2024屆河北省衡中同卷高三上學期期末考試數(shù)學及答案

數(shù)學試卷本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.共4頁，總分150分，考試時間120分鐘.第I卷（選擇題共60分）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.A{1xBx0x2∣AB1.已知集合，則（）0,11,2D.1,2A.B.C.axy30和直線l：3x2y30al2.已知直線：垂直，則（）123232232A.B.C.D.D.33.已知圓錐的底面半徑為2，高為42，則該圓錐的側面積為（）1623A.4πB.12πC.16ππ4.已知函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，當fxx0時，，則（）fxx1xf12A.1B.C.2D.0cos2555.已知是第一象限角，cos，則（）sin13751A.B.C.D.5531前項和，且成等差數(shù)列，則（）San0的n13S,S,SS66.記為等比數(shù)列nn12342A.126B.128C.254D.256上，則xy20y軸交于A，B兩點，點P在圓x22x分別與軸，y22ABP7.直線取值范圍是面積的2648A.B.C.232D.22328.設a2ln0.99，bln0.98，c0.961，則（）A.abcC.bacB.D.cba二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目第1頁/共5頁要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.Sn的前項和為，已知，則下列說法正確的是（）anSnn27n9.數(shù)列n是遞增數(shù)列a1410aA.B.na0nn3或4時，S取得最大值nC.當n4時，D.當x，則下列說法錯誤的是（fx2xe）10.已知函數(shù)A.圖象在x2處的切線斜率大于0fx的B.的最大值為fxeC.在區(qū)間fx上單調遞增有兩個零點，則fxaaeD.若ππ2fxsinx11.已知gxsin，則下列結論正確的為偶函數(shù)，x3是（）πA.623B.若的最小正周期為3π，則gx7C.若在區(qū)間π上有且僅有3個最值點，則的取值范圍為33gx,π43D.若g，則的最小值為22BAC，過中點的直線與線段12.如圖，在中，，AB3，BC1MlAB交于點2．將AMN沿直線l翻折至，且點A在平面BCMN內的射影H在線段上，連接交N△AMNBCl于點O，D是直線l上異于O的任意一點，則（）A.ADHADCB.ADHAOH第2頁/共5頁C.點O的軌跡的長度為6D.直線AO與平面BCMN所成角的余弦值的最小值為83第II卷（非選擇題共90分）三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.52a1,bk,13.已知向量，若a//b，則k__________.yxyx22和圓x3y32都相切的圓的方程：______.14.寫出一個圓心在上，且與直線15.表面積為100πS?A?B?C，△ABC是等邊三角形，球心O到平面ABC的距離為3，若S面SAB⊥面ABC，則棱錐體積的最大值為___________.411116.數(shù)列滿足a,ana1nN，則的整數(shù)部分是__________．a(chǎn)2*n1n1n1a2a3四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.ACbsinC17.在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且csin.2（1）求角B；的周長.（2）設BD是AC邊上的高，且BD1，b3，求18.如圖所示，在四棱錐E中，底面ABCD是菱形，ADC60，AC與BD交于點O，底面ABCD，F(xiàn)為BE的中點，ABCE．第3頁/共5頁（1）求證：//平面ACF；（2）求AF與平面EBD所成角的正弦值．34是各項都為正整數(shù)的等比數(shù)列，an且與的等差中項，數(shù)列滿足4bn1a3是a219.已知數(shù)列1n1n1.（1）求數(shù)列的通項公式;a,bnnn5kan8n2k24（2）若對任意nN恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.*220.已知點P到(0)的距離是點P到的距離的2倍.B0（1）求點P的軌跡方程；（2）若點P與點Q關于點B對稱，過B的直線與點Q值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.的軌跡交于，F(xiàn)兩點，探索是否為定E21已知函數(shù)fxexasinx1aR．fxπ3π,（1）當a1時，討論函數(shù)gx在上的單調性；ex22（2）當a3時，證明：對x，有fxex12e2x．x1322.