2015-2021七年高中數學聯(lián)賽真題分類匯編 36不等式第五講（學生版+解析版）

2015-2021七年高中數學聯(lián)賽真題分類匯編

專題36不等式第五講

1.【2021年吉林預賽】設m>0.若對于滿足abcW：且2+―+2<m的任意一組正數。，4c,均存在以

z

4ab乙c"

為三邊長的三角形，求實數m的最大值，說明理由.

2.【2021年重慶預賽】設自然數九二3，實數…，滿足+%2+…+%n=幾，后+石■>--F*=彥,

求，婷最小值及取最小值時的(乙,工2,…,％n),

3.【2021年浙江預賽】設匕m2>0,百+4+6=1,證明等丈+空空+爭叱21.

X2(y+z)y2(z+x)z2(y+x)

4.【2021年上海預賽】已知正實數a,b滿足a(a+b)=27,求a2b的最大值.

5.【2021年全國高中數學聯(lián)賽B卷二試】已知0*,d6[0,冠),滿足以3+/+C3+43=2,求春+

「2+一,.￡一一+,「支-的最小值

6.12020高中數學聯(lián)賽B卷(第01試)】設正實數a力,c滿足a2+4b+9c2=4b+l2c-2,求;+：+：的

最小值.

7.[2020年廣西預賽】已知/4-y3+z3-3xyz—3(x2+y2+z2-xy—yz—zx)=0,

其中,x、y、z為不全相等的正實數.證明：

(1)x+y+z=3；

(2)x2(l+y)+y2(l+z)+z2(l4-%)>6.

8.【2020年廣西預賽】空間中八個點，其中任意四點不共面，在這些點之間連接17條線段.證明：在這17

條線段之中必存在三條線段，其長度a、b、c滿足a+；+'),3p(p—a)(p—b)(p—c)，其中,p="產.

9.12020年吉林預賽】已知正實數x,y,z滿足(％+y+z)%yz=4.

求(無+y)2+(y+名產+(z+%)2的最小值.

10.【2020年四川預賽】設4為正實數，對于任意兩兩不等的正實數a、b、c,均有

(C>A(a+6+C)?

(,b°-c)z(cb-a)z+(a-b)?''

求;l的最大值.

11.【2020年浙江預賽】設｛㈤,｛妃為實數列.證明：湍孱<2(2%；*竹(2普”我.

12.【2020年新疆預賽】已知a,b,c,d為正實數，且ab+be+cd+da=1,

求證:,

b+c+da+c+da+b+c

d+d+d+d

13.【2019年新疆預賽】給定正實數0<a<b,設石/2"3，辦6口勾.試求丫3迎的最小值與最大值.

%1+%2'^3''^4

14.［2019年浙江預賽】設即打>0（14》〈71+1）,仇+1-九2<5>0（6為常數）.若舞=1&=1,證

的逆2…aQ血…加

15.12019高中數學聯(lián)賽B卷（第02試）】設正實數的,a?，…，a］。。滿足/）。101-?=12”?,50）.記

Xk=a+-：+a（k=1,2,…,99）.證明:X］據…舄2<1.

16.【2018年福建預賽】已知出b,c￡R,且3a2+3爐+4/=60.

⑴求Q+0+C的最大值

（2）若。，66（0,4）,c?（0,6）,求f+3+會的最小值

4—a4—b6—c

17.【2018年貴州預賽】證明：⑴￡+六+++??,+品與<1（9，kRN）；

（2）分別以1,……，上.....為邊長的正方形能互不重疊地全部放入一個邊長為?的正方形內.

23n2

18.【2018年重慶預賽】設由=2,an+1=a^-an+l.證明：1一而鵬<幺a<1.

