四川省遂寧市2024屆高三第三次診斷考試數(shù)學(xué)理科試題含答案

遂寧市高中2024屆三診考試數(shù)學(xué)（理科）試題本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分?？偡?50分?？荚嚂r(shí)間120分鐘。第Ⅰ卷（選擇題，滿分60分）注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)用0.5毫米的黑色墨水簽字筆填寫在答題卡上。并檢查條形碼粘貼是否正確。2．選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上，非選擇題用0.5毫米黑色墨水簽字筆書寫在答題卡對(duì)應(yīng)框內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。3．考試結(jié)束后，將答題卡收回。一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．已知集合，，則A．B．C．D．2．已知復(fù)數(shù)，則A．B．C．D．3．下列函數(shù)中，既是周期函數(shù)又是偶函數(shù)的是A．B．C．D．4．設(shè)雙曲線（）的漸近線方程為，則實(shí)數(shù)的值為A．6B．4C．3D．25．某公司研發(fā)新產(chǎn)品投入（單位：百萬）與該產(chǎn)品的收益（單位：百萬）的5組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：由表中數(shù)據(jù)求得投入金額與收益滿足回歸方程，則下列結(jié)論不正確的是5689121620252836A．與有正相關(guān)關(guān)系B．回歸直線經(jīng)過點(diǎn)C．D．時(shí)，殘差為0.26．設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是A．若，，，則 B．若，，，則C．若，為異面直線，，，則D．若，，則與所成的角和與所成的角互余7．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)都有.當(dāng)時(shí)，.則的值為A．0B．1C．D．8．已知函數(shù)，把的圖象向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象，則A．是偶函數(shù)B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．在上單調(diào)遞增D．不等式的解集為9．若是區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．或B．C．D．10．在中，分別是角的對(duì)邊，若，則的值為A．2023 B．2024C．2025 D．202611．已知正四面體的棱長為4，動(dòng)點(diǎn)滿足,且，則點(diǎn)的軌跡長為A．B．C．D．12．過拋物線的焦點(diǎn)作直線，與交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），與軸正半軸交于點(diǎn)，為中點(diǎn)，且，又點(diǎn)，曲線上任意一點(diǎn)滿足，過定點(diǎn)的直線與拋物線和曲線的四個(gè)交點(diǎn)從上到下依次為，則的最小值為A．8B．12C．13D．14第Ⅱ卷（非選擇題，滿分90分）注意事項(xiàng)：1．請(qǐng)用藍(lán)黑鋼筆或圓珠筆在第Ⅱ卷答題卡上作答，不能答在此試卷上。2．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分.）13．已知平面向量，，若向量與共線，則14．已知實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最大值為15．已知圓上一點(diǎn)，現(xiàn)將點(diǎn)繞圓心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為16．已知函數(shù),若的最大值為，則實(shí)數(shù)的取值構(gòu)成的集合為三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17—21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考試根據(jù)要求作答.17．（12分）某工廠為了檢查一條流水線產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)值K，隨機(jī)抽取流水線上的20件產(chǎn)品作為樣本測(cè)出該項(xiàng)指標(biāo)值K，指標(biāo)值K的分組區(qū)間為，，…，．由此得到樣本的頻率分布直方圖（如下圖）．（1）估計(jì)該產(chǎn)品指標(biāo)值K的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）在上述抽取的20件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)為指標(biāo)值超過65的產(chǎn)品數(shù)量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.▲18．（12分）中，,，為的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求二面角的余弦值.▲19．（12分）已知點(diǎn)集，其中，點(diǎn)為與軸的公共點(diǎn)，等差數(shù)列的公差為1．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在整數(shù)，使對(duì)任意正整數(shù)都成立？若存在，求的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.▲20．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）若方程在上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.▲21．（12分）已知橢圓具有如下光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線射向橢圓上任一點(diǎn)，經(jīng)橢圓反射后必經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)．若從橢圓的左焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過兩次反射之后回到點(diǎn)，光線經(jīng)過的路程為8，且橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線交橢圓于兩點(diǎn)，若中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的方程;（3）設(shè)直線不過坐標(biāo)原點(diǎn)且不垂直于坐標(biāo)軸，直線與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為弦的中點(diǎn)．過點(diǎn)作直線的垂線交橢圓于兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)．直線與直線交于，若，求的最大值．▲選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做第一題計(jì)分.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程以及直線的直角坐標(biāo)方程；（▲（10分）已知關(guān)于的不等式有解.（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若均為正數(shù)，為的最大值，且.求證：.▲