如圖①，在中，BCAB13,cosB,E,D分別為BC,AC的中點，以為折132痕，將折起，使點C到達點的位置，且C1，如圖②.111l，證明：lP,B,EABC；1（1）設平面平面平面（2）P是棱1D（3）P是棱1D的中點，過三點作該四棱錐的截面，與CA交于點Q，求；11P,B,EBEC三點作該四棱錐的截面與平面所成的銳二面角的1第4頁/共5頁3正切值為，求該截面將四棱錐分成上?下兩部分的體積之比.2第5頁/共5頁數(shù)學試卷本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.共4頁，總分150分，考試時間120分鐘.第I卷（選擇題共60分）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.A{1xBx0x2∣AB1.已知集合，則（）0,11,2D.1,2A.B.C.【答案】A【解析】【分析】直接利用集合的交運算法則進行運算即可.A{1xBx0x2∣【詳解】因為集合，故AB{x|0x，故選：axy30和直線l：3x2y30垂直，則2al2.已知直線：（）13232232A.B.C.D.3【答案】D【解析】a【分析】由直線垂直的充要條件列出關于的方程，解方程即可.laxy30和直線l：3x2y30垂直，2【詳解】因為直線：123a3120a所以，解得.故選：D.3.已知圓錐的底面半徑為2，高為42，則該圓錐的側面積為（）1623A.4πB.12πC.16πD.π【答案】B【解析】第1頁/共22頁【分析】由圓錐的側面展開圖扇形基本量與圓錐基本量間的關系可得.【詳解】已知圓錐的底面半徑r2，高h42，則母線長lr6，2h222(42)2圓錐的側面展開圖為扇形，且扇形的弧長為圓錐底面圓周長2r，扇形的半徑為圓錐的母線長l，1S2rlrl26π12π則圓錐側面積.2故選：B.4.已知函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，當fxx0時，，則（）fxx1xf12A.1B.C.2D.0【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用奇函數(shù)的定義計算得解.【詳解】定義在R上的奇函數(shù)，當fxx0，fxx1x時，所以ff2.故選：Bcos2555.已知是第一象限角，cos，則（）sin13751A.B.C.D.55【答案】B【解析】【分析】由同角三角函數(shù)關系式及二倍角公式化簡求值.第2頁/共22頁255【詳解】因為是第一象限角，cos，22555所以sin121，52552cossincossin2557522121所以，55故選：B.312的前項和，且成等差數(shù)列，則（）San0n13S,S,SS66.記為等比數(shù)列nn1234A.126B.128C.254D.256【答案】A【解析】221a3a1634a2q2211SSSa228132322運算求解.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，則qq0，ana122a421a3a163123由題意可得1，即，a112312SSS132222a4aq4a2121整理得，則8，解得q2，a2a81q2322126所以S6故選：A.126.12xy20y軸交于A，B兩點，點P在圓x222上，則x分別與軸，y2ABP面積的7.直線取值范圍是2648A.B.C.232D.2232【答案】A【解析】第3頁/共22頁，A，B兩點坐標得到再計算圓心到直線距離，得到點P到直線距離范圍，由面積公式計算即可直線xy20xy分別與軸，軸交于A，B兩點詳解：A2,0,B222,則點P在圓x）y2上22202d122圓心為（2，022,32xy20d的距離的范圍為2故點P到直線1SABd22d22,6則2故答案選A.點睛：本題主要考查直線與圓，考查了點到直線的距離公式，三角形的面積公式，屬于中檔題．8.設a2ln0.99，bln0.98，c0.961，則（）A.abcC.bac【答案】D【解析】B.D.cba【分析】根據(jù)對數(shù)的運算法則及對數(shù)函數(shù)的單調性，直接比較a和b的大?。粯嬙旌瘮?shù)fx1x12x1，求導判斷其單調性，進而比較b和c的大小.【詳解】a2ln0.990.9920.98010.98b，x0.02,b1x,c12x1令令，，112x1(xfx1x)21x12xfx，1x12x1x212xx12x0，212fxfx在所以1x12x，即0，故,上單調遞增，ff00所以，即bc，綜上，abc.第4頁/共22頁故選：D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.的前項和為，已知，則下列說法正確的是（）anSnSnn27n9.數(shù)列n是遞增數(shù)列a1410aA.B.na0nn3或4時，SC.當n4時，D.當取得最大值n【答案】CD【解析】時，通項公式，即可判斷、、ABCS【分析】根據(jù)表達式及n2aSSa的關系，算出數(shù)列nnnnn1Snn27n選項的正誤.