極坐標(biāo)計算二重積分

關(guān)于極坐標(biāo)計算二重積分什么是極坐標(biāo)?在平面內(nèi)取一個定點O，引一條射線OX，這樣就建立了一個極坐標(biāo)系。叫做極點。叫做極軸,對于平面內(nèi)任一點M,記|OM|=r,XOr

M（r，

）就叫做點M的極坐標(biāo)。∠XOM=

,平面上任一點（r，

）第2頁,共18頁，2024年2月25日，星期天一、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)系的關(guān)系兩坐標(biāo)系中變量間關(guān)系：第3頁,共18頁，2024年2月25日，星期天

設(shè)積分區(qū)域

D為平面有界區(qū)域,并且從原點發(fā)出的射線與D的邊界線交點不多于兩個,則區(qū)域D被分割情形見下圖.二重積分中被積函數(shù)求極坐標(biāo)下的積分元素的表示方法。二、二重積分的極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化及計算1、二重積分的極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化第4頁,共18頁，2024年2月25日，星期天圖中分割的其中一小塊的面積為略去高階無窮小

則有

r

r

,故d=rdrd

.于是,二重積分第5頁,共18頁，2024年2月25日，星期天二、極坐標(biāo)系下二重積分化為累次積分的的三種情形1、區(qū)域特征如圖D：第6頁,共18頁，2024年2月25日，星期天2、區(qū)域特征如圖D：第7頁,共18頁，2024年2月25日，星期天極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積3、區(qū)域特征如圖第8頁,共18頁，2024年2月25日，星期天例1

將化為在極坐標(biāo)系下的二次積分。1）4）2）3）第9頁,共18頁，2024年2月25日，星期天1）解：在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域D

可表示為第10頁,共18頁，2024年2月25日，星期天2）在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域D

可表示為第11頁,共18頁，2024年2月25日，星期天3）在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域D

可表示為第12頁,共18頁，2024年2月25日，星期天4）在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域D

可表示為第13頁,共18頁，2024年2月25日，星期天

例2求D:x2+y2

R2

(R>0).解在極坐標(biāo)下D:0

r

R,0

2.

利用極坐標(biāo)計算二重積分第14頁,共18頁，2024年2月25日，星期天

例3求D:x2+y2

2ax(a>0).

解積分區(qū)域D如圖,在極坐標(biāo)下D:0

r2acos

,第15頁,共18頁，2024年2月25日，星期天

例4求(a>0).

解積分區(qū)域D見圖,采用極坐標(biāo)計算,原式=y=xx2+y2=2ay第16頁,共18頁，2024年2月25日，星期天

例5求的值.

解考慮區(qū)域D:0

x+,0y+