2023-2024學年北師大版選擇性必修第一冊 　橢圓的簡單幾何性質 學案

1．2橢圓的簡單幾何性質[教材要點]要點橢圓的簡單幾何性質標準方程x2a2+yy2a2+x焦點位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形范圍____≤x≤____，____≤y≤________≤y≤____，____≤x≤____對稱性關于____軸、____軸對稱，關于原點對稱頂點坐標A1______，A2____，B1____，B2____A1____，A2____，B1____，B2____軸長長軸長|A1A2|＝____，短軸長|B1B2|＝____離心率e＝________(0<e<1)狀元隨筆(1)橢圓的焦點F1，F(xiàn)2必在它的長軸上．(2)a是橢圓的長半軸長，b是橢圓的短半軸長，c是橢圓的半焦距，它們滿足關系式：a2＝b2＋c2(a>b>0，a>c>0)．如圖a，b，c恰好構成一個直角三角形．明確了a，b的幾何意義，可得“已知橢圓的四個頂點求焦點”的幾何作法．只要以短軸的端點B1(或B2)為圓心，以a為半徑作弧，交長軸于兩點，這兩點就是焦點．(3)計算離心率常見形式，e＝ca＝1[基礎自測]1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)橢圓x2a2+y2b(2)橢圓的離心率e越小，橢圓越圓．()(3)橢圓x24+y2(4)橢圓以兩條坐標軸為對稱軸，一個頂點是(0，13)，另一個頂點是(－10，0)，則焦點坐標為(0，±69)．()2．橢圓6x2＋y2＝6的長軸的端點坐標是()A．(－1，0)，(1，0)B．(－6，0)，(6，0)C．(－6，0)，(6，0)D．(0，－6)，(0，6)3．已知橢圓x210-m+A．8B．7C．5D．44．橢圓的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，兩頂點分別是(4，0)，(0，2)，則此橢圓的方程是________．題型一根據橢圓方程研究其幾何性質例1已知橢圓x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的離心率e＝32，求m方法歸納在求橢圓的長軸和短軸的長，焦點坐標，頂點坐標時，應先化為標準方程，然后判斷焦點所在的位置，看兩種情況是否都適合．跟蹤訓練1(1)橢圓25x2＋9y2＝225的長軸長、短軸長、離心率依次是()A．5、3、0.8B．10、6、0.8C．5、3、0.6D．10、6、0.6(2)設橢圓方程mx2＋4y2＝4m(m>0)的離心率為12題型二根據橢圓幾何性質求其標準方程例2求適合下列條件的橢圓的標準方程．(1)長軸長是10，離心率是45(2)在x軸上的一個焦點與短軸兩個端點的連線互相垂直，且焦距為6；(3)經過點M(1，2)，且與橢圓x2狀元隨筆與橢圓x2a2+y2b2＝1(a>b>0)有相同離心率的橢圓方程為x2a2方法歸納利用橢圓的幾何性質求標準方程的思路(1)利用橢圓的幾何性質求橢圓的標準方程時，通常采用待定系數(shù)法，其步驟是：①確定焦點位置；②設出相應橢圓的標準方程(對于焦點位置不確定的橢圓可能有兩種標準方程)；③根據已知條件構造關于參數(shù)的關系式，利用方程(組)求參數(shù)，列方程(組)時常用的關系式有b2＝a2－c2，e＝ca(2)在橢圓的簡單幾何性質中，軸長、離心率不能確定橢圓的焦點位置，因此僅依據這些條件求所要確定的橢圓的標準方程可能有兩個．跟蹤訓練2(1)若橢圓的對稱軸為坐標軸，長軸長與短軸長的和為18，一個焦點的坐標是(3，0)，則橢圓的標準方程為()A．x29+C．x216+(2)已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，若長軸長為18，兩個焦點恰好將長軸三等分，則該橢圓的標準方程是________．(3)已知橢圓的對稱軸是坐標軸，O為坐標原點，F(xiàn)是一個焦點，A是一個頂點，橢圓的長軸長為6，且cos∠OFA＝23題型三橢圓的離心率問題角度1定義法求橢圓離心率例3橢圓x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的一個焦點為角度2構造齊次方程法求橢圓離心率例4設橢圓C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點，PF2⊥F1F2A．