的最值可視為定義域為正整數(shù)的二次函數(shù)來求得.a，則naSS2n8aS6218，又1a2n8n【詳解】當n2時，，所以nnn11是遞減數(shù)列，故A錯誤；12，故B錯誤；n4a82n0當時，，故C正確；n7Snn27nnn，開口向下，而是正整數(shù)，且n3因為的對稱軸為或距離對稱軸一樣遠，所以42n3S或時，取得最大值，故正確當4D.n故選：CD.x，則下列說法錯誤的是（fx2xe）10.已知函數(shù)A.B.的圖象在x2處的切線斜率大于0fx的最大值為fxeC.在區(qū)間fx上單調遞增有兩個零點，則fxaeaD.若【答案】ACD【解析】【分析】利用函數(shù)的導數(shù)逐項判斷求解即可.第5頁/共22頁【詳解】由題得xxx，則f2e20，故A錯誤；fxe2xe1xe當x1時，fxfx在區(qū)間在區(qū)間,1上單調遞增；上單調遞減，fxfx當x1時，所以的極大值即最大值為，故B正確，C錯誤；f1fxegxfxa令gx1xex，，則由B知在區(qū)間gx上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，,1所以的極大值為，且當趨向于時，趨向于，當趨向于時，gxgxg1eaxgxax趨向于，ea0所以若fxa0ae，即，故D錯誤.有兩個零點，則a0故選：ACDππ2fxsinx11.已知gxsin，則下列結論正確的為偶函數(shù)，x3是（）πA.623B.若的最小正周期為3π，則gx7C.若在區(qū)間π上有且僅有3個最值點，則的取值范圍為33gx,π43D.若g，則的最小值為22【答案】ABC【解析】【分析】先求出函數(shù)的解析式，然后逐項判斷即可求解.fxππππfxsinx0)【詳解】對A：若π,kZ，，為偶函數(shù)，則3232ππ，所以，A選項正確；26第6頁/共22頁2π23對B：若的最小正周期為3π，則T3π，所以，故B正確；gxππ66π6xπ，得x,πgx在區(qū)間π上有且僅有3個最值點，對C:由，若5ππ7π7310π則，得，故C正確；2623π6π4ππ3gxsinx對D：因為sin，若g，462πππππ2π則2π或2π，46346328k或28k,kZ得，32又0，所以故選：ABC.的最小值為，故D錯誤.3BAB3，BC1Ml12.如圖，在中，，，過AC中點的直線與線段AB交于點2．將AMN沿直線l翻折至，且點A在平面BCMN內的射影H在線段上，連接交N△AMNBCl于點O，D是直線l上異于O的任意一點，則（）A.ADHADCB.ADHAOHC.點O的軌跡的長度為6D.直線AO與平面BCMN所成角的余弦值的最小值為83【答案】BCD【解析】【分析】A、B選項結合線面角最小，二面角最大可判斷;對于C，先由旋轉，易判斷出AO，故其軌跡為圓弧，即可求解.對于D求直線與平面所成角的余弦值，即求，AOAO32AMN,，用AO,表示，再結合三角恒等變換求出函數(shù)的最值即可第7頁/共22頁【詳解】依題意，將AMN沿直線l翻折至△MN，連接,由翻折的性質可知，關于所沿軸對稱的兩點連線被該軸垂直平分，BC內的射影在線段上，故，又A在平面BCMNH所以H平面BCMN，平面BCMNH，所以，，平面，平面AAHAAAHAAAAHAHAAH.所以平面平面AAHO，平面AHH，平面AAH，AO,AO,AH，，且AB的平面角即為二面角對于A選項，由題意可知，DH為DBCMN與平面所成的線面角，故由線面角最小可知ADHADC，故A錯誤；對于B選項，故B正確；A即為二面角B的平面角，故由二面角最大可知DHOH，對于C選項，AO恒成立，故O的軌跡為以為直徑的圓弧夾在內的部分，易知其長AM1度為，故C正確；236對于D選項，如下圖所示32AMN,設，在AOAMsinsin，第8頁/共22頁AB3AHB在ABH中，，BAH，2cos33AHAOsin，3，設直線AO與平面BCMN所成角為所以3sin3AO323則cos113sin3sinsin3223183133，12當且僅當故選：BCD．時取等號，故D正確．3212第II卷（非選擇題共90分）三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.52a1,bk,13.已知向量，若a//b，則k__________.【答案】5【解析】【分析】根據(jù)向量平行關系得到方程，求出答案.521k2k5.，故【詳解】因為a//b，所以故答案為：-5yxyx22和圓x3y32都相切的圓的方程：______.14.寫出一個圓心在上，且與直線【答案】x12y12（答案不唯一）2【解析】【分析】由題設，設圓心為(m,m)r2|m|x3y3222切，分別求出對應m即可得結果.第9頁/共22頁|mm|【詳解】設圓心為(m,m)，則半徑r2|m|，2假設與圓x3222外切，則m32m32y322|m|，所以|m3||m|，故m6m9m2|m|1，則m|m4，22m0，則4m4m1，則圓心為，半徑為rx12y122；若2，故若m0，則2m4m2，不滿足前提；6222內切，又yx322，假設與圓x3y3與的距離為2此時，圓x32y32m32m322|m|22內切于所求圓，則，所以|m3||m|1，故m26m9m22|m|1，則m|m4，m0，則2m4m2，則圓心為(2,，半徑為r22，故x22y28；2若若m0，則4m4m1，不滿足前提；綜上，x12y122或x22y28.2故答案為：x12y12（答案不唯一）215.