19.【2018年陜西預賽】設a,比c>0.證明：/出+如也㈣+必普2ab+be+ca.

b+cc+aa+b

20.【2018年陜西預賽】設a,b,c>0.證明：華鋁+幺空出+必獸2ab+be+ca.

b+cc+aa+b

21.【2018年陜西預賽】設a,b,c>0.證明：咚辿+里士+U立"2ab+be+ca.

b+cc+aa+b

22.【2018年安徽預賽】⑴求證：對于任意實數x、y、z都有M+2y2+3z?之遮（xy+yz+z%）.

⑵是否存在實數k>V5,使得對于任意實數x、y、z有/+2y2+3z2之儀盯+yz+zx）恒成立？試證明

你的結論.

23.【2018年湖北預賽】已知正數a、b滿足a+b=l,求M=01+2a2+2］目+上的最小值.

24.【2018年吉林預賽】設x,y,z>0,且至多有一個為0,求/（x,%z）=j篝詈+再密+

乓空的最小值.

yx2+yz

25.【2018年河北預賽】若a、b>c為正數且a+6+c=3,證明：Qb+bc+ca<VH+VF+VE<3

26.【2018年四川預賽】設％、y、z為正實數，求（％+；+夜）（y+}+魚）（z+：+&）的最小值.

27.【2018年浙江預賽】設a6R,且對任意實數b均有max|/++切21,求a的取值范圍.

28.【2018年遼寧預賽】已知實數a、b、c滿足a?++02=1,求M=c^bc+aFc+abc?的最大值和

最小值.

29.【2018年山西預賽】已知在正整數n的各位數字中，共含有的個1,牝個2,…，每個n.證明：2%X

3組x…x10a<><n+1并確定使等號成立的條件.

30.【2018年全國】設"是正整數,%,。2,…,心，瓦,配,…,4，是B均為正實數,滿足與W瓦,%WA,i=12…,n,

^b1b2-bnvB

a1a2-an-A

求證：誓誓*目式空1.

（。1+1）（。2+1）…（Qn+1）4+1

31.【2018高中數學聯(lián)賽B卷（第02試）】設a、6是實數，函數f（x）=ax+b+3證明:存在X。6

[1,9],使得|f（&）|/2.

32.【2017高中數學聯(lián)賽A卷（第01試）】設k、m為實數,不等式|小一依-m|41對所有xd[a,力成

立.證明力-a<2V2.

33.12017高中數學聯(lián)賽A卷（第01試）】設巧.2/3是非負實數，滿足％1+小+%3=1，求

a+3外+5不）（與+年+費）的最小值和最大值.

34.【2017高中數學聯(lián)賽B卷（第01試）】設不等式0一研<|5-2」對所有xe[l,2]成立，求實數a

的取值范圍.

2015-2021七年高中數學聯(lián)賽真題分類匯編

專題36不等式第五講

i.[2021年吉林預賽】設m>0.若對于滿足abc<:且志+表+*<也的任意一組正數

〃力,c,均存在以a,b,c為三邊長的三角形，求實數m的最大值，說明理由.

【答案】答案見解析

【解析】由（工2+y）Qr+y）=0得y=-工2或y=-%，

,2

V=—X1

⑴聯(lián)立1,得冗2+fcx+A=o(*)

1

y=kx+16

由4=標-4xj>0，解得々>i或々（一二

1622

(y=-x

因為[y=kx+±有唯一解，得kH-1.

又直線=+b與曲線C交于三個不同的點，所以4=1不足方程（*）的解，即kH

17

-16，

所以之的取值范圍是（-8,一祭）u（一祭,一1）U（-1,_4）U&+8）.

⑵情形1（如圖）:聯(lián)立[丫:一%2得％2+&4+1=0

（y=kx+l

fj=k2-4>0

設4(%i，yi),C(>2，y2)，則(x1+x2=-fc，

汽1尤2=1

2

設AC的中點為8(工中丫夕)，則冗B='1?—-=一稱,丫8=女工8+1=—$~+1

又點、B(-—I+1J在直線y=—x上，

從而_[+1=_(_§

所以4=1或-2,不滿足4>0，舍去.