36B．13C．1方法歸納求橢圓離心率及范圍的兩種方法1．直接法：若已知a，c可直接利用e＝ca求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a.再代入公式e＝c2．方程法：若a，c的值不可求，則可根據條件建立a，b，c的關系式，借助于a2＝b2＋c2，轉化為關于a，c的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪，得到關于e的方程或不等式，即可求得e的值或范圍．跟蹤訓練3(1)焦點在x軸上的橢圓方程為x2a2+y2bA．14B．13C．1(2)設F1，F(xiàn)2分別為橢圓x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦點，若直線x＝a2A．(0，22]B．(0，3C．[22，1)D．[3題型四與橢圓有關的軌跡問題例5已知圓M：(x＋1)2＋y2＝1，圓N：(x－1)2＋y2＝9，動圓P與圓M外切并且與圓N內切，圓心P的軌跡為曲線C，求C的方程．方法歸納1．與橢圓有關的軌跡方程的求法常用方法有：直接法、定義法和代入法，本例所用方法為定義法．2．對定義法求軌跡方程的認識如果能確定動點運動的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可以利用這種已知曲線的定義直接寫出其方程，這種求軌跡方程的方法稱為定義法．定義法在我們后續(xù)要學習的圓錐曲線的問題中被廣泛使用，是一種重要的解題方法．3．代入法(相關點法)若所求軌跡上的動點P(x，y)與另一個已知曲線C：F(x，y)＝0上的動點Q(x1，y1)存在著某種聯(lián)系，可以把點Q的坐標用點P的坐標表示出來，然后代入已知曲線C的方程F(x，y)＝0，化簡即得所求軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做代入法(對稱相關點法)．跟蹤訓練4已知P是橢圓x24+y28＝1上一動點，易錯辨析忽視隱含條件致錯例6若直線y＝kx＋1與橢圓x25+解析：由于直線y＝kx＋1過定點(0，1)，故點(0，1)恒在橢圓內或橢圓上，所以m∈[1，＋∞)．又因為m≠5，所以實數(shù)m的取值范圍是[1，5)∪答案：[1，5)∪【易錯警示】易錯原因糾錯心得本題容易忽視隱含條件m≠5致錯，錯誤答案為[1，＋∞)．注意圓不是橢圓的特殊情況，解答此類問題時，一定要排除圓的情況．[課堂十分鐘]1．已知點(3，2)在橢圓x2a2+yA．點(－3，－2)不在橢圓上B．點(3，－2)不在橢圓上C．點(－3，2)在橢圓上D．無法判斷點(－3，－2)，(3，－2)，(－3，2)是否在橢圓上2．[多選題]已知橢圓x2a2+y2bA．a2＝25B．b2＝25C．a2＝9D．b2＝93．已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則橢圓的離心率等于()A．13B．33C．14．已知橢圓的對稱軸是坐標軸，離心率為135．若橢圓短軸的一個端點與兩焦點組成一個正三角形，且焦點到同側頂點的距離為3，求橢圓的標準方程．1．2橢圓的簡單幾何性質新知初探·課前預習要點－aa－bb－aa－bbxy(－a，0)(a，0)(0，－b)(0，b)(0，－a)(0，a)(－b，0)(b，0)2a2bc[基礎自測]1．(1)×(2)√(3)×(4)√2．解析：橢圓方程可化為x2＋y26＝1，則長軸的端點坐標為(0，±答案：D3．解析：由題意得m－2>10－m且10－m>0，于是6<m<10，再由(m－2)－(10－m)＝22，得m＝8.故選A.答案：A4．