機(jī)械工程圖學(xué)-基本立體的投影

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影3.3.1圓柱的投影3.3.2圓錐的投影3.3.3圓球的投影

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影3.1概述3.2基本平面立體的投影素線轉(zhuǎn)向輪廓線下底圓回轉(zhuǎn)軸線上底圓喉圓緯圓赤道圓（a）立體圖OO

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影轉(zhuǎn)向輪廓線(轉(zhuǎn)向線)

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影圖3-18回轉(zhuǎn)體的三面投影轉(zhuǎn)向輪廓線(轉(zhuǎn)向線)的投影特點(diǎn)：（2）對(duì)于不同的投影面，其轉(zhuǎn)向線各不相同；

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影（1）是回轉(zhuǎn)體表面上可見部分與不可見部分的分界線；（3）一個(gè)投影圖上的轉(zhuǎn)向線的投影，必定對(duì)應(yīng)于相關(guān)投影圖上的軸線或?qū)ΨQ中心線。a″b″

1.圓柱的三面投影圖圓柱由圓柱面和上、下兩個(gè)底面（圓形平面）所圍成。3.3.1圓柱的投影

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.1圓柱的投影

圓柱的軸線垂直于H面，其上下底面為水平面，水平投影反映實(shí)形，其正面和側(cè)面投影積聚為一直線。

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.1圓柱的投影

圓柱三面投影圖的形成圓柱面用曲面投影的轉(zhuǎn)向輪廓線表示。投影特征：

（1）水平投影為有積聚性的圓。（2）正面和側(cè)面投影為以軸線對(duì)稱的、完全相同的矩形。（3）畫出正面轉(zhuǎn)向輪廓線和側(cè)面轉(zhuǎn)向輪廓線。（2）畫出圓柱上、下底面的水平投影（特征投影）。畫圓柱三面投影的步驟：（1）畫出圓柱的對(duì)稱線、回轉(zhuǎn)軸線作為基準(zhǔn)線。

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.1圓柱的投影

圓柱的三面投影圖中轉(zhuǎn)向輪廓線與軸線的關(guān)系

圖3-19圓柱的三面投影

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.1圓柱的投影

圓柱投影的可見性

對(duì)正面投影而言，以最左、最右素線（轉(zhuǎn)向線）AA1、BB1為界，前半部分圓柱面可見，后半部分圓柱面不可見；

對(duì)側(cè)面投影而言，以最前、最后素線CC1、DD1（轉(zhuǎn)向線）為界，左半部分圓柱面可見，右半部分圓柱面不可見。

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.1圓柱的投影

圓柱面上的點(diǎn)，若其一個(gè)投影位于轉(zhuǎn)向線或中心線上，則稱為特殊點(diǎn)，否則稱為一般點(diǎn)。2.圓柱表面上點(diǎn)和線的投影一般點(diǎn)：可利用圓柱面的積聚性作圖。

特殊點(diǎn)：還可以利用轉(zhuǎn)向線的投影特點(diǎn)直接作圖。

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.1圓柱的投影

特殊點(diǎn)和一般點(diǎn)：求圓柱表面上點(diǎn)的投影的方法：圓柱表面上特殊點(diǎn)的作圖過(guò)程

【例3-8】已知圓柱面上點(diǎn)A、B、C、D、E、F的正面投影，試求作其水平投影和側(cè)面投影。圖3-20圓柱表面上點(diǎn)的投影特殊點(diǎn):A、B、C、D利用轉(zhuǎn)向線的投影特點(diǎn)直接作圖

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.1圓柱的投影

圓柱表面上一般點(diǎn)的作圖過(guò)程圖3-20圓柱表面上點(diǎn)的投影（續(xù)）一般點(diǎn):E、F利用圓柱面的積聚性作圖

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.1圓柱的投影

a〞e〞e′e′a′a′b′c′d′abedc已知圓柱面上的曲線AE的正面投影a′e′，試求其水平投影和側(cè)面投影。為使作圖比較準(zhǔn)確，可在曲線AE上選取若干個(gè)中間點(diǎn)，如點(diǎn)B、C、D，其正面投影為b′、c′、d