情形2(如界2)：設4(m,-m2),B(n,-n2)(mHn)

則直線AS的方程為y=-(m+n)x+mn.

又直線AH即為直線I：y=kx+1.

從而九=—(m+ri),mn=1.

由B為線段4c的中點，得C(2n-m,-2n2+m2).

v點C在直線y=—x上，得一2n2+m2=—2n+m.

聯(lián)立mn=1,

—2n2+m2=—2n+m.

m=m=—V2

解衍?l(受委屈)或n=-1

n=13fz

k=V2+?§—

V2

綜上，k的值為J2+-

2.【2021年重慶預賽】設自然數71之3，實數％1，工2，.”，工〃滿足冤1+冗2+?一+%n=

最小值及取最小值時的(霓

n,%?+X?+1，X1…,xn).

【答案】答案見解析

【解析】由柯西不等式：…+琮)>2

01-1)(^2+xj+(X2+X3+…+Xn)

化簡得：(n-l)(n2-后)>(n-x^2,

解得：

2-n<xt<n

2

構造局部不等式(工1+71—2)(工1-2)>0,

展開得“；>(6-n)xl+(4n-12)%i+8-4n,

同理有其它n—1式，相加得：

S=x1+x2+—F>(6—n)n2+(4n-12)n+n(8—4n)=

—n3+6n2—4n,

要使S取最小值，%j=2-ri或2,i=1,2,-,71.

若全為2,其和為2n,不符合題意；

若有兩個以上為2—n，其和小于n,不合題意；

當且僅當有且只有一個為及其置換時，取得

2—n^(x1,x2,--,xri)=(2s

最小值.

3.[2021年浙江預賽】設爸y,Z>0,遮+行+6=1，證明J；+y2z2+y：+z2%2+

%2(y+z)y2(z+x)

z4+y2/>i

z2(y+尤)

【答案】證明見解析

°x8+y4z4y

【解析】等價于x+y+z=1，證N局西藥NI，

口x8+y4z43f[(x8+y4z4)

由三元均值不等式有2中藥z3"府官'

n(A：8+y4z4)

由柯西不等式有<.

(xyz)6川厚+5

所以冷*

.cx8+y4z4_3[口(尤8+y4z4)

則可知，聞西藥—3小(xyz)3[](^2+y2)

川”+力>nH+力>正”/>(*”曷*4

由柯西不等式有

n(x2+y2)-8-9-3

則有,看卷之3隔二3回家

4.[2021年上海預賽】已知正實數a,b滿足a(a+b)=27，求a2b的最大值.

【答案】54

【解析】解法1:由題設及平均不等式：

27=a(a+b)=a(a+1>a?3,a,

所以9^>a3a,

當a=3,b=6時等號成立.

故a2b的最大值為54.

解法2：由題設得b=-a----a,

a2b=27a—a3=a(27

所以a2b=27a—a3=a(27—a2)=-2a2(27—a2)(27—a2

VJl_0a2+(27-a2)+(27-a2))3

當a=3,b=6時等號成立.故a2b的最大值為54.

27

解法3：由題設得b=--a,所以a2b=27a-a3=a(27-a2).

令/(a)=a(27-a2)，則/(a)=27-3a2，故f(3)=0.

當ae(0,3)時,f(a)>0，當ae(3,+oo)時，/(a)<0,

故f(a)在(0,3)上是遞增的，在(3,+8)上是遞減的，

故/(a)在a=3時取到最大值.

所以，a2b的最大值為/'(3)=54.

5.【2021年全國高中數學聯(lián)賽B卷二試】已知2瓦。]€[0,遮),滿足:<13+〃+03+(/3=2,求號+

V2-a'

/b4+：4+/「萬4的最小值.

、2-匕4V2-C4y/2-d4

【答案】2

【解析】當Q>。時，有春=懸而>a3.

當Q=0時，/可>@3也成立.

V2-a"

所以號+各+信+—―+〃+1+爐=2當a=b=1,c=d=。時上述不等式等號成立.

