人教版高中數(shù)學(xué)《排列組合與概率》教案

兩個(gè)基本原理

一、教學(xué)目標(biāo)

1、知識(shí)傳授目標(biāo)：正確理解和掌握加法原理和乘法原理

2、能力培養(yǎng)目標(biāo)：能準(zhǔn)確地應(yīng)用它們分析和解決一些簡單的問題

3、思想教育目標(biāo)：發(fā)展學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決

問題的能力

二、教材分析

1.重點(diǎn)：加法原理，乘法原理。解決方法：利用簡單的舉例得

到一般的結(jié)論.

2.難點(diǎn)：加法原理，乘法原理的區(qū)分。解決方法：運(yùn)用對(duì)比的方法比

較它們的異同.

三、活動(dòng)設(shè)計(jì)

1.活動(dòng)：思考，討論，對(duì)比，練習(xí).

2.教具：多媒體課件.

四、教學(xué)過程正

1.新課導(dǎo)入

隨著社會(huì)發(fā)展，先進(jìn)技術(shù)，使得各種問題解決方法多樣化，高標(biāo)

準(zhǔn)嚴(yán)要求，使得商品生產(chǎn)工序復(fù)雜化，解決一件事常常有多種方法完

成，或幾個(gè)過程才能完成。

排列組合這一章都是討論簡單的計(jì)數(shù)問題，而排列、組合的基礎(chǔ)

就是基本原理，用好基本原理是排列組合的關(guān)鍵.

2.新課

我們先看下面兩個(gè)問題.

(1)從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船.

天中，火車有4班，汽車有2班，輪船有3班，問一天中乘坐這些

交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？

板書：圖

因?yàn)橐惶熘谐嘶疖囉?種走法，乘汽車有2種走法，乘輪船有3

種走法，每一種走法都可以從甲地到達(dá)乙地，因此，一天中乘坐這些

交通工具從甲地到乙地共有4十2十3=9種不同的走法.

一般地，有如下原理：

加法原理：做一件事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法

中有0種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，

在第n類辦法中有inn種不同的方法.那么完成這件事共有N=m1十

m2H-----knin種不同的方法.

(2)我們?cè)倏聪旅娴膯栴}：

由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條.從A

村經(jīng)B村去C村，共有多少種不同的走法？

板書：圖

這里，從A村到B村有3種不同的走法，按這3種走法中的每一

種走法到達(dá)B村后，再從B村到C村又有2種不同的走法.因此，從

A村經(jīng)B村去C村共有3X2=6種不同的走法.

一般地，有如下原理：

乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有?

種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有叫

種不同的方法.那么完成這件事共有N=nhuh…in”種不同的方法.

例1書架上層放有6本不同的數(shù)學(xué)書，下層放有5本不同的語

文書.

1)從中任取一本，有多少種不同的取法？

2)從中任取數(shù)學(xué)書與語文書各一本，有多少的取法？

解(1)從書架上任取一本書，有兩類辦法：第一類辦法是從上層取

數(shù)學(xué)書，可以從6本書中任取一本，有6種方法；第二類辦法是從下

層取語文書，可以從5本書中任取一本，有5種方法.根據(jù)加法原理,

得到不同的取法的種數(shù)是6+5=11.

答：從書架L任取一本書，有11種不同的取法.

(2)從書架上任取數(shù)學(xué)書與語文書各一本，可以分成兩個(gè)步驟

完成：第一步取一本數(shù)學(xué)書，有6種方法；第二步取一本語文書，有

5種方法.根據(jù)乘法原理，得到不同的取法的種數(shù)是N=6X5=30.

答：從書架上取數(shù)學(xué)書與語文書各一本，有30種不同的方法.

練習(xí)：一同學(xué)有4枚明朝不同古幣和6枚清朝不同古幣

1)從中任取一枚，有多少種不同取法？2)從中任取明清古幣各

一枚，有多少種不同取法？

例2(1)由數(shù)字1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)數(shù)字允許重復(fù)三位

數(shù)？

(2)由數(shù)字1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)數(shù)字不允許重復(fù)

三位數(shù)?

(3)由數(shù)字0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)數(shù)字不允許重

復(fù)三位數(shù)？

解：要組成一個(gè)三位數(shù)可以分成三個(gè)步驟完成：第一步確定百位

上的數(shù)字，從5個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)數(shù)字，共有5種選法；第二步確定

十位上的數(shù)字，由于數(shù)字允許重復(fù)，

這仍有5種選法,第三步確定個(gè)位上的數(shù)字，同理,它也有5種選法.根

據(jù)乘法原理，得到可以組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是N=5X5X5=125.

答：可以組成125個(gè)三位數(shù).

練習(xí)：

1、從甲地到乙地有2條陸路可走，從乙地到丙地有3條陸路可走，

又從甲地不經(jīng)過乙地到丙地有2條水路可走.

