異方差時間序列模型

關于異方差時間序列模型Contents第一節(jié)問題的提出第二節(jié)ARCH模型第三節(jié)GARCH模型第四節(jié)其他GARCH模型第2頁,共49頁，2024年2月25日，星期天第一節(jié)

問題的提出

在自回歸移動平均模型中，我們主要討論平穩(wěn)時間序列的建模問題，由于針對平穩(wěn)序列，實際上假定任一時點的隨機誤差項的期望值是相同的，一般為0，同時假定任一隨機誤差項平方的期望值就是隨機誤差的方差，即同方差。但是在金融市場上，金融資產(chǎn)報酬序列具有這樣的特性，大的報酬緊連著大的報酬，小的報酬緊連著小的報酬，稱為波動集群性(Mandelbrot,1963、Fama,1965)。波動集群性表明股票報酬波動是時變的，表明是異方差。異方差雖然不會影響回歸系數(shù)的最小二乘估計的無偏性，但是將影響到回歸系數(shù)估計的標準差和置信區(qū)間。例如，匯率，股票價格常常用隨機游走過程描述，第3頁,共49頁，2024年2月25日，星期天其中ut為白噪聲過程。1995-2000年日元兌美元匯率時間序列及差分序列見圖1和圖2。圖1日元兌美元匯率序列JPY(1995-2000)

圖2日元兌美元匯率差分序列(收益)D(JPY)第4頁,共49頁，2024年2月25日，星期天圖3收益絕對值序列(1995-2000)圖4D(JPY)的平方(1995-2000)

這種序列的特征是（1）過程的方差不僅隨時間變化，而且有時變化得很激烈。（2）按時間觀察，表現(xiàn)出“波動集群”（volatilityclustering）特征，即方差在一定時段中比較小，而在另一時段中比較大。（3）從取值的分布看表現(xiàn)的則是“高峰厚尾”（leptokurtosisandfat-tail）特征，即均值附近與尾區(qū)的概率值比正態(tài)分布大，而其余區(qū)域的概率比正態(tài)分布小。圖5給出高峰厚尾分布示意圖。圖6給出一個高峰厚尾分布實例。第5頁,共49頁，2024年2月25日，星期天第6頁,共49頁，2024年2月25日，星期天顯然現(xiàn)期方差與前期的“波動”有關系。描述這類關系的模型稱為自回歸條件異方差（ARCH）模型（Engle1982年提出）。使用ARCH模型的理由是：（1）通過預測xt或ut的變化量評估股票的持有或交易對收益所帶來的風險有多大，以及決策的代價有多大；（2）可以預測xt的置信區(qū)間，它是隨時間變化的；（3）對條件異方差進行正確估計后可以使回歸參數(shù)的估計量更具有有效性。第7頁,共49頁，2024年2月25日，星期天為了說得更具體，讓我們回到k-變量回歸模型：如果ut的均值為零，對yt取基于(t-1)時刻的信息的期望，即Et-1(yt)，有如下的關系：由于yt的均值近似等于式（1）的估計值，所以式（1）也稱為均值方程。(1)(2)第8頁,共49頁，2024年2月25日，星期天假設在時刻(t1)所有信息已知的條件下，擾動項ut的條件分布是：

也就是，ut遵循以0為均值，(

0+1u2t-1

)為方差的正態(tài)分布。由于(3)中ut的方差依賴于前期的平方擾動項，我們稱它為ARCH(1)過程：(3)通常用極大似然估計得到參數(shù)

0,

1,

2,

,

k,

0,

1的有效估計。第9頁,共49頁，2024年2月25日，星期天第二節(jié)ARCH模型一、ARCH模型的定義若一個平穩(wěn)隨機變量xt可以表示為AR(p)形式，其隨機誤差項的方差可用誤差項平方的q階分布滯后模型描述，（1）（2）則稱ut

服從q階的ARCH過程，記作ut

ARCH(q)。其中(1)式稱作均值方程，(2)式稱作ARCH方程。第10頁,共49頁，2024年2月25日，星期天(1)和(2)式還應滿足如下條件。對于(1)式，為保證平穩(wěn)性，特征方程的根應在單位圓之外。xt的條件期望是xt