故;券+冊+舟+春的最小值為2

6.【2020高中數學聯(lián)賽B卷(第01試)】設正實數a,b,c滿足a2+4b+9c2=4b+l2c-2,

求A+W+搟的最小值.

【答案】6

°22

【解析】由題設條件得a?+(2b—1)+(3c-2)=3,

由柯西不等式可得：3[。2+(2b—1)2+(3c—2)2]>(a+2b—1+3c—

2產

2

即(a+2b+3c—3)49,故a+2b+3c<6.

又由柯西不等式得

(+：+|)(a+2b+3c)》(1+2+3)2.

所以#常+稱>a+2b+3c>6

當a=b=c=｝時等號成立.

故.+稱+如最小值是6-

33222

7.(2020年廣西預賽】已知尤3+y+z—3xyz—3(x+y+z—xy—yz—

zx)=0,

其中,x、y、z為不全相等的正實數.證明：

(1)x+y+z=3；

出％2(1+,)+,2(1+2)+22(1+稻>6.

【答案】證明見解析

【解析】⑴注意到，0=(%+y+Z—3)(/+y2+-My—yz—ZX)

=：O+y+Z-3)((%-y)2+(y-z)2+(z-x)2).

222

因為x,y,z不全相等，所以,(工一y)+(y-z)+(z-x)>0.

從而,％+y+z—3=0.

故冗+y+z=3.

(2)%2(l+y)+y2q+z)+z2(l+為

_丫222222

一人+y+z+xy+yz+zx

=x2+y2+z2+(x2y+y)+(y2z+z)+

(z2x+x)—(x+y+z)

>x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx—(%+y+z)

=(x+y+z)2—(x+y+z)

=32-3=6.

8.【2020年廣西預賽】空間中八個點，其中任意四點不共面，在這些點之間連接17條線段.證明：在這17

2221

條線段之中必存在三條線段，其長度a、b、c滿足?-4-C>-a）（P-h）（P-C）

a+b+c

其中,P=-^―

【答案】證明見解析

【解析】（1）這17條線段之中必有三條線段構成三角形.

反證法.

假設這17條線段之中任意三條不構成三角形.

設點尸是這八個點中連接線段最多的一個點,連接線段數為x.則有7—％個點不與點尸連線.

又由于以這7—x個點為端點的線段數不超過式(7-x)，于是，所連線段總數不超過靠+x(7-

幻

而x+x(7—x)=-x2+8x<16<17，這與題設矛盾.

因此,17條線段中必有三條線段構成三角形.

(2)據海倫公式知

原不等式=a2+b2+c24V3S,

其中,S為該三角形的面積.

注意到，

a2+b2+c2>4/3S

a2+b2+c2-2V3absinC>0

=a?++(。2+爐―2abcosC)-26absinC>0

=2(a2+b2-2absin(C+￡))>0.①

222

而Q2+b-2absin(C+強)>a+b—2ab>0,

故式①成立.

綜上，命題得證.

9.1202。年吉林預賽】已知正實數尤,y,z滿足(％+y+z)xyz=4.

222

求(x+y)+(y+z)+(z+x)的最小值.

【答案】8V3.

【解析】設;r+y=a,y+z=b,z+%=c.則a,b,c為三邊長構成△ABC.由

(x+y+z)xyz=4

=>J(x+y+z)xyz=2

=>Jp(p-a)(p-b)(p-c)=2,

其中,P=-(a+ft+c).

建立平面直角坐標系，設4(0,0),B(c,0),C(m,n).

則S/kBC=打同=2，且

(JT+y)2+(y+z)2+(z+x)2

=a2+b2+c2=(c—m)2+n2+m2+n2+c2

=2m2—2cm+2n2+2c2

=2(m—￡產+2n2+-c2

、2/2

n3OC

>2nz+(當且僅當m=-時等號成立)

>2V3c|n|

=8V3(當且僅當m=|n|=^-c時等號成立).