(1)從甲地經(jīng)乙地到丙地有多少種不同的走法？

(2)從甲地到丙地共有多少種不同的走法？

2.一名兒童做加法游戲.在一個(gè)紅口袋中裝著20張分別標(biāo)有數(shù)1、

2、…、19、20的紅卡片，從中任抽一張，把上面的數(shù)作為被加數(shù)；

在另一個(gè)黃口袋中裝著10張分別標(biāo)有數(shù)1、2、…、9、10的黃卡片,

從中任抽一張，把上面的數(shù)作為加數(shù).這名兒童一共可以列出多少個(gè)

加法式子？

3.題2的變形

4.由0—9這10個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

小結(jié)：要解決某個(gè)此類問題，首先要判斷是分類，還是分步？分類時(shí)

用加法，分步時(shí)用乘法

其次要注意怎樣分類和分步，以后會(huì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)

練習(xí)

1.(口答)一件工作可以用兩種方法完成.有5人會(huì)用第一種方法

完成，另有4人會(huì)用第二種方法完成.選出一個(gè)人來完成這件工作，

共有多少種選法？

2.在讀書活動(dòng)中，一個(gè)學(xué)生要從2本科技書、2本政治書、3本

文藝書里任選一本，共有多少種不同的選法？

3.乘積(al+a2+a3)(bl+b2+b3+b4)(cl+c2+c3+c4+c5)展開后共有

多少項(xiàng)？

4.從甲地到乙地有2條路可通，從乙地到丙地有3條路可通；從甲

地到丁地有4條路可通，從丁地到丙地有2條路可通.從甲地到丙地

共有多少種不同的走法？

5.一個(gè)口袋內(nèi)裝有5個(gè)小球，另一個(gè)口袋內(nèi)裝有4個(gè)小球，所有這

些小球的顏色互不相同.

(1)從兩個(gè)口袋內(nèi)任取一個(gè)小球，有多少種不同的取法？

(2)從兩個(gè)口袋內(nèi)各取一個(gè)小球，有多少種不同的取法？

作業(yè)：(略)

排列

【復(fù)習(xí)基本原理】

1.加法原理做一件事，完成它可以有n類辦法，第一類辦法中有

m1種不同的方法，第二辦法中有m2種不同的方法……，

第n辦法中有丹種不同的方法，那么完成這件事共有

N=m?+m2+m3+,?,mn

種不同的方法.

2.乘法原理做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有

mi種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，

做第n步有g(shù)種不同的方法，.那么完成這件事共有

N=m|xm2xm3x??-xmn

種不同的方法.

3.兩個(gè)原理的區(qū)別：

【練習(xí)1]

1.北京、上海、廣州三個(gè)民航站之間的直達(dá)航線，需要準(zhǔn)備多少種不

同的機(jī)票？

2.由數(shù)字1、2、3可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的二位數(shù)？請(qǐng)一一列出.

【基本概念】

1.什么叫排列？從n個(gè)不同元素中，任取m（帆4〃）個(gè)元素（這里的

被取元素各不相同）按照一定花頒序排成一列，叫做從n個(gè)不同

元素中取出m個(gè)元素的二個(gè)排列

2.什么叫不同的排列？元素和順序至少有一個(gè)不同.

3.什么叫相同的排歹!!?元素和順序都相同的排列.

4.什么叫一個(gè)排列？

【例題與練習(xí)】

1.由數(shù)字1、2、3、4可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

2.已知a、b、c、d四個(gè)元素，①寫出每次取出3個(gè)元素的所有排列;

②寫出每次取出4個(gè)元素的所有排列.

【排列數(shù)】

1.定義：從n個(gè)不同元素中，任取m(m4”)個(gè)元素的所有排列的個(gè)

數(shù)叫做從n個(gè)元素中取出m元素的排列數(shù)，用符號(hào)p：表示.

用符號(hào)表示上述各題中的排列數(shù).

2.排列數(shù)公式:p?=n(n-l)(n-2)???(n-m+1)

Pn=；Pn=；Pn=；

Pn=；

計(jì)算：P；=；Pt=；

P15=；

【課后檢測】

1.寫出：

①從五個(gè)元素a、b、c、d、e中任意取出兩個(gè)、三個(gè)元素的所有

排列;

②由1、2、3、4組成的無重復(fù)數(shù)字的所有3位數(shù).

③由0、1、2、3組成的無重復(fù)數(shù)字的所有3位數(shù).

2.計(jì)算：

①P.00②P；③P：-2P：④

P12

排列

課題：排列的簡單應(yīng)用（1）

目的：進(jìn)一步掌握排列、排列數(shù)的概念以及排列數(shù)的兩個(gè)計(jì)算公式，

會(huì)用排列數(shù)公式計(jì)算和解決簡單的實(shí)際問題.

過程：

一、復(fù)習(xí)：（引導(dǎo)學(xué)生對(duì)上節(jié)課所學(xué)知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)整理）

1.排列的定義，理解排列定義需要注意的兒點(diǎn)問題；

2.排列數(shù)的定義，排列數(shù)的計(jì)算公式

A："=〃（〃-1）（〃-2）…（〃-用+1）或=--—（其中mW〃

3.全排列、階乘的意義；規(guī)定0!=1

4.“分類”、“分步”思想在排列問題中的應(yīng)用.

二、新授：

例1：⑴7位同學(xué)站成一排，共有多少種不同的排法？

解：問題可以看作：7個(gè)元素的全排列----用=5040

⑵7位同學(xué)站成兩排（前3后4）,共有多少種不同的排法？

解：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：7X6X5X4X3X2X1=71=5040

⑶7位同學(xué)站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不

同的排法？

解：問題可以看作：余下的6個(gè)元素的全排列——A：=720

（4）7位同學(xué)站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少

種？

解：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：第一步甲、乙站在兩端有用種；

第二步余下的5名同學(xué)進(jìn)行全排列有種則共有

&&=240種排列方法

⑸7位同學(xué)站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有

多少種？

解法一（直接法）：第一步從（除去甲、乙）其余的5位

同學(xué)中選2位同學(xué)站在排頭和排尾有否種方法;第二步

從余下的5位同學(xué)中選5位進(jìn)行排列（全排列）有用種

方法所以一共有由&=2400種排列方法.