遂寧市高中2024屆三診考試數(shù)學(xué)（理科）試題參考答案及評(píng)分意見一、選擇題（12×5=60分）123456789101112BDBACCDBACDD13．14．315．16．三、解答題（共70分）17.解：（1）該產(chǎn)品指標(biāo)值K的平均值：.........5分（2）指標(biāo)值K超過65的頻率為..............................................................................6分20件產(chǎn)品中指標(biāo)值超過65的件數(shù)為：件...........................................7分,,所以，分布列為X012P...........10分................................................................12分18.

解：（1）證明：所以................................................2分所以，因?yàn)椋?所以，.........4分因?yàn)?，面PAD面ABCD，面ABCD，面PAD面ABCD=AD所以，面PAD，所以，.............................5分OMEOMEEOABCDOE（2）由（1）知，因?yàn)椋炙?，面ABCD........................................................................7分法一：連接AC,取AC中點(diǎn)O,則,所以面ABCD作,垂足為E,連接ME,則為二面角的平面角...........................................................................................................................................9分因?yàn)椋?，所以?所以，，所以又,所以,所以.........12分xZ法二：xZ在面ABCD內(nèi)作,以AB、Ay、AP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系易知面ABCD的法向量為.....................................8分因?yàn)椋裕?設(shè)面MAD的法向量為，所以，.................................................................10分...............................................................12分19．【詳解】（1）由，得，直線.................................................................................................................1分，即..............................................................................................3分由等差數(shù)列的公差為1，得.........................................................................................................................4分..........................................................................................................5分（2）設(shè)................................................................6分則.............................................................................................7分............................................................8分，.................................................................................................................9分恒成立，且....................................................................................................................11分存在整數(shù)，使對(duì)任意正整數(shù)都成立，且的最小值為3..12分20．（1）.............................2分所以，，又，切點(diǎn)所以，切線方程為：.....................................................................................4分（2）方程有2個(gè)不等實(shí)數(shù)根函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)椋裕?................................................................................................6分令，得①當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增所以，在處取到極大值，在處取到極小值，要使有2個(gè)零點(diǎn)，須所以，...............................................................................................................8分②當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意.......................................................................................................................9分③當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增求得，在處取到極小值，在處取到極大值，要使有2個(gè)零點(diǎn)，須所以，.（舍去）..........................................................................................11分綜上，的取值范圍為，....................................................................12分21．解：（1）由題意........................................................................2分故，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為...............................3分（2）由題意得，直線的斜率存在,設(shè)，則，兩式相減得.......................................4分所以，因?yàn)橹悬c(diǎn)坐標(biāo)為在橢圓內(nèi)部，所以.......................................................................................................................5分故直線的方程為........................................................................................6分（3）因?yàn)橹本€不過坐標(biāo)原點(diǎn)且不垂直于坐標(biāo)軸，所以．設(shè)點(diǎn)，所以,由題意得，，相減得.................................................7分所以，所以，所以.....................................................................................................................8分所以，

同理得，，又，相乘得，，

因?yàn)椋裕?/p>

則的方程為，直線DE的方程為,直線ON的方程為......................................................................................9分聯(lián)立得，，

故.........................................................................10分又.........................................................................................11分當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，又，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，故的最大值為...........................................................12分22．（1）由題意得，曲線，即，曲線C的極坐標(biāo)方程為.............................................................2分直線l的極坐標(biāo)方程為，直線l的直角坐標(biāo)方程為.......................................