222/

因此，(%+y)+(y+z)+(z+%)的最小值為8d3.

10.【2020年四川預賽】設入為正實數，對于任意兩兩不等的正實數a、b、c,均有

-~7+~~~2+~-~7》入(。+b+C).

(b-c)(c-a)(a-b)

求之的最大值.

【答案】1

【解析】取a=；，力=；一￡,C=￡（0V￡<；）

（i）31

則一￡）+￡

二（界1

Ga/+2

對于任意的￡（0<￡<：）成立.

[3

注意至U,當￡T0+時（2）+A1+J=1.

G-2￡）

因此又＜1.

c上03人§3_

下證/=1成立，即證a7+o「+°r?>a+b+c

(b-c)(c-a)(a-fe)

不妨設a>b>c.可令a=c+x,b=c+y(x>y>0).

(c+x)3(c+y)3c3

則式①左邊二

y2x2(x-y)2

/+3久？c+3XC2+C，y3+3y2c+3yc?+c3?c?

r

yv2xy2十；(x—y)72

32

X3+3X2Cy+3yc

=x+y+6c

>x+y+3c

=a+b+c

從而4=1時結論成立.

綜上工的最大值為i.

「,2020

11.【2020年浙江預賽】設｛四｝,｛勺｝為實數列.證明：）一%24

乙m尸］（而+加

2022

、20202^ZV°1,7

【答案】證明見解析

20201

（-）4）.

Zm,n=l（疝+而）％

bn

(Vm+Vn)

1

豺）（(師+m)屏

202022

（承））

(bn

k(Vm+\/n)

m,n=l

2020

12

(am

^(Vm+Vn)管尸)

m,n=l

1

=中;。過：(Vm+Vn)2

2020

12

(bn

\y/m+Vn)倦為

m,n=l

12020

°2020f?XT1(/)，

=xn=1牡m=/(標+訴)2

從而只需證明:

_,2020

(如)

>1^(42,①

/,(Vm+Vn)

2020

(廠\(糜)

42②

(師+vn)

m=l

這兩個不等式是一樣的（m,ri對調）.

下面證明:

(2(③

式③等價于

1

(Vm+vn)2

11

<=>------------——

(Vwi+Vn)2Vn

<2屈-7n-1

、(Vn-l+V^w)(Vn+Vm)'

由(A/TI—1+Vni)(Vn+Vin)<(gH+Vn)2,

2(V^-Vn-l)=v-+^_I>^，

知最后的不等式成立.

對式③求和即得式①，得證.

12.【2020年新疆預賽】已知a,b,c,d為正實數，且Qb+be+cd+d。=1,

隸T-q3I、3,c3i/1

'1￡)+c+da+c+da+b+da+b+c-3

【答案】證明見解析

【解析】證明：由柯西不等式，可得：

左式x[a(b+c+d)+b(a+c+d)+c(a+b+d)+d(a+b+c')]>

(a2+b2+c2+d2)2

2

下證(a?+b。+/2+d「)之,(ab+ac+ad+bc+bd+cd)：

由ab+be+cd+da=1，可得a?+b2+c2+d2>1.

而ab+ac+ad+be+bd+cd=1+ac+bd<1+-(a2+c2)+

|(b2+d2)<|(a2+d2+c2+d2)故(M+*++d?)>a2+b2+

c2+d2>^(ah+ac+ad+hc+dd+cd)

Y2V2V2V2

&+上+N+M

13.【2019年新疆預賽】給定正實數0<a<b,設%1，尢2,霓3，冗4e試求x2x3x4X1

xl+x2+x3+x4

的最小值與最大值.

【答案】最小值和最大值分別為1和9+^-1.

【解析】⑴因為笨1，工2，M3，％4W［。,》］且0<a<b,所以有

^+X>2d.=2x

x2LXL1

2AJ2xt

v2|v2

君+巧之2J君?x3=2X2

疝冗心2H￡=2巧

言+%i22*.%i=2X4

#2y2y2v2

從而由君+君+,+,之*1+冗2+%3+無4,

并且等號成立當且僅當%1=X2=X3=x4?于是當=X2=X3=久4時取得

xt+x2+x3+x4

最小值1.