′，并可求出側(cè)面投影b″、c″、d

″。

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.1圓柱的投影

d″

c″

b″

e〞e′a′b′c′d′abedcd″

c″

b″

a〞e〞e′a′b′c′d′abedc作圖結(jié)果立體圖

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.1圓柱的投影

b″

c″

d″

【例3-9】已知圓柱面上的曲線ADF的正面投影a′d′f′，試求作曲線的其他兩面投影。圖3-21圓柱表面上線的投影

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.1圓柱的投影

（2）分別求出點(diǎn)A、B、C、D、E、F的側(cè)面投影和水平投影。（3）依次光滑連接各點(diǎn)的同面投影，即可得到曲線ADF的水平投影abcdef，其側(cè)面投影與圓柱面的積聚性投影（圓）重合。

（1）為使作圖比較準(zhǔn)確，可在曲線ADF上適當(dāng)選取若干個(gè)中間點(diǎn)，如在AD段上選取點(diǎn)B、C（其正面投影為b′、c′），在DF段上選取點(diǎn)E（其正面投影為e′）。圖3-21圓柱表面上線的投影（續(xù)）

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.1圓柱的投影

本節(jié)課的重點(diǎn)：圓柱的三面投影圖、圓柱表面上點(diǎn)和線的投影。什么是回轉(zhuǎn)體對(duì)投影面的轉(zhuǎn)向輪廓線？轉(zhuǎn)向輪廓線有哪些投影特性？以圓柱為例，簡(jiǎn)述畫基本回轉(zhuǎn)體三面投影圖的方法和步驟。是回轉(zhuǎn)體表面上可見部分與不可見部分的分界線，其投影特性是：對(duì)于不同的投影面，轉(zhuǎn)向線各不相同；一個(gè)投影圖上的轉(zhuǎn)向線的投影，必定對(duì)應(yīng)于相關(guān)投影圖上的軸線或?qū)ΨQ中心線。先畫出三個(gè)投影的中心線、對(duì)稱線作為基準(zhǔn)線；再畫出特征投影（圓）；然后分別畫出轉(zhuǎn)向線的投影；最后整理、加深圖線。

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作業(yè)《機(jī)械工程圖學(xué)基礎(chǔ)教程習(xí)題集》

P33

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3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.1圓柱的投影

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3.平面與圓柱相交平面與回轉(zhuǎn)體相交的截交線的特點(diǎn)：

（1）平面與回轉(zhuǎn)體相交的截交線一般是封閉的平面曲線，也可能是由平面曲線與直線圍成的平面圖形或多邊形，其形狀取決于回轉(zhuǎn)體的幾何特征及其與截平面的相對(duì)位置。

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.1圓柱的投影

（2）截交線上的點(diǎn)是截平面與回轉(zhuǎn)體表面的共有點(diǎn)，有些共有點(diǎn)能大致確定截交線的形狀和范圍，這樣的共有點(diǎn)也稱為特殊點(diǎn)，包括截平面與回轉(zhuǎn)面的轉(zhuǎn)向線或中心線的交點(diǎn)，以及截交線上最高（低）、最左（右）、最前（后）等極限位置的點(diǎn)。平面與回轉(zhuǎn)體相交的示例求截交線的方法和步驟（1）分析回轉(zhuǎn)體的表面性質(zhì)，截平面與回轉(zhuǎn)體的相對(duì)位置。（4）判斷可見性，光滑連接各點(diǎn)，補(bǔ)全輪廓線。（3）求截交線上的一般點(diǎn)。（2）求截交線上的特殊點(diǎn)。

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.1圓柱的投影

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.1圓柱的投影

【例3-10】求作圓柱被傾斜于軸線的正垂面P截切后的側(cè)面投影。圖3-22平面斜截圓柱的截交線的投影

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.1圓柱的投影

圖3-22平面斜截圓柱的截交線的投影（續(xù)）

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.1圓柱的投影

d（1）分析截交線的形狀。（2）求截交線上的特殊點(diǎn)。（3）用柱面取點(diǎn)的方法求一般點(diǎn)。（4）依次光滑連接各點(diǎn)。a′aa''b'bb''c'c''c(d')d''e'(f')efe''f''求作正垂面P截切圓柱截交線投影的步驟