的無條件期望（T

時）是對于(2)式，由于

的非負性，對

i應有如下約束，當全部

i=0,i=1,2,…,q時，條件方差

。因為方差是非負的，所以要求

0>0。為保證

是一個平穩(wěn)過程，(2)式的特征方程第11頁,共49頁，2024年2月25日，星期天的根應在單位圓之外。對

i,i=1,2,…,q的另一個約束是對（2）式求期望的：則無條件方差為：可見若保證是一個平穩(wěn)過程，應該有約束0

(

1+

2+…+

q)<1。因為Var(xt)=Var(ut)=

，所以上式可以用來預測xt的方差。當T→∞時：第12頁,共49頁，2024年2月25日，星期天

二、ARCH模型的極大似然估計ARCH模型經(jīng)常應用在回歸模型中。其中

=(

0

1,…,

k-1)‘,xt=(1x1,…,xk-1)’（xt的分量也可以包括yt的滯后變量），ut

ARCH(q)。為計算方便，假定已知yt,xt的T+q組觀測值，從而保證估計參數(shù)所用的樣本容量為T。ut

ARCH(q)可以表示為：其中vt

IID(0,1)，vt與xt相互獨立，所以有

，E(ut)=0。yt服從正態(tài)分布，概率密度函數(shù)為第13頁,共49頁，2024年2月25日，星期天其中：用參數(shù)

和

=(

0

1

2…

q)'組成參數(shù)向量

，對數(shù)似然函數(shù)是:求

的極大似然估計量就是求使logL(

)在

=處獲得極大值。求logL(

)對

的偏導數(shù)，第14頁,共49頁，2024年2月25日，星期天第15頁,共49頁，2024年2月25日，星期天在上式為零條件下求到的即是

的極大似然估計量。具有一致性。第16頁,共49頁，2024年2月25日，星期天

三、ARCH模型檢驗在均值方程（回歸模型或時間序列模型）的誤差項中是否存在自回歸條件異方差應該進行假設檢驗。檢驗ARCH可以使用F、LM、LR、W統(tǒng)計量。下面介紹F、LM檢驗。1、自回歸條件異方差的LM檢驗。①建立原假設H0：

1=

2=…=

q=0（不存在ARCH）H1：

1,

2,…,

q不全為零在原假設成立條件下，OLS估計量是一致的、有效的；在備擇假設成立條件下，OLS估計量是一致的，但不是有效的。先介紹使用LM統(tǒng)計量檢驗H0。因為計算LM統(tǒng)計量的值，只需估計原假設成立條件下的方程。具體步驟是：第17頁,共49頁，2024年2月25日，星期天②估計，求，計算。③估計輔助回歸式④用第3步得到的可決系數(shù)R2構成統(tǒng)計量LM=TR2。其中T表示輔助回歸式的樣本容量。在原假設成立條件下有若LM<，接受H0。若LM>

，接受H1。注意：輔助回歸式中要有常數(shù)項

0。第18頁,共49頁，2024年2月25日，星期天2、自回歸條件異方差的F檢驗。①建立原假設

H0：

1=

2=…=

q=0（不存在ARCH）

H1：

1,

2

,…,

q不全為零②估計yt=xt‘

+ut，求，計算。③用估計2個輔助回歸式④構造F統(tǒng)計量，在原假設成立條件下有注意：輔助回歸式中要有常數(shù)項

0。

若F<F,(q,T–q-1)，接受H0。若F>F,(q,T-q-1)，接受H1。（約束模型，同方差）（非約束模型，存在ARCH）第19頁,共49頁，2024年2月25日，星期天3、自回歸條件異方差的LR檢驗。①建立原假設

H0：

1=

2=…=

q=0（不存在ARCH）

H1：

1,

2

,…,

q不全為零②估計yt=xt‘

+ut，求，計算。③用估計2個輔助回歸式，并計算極大似然函數(shù)值LogLr和LogLu④用LogLr和LogLu構造LR統(tǒng)計量，在原假設成立條件下有（約束模型，同方差）（非約束模型，存在ARCH）