表面積為100π的球面上有四點S?A?B?C，△ABC是等邊三角形，球心O到平面ABC的距離為3，若___________.S面SAB⊥面ABC，則棱錐體積的最大值為第10頁/共22頁【答案】12(73)【解析】小圓性質，求出的外接圓半徑，確定點S到平面的最大距離即可作答.R5，令正的中心為O，則OO3，且平面，【詳解】依題意，球O的半徑外接圓半徑rCOR2OO24，連接CO并延長交AB于D，則D為AB的中點，且12OD2，r顯然CDAB，而平面SAB平面，平面SAB平面ABCAB，有CD平面，的外接圓圓心為E，則OE平面，有//OD，令又OO由OO平面ABCD，AB平面ABCD，所以OOAB，CDO,所以平面，所以，EDABSABSABABCAB，ED平面，而平面平面，平面平面平面，則3，OD2，ED//即有，因此四邊形為平行四邊形，則的外接圓半徑R22，的外接圓上點S到直線AB距離最大值為21rrED213，而點S在平面上的射影在直線AB上，于是點到平面S距離的最大值h213，第11頁/共22頁333r2342123，又正的面積S44131S的體積最大值VSh123(2112(73).所以棱錐S3故答案為：12(73)【點睛】關鍵點睛：解決與球有關的內切或外接問題時，關鍵是確定球心的位置，再利用球的截面小圓性質求解.411116.數(shù)列滿足a,ana1nN，則的整數(shù)部分是__________．a(chǎn)2*n1n1n1a2a3【答案】2【解析】4為a,an2a1nN*an1a(a20n1a，n【詳解】因，所以1n1nnn3數(shù)列單調遞增，an1111a1a(a0所以所以所以，所以，n1nnn11a(aa1annnn11111111111S(n)()()，n11n112111212n1n1mS20173，201714441313131331338113312,，aa()，所以221,a()21,4()2因為所以133339998181a20172016201542，1111，所以01，所以233，a2017所以a2017120151m因此的整數(shù)部分是2．點睛：本題考查了數(shù)列的綜合應用問題，其中解答中涉及到數(shù)列的通項公式，數(shù)列的裂項求和，數(shù)列的單調性的應用等知識點的綜合應用，著重考查了學生分析問題和解答問題的能力，以及推理與運算能力，試111題有一定的難度，屬于難題，本題的借助數(shù)列遞推關系，化簡數(shù)列為的單調性是解答的關鍵．，再借助數(shù)列n11a1ann第12頁/共22頁四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.ACbsinC17.在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且csin.2（1）求角B；（2）設BD是AC邊上的高，且BD1，b3，求的周長.π【答案】（1）B3（2）33【解析】B1）利用正弦定理邊化角以及誘導公式化簡已知等式，可得sin的值，即可求得答案；2ac2，再利用余弦定理即可求得ac的值，即可得答案.（2）根據(jù)三角形面積相等可推出【小問1詳解】ACcsinbsinC，因為2πB22所以sinCsinsinBsinC，因為C(0,π),sinC0，BBBBsinB2sin所以因為，即.2222BπB0，，222B12π所以sin，解得B.23【小問2詳解】π因為B，b3，3113所以SbBD13.2221π333，所以ac2.又由SABCacsinac，可得ac23442π由余弦定理b2a2c22ac，可得3a2c2ac，即ac23，3第13頁/共22頁ac2369即，所以所以ac3，的周長為33.18.如圖所示，在四棱錐E中，底面ABCD是菱形，ADC60，AC與BD交于點O，底面ABCD，F(xiàn)為BE的中點，ABCE．（1）求證：//平面ACF；（2）求AF與平面EBD所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解答5（2）5【解析】1）通過證明//，得證//平面ACF；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求線面角的正弦值.【小問1詳解】證明：如圖，連接，ABCDACBD交于點O，可得O與點為BD因為底面是菱形，的中點，，又F為的中點，所以為△的中位線，可得//又OFACF，DEACF，平面平面//ACF；可得平面第14頁/共22頁【小問2詳解】以，y所在直線為，軸，過z作x的垂線所在直線為軸，建立如圖所示的坐標系，CADC60，因為ABCD是菱形，為等邊三角形，D3,0AF不妨設AB2，則，B2,0，E0,0,2，，0，可得(3,3,0)，2)，DBn3x3y0nx,y,z，可得設平面的一個法向量為，BEn2y2z03不妨取y1，則x,z1，可得n3.