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.1圓柱的投影

β

>45°時(shí)，投影為橢圓，CD的投影為短軸，

AB的投影為長(zhǎng)軸。

β

=45°時(shí)，投影為圓。

β

<45°時(shí)，投影為橢圓，CD的投影為長(zhǎng)軸，AB的投影為短軸。

圖3-23平面斜截圓柱時(shí)截交線的三種情況當(dāng)截平面傾斜于圓柱的軸線時(shí)，截交線的空間形狀是橢圓。

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.1圓柱的投影

【例3-11】試求作空心圓柱被正垂面P

截切后的投影。圖3-24平面斜截空心圓柱的截交線的投影

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.1圓柱的投影

空心圓柱有內(nèi)、外兩個(gè)圓柱面，外圓柱面被正垂面截切后截交線的求法與【例3-10】相同。用同樣的方法也可作出正垂面與內(nèi)圓柱面截交線的側(cè)面投影。由于正面投影中內(nèi)、外圓柱面在點(diǎn)Ⅱ、Ⅳ以上的中心線被截掉，故內(nèi)、外圓柱面對(duì)側(cè)面的轉(zhuǎn)向線應(yīng)從下畫到2″、4″所在的水平中心線為止。圖3-24平面斜截空心圓柱的截交線的投影（續(xù)）

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.1圓柱的投影

此外還應(yīng)注意，內(nèi)圓柱面對(duì)側(cè)面的轉(zhuǎn)向線要畫成細(xì)虛線。（1）分析立體、截平面（2）分析截交線的三面投影

【例3-12】試求作圓柱被正垂面Q和水平面R截切后的投影。圖3-25圓柱被正垂面Q和水平面R截切后的投影

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.1圓柱的投影

作圖：

圖3-25圓柱被正垂面Q和水平面R截切后的投影（續(xù)）

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.1圓柱的投影

圖3-25圓柱被正垂面Q和水平面R截切后的投影（續(xù)）

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.1圓柱的投影

（1）分析截交線的形狀。（2）求側(cè)平面所截交線的投影。（3）求水平面所截交線的投影。有這條輪廓線嗎？根據(jù)截切圓柱的正面、水平投影，試補(bǔ)畫其側(cè)面投影。

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.1圓柱的投影

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.1圓柱的投影

（1）分析立體、截平面（2）分析截交線的三面投影

【例3-13】已知圓柱被水平面Q、R和側(cè)平面S截切的正面投影和側(cè)面投影，試求作其水平投影。圖3-26求作圓柱被水平面Q、R和側(cè)平面S截切后的水平投影

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.1圓柱的投影

圖3-26求作圓柱被水平面Q、R和側(cè)平面S截切后的水平投影（續(xù)）

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.1圓柱的投影

圖3-26求作圓柱被水平面Q、R和側(cè)平面S截切后的水平投影（續(xù)）

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.1圓柱的投影

【例3-14】已知空心圓柱被水平面Q、R和側(cè)平面S截切的正面投影和側(cè)面投影，試求作其水平投影。圖3-27求作空心圓柱被水平面Q、R和側(cè)平面S截切后的水平投影

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.1圓柱的投影

與【例3-13】相比，空心圓柱只是增加了一個(gè)內(nèi)圓柱面，因此在作圖時(shí)只需在【例3-13】結(jié)果的基礎(chǔ)上，用同樣的方法作出截平面Q、R、S與內(nèi)圓柱面的截交線的水平投影即可。圖3-27求作空心圓柱被水平面Q、R和側(cè)平面S截切后的水平投影（續(xù)）

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.1圓柱的投影

在正面投影中，空心圓柱位于側(cè)平面S左邊的中心線被切掉，則其水平投影相應(yīng)的內(nèi)外轉(zhuǎn)向輪廓線都應(yīng)被切掉。水平面Q的截交線有四條，其水平投影都向中心線方向偏移，偏移的距離可由側(cè)面投影量得。水平投影中的細(xì)虛線表示內(nèi)圓柱面。（1）分析截交線的形狀。（2）求側(cè)平面截交線的投影。（3）求水平面截交線的投影。補(bǔ)畫三面投影圖中所缺的圖線。

