量子力學(xué)總結(jié)

圖23是電子在Au多晶的衍射圖樣。（2）電子干涉實(shí)驗(yàn)干涉實(shí)驗(yàn)說明：大量電子的一次性行為與單個(gè)電子的多次性行為表現(xiàn)出同樣的波動(dòng)性。干涉圖像的出現(xiàn)體現(xiàn)了微觀粒子的共同特性，它并不是由微觀粒子相互之間作用產(chǎn)生的，而是微觀粒子其個(gè)性的集體表現(xiàn)。結(jié)論：干涉、衍射現(xiàn)象是波動(dòng)本質(zhì)的體現(xiàn)，波動(dòng)是無條件的，干涉、衍射現(xiàn)象的觀測是有條件的。干涉圖像的出現(xiàn)體現(xiàn)了微觀粒子的共同特性，它并不是由微觀粒子相互之間作用產(chǎn)生的，而是微觀粒子其個(gè)性的集體表現(xiàn)。粒子的波粒二象性，從量子觀點(diǎn)看，所謂粒子性是它具有質(zhì)量、能量、動(dòng)量等粒子屬性。所謂波動(dòng)性是指其具有頻率、波長，在一定條件下，可觀察出干涉和衍射，波和粒子性是物質(zhì)同時(shí)具有的兩個(gè)屬性（但是不能同時(shí)觀測），如同硬幣的兩面。備注：宏觀粒子（如子彈）仍然具有波動(dòng)的屬性（“任何物體的運(yùn)動(dòng)伴隨著波，而且不可能將物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)和波的傳播分開”，認(rèn)為物體若以大小為P的動(dòng)量運(yùn)動(dòng)時(shí)，則伴隨有波長為的波動(dòng)），但是，觀察不到干涉現(xiàn)象。6、波函數(shù)及波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋（1）波函數(shù)：表示一個(gè)體系的粒子狀態(tài)，即用粒子坐標(biāo)和時(shí)間為變量的波函數(shù)作為體系粒子狀態(tài)全面的數(shù)學(xué)描述。（2）幾率密度||2：解釋為給定時(shí)間，在一定空間間隔內(nèi)發(fā)生一個(gè)粒子的幾率（或在一定空間間隔內(nèi)的幾率密度）（3）幾率||2d：空間d體積內(nèi)的幾率備注：波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋：|E|2解釋為“光子密度的幾率量度”首先考察光的雙縫干涉圖樣。由波動(dòng)圖像，屏幕上某點(diǎn)的強(qiáng)度I由下式給出 (2-13)式中：E為該點(diǎn)的電場強(qiáng)度；0為真空介電常數(shù)；c為光速。另一方面，由光子圖像，屏幕上一點(diǎn)的強(qiáng)度為 式中：hv是一個(gè)光子的能量；N為打在屏幕上該點(diǎn)的光子通量（單位時(shí)間通過單位面積的光子數(shù)），雖然單個(gè)光子到達(dá)屏幕什么地方無法預(yù)測，但亮帶光子到達(dá)的幾率大，暗帶光子到達(dá)的幾率小，在屏幕上一點(diǎn)的光子通量N，便是該點(diǎn)附近發(fā)現(xiàn)光子幾率的一個(gè)量度。因?yàn)?，所以上式說明，在某處發(fā)現(xiàn)一個(gè)光子的幾率與光波的電場強(qiáng)度的平方成正比。這就是愛因斯坦早在1907年對光輻射的量子統(tǒng)計(jì)解釋。||2解釋為給定時(shí)間，在一定空間間隔內(nèi)發(fā)生一個(gè)粒子的幾率由于電子也產(chǎn)生類似的干涉條紋，幾率大的地方，出現(xiàn)的電子多，形成明條波；在幾率小的地方，出現(xiàn)的電子少，形成暗條紋。與愛因斯坦把|E|2解釋為“光子密度的幾率量度”相似，玻恩把||2解釋為給定時(shí)間，在一定空間間隔內(nèi)發(fā)生一個(gè)粒子的幾率。玻恩指出“對應(yīng)空間的一個(gè)狀態(tài)，就有一個(gè)由伴隨這狀態(tài)的德布羅意波確定的幾率”。玻恩由此獲得了1954年諾貝爾物理獎(jiǎng)。（4）微觀物體任意運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（任意態(tài)）的描述（非定態(tài)波函數(shù)）及普遍物理詮釋按照態(tài)迭加原理，非征態(tài)可以表示成本征態(tài)的迭加： 代表總的幾率，可見就是態(tài)中本征態(tài)n的相對強(qiáng)度（成分），也就是態(tài)部分地處于n的相對幾率。＝在態(tài)中力學(xué)量F的取值n的幾率，這就是對波函數(shù)的普遍物理詮釋。備注：可以認(rèn)為是部分地處于1，部分地處于2，因此F的取值可以是1，也可以是2……總之，只要中存在n項(xiàng)，相對應(yīng)的本征值n就是F的一個(gè)取值。