解法二：（排除法）若甲站在排頭有A：種方法；若乙站在

排尾有A：種方法；若甲站在排頭且乙站在排尾則有

種方法.所以甲不能站在排頭，乙不能排在排尾的排法

共有A；—2A：+=2400種.

小結(jié)一：對(duì)于“在”與“不在”的問題，常常使用“直接法”或

“排除法”，對(duì)某些特殊元素可以優(yōu)先考慮.

例2：7位同學(xué)站成一排.

⑴甲、乙兩同學(xué)必須相鄰的排法共有多少種？

解：先將甲、乙兩位同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素與其余

的5個(gè)元素（同學(xué)）一起進(jìn)行全排列有A；種方法；再將甲、

乙兩個(gè)同學(xué)“松綁”進(jìn)行排列有用種方法.所以這樣的排法

一共有A；A；=1440種.

⑵甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)都相鄰的排法共有多少種？

解:方法同上，一共有用=720種.

⑶甲、乙兩同學(xué)必須相鄰，而且丙不能站在排頭和排尾的排法

有多少種？

解法一：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素，此時(shí)

一共有6個(gè)元素，因?yàn)楸荒苷驹谂蓬^和排尾，所以可以從

其余的5個(gè)元素中選取2個(gè)元素放在排頭和排尾，有宙種方

法；將剩下的4個(gè)元素進(jìn)行全排列有A：種方法；最后將甲、

乙兩個(gè)同學(xué)“松綁”進(jìn)行排列有8種方法.所以這樣的排法

一共有A；A：A；=960種方法.

解法二：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素，此時(shí)

一共有6個(gè)元素，

若丙站在排頭或排尾有2國種方法，所以丙不能站在排頭和排

尾的排法有（A：-2A；）.=960種方法.

解法三：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素，此時(shí)

一共有6個(gè)元素，因?yàn)楸荒苷驹谂蓬^和排尾，所以可以從

其余的四個(gè)位置選擇共有A：種方法，

再將其余的5個(gè)元素進(jìn)行全排列共有8種方法，最后將甲、

乙兩同學(xué)“松綁”，所以這樣的排法一共有4M4=960種方

法.

小結(jié)二：對(duì)于相鄰問題，常用“捆綁法”（先捆后松）.

例3：7位同學(xué)站成一排.

⑴甲、乙兩同學(xué)不能相鄰的排法共有多少種？

解法一：（排除法）A；-=3600

解法二：（插空法）先將其余五個(gè)同學(xué)排好有8種方法，此時(shí)

他們留下六個(gè)位置（就稱為“空”吧），再將甲、乙同學(xué)分

別插入這六個(gè)位置（空）有4種方法，所以一共有

=3600種方法.

⑵甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)都不能相鄰的排法共有多少種？

解：先將其余四個(gè)同學(xué)排好有A：種方法，此時(shí)他們留下五個(gè)

“空”，再將甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)分別插入這五個(gè)“空”

有8種方法，所以一共有A：A：=1440種.

小結(jié)三：對(duì)于不相鄰問題，常用“插空法”（特殊元素后考慮）.

三、小結(jié)：

1.對(duì)有約束條件的排列問題，應(yīng)注意如下類型：

⑴某些元素不能在或必須排列在某一位置；

⑵某些元素要求連排（即必須相鄰）；

⑶某些元素要求分離（即不能相鄰）；

2.基本的解題方法:

(1)有特殊元素或特殊位置的排列問題，通常是先排特殊元

素或特殊位置，稱為優(yōu)先處理特殊元素(位置)法(優(yōu)限法)；

⑵某些元素要求必須相鄰時(shí)，可以先將這些元素看作一個(gè)

元素，與其他元素排列后，再考慮相鄰元素的內(nèi)部排列，這種

方法稱為“捆綁法”；

⑶某些元素不相鄰排列時(shí)一，可以先排其他元素，再將這些

不相鄰元素插入空擋，這種方法稱為“插空法”；

(4)在處理排列問題時(shí)，一般可采用直接和間接兩種思維形

式，從而尋求有效的解題途徑，這是學(xué)好排列問題的根基.

四、作業(yè)：《課課練》之“排列課時(shí)1—3”

排列

課題：排列的簡單應(yīng)用(2)

目的：使學(xué)生切實(shí)學(xué)會(huì)用排列數(shù)公式計(jì)算和解決簡單的實(shí)際問題，進(jìn)

一步培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力，同時(shí)讓學(xué)生學(xué)會(huì)一題多解.

過程：

一、復(fù)習(xí)：

1.排列、排列數(shù)的定義，排列數(shù)的兩個(gè)計(jì)算公式;

2.常見的排隊(duì)的三種題型：

⑴某些元素不能在或必須排列在某一位置——優(yōu)限法；

⑵某些元素要求連排（即必須相鄰）——捆綁法；

⑶某些元素要求分離（即不能相鄰）——插空法.

3.分類、分布思想的應(yīng)用.

二、新授：

示例一：從10個(gè)不同的文藝節(jié)目中選6個(gè)編成一個(gè)節(jié)目單，如

果某女演員的獨(dú)唱節(jié)目一定不能排在第二個(gè)節(jié)目的位置

上，則共有多少種不同的排法？

解法一：（從特殊位置考慮）136080

解法二：（從特殊元素考慮）若選：5.閥若不選：君

則共有5-^+^=136080

解法三：（間接法）簿-用=136080

示例二：

（1）八個(gè)人排成前后兩排，每排四人，其中甲、乙要排在前排,

丙要排在后排，

則共有多少種不同的排法？

略解：甲、乙排在前排A：;丙排在后排A：;其余進(jìn)行全排列

所以一共有8A：^=5760種方法.