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.1圓柱的投影

【例3-15】已知空心圓柱被水平面Q和側(cè)平面R、S截切的正面投影和水平投影，試求作其側(cè)面投影。

（a）題圖圖3-28求作空心圓柱被水平面Q和側(cè)平面R、S截切后的側(cè)面投影

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.1圓柱的投影

與【例3-14】相比，只是空心圓柱軸線的位置和被截切的部位不同，因此在作圖時(shí)，只需按照【例3-14】的作圖方法，分別作出截平面Q、R、S與內(nèi)外圓柱面截交線的側(cè)面投影即可。圖3-28求作空心圓柱被水平面Q和側(cè)平面R、S截切后的側(cè)面投影（續(xù)）

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.1圓柱的投影

在正面投影中，空心圓柱的中心線未被切掉，則其側(cè)面投影的內(nèi)外轉(zhuǎn)向輪廓線也都不會(huì)被切掉。試求作圓柱被截切后的水平投影和側(cè)面投影。輪廓線要不要？（1）分析截交線的形狀。（2）畫上面切口的投影。（3）畫下面切口的投影。

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.1圓柱的投影

補(bǔ)畫三面投影圖中所缺的圖線。

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.1圓柱的投影

【例】已知圓柱被側(cè)平面和正垂面截切的正面投影和水平投影，試求作其側(cè)面投影。立體圖

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.1圓柱的投影

【例】已知空心圓柱被側(cè)平面和正垂面截切的正面投影和水平投影，試求作其側(cè)面投影。

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.1圓柱的投影

本節(jié)課的重點(diǎn)：

平面與圓柱相交的截交線。本節(jié)課的難點(diǎn)：平面與圓柱相交的截交線的求法。圓柱面上什么樣的點(diǎn)稱為特殊點(diǎn)、一般點(diǎn)？如何求作特殊點(diǎn)、一般點(diǎn)的投影？若點(diǎn)的一個(gè)投影位于轉(zhuǎn)向線或中心線上，則稱為特殊點(diǎn)，否則稱為一般點(diǎn)。求作一般點(diǎn)的投影時(shí)，可利用圓柱面的積聚性作圖。而求作特殊點(diǎn)的投影時(shí)，除了可利用圓柱面的積聚性之外，還可以利用轉(zhuǎn)向線的投影特性直接作圖。

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.1圓柱的投影

平面截切圓柱有哪幾種情況？其截交線分別是什么形狀？在平面與回轉(zhuǎn)體的截交線上，什么樣的點(diǎn)稱為特殊點(diǎn)？由于平面與圓柱軸線相對(duì)位置的不同，可形成三種截交線——圓、橢圓、矩形（與圓柱面的截交線為兩條平行的直線）。截交線上有些共有點(diǎn)能大致確定截交線的形狀和范圍，其投影也很容易求出，這樣的共有點(diǎn)就稱為特殊點(diǎn)，包括截平面與回轉(zhuǎn)面的轉(zhuǎn)向線或中心線的交點(diǎn)，以及截交線上最高（低）、最左（右）、最前（后）等極限位置的點(diǎn)。求作平面與回轉(zhuǎn)體截交線上一般點(diǎn)的投影時(shí)，需要采用什么方法？輔助平面法

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3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

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P39～

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3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

圓錐的形成：圓錐體是由圓錐面和地面所圍成。圓錐面可以看成是由直線SA繞與它相交的軸線SO旋轉(zhuǎn)一周而形成。SA稱為圓錐的母線，圓錐面上通過(guò)頂點(diǎn)S的任一直線稱為素線。3.3.2圓錐的投影

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影圓錐的投影：圓錐軸線垂直于H面，底面為水平面，其水平投影反映實(shí)形，正面和側(cè)面投影積聚為一直線。1.圓錐的三面投影圖圖3-29圓錐的三面投影

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

投影特性：（1）水平投影為圓（為圓錐面的投影，沒有積聚性；也是底圓的投影）。（2）正面和側(cè)面投影為對(duì)稱的、完全相同的等腰三角形。繪圖步驟

（1）先繪出圓錐的對(duì)稱中心線、軸線。（2）在水平投影面上繪出圓錐底圓，其正面投影和側(cè)面投影積聚為直線。（3）再按圓錐體高度畫出正面轉(zhuǎn)向輪廓線和側(cè)面轉(zhuǎn)向輪廓線。圓錐投影的可見性應(yīng)如何判斷？