若，接受H0。若，接受H1。如果結論是應該建立ARCH模型，則進一步應該對ARCH模型的階數(shù)q進行檢驗。對此可采用t檢驗。第20頁,共49頁，2024年2月25日，星期天4、自回歸條件異方差的Q檢驗。殘差平方意味著方差，若存在自相關，說明存在自回歸條件異方差。第21頁,共49頁，2024年2月25日，星期天四、ARCH模型檢驗（EViews操作案例）1995.1-2000.8日元兌美元匯率值（1427個）序列（JPY）見圖。極小值為81.12日元，極大值為147.14日元。其均值為112.93日元，標準差是13.3日元。1995年4月曾一度達到81.12日元兌1美元。1998年8月達到147.14日元兌1美元。JPY顯然是一個非平穩(wěn)序列。JPY的差分序列D(JPY)表示收益，見圖9.2。因為D(JPY)是平穩(wěn)序列，用D(JPY)建立時間序列模型。第22頁,共49頁，2024年2月25日，星期天通過相關圖和偏自相關圖分析，應該建立AR(3)或MA(3)模型。建立AR(3)模型如下：(2.0)(-3.3)R2=0.01，DW=1.91，Q(15)=8.6第23頁,共49頁，2024年2月25日，星期天

方法1：通過Q檢驗考察AR(3)模型中是否存在自回歸條件異方差。第24頁,共49頁，2024年2月25日，星期天

方法2：ARCH的LM檢驗。在均值方程估計窗口，選ARCH的LM檢驗。用1階檢驗式檢驗。(9.4)(9.9)R2=0.0643,T=1423第25頁,共49頁，2024年2月25日，星期天

方法3、4：自回歸條件異方差的F檢驗和LR檢驗。用參差平方序列1階自回歸檢驗式做參數(shù)約束的F檢驗和LR檢驗第26頁,共49頁，2024年2月25日，星期天

例中國CPI模型的ARCH檢驗

本例建立CPI模型，因變量為中國的消費價格指數(shù)（上年同月=100）減去100，記為cpit；解釋變量選擇貨幣政策變量：狹義貨幣供應量M1的增長率，記為m1rt；3年期貸款利率，記為Rt，樣本期間是1994年1月～2007年12月。由于是月度數(shù)據(jù)，利用X-12季節(jié)調整方法對cpit和m1rt進行了調整，結果如下：t=(19.5)(-5.17)(2.88)(-2.74)R2=0.99對數(shù)似然值

=-167.79AIC=2.045SC=2.12第27頁,共49頁，2024年2月25日，星期天

這個方程的統(tǒng)計量很顯著，擬合的程度也很好。但是觀察該回歸方程的殘差圖，也可以注意到波動的“成群”現(xiàn)象：波動在一些時期內較小，在其他一些時期內較大，這說明誤差項可能具有條件異方差性。第28頁,共49頁，2024年2月25日，星期天

從自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)可以看出：殘差序列存在著一階ARCH效應。再進行條件異方差的ARCHLM檢驗，得到了在滯后階數(shù)p=1時的ARCHLM檢驗結果：

因此計算殘差平方?t2的自相關（AC）和偏自相關（PAC）系數(shù)，結果如下：第29頁,共49頁，2024年2月25日，星期天

從自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)可以看出：殘差序列存在著一階ARCH效應。因此利用ARCH(1)模型重新估計模型，結果如下：均值方程：

z=(12.53)(-1.53)(4.72)(-3.85)

方差方程：

z=(5.03)(3.214)

R2=0.99對數(shù)似然值=-151.13AIC=1.87SC=1.98

方差方程中的ARCH項的系數(shù)是統(tǒng)計顯著的，并且對數(shù)似然值有所增加，同時AIC和SC值都變小了，這說明ARCH(1)模型能夠更好的擬合數(shù)據(jù)。第30頁,共49頁，2024年2月25日，星期天