（2）不同的五種商品在貨架上排成一排，其中"兩種商品必

須排在一起,而Gd兩種商品不排在一起，則不同的排法共有多

少種？

略解：（“捆綁法”和“插空法”的綜合應(yīng)用）風(fēng)。捆在一起

與e進(jìn)行排列有8；

此時(shí)留下三個(gè)空，將兩種商品排進(jìn)去一共有宙；最后

將“松綁”有用.所以一共有&=24種方法.

☆⑶6張同排連號(hào)的電影票，分給3名教師與3名學(xué)生，若

要求師生相間而坐，則不同的坐法有多少種？

略解：（分類）若第一個(gè)為老師則有若第一個(gè)為學(xué)生則

有用用

所以一共有2A；=72種方法.

不例三：

（1）由數(shù)字1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的

正整數(shù)？

略解：A：+A；+A；+A：+A：=325

（2）由數(shù)字1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字，并

且比13000大的正整數(shù)？

解法一：分成兩類，一類是首位為1時(shí)，十位必須大于等于3

有4；用種方法；另一類是首位不為1,有種方法.所以一共

有?。??。?114個(gè)數(shù)比13000大.

解法二：（排除法）比13000小的正整數(shù)有用個(gè),所以比13000

大的正整數(shù)有A；=U4個(gè).

示例四：用1,3,6,7,8,9組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，由小

到大排列.

⑴第114個(gè)數(shù)是多少？⑵3796是第幾個(gè)數(shù)？

解⑴因?yàn)榍粩?shù)是1的四位數(shù)一共有用=60個(gè)，所以第114

個(gè)數(shù)的千位數(shù)應(yīng)該是“3”，十位數(shù)字是“1”即“31”開頭

的四位數(shù)有=12個(gè);同理，以“36”、“37”、“38”開頭的

數(shù)也分別有12個(gè)，所以第114個(gè)數(shù)的前兩位數(shù)必然是“39”,

而“3968”排在第6個(gè)位置上，所以“3968”是第114個(gè)

數(shù).

(2)由上可知“37”開頭的數(shù)的前面有60+12+12=84個(gè),

而3796在“37”開頭的四位數(shù)中排在第11個(gè)(倒數(shù)第二個(gè)),

故3796是第95個(gè)數(shù).

示例五：用0,1,2,3,4,5組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中

⑴能被25整除的數(shù)有多少個(gè)？

⑵十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大的有多少個(gè)？

解：⑴能被25整除的四位數(shù)的末兩位只能為25,50兩

種，末尾為50的四位數(shù)有否個(gè)，末尾為25的有A㈤個(gè)，

所以一共有+=21個(gè).

注：能被25整除的四位數(shù)的末兩位只能為25,50,75,

00四種情況.

(2)用0,1,2,3,4,5組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，一共有

46=300個(gè).因?yàn)樵谶@300個(gè)數(shù)中，十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的大

小關(guān)系是“等事熊的"，所以十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大的有

=150個(gè).

2,

三、小結(jié)：能夠根據(jù)題意選擇適當(dāng)?shù)呐帕蟹椒ǎ瑫r(shí)注意考慮問

題的全面性，此外能夠借助一題多解檢驗(yàn)答案的正確性.

四、m：“3+x”之排列練習(xí)

組合⑴

課題：組合、組合數(shù)的概念

目的：理解組合的意義，掌握組合數(shù)的計(jì)算公式.

過程：

一、復(fù)習(xí)、引入：

1.復(fù)習(xí)排列的有關(guān)內(nèi)容:

相同排

定義特點(diǎn)公式

列

排列

以上由學(xué)生口答.

2.提出問題：

示例1：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某天的一項(xiàng)

活動(dòng)，其中1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，1名同學(xué)參加下午

的活動(dòng)，有多少種不同的選法？

示例2：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加一項(xiàng)活動(dòng),

有多少種不同的選法？

引導(dǎo)觀察：示例1中不但要求選出2名同學(xué)，而且還要按照一

定的順序“排列”，而示例2只要求選出2名同學(xué)，是與

順序無關(guān)的.

引出課題：組合問題.

二、新授：

1.組合的概念：一般地，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)

元素并成一組，叫做從〃個(gè)不同元素中取出“個(gè)元素

的一個(gè)組合.

注：1.不同元素2.“只取不排”一一無序性3.相同

組合：元素相同

判斷下列問題哪個(gè)是排列問題哪個(gè)是組合問題：

⑴從A、B、C、。四個(gè)景點(diǎn)選出2個(gè)進(jìn)行游覽；(組合)

(2)從甲、乙、丙、丁四個(gè)學(xué)生中選出2個(gè)人擔(dān)任班長和

團(tuán)支部書記.(排列)

2.組合數(shù)的概念：從n個(gè)不同元素中取出m(〃⑸)個(gè)元素的

所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從〃個(gè)不同元素中取出“個(gè)元

素的組合數(shù).用符號(hào)表示.

例如：示例2中從3個(gè)同學(xué)選出2名同學(xué)的組合可以為：甲

乙，甲丙，乙丙.即有=3種組合.

又如：從A、B、C,O四個(gè)景點(diǎn)選出2個(gè)進(jìn)行游覽的組合:

AB,AC,AD,BC,BD,CO一共6種組合，即：C：=6

在講解時(shí)一定要讓學(xué)生去分析：要解決的問題是排列

問題還是組合問

題，關(guān)鍵是看是否與順序有關(guān).