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

2.圓錐表面上點(diǎn)和線的投影輔助線輔助素線法輔助平面法（緯圓法）由于圓錐面的三個(gè)投影都沒有積聚性，因此，除了投影位于轉(zhuǎn)向線或中心線上的特殊點(diǎn)之外，要求作圓錐面上一般點(diǎn)的投影，必須要先作適當(dāng)?shù)妮o助線。通過(guò)實(shí)例說(shuō)明這兩種方法的應(yīng)用。

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

用輔助素線法求作圓錐面上一般點(diǎn)的投影。圖3-30求作圓錐面上一般點(diǎn)的投影

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

過(guò)錐頂S和點(diǎn)K作輔助素線SG的三面投影，再根據(jù)直線上點(diǎn)的投影規(guī)律，由k′作出k、k″。

判別可見性，由k′的位置及可見性可知，點(diǎn)K在右前半圓錐面上，所以k可見，（k″）不可見。用輔助平面法（緯圓法）求作圓錐面上一般點(diǎn)的投影。圖3-30求作圓錐面上一般點(diǎn)的投影

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

過(guò)點(diǎn)K作一輔助水平面，與圓錐面的交線是一個(gè)水平圓（緯圓），即在正面投影中過(guò)k′作水平線1′2′，則1′2′即為緯圓的正面投影（也就是緯圓的直徑），其側(cè)面投影則積聚為3″4″；在水平投影中，以s為圓心、1′2′為直徑作圓，即為緯圓的水平投影。由于點(diǎn)K在緯圓上，故可根據(jù)緯圓的三面投影由k′作出k、（k″）。（1）作圓錐的W面投影（2）作特殊點(diǎn)A、B、C、D（3）作一般點(diǎn)E（用素線法）（4）作一般點(diǎn)E（用輔助平面法）（作圖結(jié)束）輔助平面輔助素線（a）求特殊點(diǎn)

（b）用素線法求一般點(diǎn)（c）用輔助平面法求一般點(diǎn)【例】求作圓錐表面上點(diǎn)的投影。

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

abca′′(c′′)b′′d(d′′)【例】求作圓錐表面上線的投影。（a）作圖過(guò)程先求作線上若干點(diǎn)的投影

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

（b）作圖結(jié)果

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

【例3-16】已知圓錐表面上的曲線SAB的正面投影，試求作其水平投影和側(cè)面投影。圖3-31圓錐表面上線的投影

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

為求作圓錐面上曲線的投影，可先求作曲線上若干點(diǎn)的投影，然后順次連接同面投影即可。

SA段為圓錐素線的一部分（因s′a′過(guò)錐頂），其投影為直線。

AB段為一正垂面與圓錐的交線——橢圓的一部分。（1）先求曲線上若干點(diǎn)的投影。（在AB段上選取點(diǎn)C、D、E

）

（2）判別可見性并順次連線。

圖3-31圓錐表面上線的投影（續(xù)）

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

3.平面與圓錐相交由于平面與圓錐軸線相對(duì)位置的不同，可形成五種截交線：圓、橢圓、拋物線、雙曲線、三角形（與圓錐面的截交線為兩條相交的直線）

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

（1）截平面垂直于圓錐軸線，截交線為圓。

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

（2）截平面傾斜于圓錐軸線，截交線為橢圓。

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

（1）求截交線上的特殊點(diǎn)；

（2）求一般點(diǎn)；

（3）判斷可見性，順次光滑連接各點(diǎn)；

（4）整理輪廓線。作圖步驟

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

作圖結(jié)果

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

（3）截平面平行一條素線，截交線為拋物線+直線。

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

=

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

（4）截平面平行于軸線，截交線為雙曲線+直線。

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

11’1”2”(3”)4”(5”)4’5’2’3’2453作圖過(guò)程

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

作圖結(jié)果

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

（5）截平面過(guò)錐頂，截交線為三角形。

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

【例3-17】試求作圓錐被正平面P截切后截交線的投影。因正平面P與圓錐的軸線平行，故截交線為雙曲線，且其正面投影反映實(shí)形，水平投影積聚在PH上（側(cè)面投影也積聚為直線）。圖3-32求作圓錐被正平面P截切后截交線的投影