再對這個方程進行條件異方差的ARCHLM檢驗，得到了殘差序列在滯后階數(shù)p=1時的統(tǒng)計結果：此時的相伴概率為0.69，接受原假設，認為該殘差序列不存在ARCH效應，說明利用ARCH(1)模型消除了殘差序列的條件異方差性。殘差平方相關圖的檢驗結果為：自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)近似為0。這個結果也說明了殘差序列不再存在ARCH效應。

第31頁,共49頁，2024年2月25日，星期天第三節(jié)GARCH模型一、GARCH模型定義擾動項ut的方差常常依賴于很多時刻之前的變化量（特別是在金融領域，采用日數(shù)據(jù)或周數(shù)據(jù)的應用更是如此）。因此必須估計很多參數(shù)，而這一點很難精確的做到。但是如果我們能夠意識到方差方程不過是

t2的分布滯后模型，我們就能夠用一個或兩個

t2的滯后值代替許多ut2的滯后值，這就是廣義自回歸條件異方差模型(GeneralizedAutoRegressiveConditionalHeteroscedasticitymodel，簡記為GARCH模型)。在GARCH模型中，要考慮兩個不同的設定：一個是條件均值，另一個是條件方差。第32頁,共49頁，2024年2月25日，星期天

在標準化的GARCH(1,1)模型中：均值方程：方差方程：其中：xt是(k+1)×1維外生變量向量，

是(k+1)×1維系數(shù)向量。均值方程是一個帶有擾動項的外生變量函數(shù)。由于

t2是以前面信息為基礎的一期向前預測方差，所以它被稱作條件方差，也被稱作條件方差方程。第33頁,共49頁，2024年2月25日，星期天條件方差方程是下面三項的函數(shù)：

1．常數(shù)項（均值）：

2．用均值方程的擾動項平方的滯后來度量從前期得到的波動性的信息：ut-12（ARCH項）。

3．上一期的預測方差：

t2-1

（GARCH項）。

GARCH(1,1)模型中的(1,1)是指階數(shù)為1的GARCH項（括號中的第一項）和階數(shù)為1的ARCH項（括號中的第二項）。一個普通的ARCH模型是GARCH模型的一個特例，GARCH(0,1)，即在條件方差方程中不存在滯后預測方差

t2-1的說明。第34頁,共49頁，2024年2月25日，星期天

在EViews中ARCH模型是在擾動項是條件正態(tài)分布的假定下，通過極大似然函數(shù)方法估計的。例如，對于GARCH(1,1)，t時期的對數(shù)似然函數(shù)為：其中這個說明通常可以在金融領域得到解釋，因為代理商或貿易商可以通過建立長期均值的加權平均（常數(shù)），上期的預期方差（GARCH項）和在以前各期中觀測到的關于變動性的信息（ARCH項）來預測本期的方差。如果上升或下降的資產(chǎn)收益出乎意料地大，那么貿易商將會增加對下期方差的預期。這個模型還包括了經(jīng)?？梢栽谪攧帐找鏀?shù)據(jù)中看到的變動組，在這些數(shù)據(jù)中，收益的巨大變化可能伴隨著更進一步的巨大變化。第35頁,共49頁，2024年2月25日，星期天

有兩個可供選擇的方差方程的描述可以幫助解釋這個模型：

1．如果我們用條件方差的滯后遞歸地替代方差方程的右端，就可以將條件方差表示為滯后擾動項平方的加權平均：我們看到GARCH(1,1)方差說明與樣本方差類似，但是，它包含了在更大滯后階數(shù)上的，擾動項的加權條件方差。第36頁,共49頁，2024年2月25日，星期天2．設vt=ut2

