǎn)：圓錐的三面投影圖、圓錐表面上點(diǎn)和線的投影、平面與圓錐相交。本節(jié)課的難點(diǎn)：用素線法或緯圓法求圓錐表面上一般點(diǎn)的投影、用輔助平面法求圓錐截交線上一般點(diǎn)的投影。求作圓錐面上一般點(diǎn)的投影時(shí)，需要先在圓錐面上過(guò)點(diǎn)的已知投影作輔助線，輔助線的作法有哪幾種？（1）輔助素線法：過(guò)錐頂和點(diǎn)的已知投影作輔助素線（直線）。（2）輔助平面法（緯圓法）：過(guò)點(diǎn)的已知投影作一垂