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

圖3-32求作圓錐被正平面P截切后截交線的投影（續(xù)）

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

最低點(diǎn)A、B是正平面P與圓錐底圓的交點(diǎn)。

最高點(diǎn)E的水平投影e位于ab的中點(diǎn)，為了求作e′，可在水平投影中以s為圓心、se為半徑作圓，再求出其正面投影，即可求得e′。利用緯圓法還可求得一般點(diǎn)C、D正面投影c′、d′。

【例3-18】試求作圓錐被正垂面P截切后截交線的投影。因正垂面P傾斜于圓錐的軸線，故截交線為橢圓，其正面投影積聚為直線，水平投影和側(cè)面投影為橢圓的類似形（仍為橢圓）。圖3-33求作圓錐被正垂面P截切后截交線的投影

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

圖3-33求作圓錐被正垂面P截切后截交線的投影（續(xù)）

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

橢圓上的特殊點(diǎn)有橢圓長(zhǎng)、短軸AB、CD的端點(diǎn)。

長(zhǎng)軸AB的正面投影a′b′反映AB的實(shí)長(zhǎng)，A、B兩點(diǎn)是圓錐正面轉(zhuǎn)向輪廓線上的點(diǎn)，可直接由a′、b′求出a、b和a″、b″。

短軸CD為正垂線且與長(zhǎng)軸AB垂直平分，求作a′b′的中點(diǎn)即得到短軸兩端點(diǎn)的正面投影c′（d′），過(guò)c′（d′）作緯圓，求出緯圓的水平投影并在其上得到c、d，然后可求出c″、d″，圖3-33求作圓錐被正垂面P截切后截交線的投影（續(xù)）

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

特殊點(diǎn)E、F的側(cè)面投影位于圓錐的側(cè)面轉(zhuǎn)向輪廓線上，可由e′（f

′）直接求出e″、f

″和e、f

。在截交線的積聚性投影a′b′的適當(dāng)位置選取位于同一緯圓上的一般點(diǎn)G、H，用緯圓法由g′（h′）求出其水平投影g、h和側(cè)面投影g″、h″。圖3-33求作圓錐被正垂面P截切后截交線的投影（續(xù)）

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

順次光滑連接各點(diǎn)的同面投影，整理、加深，補(bǔ)畫側(cè)面投影的轉(zhuǎn)向輪廓線，即完成作圖。

【例3-19】試求作圓錐被水平面Q和正垂面P截切后截交線的投影。

水平面Q與圓錐的軸線垂直，故截交線為圓的一部分，其正面投影積聚在QV上。圖3-34求作圓錐被水平面Q和正垂面P截切后截交線的投影

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

由于正垂面P過(guò)圓錐的錐頂，故截交線為兩條過(guò)錐頂?shù)闹本€，其正面投影與PV重合。圖3-34求作圓錐被水平面Q和正垂面P截切后截交線的投影（續(xù)）

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

在正面投影中延長(zhǎng)QV投影，作直線c′d′,求出水平投影c，以s

為圓心、sc為半徑作圓，根據(jù)“三等規(guī)律”，保留截平面Q范圍內(nèi)的部分圓弧afceb。再根據(jù)截交線的正面投影和水平投影，求出其側(cè)面投影e″f

″。圖3-34求作圓錐被水平面Q和正垂面P截切后截交線的投影（續(xù)）

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

正垂面P與圓錐的截交線為直線，連接水平投影sa、sb，s″a″、s″b″。水平面Q與正垂面P交線的水平投影ab為不可見，應(yīng)畫成細(xì)虛線。

【例3-20】試求作同軸組合回轉(zhuǎn)體被水平面P和正垂面Q截切后截交線的投影。圖3-35求同軸組合回轉(zhuǎn)體被水平面P和正垂面Q截切后截交線的投影

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

同軸組合回轉(zhuǎn)體由若干個(gè)同軸的基本回轉(zhuǎn)體組合而成，可分別求出截平面與各個(gè)回轉(zhuǎn)體的截交線并將其組合起來(lái)，就是同軸組合回轉(zhuǎn)體的截交線。本題的同軸組合回轉(zhuǎn)體由圓錐和圓柱組成。