那么又如何計(jì)算呢？

3.組合數(shù)公式的推導(dǎo)

⑴提問：從4個(gè)不同元素a,b,c,d中取出3個(gè)元素的組合數(shù)C：

是多少呢？

啟發(fā)：由于排列是先組合再排列，而從4個(gè)不同元素中取出3

個(gè)元素的排列數(shù)相可以求得，故我們可以考察一下C：和A：的

關(guān)系，如下：

組合排列

abcfabCybac,cab、acb,bca,cba

abdfabdybad,dab、adbybda,dba

acdfacd,cad,dac,adc,eda,dca

bedfbed,cbd,dbc,bdc,edb,deb

由此可知：每一個(gè)組合都對(duì)應(yīng)著6個(gè)不同的排列，因此，求

從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的排列數(shù)，可以分如下兩步:

①考慮從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的組合，共有個(gè)；②

對(duì)每一個(gè)組合的3個(gè)不同元素進(jìn)行全排列，各有用種方法.由

分步計(jì)數(shù)原理得：=所以：華=乎.

⑵推廣：一般地，求從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)

,可以分如下兩步：①先求從n個(gè)不同元素中取出m

個(gè)元素的組合數(shù)C：";②求每一個(gè)組合中加個(gè)元素全排列

數(shù)A：：,根據(jù)分布計(jì)數(shù)原理得：A；：'=C：,"-A：

⑶組合數(shù)的公式：

,?A：n(n-l)(n-2)---(n-m+l)

r(-----------------------------------------

"A；：m\

或C：=-------("，加eN",且加W”)

m!(n-機(jī))！

(4)鞏固練習(xí)：

1.計(jì)算：⑴C；(2)C：。

2.求證：c：="±l.c”

n-m

3.設(shè)xe',求以匕+C畜3的值.

解：由題意可得：[2X-3。-I即：24W4

[x+122%—3

VxeA^+,「32或3或4

當(dāng)x=2時(shí)原式值為7；當(dāng)m3時(shí)原式值為7；當(dāng)x=2時(shí)原

式值為11.

???所求值為4或7或11.

4.例題講評(píng)

例1.6本不同的書分給甲、乙、丙3同學(xué)，每人各得2本，有

多少種不同的分

法？

略解：C；CC=90

例2.4名男生和6名女生組成至少有1個(gè)男生參加的三人實(shí)踐

活動(dòng)小組，問組成方法共有多少種？

解法一：(直接法)小組構(gòu)成有三種情形：3男，2男1女，1

男2女，分別有C；,C：C，C\-Cl,所以一共有

C：+C：?C：+C：C：=100種方法.

解法二：（間接法）GKC；=IOO

5.學(xué)生練習(xí)：（課本99練習(xí)）

三、小結(jié)：

相同組

定義特點(diǎn)公式

合

排列

組合

此外，解決實(shí)際問題時(shí)首先要看是否與順序有關(guān)，從而確

定是排列問題還是組合問題，必要時(shí)要利用分類和分步計(jì)數(shù)原

理.

四、作業(yè)：課堂作業(yè)：教學(xué)與測試75課

課外作業(yè)：課課練課時(shí)7和8

組合⑵

課題：組合的簡單應(yīng)用及組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)

目的：深刻理解排列與組合的區(qū)別和聯(lián)系，熟練掌握組合數(shù)的計(jì)算公

式；掌握組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)，并且能夠運(yùn)用它解決一些簡單的應(yīng)用

問題.

過程：

一、復(fù)習(xí)回顧:

1.復(fù)習(xí)排列和組合的有關(guān)內(nèi)容:

相同x

定義特點(diǎn)公式

X

排列

組合

強(qiáng)調(diào)：排列——次序性；組合——無序性.

2.練習(xí)一：

練習(xí)1：求證：C：=3圖.（本式也可變形為：，嗚

m

練習(xí)2：計(jì)算：①金和GZ；②d-*與c：；③C：I+G：

答案：①120,120②20,20③792

（此練習(xí)的目的為下面學(xué)習(xí)組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)打好基

礎(chǔ).）

3.練習(xí)—.：

⑴平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn)，以其中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少

條？

（2）平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn)，以其中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有

多少條？

答案：⑴量=45（組合問題）⑵垢=90（排列問題）

二、新授：

1.組合數(shù)的性本1：C：［.

理解：一般地，從八個(gè)不同元素中取出“個(gè)元素后，剩下

加個(gè)元素.因

為從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的每一個(gè)組合，與剩下的

〃-加個(gè)元素的每一個(gè)組合一一芍廖，所以從八個(gè)不同元素

中取出〃?個(gè)元素的組合數(shù)，等于從這〃個(gè)元素中取出〃-加

個(gè)元素的組合數(shù)，即：C：1=CT.在這里，我們主要體現(xiàn):

“取法”與“剩法”是“一一對(duì)應(yīng)”的思想.

證明：???《r”=-------------=---

{n-m)\[nm\{n-in)\

注：1。我們規(guī)定C；=l

2°等式特點(diǎn)：等式兩邊下標(biāo)同，上標(biāo)之和等于下標(biāo).

3°此性質(zhì)作用：當(dāng)相時(shí)，計(jì)算C："可變?yōu)橛?jì)算,能夠

2

使運(yùn)算簡化.

例如：嗡=C器如=4^=2002.

4°C,'=C-=>x=y或x+y=〃

2.示例一：(課本101例4)一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的7個(gè)白

球和1個(gè)黑球.

