函數(shù)的導數(shù)與極值

6.2.2

課時1函數(shù)的導數(shù)與極值1.了解極大值、極小值的概念.2.了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件.3.會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值．

一、極值點與極值

一般地，設函數(shù)y=f(x)的定義域為D，設x0∈D，如果對于x0附近的任意不同于x0的x，都有(1)f

(x)<f(x0)，則稱x0為函數(shù)f(x)的一個極大值點，且f(x)在x0處取極大值；(2)f(x)>f(x0)，則稱x0為函數(shù)f(x)的一個極小值點，且f(x)在x0處取極小值.

極大值點與極小值點都稱為極值點，極大值與極小值都稱為極值.顯然，極大值點在其附近函數(shù)值最大，極小值點在其附近函數(shù)值最小.思考：在一個函數(shù)中，極大值一定比極小值大嗎？由概念可知，函數(shù)的極值反映了函數(shù)在某一點附近的大小情況，刻畫了函數(shù)的局部性質，并且一個函數(shù)可以有若干個極大值與極小值.如圖，函數(shù)y=f(x)的極小值

f

(a)

大于極大值f(d)；極大值

f

(b)

大于極小值f

(c)；即函數(shù)的極大值與極小值沒有必然的大小關系.

xyO追問：函數(shù)y=f(x)在x=x0處取得極值的充分條件是什么？x0左右側導數(shù)異號f′(x0)=0

x0為極值點二、函數(shù)的導數(shù)與極值(1)極小值點與極小值若函數(shù)y＝f(x)在點x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數(shù)值都小，f′(a)＝_____，而且在點x＝a附近的左側__________，右側_________，就把點a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點，______叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．(2)極大值點與極大值若函數(shù)y＝f(x)在點x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數(shù)值都大，f′(b)＝_____，而且在點x＝b附近的左側__________，右側_________，就把點b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點，______叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．(3)極大值點、極小值點統(tǒng)稱為________；極大值、極小值統(tǒng)稱為_______．0f′(x)<0f′(x)>0f(a)0f′(x)>0f′(x)<0f(b)極值點極值

-22+00+單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增

方法歸納一般地，求函數(shù)y＝f(x)的極值的步驟(1)求出函數(shù)的定義域及導數(shù)f′(x)；(2)解方程f′(x)＝0，得方程的根x0(可能不止一個)；(3)用方程f′(x)＝0的根，順次將函數(shù)的定義域分成若干個開區(qū)間，可將x，f′(x)，f(x)在每個區(qū)間內(nèi)的變化情況列在同一個表格中；(4)由f′(x)在各個開區(qū)間內(nèi)的符號，判斷f(x)在f′(x)＝0的各個根處的極值情況：如果左正右負，那么函數(shù)f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么函數(shù)f(x)在這個根處取得極小值；如果導數(shù)值在這個根左右兩側同號，那么這個根不是極值點.1．(多選)函數(shù)f(x)的定義域為R，它的導函數(shù)y＝f′(x)的部分圖象如圖所示，則下面結論正確的是(

)A．在(1,2)上函數(shù)f(x)是增函數(shù)B．在(3,4)上函數(shù)f(x)是減函數(shù)C．在(1,3)上函數(shù)f(x)有極大值D．x＝3是函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,5]上的極小值點2.函數(shù)f(x)＝ax－1－lnx(a≤0)在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)為

.ABC0

A求可導函數(shù)y＝f(x)的極值的方法解方程f′(x)＝0，當f′(x0)＝0時：(1)如果在x0附近的左側f′(x)＞0，右側f′(x)＜0，那么f(x