又(3,，331011n5所成角的正弦值為：.可得與平面n2232253210234是各項都為正整數(shù)的等比數(shù)列，an且與的等差中項，數(shù)列滿足4bn1a3是a219.已知數(shù)列1n1n1.（1）求數(shù)列的通項公式;a,bnnn5kan8n2k24（2）若對任意nN恒成立，求實數(shù)的取值范圍.*k232n1b2nn12）.an【答案】（1），【解析】1）根據(jù)等比數(shù)列的性質求得公比，進而得到數(shù)列的通項公式；由已知得到數(shù)列n是an以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，求得其通項公式，進而得到數(shù)列的通項公式；bnk3n3n3fn（2）等價轉化為對任意nN*恒成立，然后令，利用作差法研究單調性，得162n2n第15頁/共22頁k到最大值，進而求解得到的取值范圍.【詳解】設數(shù)列的公比為q，則1aqN*，n33aa2a42aaa,是與的等差中項，332444322q1q2q=2或q，解得(舍去)n32n143n1nb12b1，n1nb121，數(shù)列n是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，又n12nn21；nb5由2knan8n2k24，28n3k2n1232n18n32kk32n1整理可得，即，k3n3令對任意nN*恒成立，162nn3n2n3n22n34nfnfn1fn，則2n2n12n2n12n1n4n4fn1fn，當n5時，fn1fn,當時，當取得最大值，fn5或時，fnf416k31.解得.k41616.k故實數(shù)的取值范圍是20.已知點P到(0)的距離是點P到（1）求點P的軌跡方程；的距離的2倍.B0（2）若點P與點Q關于點B對稱，過B的直線與點Q值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.的軌跡交于，F(xiàn)兩點，探索是否為定E【答案】（1）x22y24（2）是定值，BEBF3【解析】【分析】(1)設點Px,y，根據(jù)兩點坐標求距離公式計算化簡即可；第16頁/共22頁(2)設的軌跡方程，直線l的方程、，Ex,y11Qx,y，根據(jù)中點坐標公式代入圓P方程中可得Q00Fx,y，聯(lián)立圓Q1xxx方程，利用韋達定理表示出,，結合向量數(shù)量積的坐標表示化簡計算即22212可；【小問1詳解】設點，由題意可得2，即x222Px,yy2xy2，2化簡可得x22y24.【小問2詳解】0x21Qx,y，由（1）P點滿足方程:x22設點4，y2，00yy00x20y024，即Qx2y4，2代入上式消去可得的軌跡方程為ykx1當直線l的斜率存在時，設其斜率為，則直線的方程為，kl2y42xy1k，消去，得2x22k2xk240，顯然0，由ykx12k2k42設，則xx12，xx，Ex,yFx,y1122121k21k2xy，2BEx1，又則12BEBF1x1x2121y21x1x212k2x1x112k422k21k1k2xx1k2xx1k221k21k212121k21k2k4k242k42k2k42k21k323.1k21k2E3F3，當直線l的斜率不存在時，，BEBF3.第17頁/共22頁故BEBF是定值，即BEBF3.21.已知函數(shù)fxexasinx1aR．fxπ3π,（1）當a1時，討論函數(shù)gx在上的單調性；ex22（2）當a3時，證明：對πx，有fxexx12e2x．π【答案】（1）在,0gx單調遞減，在單調遞增22（2）證明見解析【解析】1）由導函數(shù)符號變化，分區(qū)間討論單調性；（2）不等式等價變形，構造函數(shù)Fxe2x3sinxx2，求解導函數(shù)并利用放縮，再結合xsinx輔助角公式轉化利用有界性判斷導函數(shù)符號，得到函數(shù)單調性證明不等式.【小問1詳解】exsinx1sinx1當a1時，gx1，exexπ42x1xsinx1，gxexexπππππ42gx單調遞減；x03π0gx，當當時，x,cosx，24442ππ7ππ42gx0，gx，單調遞增．0xx,x時，24442π2π所以在,0gx單調遞減，在單調遞增．2【小問2詳解】要證xx12e2x，只要證3sinxx22e2x，fxe即證．e2x3sinxx22令Fxe2x3sinxx2，F(xiàn)xe2x6sinx2x3cosx5．第18頁/共22頁hxxsinxhx1cosx0當x0時，令，，所以在單調遞增，所以，即，xsinxhxhxh002x2sinx從而．所以2x6sinx2x3cosx5e2x6sinx2sinx3cosx5，F(xiàn)xee2x4sinx3cosx5e2x5sinx50，3545為輔助角，且滿足sin,其中，即可.所以在單調遞減，即．FxFxF02故