⑴從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，共有多少種取法？

(2)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中含有1個(gè)黑球，有多少種取

法？

⑶從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中不含黑球，有多少種取法？

解：(1)Cg=56(2)Cy=21(3)Cy=35

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：C；=C；+C；.為什么呢？

我們可以這樣解釋：從口袋內(nèi)的8個(gè)球中所取出的3個(gè)球，可

以分為兩類：一類含有1個(gè)黑球，一類不含有黑球.因此根據(jù)分

類計(jì)數(shù)原理，上述等式成立.

一般地，從生,出，…，。用這〃+1個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的

組合數(shù)是。禽，這些組合可以分為兩類：一類含有元素外,一類不

含有為.含有q的組合是從2,%，…，%+i這n個(gè)元素中取出m-1

個(gè)元素與外組成的，共有。二個(gè);不含有1的組合是從4，牝，…,6+1

這〃個(gè)元素中取出m個(gè)元素組成的，共有個(gè).根據(jù)分類計(jì)數(shù)原

理，可以得到組合數(shù)的另一個(gè)性質(zhì).在這里，我們主要體現(xiàn)從特

殊到一般的歸納思想，“含與不含其元素”的分類思想.

3.組合數(shù)的性屬2：C；\=C："+C：T.

證明：cm+Cm-'=-------+----------------

—（/w-l）![n-（///-1）]!

"!（〃一加+1）+nlm

ml（n-加+1）!

（〃-m+1+m）nl

加（〃一機(jī)+1）!

（774-1）!

加!（〃一加+1）!

m

C"+1

"L

?小C，〃-廠，〃廠【

**n+1-C〃十?

注：1。公式特征：下標(biāo)相同而上標(biāo)差1的兩個(gè)組合數(shù)之和,

等于下標(biāo)比原下標(biāo)多1而上標(biāo)與高的相同的一個(gè)組合數(shù).

2。此性質(zhì)的作用：恒等變形，簡化運(yùn)算.在今后學(xué)習(xí)“二

項(xiàng)式定理”時(shí)，我們會(huì)看到它的主要應(yīng)用.

4.示例二：

（1）計(jì)算：c+a+c：+c；

⑵求證：M+2=C：+2C7+C；2

⑶解方程：G，=G%

⑷解方程：c^+c^=^<3

(5)計(jì)算：c：+C：+《+《+仁和C；+C；+C；+C；+C；+C；

推廣：C：+C：+C；+…+。二+。；=2"

5.組合數(shù)性質(zhì)的簡單應(yīng)用：

證明下列等式成立：

⑴(講解)*+C3+C3+???+*+&=C：M

⑵（練習(xí)）C；+C3+C3+-+GL=C￡L

⑶C：+2C；+3C,：+??-+nC：=；（C：+C：+…+C,；）

6.處理《教學(xué)與測試》76課例題

三、小結(jié)：1.組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)；

2.從特殊到一般的歸納思想.

四、作業(yè)：課堂作業(yè)：《教學(xué)與測試》76課

課外作業(yè)：課本習(xí)題10.3；課課練課時(shí)9

組合⑶

課題：組合、組合數(shù)的綜合應(yīng)用⑴

目的：進(jìn)一步鞏固組合、組合數(shù)的概念及其性質(zhì)，能夠解決一些較為

復(fù)雜的組合應(yīng)用問題，提高合理選用知識(shí)的能力.

過程：

一、知識(shí)復(fù)習(xí)：

1.復(fù)習(xí)排列和組合的有關(guān)內(nèi)容：

依然強(qiáng)調(diào)：排列——次序性；組合一一無序性.

2.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及有關(guān)性質(zhì)

性質(zhì)1：C：=CT'性質(zhì)2:C：\=C：+C：：T

常用的等式：C；=。匕=Cf=C*=1

3.練習(xí)：處理《教學(xué)與測試》76課例題

二、例題評(píng)講：

例1.100件產(chǎn)品中有合格品90件，次品10件，現(xiàn)從中抽取4件

檢查.

⑴都不是次品的取法有多少種？

⑵至少有1件次品的取法有多少種？

⑶不都是次品的取法有多少種？

解：⑴1=2555190;

⑵6%一/=C：01++C,X+/=1366035;

⑶?。?C：尸或◎++C^c；o+1=3921015.

例2.從編號(hào)為1,2,3,…，10,11的共11個(gè)球中，取出5個(gè)

球，使得這5個(gè)球的編號(hào)之和為奇數(shù)，則一共有多少種不同的

取法？

解：分為三類：1奇4偶有或；3奇2偶有5奇1偶

有印

所以一共有++=236.

例3.現(xiàn)有8名青年，其中有5名能勝任英語翻譯工作；有4名

青年能勝任德語翻

譯工作（其中有1名青年兩項(xiàng)工作都能勝任），現(xiàn)在要從中挑選

5名青年承擔(dān)一項(xiàng)任務(wù)，其中3名從事英語翻譯工作，2名從事

德語翻譯工作，則有多少種不同的選法？

解：我們可以分為三類：

①讓兩項(xiàng)工作都能擔(dān)任的青年從事英語翻譯工作，有

②讓兩項(xiàng)工作都能擔(dān)任的青年從事德語翻譯工作，有

③讓兩項(xiàng)工作都能擔(dān)任的青年不從事任何工作，有

所以一共有C：C；+C：C：+C：C；=42種方法.

例4.甲、乙、丙三人值周，從周一至周六，每人值兩天，但甲

不值周一，乙不值周六，問可以排出多少種不同的值周表？

解法一：（排除法）-2—+C\C\=42

解法二：分為兩類：一類為甲不值周一，也不值周六，有

另一類為甲不值周一，但值周六，有所以一共有

C：C：+C：C；=42種方法.