t2。用其替代方差方程中的方差并整理，得到關于擾動項平方的模型：因此，擾動項平方服從一個異方差ARMA(1,1)過程。決定波動沖擊持久性的自回歸的根是

加

的和。在很多情況下，這個根非常接近1，所以沖擊會逐漸減弱。第37頁,共49頁，2024年2月25日，星期天

高階GARCH(p,q)模型高階GARCH模型可以通過選擇大于1的p或q得到估計，記作GARCH(p,q)。其方差表示為：

這里，p是GARCH項的階數(shù)，q是ARCH項的階數(shù)，p>0并且,

(L)和

(L)是滯后算子多項式。第38頁,共49頁，2024年2月25日，星期天

為了使GARCH(q,p)模型的條件方差有明確的定義，相應的ARCH(∞)模型的所有系數(shù)都必須是正數(shù)。只要

(L)和

(L)沒有相同的根并且

(L)的根全部位于單位圓外，那么當且僅當

0=

0/(1-

(L))，

(L)=

(L)/(1-

(L))的所有系數(shù)都非負時，這個正數(shù)限定條件才會滿足。例如，對于GARCH(1,1)模型這些條件要求所有的3個參數(shù)都是非負數(shù)。第39頁,共49頁，2024年2月25日，星期天

GARCH模型的檢驗當原假設H0是ARCH(0)時，顯然備擇假設H1有兩個。一個是ARCH(r)，一個是GARCH(r,0)。若原假設H0是ARCH(1)，則備擇假設H1可以是ARCH(1+r)，也可以是GARCH(r,1)。同理若原假設H0是ARCH(q)，備擇假設H1可以有兩個。ARCH(q+r)和GARCH(r,q)。LM統(tǒng)計量無法區(qū)別這兩個備擇假設。但仍然可以做LM檢驗。在實際應用中，備擇假設既可以是ARCH，也可以是GARCH。對于q值很大的ARCH模型，建議使用GARCH模型。在實際應用中，GARCH(1,1)和GARCH(2,1)一般足以滿足對自回歸條件異方差的描述。第40頁,共49頁，2024年2月25日，星期天第四節(jié)

其他GARCH模型一、IGARCH模型

對于ARCH(p)

模型和GARCH(p,q)

模型，在實際應用中，條件有時不能得到滿足。下面以GARCH(1,1)模型為例進行討論。（保證可以轉換成無限階的ARCH過程）（保證GARCH過程平穩(wěn)）第41頁,共49頁，2024年2月25日，星期天用分別表示對

1,

1的估計。有時會出現(xiàn)甚至，。例如Engle-Chowdury（1992）對IBM收益率序列估計時，得如下結果，第42頁,共49頁，2024年2月25日，星期天2．回推在計算GARCH模型的回推初始方差時，首先用系數(shù)值來計算均值方程中的殘差，然后計算初始值的指數(shù)平滑算子（6.1.30）其中：是來自均值方程的殘差，是無條件方差的估計：（6.1.31）平滑參數(shù)λ為0.1至1之間的數(shù)值。也可以使用無條件方差來初始化GARCH過程：（6.1.32）第43頁,共49頁，2024年2月25日，星期天6.1.6GARCH模型的殘差分布假設在實踐中我們注意到，許多時間序列，特別是金融時間序列的無條件分布往往具有比正態(tài)分布更寬的尾部。為了更精確地描述這些時間序列分布的尾部特征，還需要對誤差項ut的分布進行假設。GARCH模型中的擾動項的分布，一般會有3個假設：正態(tài)（高斯）分布、學生t-分布和廣義誤差分布（GED）。給定一個分布假設，GARCH模型常常使用極大似然估計法進行估計。下面分別介紹這3種分布，其中的

代表參數(shù)向量。

1．對于擾動項服從正態(tài)分布的GARCH(1,1)模型，它的對數(shù)似然函數(shù)為（6.1.33）這里的

t2是ut的條件方差。第44頁,共49頁，2024年2月25日，星期天2．如果擾動項服從學生t分布，GARCH(1,1)模型的對數(shù)似然函數(shù)的形式就是

（6.1.34）這樣，參數(shù)的估計就變成了在自由度k>2的約束下使對數(shù)似然函數(shù)（6.1.34）最大化的問題。當k

時，學生t-分布接近于正態(tài)分布。