(ii)因為冗1，/2，％3,冗4w切且。<a<b,所以含wabX

bfa,其中久5=1

工修+令看一期+L

患+青+碧+籌工腎fT)Q1+冗2+%+”

M1H<

。+0—1

于是:xl+x2+x3+x4—a~b

并且等號成立當且僅當工1=a,x2=b,x3=a,x4=b或%】=b,x2=a，x3=b,x4=

22

X1X2

-+-

XX-

23的最大值為怖+

所以

xl+x2+x3+x4b

綜上所述,的最小值和最大值分別為1和1+?-1

b底

14.[2019年浙江預賽】設。〃力》>0（1工?工？1+1）,6計1—62工6>0（6為常數）.若

n

中]勾…%力與…?

葭產=1,證明<

Ebi+lbii

i=l

【答案】證明見解析

sLk-i

【解析】記.=azdps0=0,則有=

111—X

Tl

由已知=“住-含）+>

ZI守bi+l

n

2st

i=lbibi+l

i\Jcii（i2"'Ciibib2"'b（

（因為iSj>,?,?b1）>S

bibi+l

n______________

即

E小出2砧曲…與<

bi+lbil

i=l

15.【2019高中數學聯(lián)賽B卷（第02試）】設正實數a2,'',。100滿足Qi>

=1,2,…,50）.記4=酸+。竿與,（k=l,2,…,99）.證

明“1筠…瑞3<1

【答案】證明見解析

【解析】注意到。1，。2，一.，。100>°?對k1，2........99,由平均值不等式知0<

k

\。1+。2+…+。山，…

99

從而有與好…%瑞"FL=i哦+1(a1+a2+-+afc)<J]a含[①

人-^rV—X

記①式的右端為T,則對任意i=l,2,...,100,a在T的分子中的次數為，一1,在7的分母中的次數為

101

100-,^T=n-==

50

5"'

i=l

又0<a101_f<af(i=1,2,…聲。)，故為,

n結合①得％i均…舄3<r<i.

16.【2018年福建預賽】已知a,b,cWR,且3〃+3b2+4/=60.

(1)求a+b+c?的最大值

(2)若a,人G(0,4),c￡(0,6),求'-+=+羋的最小值

4-a4-b6-c

【答案】(1)V55(2)5

【解析】

(1)由柯西不等式，知

2

(a+b+c)2=(專.V3a+--V3b+1-2c)

+I)+(Il"療+(3+Q明2

=(1+(+；)(3a2+3b2+4c2)=(|+；)?60=40+15=55.

a4-h4-c<V55.

當且僅當耍=苧=竽>0,即a=b=篝時，等號成立.

：.a+b+c的最大值為局.

(2)由a,^￡(0,4),cC(0,6),知“，4—a,b,4—6,c,6—c均為正數，

a(4-a)<=4,6(4-b)<=4,c(4-c)<(￡jy:￡)2=9.

,a,b,3ca2,b2,c2

??------1-------1-----=----------1---------+--------

4-a4-b6-ca(4-a)b(4-b)c(4-c)

、a?,匕2c23a2+3b2+4c260

>-4-1--41-9------1-2--=-12=5.

又當a=b=2,c=3時，滿足〃，。￡(0,4),c￡(0,6),3a2+3/?2+4c2=60,且-^-+-^7+三=5.

4—a4—o6—c

+~~+揮的最小值為5.

4-a4-b6-c

17.【2018年貴州預賽】證明：（1）/+六+六+…+1（后2,kGN）；

（2）分別以1,i,i......i,……為邊長的正方形能互不重疊地全部放入一個邊長為?的正方形內.