例5.6本不同的書全部送給5人，每人至少1本，有多少種不同

的送書方法？

解：第一步從6本不同的書中任取2本“捆綁”在一起看成

一個(gè)元素有種方法；第二步將5個(gè)“不同元素（書）”分

給5個(gè)人有種方法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，一共有=

1800種方法.

變題1：6本不同的書全部送給5人,有多少種不同的送書方法？

變題2：5本不同的書全部送給6人，每人至多1本，有多少

種不同的送書方法?

變題3：5本學(xué)同的書全部送給6人，每人至多1本，有多少

種不同的送書方法？

答案：1.56=15625；2.A；=720;3.C：=6.

三、小結(jié)：1.組合的定義，組合數(shù)的公式及其兩個(gè)性質(zhì)；

2.組合的應(yīng)用：分清是否要排序.

四、微：《3+X》組合基礎(chǔ)訓(xùn)練

《課課練》課時(shí)10組合四

組合⑷

課題：組合、組合數(shù)的綜合應(yīng)用⑵

目的：對(duì)排列組合知識(shí)有一個(gè)系統(tǒng)的了解，掌握排列組合一些常見的

題型及解題方法，能夠運(yùn)用兩個(gè)原理及排列組合概念解決排列組合

問題.

過程：

一、知識(shí)復(fù)習(xí)：

1.兩個(gè)基本原理；

2.排列和組合的有關(guān)概念及相關(guān)性質(zhì).

二、例題評(píng)講：

例1.6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法：

⑴分給甲、乙、丙三人，每人兩本；

⑵分為三份，每份兩本；

⑶分為三份，一份一本，一份兩本，一份三本；

（4）分給甲、乙、丙三人，一人一本，一人兩本，一人三本；

⑸分給甲、乙、丙三人，每人至少一本.

解：（1）根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到:C；C：C；=90種.

⑵分給甲、乙、丙三人，每人兩本有種方法，這個(gè)過

程可以分兩步完成：第一步分為三份，每份兩本，設(shè)有x種方法;

第二步再將這三份分給甲、乙、丙三名同學(xué)有用種方法.根據(jù)

分步計(jì)數(shù)原理可得：所以》=仁華=15.因此分

為三份，每份兩本一共有15種方法.

注：本題是分組中的“為今分組”問題.

⑶這是“不均勻分組”問題，一共有C：C；C；=60種方法.

（4）在⑶的基礎(chǔ)上在進(jìn)行全排列，所以一共有C：C；C"；=360種

方法.

（5）可以分為三類情況：①“2、2、2型”即⑴中的分配情況,

有C；C：C；=90種方法；②“1、2、3型”即⑷中的分配情況，有

C：C；C；用=360種方法;③“1、1、4型”,有用=90種方法.所

以一共有90+360+90=540種方法.

例2.身高互不相同的7名運(yùn)動(dòng)員站成一排，甲、乙、丙三人自

左向右從高到矮排列且互不相鄰的排法有多少種？

解：（插空法）現(xiàn)將其余4個(gè)同學(xué)進(jìn)行全排列一共有工種方法，

再將甲、乙、丙三名同學(xué)插入5個(gè)空位置中（但無需要進(jìn)行排

列）有C；種方法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，一共有A：C；=240種方

法.

例3.⑴四個(gè)不同的小球放入四個(gè)不同的盒中，一共有多少種不

同的放法？

⑵四個(gè)不同的小球放入四個(gè)不同的盒中且恰有一個(gè)空盒的

放法有多少種？

解：（1）根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：一共有4，=256種方法.

（2）（捆綁法）第一步從四個(gè)不同的小球中任取兩個(gè)“捆綁”

在一起看成一個(gè)元素有種方法，第二步從四個(gè)不同的盒取

其中的三個(gè)將球放入有種方法.所以一共有｛=144種

方法.

例4.馬路上有編號(hào)為1,2,3,10的十盞路燈，為節(jié)約用

電又不影響照明，可以把其中3盞燈關(guān)掉，但不可以同時(shí)關(guān)掉

相鄰的兩盞或三盞，在兩端的燈都不能關(guān)掉的情況下，有多少

種不同的關(guān)燈方法？

解：（插空法）本題等價(jià)于在7只亮著的路燈之間的6個(gè)空檔

中插入3只熄掉的燈，故所求方法總數(shù)為=20種方法.

例5.九張卡片分別寫著數(shù)字0,1,2,8,從中取出三張排

成一排組成一個(gè)三位數(shù)，如果6可以當(dāng)作9使用，問可以組成

多少個(gè)三位數(shù)？

解：可以分為兩類情況：①若取出6,則有2（4：+屐。；。；）種

方法；②若不取6,則有種方法.根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，

共有2(街+C；C；C；)+C；A；=602種方法.

三、小結(jié)：

四、作業(yè)：《教學(xué)與測試》77課；《課課練》相關(guān)練習(xí)

二項(xiàng)式定理一-1定理

一、復(fù)習(xí)填空：

1.在n=l,2,3,4時(shí),研究(a+b)11的展開式.

(a+b)-,

(a+b)J,

(a+b);J,

(a+b)J.

2.列出上述各展開式的系數(shù)：―

3.這些系數(shù)中每一個(gè)可看作由它肩上的兩個(gè)數(shù)字得到.你

能寫出第五行的數(shù)字嗎？

(a+b)J.

4.計(jì)算：C尸,C；=,C產(chǎn)，C產(chǎn),Cr.用這些組

合數(shù)表示(a+b)4的展開式是：

(a+b)"=.