水平面P截切了圓錐和部分圓柱，與圓錐面的截交線為雙曲線，與圓柱面的截交線為兩條平行直線。

正垂面Q只截切了部分圓柱，與圓柱面的截交線是橢圓的一部分。

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

圖3-35求同軸組合回轉(zhuǎn)體被水平面P和正垂面Q截切后截交線的投影（續(xù)）

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

水平面P截切了圓錐和部分圓柱，與圓錐面的截交線為雙曲線，與圓柱面的截交線為兩條平行直線。水平面P與圓錐截得的雙曲線中，點(diǎn)A、B、C為特殊點(diǎn)，點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ?yàn)橐话泓c(diǎn)。水平面P與圓柱面截得的兩條平行直線必定與雙曲線位于同一平面上，其交點(diǎn)為B、C。

圖3-35求同軸組合回轉(zhuǎn)體被水平面P和正垂面Q截切后截交線的投影（續(xù)）

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

正垂面Q與圓柱的截交線為橢圓的一部分，點(diǎn)D、E、F為橢圓上的特殊點(diǎn)，點(diǎn)Ⅲ、Ⅳ為一般點(diǎn)。水平面P與正垂面Q的交線DE為正垂線。圖3-35求同軸組合回轉(zhuǎn)體被水平面P和正垂面Q截切后截交線的投影（續(xù)）

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

圓錐與圓柱的交線為圓，其水平投影積聚為直線，由于圓的上半部被截掉一部分，而下半部為不可見，故b、c至轉(zhuǎn)向線的一段要畫成粗實(shí)線，而b、c之間的一段則要畫成細(xì)虛線。順次光滑連接水平投影中的各點(diǎn)，整理、加深，完成作圖?！瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛袷紫确治鰪?fù)合回轉(zhuǎn)體由哪些基本回轉(zhuǎn)體組成以及它們的連接關(guān)系，然后分別求出這些基本回轉(zhuǎn)體的截交線，并依次將其連接?！纠垦a(bǔ)畫立體的水平投影。

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

作圖結(jié)果

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

本節(jié)課的重點(diǎn)：圓錐的三面投影圖、圓錐表面上點(diǎn)和線的投影、平面與圓錐相交。本節(jié)課的難點(diǎn)：用素線法或緯圓法求圓錐表面上一般點(diǎn)的投影、用輔助平面法求圓錐截交線上一般點(diǎn)的投影。求作圓錐面上一般點(diǎn)的投影時(shí)，需要先在圓錐面上過(guò)點(diǎn)的已知投影作輔助線，輔助線的作法有哪幾種？（1）輔助素線法：過(guò)錐頂和點(diǎn)的已知投影作輔助素線（直線）。（2）輔助平面法（緯圓法）：過(guò)點(diǎn)的已知投影作一垂直于圓錐軸線的輔助平面，與圓錐面的交線是一個(gè)圓（緯圓）。

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

平面截切圓錐有哪幾種情況？其截交線分別是什么形狀？由于平面與圓錐軸線相對(duì)位置的不同，可形成五種截交線。圓、橢圓、拋物線、雙曲線、三角形（與圓錐面的截交線為兩條相交的直線）。

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

作業(yè)《機(jī)械工程圖學(xué)基礎(chǔ)教程習(xí)題集》

P41～

P44

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

。作業(yè)《機(jī)械工程圖學(xué)基礎(chǔ)教程習(xí)題集》

P39～

P44

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

。作業(yè)《機(jī)械工程圖學(xué)基礎(chǔ)教程習(xí)題集》

P39～

P44

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

。作業(yè)《機(jī)械工程圖學(xué)基礎(chǔ)教程習(xí)題集》

P39～

P44

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

。作業(yè)《機(jī)械工程圖學(xué)基礎(chǔ)教程習(xí)題集》

P39～

P44

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.2圓錐的投影

圓球的形成：圓球體是由圓球面圍成。圓球面可以看成是圓母線繞其直徑旋轉(zhuǎn)而形成的。3.3.3圓球的投影

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.3圓球的投影

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影圓球在三個(gè)投影面上的投影是三個(gè)大小相同的圓。1.圓球的三面投影