23712

【答案】（D見解析（2）見解析

【解析】

證明.（1）—+-^—++???+---<—+—+—+—=—=1

U匚力.2k+2〃+1+2〃+2十+2k+」l《次+2"十十2k2?1

~77~

（2）由（1）知’￡+六+六+-+忌7<1

故以邊長為福，Wr，丸，…/7T的正方形可以并排放入底為1,高為盤的矩形內，而不重疊.

取上2,3,4....即得底分別為京+品?+…+品?,/+丸+…+六，/+/+…+￡p…，高

分別為3,之.....的一系列矩形,

24202，

這些矩形的底小于1,高的和為

擊（1一為

111111

=lim-(1——)<-

丞+了+圾x-82'2n2

7+…31-

因此，以1,]…為邊長的正方形中，除了邊長為1,1,1的正方形外，其余的正方形全部可

以放入底為1,高為T的矩形中.

而邊長為1,I1[的三個正方形顯然可以放入底為|,高為1的矩形內.

i2018

18.[2018年重慶預賽】設的=2,a=—Q+1.證明：1—</—<1.

n+1n20182018/，兀二1

【答案】見解析

【解析】

證明：由遞推式得an+i-1=-an=an(an-1)所以

1_11

an冊-1an+l-1

從而得

2018工=y2018______=]__

a

2_Jn=in^Jn=x'即一1。九+1-1，。201911

2

又的i+i-冊=(an-l)>0

得數列Sn｝單調遞增，所以On>ax=2.

20.8

-=i一一y<1

Zk=laka2019-1

由遞推式可得即=J1.從而

a4.i-1?

…即=^n-=即+[-1.

由均值不等式及已證結論有

1>1\"1二廠1

nn乙k=l―Vaia2-an

n

所以的?a2…0n>n

特別地做019一1=%?。2…%)18>20182018

故2仁]￡=1_嬴=>1_20182018

19.【2018年陜西預賽】設a,b,c>0.證明：牛世+弛生色+叱等2ab+be+ca.

b+cc+aa+b

【答案】見解析

【解析】

由對稱性不妨設aWbWc,則工匕4――<

b+cc+aa+b

當a2+be<b2+ca<c2+ab時，即Q+b>c時,

由切比雪夫不等式3LHS>(公+盤+捻)(。2+b2+c2+ab+he4-ca).

由Nesbi"不等式知F+二+久卻.

b+cb+ca+b2

且易知小-+?b24-c2>a/?4-be4-ca.

故3L"S>1-2(ab+be+ca)?LHS>ah+be+ca.

當且僅當Q=b=c時，等號成立.

當a+bVc時，>c2-hab>C(Q+b)+ab=ab+兒+ca,

顯然有LHS>ab-Fbe-Fca.

綜上所述，原不等式成立.

20.【2018年陜西預賽】設a,b,c>0.證明：絲普。+生竺竺竺+絲！魯？ab+be+ca.

b+cc+aa+b

【答案】見解析

【解析】

由對稱性不妨設aWbWe則公三高士意.

當M+be<h2+ca<c24-ab時，即Q4-d>c時,

由切比雪夫不等式3LHS>(熱+士+意)(a2-1-b2+c2+ab+be+ca).

由Nesbitt不等式知言+卷+忠2|.

且易知a?-pb2+c2>ab+be+ca.

故3L，S>j?2(ab+be+ca)<=>LHS>ah+be+ca.

當且僅當Q=b=c時，等號成立.

當Q+/?<c時，"；：：>)>c2+ab>c(a+b)+ab=ab+be+ca,

顯然有L”S>ab+be+ca.

綜上所述，原不等式成立.

21.【2018年陜西預賽】設a,b,c>0.證明：產出?十八"皙)+￡(〃+*之帥+0c+ca.

b+cc+aa+b

【答案】見解析

【解析】

由對稱性不妨設aWbWc,則卷工含三怠.

當M4-be<624-ca<c2+ab時，即a+b>c時,

由切比雪夫不等式3L//S>(急+￡+￡)(a2+〃+/+泌+兒+ca).