二、定理:

(a+b)n=(neN),

這個(gè)公式表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，公式右邊的多項(xiàng)式叫做(a+b)

n的，其中c；(r=0,1,2,……，n)叫

做,叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),

通項(xiàng)是指展開式的第項(xiàng)，展開式共有個(gè)項(xiàng).

例題：1.展開(x+%；2.展開(2五-3兒

xVx

小結(jié)：求展開式中的指定項(xiàng)一般用通項(xiàng)公式，當(dāng)指數(shù)n不是很大

時(shí)，也可用定理展開，再找指定項(xiàng).

3.譚：(1)(0.997)3的近似值(精確到0.001)

(2)(1.002)6的近視值(精確到0.001).

三、課后檢測

1.求（2a+3b）6的展開式的第3項(xiàng).

2.求（3b+2a）6的展開式的第3項(xiàng).

3.寫出（次-白尸的展開式的第r+1項(xiàng).

4.求（x'+2x）7的展開式的第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，并求第4項(xiàng)的系

數(shù).

5.用二項(xiàng)式定理展開:

(1)(a+Vb)9；⑵小守?

6.化簡：

2??

(1)(1+Vx)5+(1-Vx)5；(2)(2x3+3X《)4—(2x，-3xW)4

二項(xiàng)式定理一-2通項(xiàng)應(yīng)用——求指定項(xiàng)

一、復(fù)習(xí)填空：

(a+b)n=(neN),

這個(gè)公式表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，公式右邊的多項(xiàng)式叫做（a+b）

n的,其中c；（r=0,1,2,……,n）叫

做,叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),

通項(xiàng)是指展開式的第項(xiàng)，展開式共有個(gè)項(xiàng).

二、應(yīng)用舉例：

1.號(hào)-2V的展開式中，第五項(xiàng)

是................................（）

2

A15D6x「20

A.---JD.----C.—

xax

D.—

X

2.（次的展開式中，不含a的項(xiàng)是第....................

（）項(xiàng)

A.7B.8C.9

D.6

3.二項(xiàng)式（z-2）6的展開式中第5項(xiàng)是-480,求復(fù)數(shù)z.

4.求二項(xiàng)式的展開式中的有理項(xiàng)?

V2

三、練習(xí)及課后檢測

1.(X-^)9的展開式中含X3的項(xiàng)是,

X

2.二項(xiàng)式(Qi-x)i°的展開式中的第八項(xiàng)是......................

()

A.-135x3B.3645x2C.36oV3ix7D.

3240百ix3

3.(g+痣)24的展開式中的整數(shù)項(xiàng)是..........................

()

A.第12項(xiàng)B.第13項(xiàng)C.第14項(xiàng)D.第

15項(xiàng)

4.(3x-二廠展開式中第9項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，則n的值是............

V2

()

A.13B.12C.11D.10

5.(亞-di/的展開式中的第7項(xiàng)是............................

()

A.288V2d2B.-288V2d2C.-672d3iD.672d3i

6.(2x3+J7y。展開式的常數(shù)項(xiàng)是.

X

7.(|xl+A._2)3展開式的常數(shù)項(xiàng)是____________.

IXI

8.在(絡(luò)+白/的展開式中’第項(xiàng)是中間項(xiàng)’中間項(xiàng)

是.

9.已知(10+x?)5的展開式中第4項(xiàng)為106,求x的值.

*10.若(l-2x)§展開式中的第2項(xiàng)小于第1項(xiàng)，且不小于第3項(xiàng)，求

實(shí)數(shù)x的取值范圍.

二項(xiàng)式3-一求指定項(xiàng)的系數(shù)

一、定理復(fù)習(xí)

l.(a+b)“二(neN)，共有

個(gè)項(xiàng)，其中C：(r=0,1,2,……,n)叫做；

2.通項(xiàng)表示展開式中的第項(xiàng)，通項(xiàng)公式

是.

二、例題與練習(xí)

1.(X-2)9的展開式中，第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

是......................()

A.4032B.-4032C.126D.-126

2.若(x-木廠的展開式中的第三項(xiàng)系數(shù)等于6,則n等于..........

()

A.4B.4或-3C.12D.3

3.多項(xiàng)式(l-2x)5(2+x)含x3項(xiàng)的系數(shù)是........................

()

A.120B.-120C.100D.-100

4.求(x-l)-(x-l)2+(x-l)3-(x-l)4+(x-l)5的展開式中，X2的系數(shù)

5.二項(xiàng)式（x《+4）n的展開式中第三項(xiàng)系數(shù)比第二項(xiàng)系數(shù)大44,求第

X

4項(xiàng)的系數(shù).

三、課后檢測

1.在（X-V3）10的展開式中，x6的系數(shù)是....................（）

A.-27C：。B.27C：。C.-9cf0D.9C：。

2.在（x?+3x+2）5的展開式中，x的系數(shù)為..................（）

A.160B.240C.360

D.800

3.(l+x)3+(l+x)4+…+(1+乂嚴(yán)展開式中Y的系數(shù)是..........()

A?B.Cj0C.C*DC

4.(l+x)+(l+xy+(l+x)3+…+(l+x)i°的展開式中，含x'的系數(shù)是…

()

A.10B.45C.54D.55

5.在(x+')8的展開式中，求x4的系數(shù)與X-4的系數(shù)之差.

X

6.(1-X)5(1+X+X2)4的展開式中，含X7項(xiàng)的系數(shù)是.

7.已知(l+2)n展開式中含一的項(xiàng)的系數(shù)為12,求n.

X

8.x(1-x)4+x2(1+2X)5+X3+(1-3x)7的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)

是