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.3圓球的投影

圖3-36圓球的三面投影

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.3圓球的投影

由于圓球的三個(gè)投影都沒有積聚性，所以除了投影位于轉(zhuǎn)向線或中心線上的特殊點(diǎn)之外，在求作圓球面上一般點(diǎn)的投影時(shí)，必須利用輔助平面法。2.圓球表面上點(diǎn)和線的投影

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.3圓球的投影

aa′b”b’【例】畫出球面上點(diǎn)A、B的其他兩個(gè)投影。點(diǎn)A是一般點(diǎn)點(diǎn)B是特殊點(diǎn)點(diǎn)A是什么點(diǎn)？點(diǎn)B是什么點(diǎn)？用輔助平面法用轉(zhuǎn)向線與軸線、對(duì)稱中心線的對(duì)應(yīng)關(guān)系點(diǎn)A位于左、上、前半球點(diǎn)B位于左上半球、前后對(duì)稱面上

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.3圓球的投影

【例3-21】已知球面上點(diǎn)M的水平投影m，試求作其正面投影和側(cè)面投影。圖3-37球面上點(diǎn)的投影

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.3圓球的投影

由于點(diǎn)M為一般點(diǎn)，故必須用輔助平面法求解。過(guò)點(diǎn)M既可用正平面作為輔助平面，也可用側(cè)平面作為輔助平面，還可用水平面作為輔助平面。圖3-37球面上點(diǎn)的投影（續(xù)）

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.3圓球的投影

過(guò)m作一正平面P，與球面交線（輔助圓）的水平投影為直線12。

以o′為圓心、12為直徑作圓，即為輔助圓的正面投影。由于m為可見，點(diǎn)M位于上半球，故可由m在輔助圓的上部作出m′。由m和m′作出m″。還可過(guò)點(diǎn)M作一水平面作為輔助平面求解。

圖3-37球面上點(diǎn)的投影（續(xù)）

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.3圓球的投影

過(guò)m作一側(cè)平面Q，與球面交線（輔助圓）的正面投影為直線1′2′。

以o″為圓心、1′2′為直徑作圓，即為輔助圓的側(cè)面投影。由于m為可見，點(diǎn)M位于上半球，故可由m在輔助圓的上部作出m″。由m和m″作出m′。（1）作圓球的W面投影（2）作特殊點(diǎn)A、B（3）作一般點(diǎn)D（用輔助平面法）（4）判別可見性、光滑連線（作圖結(jié)束）輔助平面（a）求作特殊點(diǎn)的投影（b）求作一般點(diǎn)的投影

【例】求作圓球表面上曲線的投影。

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.3圓球的投影

求作一般點(diǎn)時(shí)可采用不同的輔助平面。輔助平面輔助平面輔助平面輔助平面用側(cè)平面Q作輔助平面。用正平面R作輔助平面。

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.3圓球的投影

3.平面與圓球相交平面與圓球相交時(shí)，其截交線的空間形狀都是圓。

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.3圓球的投影

水平面與圓球相交，截交線的水平投影為圓。

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.3圓球的投影

正平面與圓球相交，截交線的正面投影為圓。

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.3圓球的投影

側(cè)平面與圓球相交，截交線的側(cè)面投影為圓。

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.3圓球的投影

【例3-22】求作正垂面P與圓球截交線的投影。分析：正垂面P與球面相交的截交線為圓，其V面投影有積聚性，H面投影和W面投影均為橢圓。圖3-38求作正垂面P與圓球截交線的投影

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.3圓球的投影

圖3-38求作正垂面P與圓球截交線的投影（續(xù)）

3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影—3.3.3圓球的投影

橢圓上的特殊點(diǎn)有橢圓長(zhǎng)、短軸AB、CD的端點(diǎn)，此外還有a′b′與中心線的交點(diǎn)E、F、G、H。橢圓長(zhǎng)軸的A、B兩點(diǎn)是圓球正面轉(zhuǎn)向線上的點(diǎn)，可直接由a′、b′求出a、b和a″、b″；點(diǎn)E、F的水平投影位于圓球的水平轉(zhuǎn)向線上，可由e′（f

′）直接求出e、f和e″、f

″；點(diǎn)G、H的側(cè)面投影位于