解析：由已知a＝4，b＝2，橢圓的焦點在x軸上，所以橢圓方程是x2答案：x2題型探究·課堂解透例1解析：橢圓的方程可化為：x2∵m－mm+3＝mm+2m+3>0，∴m即a2＝m，b2＝mm+3，c＝a2-由e＝32得m+2m+3＝32∴橢圓的標準方程為x2＋y2∴a＝1，b＝12，c＝3∴橢圓的長軸長為2，短軸長為1，兩焦點坐標分別為F1-32，0四個頂點分別為A1(－1，0)，A2(1，0)，B10，-12，跟蹤訓練1解析：(1)把橢圓的方程寫成標準方程為x29+y225＝1，知a＝5，b＝3，c＝4，∴2(2)橢圓方程可化為x2①當0<m<4時，a＝2，b＝m，c＝4-m，∴e＝ca＝4-m2＝12，∴m＝3，∴b＝3，c＝1，∴橢圓的長軸的長和短軸的長分別是4，23，焦點坐標為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，頂點坐標為A1(－2，0)，A2(2，0)，B1(0，－②當m>4時，a＝m，b＝2，∴c＝m-4，∴e＝ca＝m-4m＝12，解得m＝163，∴a＝433，c＝233，∴橢圓的長軸的長和短軸的長分別為833，4，焦點坐標為F1(0，－233)，F(xiàn)2(0，23答案：(1)B(2)見解析例2解析：(1)設橢圓的標準方程為x2a2+y2b2＝1(a>由已知得2a＝10，故a＝5.∵e＝ca＝45，∴c＝4，∴b2＝a2－c∴橢圓的標準方程為x225+(2)依題意可設橢圓的標準方程為x2a2+y如圖所示，△A1FA2為一等腰直角三角形，OF為斜邊A1A2的中線(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，則c＝b＝3，故a2＝b2＋c2＝18，故所求橢圓的標準方程為x2(3)方法一：由題意知e2＝1－b2a2＝12，所以b2a2＝12，即a2＝2將點M(1，2)代入橢圓方程得12b2+4b2＝1或42b故所求橢圓方程為x29+方法二：設所求橢圓方程為x212+y26＝k1(k1>0)或y212+x26＝k2(k2>0)，將點M的坐標代入可得112+46＝k1或412+16＝k2，解得k1跟蹤訓練2解析：(1)由題意，得2a+2b=18，c=3因為橢圓的焦點在x軸上，所以橢圓的標準方程為x2(2)由2a＝18，得a＝9.又因為2c＝183＝6，所以c所以b2＝a2－c2＝81－9＝72.所以所求橢圓的標準方程為x2(3)因為橢圓的長軸長是6，cos∠OFA＝23，所以點A所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，所以c3＝23，所以c＝2，b2＝32－2所以橢圓的方程是x29+答案：(1)B(2)x281+y2例3解析：如圖，設F(c，0)，由△OAF是等邊三角形，得A(c2∵點A在橢圓上，∴有c24a2+3c24b2＝1①，在橢圓中有a2＝b2＋c2②，聯(lián)立①②，得c2＝(4－23)a2，即c答案：3－1例4解析：解法一由題意可設|PF2|＝m，結合條件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝3m，故離心率e＝ca＝2c2a＝F1F2解法二由PF2⊥F1F2可知P點的橫坐標為c，將x＝c代入橢圓方程可解得y＝±b2a，所以|PF2|＝b2a.又由∠PF1F2＝30°，可得|F1F2|＝3|PF2|，故2c＝3·b2a，變形可得3(a2－c2)＝2ac，等式兩邊同除以a2，得3(1－e2)＝2e，解得e＝答案：D跟蹤訓練3解析：(1)由短軸的一個端點和兩個焦點相連構成一個三角形的面積相等得12×2c×b＝12×(2a＋2c)×b3得，a＝2c，即e＝c(2)由垂直平分線的性質知|F1F2|＝|PF2|，設直線x＝a2c與x軸的交點為M，則|PF2|≥|F2M|，即|F1F2|≥|F2M|，則2c≥a2c－c，即3c2≥a2，所以e2＝c2a2答案：(1)C(2)D例5解析：由已知得圓M的圓心為M(－1，0)，半徑r1＝1；圓N的圓心為N(1，0)，半徑r2＝3.設動圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R.動圓P與圓M外切并且與圓N內切，所以，|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞|MN|＝2，由橢圓定義可知，曲線C是以M、N為左、右焦點，長半軸長為2，短半軸長為3的橢圓(左頂點除外)，其方程為x24+跟蹤訓練4解析：設P(x0，y0)，Q(x，y)，由中點坐標公式得x=x0又∵點P在橢圓x2∴2x24+2y28＝1，即答案：x2＋y2[課堂十分鐘]1．解析：由橢圓關于坐標軸對稱，關于原點中心對稱可知，點(－3，－2)，(3，－2)，(－3，2)都在橢圓上．答案：