由Nes甌不等式知自+白+捻.

且易知小+匕2+。2之。人+be+ca.

故3L"S>|-2(ah+be+ca)=LHSNab+be+ca.

當且僅當Q=b=c時，等號成立.

當a+bVc時，+'川)>c2ab>c(a+b)+ab=ab+be+ca,

a+b

顯然有LHS>ab+be+ca.

綜上所述，原不等式成立.

22.【2018年安徽預賽】⑴求證：對于任意實數X、y^ztfWx2+2y24-3z2>V3(xy4-yz4-zx).

⑵是否存在實數k>H,使得對于任意實數x、y、z有/+2y2+3z22k(xy+yz+zx)恒成立？試證明

你的結論.

【答案】(1)見解析(2)見解析.

【解析】

⑴由均值不等式，可知?+券之聲孫，^+^>V3xz,^+^>V3yz.

故有%2+2y2+3z2>V3(xy+yz+zx).

(2)x2+2y2+3z2—k(xy+yz+zx)=—|y—gz)+僅-+(3-z2—+k^yz.

上式K)恒成立，當且僅當2-f20且(9+Ze/W4(2-(3-

化簡得網<2注且A+6k2<24.故存在k>百滿足要求.

23.【2018年湖北預賽】已知正數a、b滿足a+b=1,求M=01+2a2+2旗1十爐的最小值.

【答案】等

【解析】

由柯西不等式可得(2a2+1)(1+A2)>(a+A)2,

從+信)[(1+〃2)2伍+》)2,

所以

M=Vm^+2忌而N禽+2.①

取等號的條件分別為

4a2=看②

③

時，有〃2=4"+1,結合②③得

(1+■=("

又a+b=l,所以/+6*=(得)2,整理得

144b4-288b3+263b2+50b-25=0,

故

(4b-1)(36/-63b2+50b4-25)=0.④

i己f(b)=36b3-63b2+50b+25,則

r(b)=108b2-126b+50=108(b-^)2+^>0,

所以f(b)在(0,1)上為增函數，故當0<b<l時，

/(h)>/(0)=25>0.

于是，由④可得b=；,從而a=；

44

代入②③求得4=|,〃=|.

代入①式，整理得M2等，因此M的最小值為等.

24.【2018年吉林預賽】設x,y,zX),且至多有一個為0,求/(x,y,z)=富+

度樂最小直

【答案】12

【解析】

不妨設x>y>z.

情形一：當256y32/z時，因為至答_)=零黑［孕？0；

y2+z2y2(y2+z2)y2

yz+2S6zxy2z(256x3-y2z)

>0；

z2+x2x2(z2+x2)x2

22

z+256xy256xyz、八

------2------2-----------2------2--=---2------2-->(J

x+yx+yx+y一

所以++離三+9+16信

x2+y2xyxy

>3V64=12

xyx2+y2x2+y2

當且僅當x:y=(2+V5):1,月.z=0時，f(%,y,z)取到12.

情形二：當256y3<x2z時，又％2名4/y,故256y3V/,，從而256y2V/

lx2+256yzly2+256zxlz2+256xy

yjy2+z2{z2+x2yjx2+y2

22

>Jxy+22+5z62yz+0+0>J256產y+z2256yz

\y2+yz

16>16>12.

y2+z2

綜上，f(%,y,Z)min=12.

25.【2018年河北預賽】若a、b、c為正數且a+6+c=3,證明：ab+be+ca<VH+VF+VF43

【答案】見解析

【解析】

因為M>3Va^=3a,

同理乃+VF+爐>3=3b

Vc4-Vc+c2>3^fc^=3c

三式相加得2(6+VF+Vc)+a2+爐+c2)3(Q+臺+C)=9=(Q+b+C)?

所以2(VH+VF+Vc)>(a+b+c)2—a2—b2—c2=2(ah+be+ac)

故ab+bc+ac<Va4-V