由（4-22）式Cn的公式知 對（4-21）取共軛后： （4-23）（4-21）與（4-23）相乘，再積分（本征態(tài)的正交歸一性）如果是歸一化的，即，則 （4-24）如果沒有歸一化，則 （4-25）由（4-24）式和（4-25）式得出代表總的幾率，可見就是態(tài)中本征態(tài)n的相對強(qiáng)度（成分），也就是態(tài)部分地處于n的相對幾率。＝在態(tài)中力學(xué)量F的取值n的幾率，這就是對波函數(shù)的普遍物理詮釋。7、波函數(shù)的性質(zhì)波函數(shù)及其一次微商在全部分布空間中都必須有限，單值、連續(xù)的，平方可積?！坝邢蕖钡囊笫菑牟ê瘮?shù)的幾率詮釋產(chǎn)生出來的，因?yàn)椋?代表幾率，而幾率總是有限的。“單值”是從波函數(shù)作為狀態(tài)的全面數(shù)學(xué)描述提出的要求，如果波函數(shù)“連續(xù)”的要求是多值函數(shù)，狀態(tài)性質(zhì)就無法確定了。“連續(xù)”可以從定態(tài)一維薛定諤方式：中直接得出，則上式變?yōu)椋海e分一次不管被積函數(shù)（V-E）是否連續(xù)，（有時(shí)V(x)不連續(xù)，在個(gè)別點(diǎn)有躍變），只要它是有限的，則其積分總是連續(xù)的，因此是連續(xù)的?！捌椒娇煞e”：為了計(jì)算方便，常引入一些不是平方可積的波函數(shù)（相當(dāng)于粒子運(yùn)動(dòng)范圍實(shí)際上沒有限制，粒子可以達(dá)無限遠(yuǎn)處），這時(shí)只要作合理數(shù)學(xué)處理，仍可用，歸一化幾率。8、波函數(shù)的疊加原理從經(jīng)典物理中波的概念知，波具有干涉、衍射現(xiàn)象，滿足疊加原理，微觀粒子具有波粒二象性，即具有波動(dòng)的特性，因此，微觀粒子的波函數(shù)也同樣具有疊加性，稱之為態(tài)疊加原理。疊迭加性表現(xiàn)在：任何一個(gè)態(tài)（波函數(shù)）總可以看成是由其他某些態(tài)（1，2……）線性疊加而成：＝C11+C22+……C1，C2……為復(fù)數(shù)如果波函數(shù)1，2，…是可以實(shí)現(xiàn)的態(tài)時(shí)，則它們的線性疊加式總是一個(gè)可以實(shí)現(xiàn)的態(tài)。當(dāng)粒子處于疊加態(tài)時(shí)，可以認(rèn)為它是部分地處于1態(tài)，部分地處于2態(tài)，……部分地處于n態(tài).9、幾率密度與幾率流密度幾率密度w： （2-17）幾率流密度 （2-22）幾率連續(xù)性方程，其積分形式為 （2-23）j的物理意義：（幾率流密度）（2-23）式中：左邊代表在封閉區(qū)域Vs中找到粒子的總幾率（或粒子數(shù)）在單位時(shí)間內(nèi)的增量，右邊（注意符號）內(nèi)通過則應(yīng)代表單位時(shí)間Vs的封閉表面S而流入Vs的內(nèi)的幾率（粒子數(shù)），所以j具有幾率流（粒子流）密度的意義，是一個(gè)矢量。這個(gè)表達(dá)式的物理意義是十分清楚的，即單位時(shí)間內(nèi)空間某一區(qū)域Vs中增加的幾率等于該區(qū)域邊界流入的幾率。9、定態(tài)（幾率）、束縛態(tài)（波函數(shù)為零）、本征態(tài)10、本征方程、本征函數(shù)、本征值11、算符的對易性12、常用力學(xué)量算符（能量、哈密頓算符、動(dòng)量、動(dòng)能、勢能、坐標(biāo)、角動(dòng)量、角動(dòng)量z軸分量），，，13、力學(xué)量算符的性質(zhì)（線性、厄米）14、線性算符的性質(zhì)15、厄米算符的性質(zhì)(1)、厄米量算符的本征值為實(shí)數(shù)(2)、厄米量算符不同本征值對應(yīng)的本征函數(shù)正交，歸一。(3)、厄米算符在一定條件下，厄米算符的本征函數(shù)組成完備系。13、14、15結(jié)論：(1)、力學(xué)量算符的本征值為實(shí)數(shù)(2)、力學(xué)量算符不同本征值對應(yīng)的本征函數(shù)正交，歸一。(3)、在一定條件下，力學(xué)量算符的本征函數(shù)組成完備系。16、隧道效益、塞曼效益、史塔克效益17、微擾的含義18、全同粒子、費(fèi)米子、波色子、洪特法則、泡利不相容原理19、海森堡測不準(zhǔn)關(guān)系（兩個(gè)物理量同時(shí)測量測不準(zhǔn)）20、兩個(gè)物理量同時(shí)測準(zhǔn)的條件基本公式薛定諤方程量子波動(dòng)方程，稱薛定諤方程。三維情況：稱拉普拉斯算符定義：稱為哈密頓算符三維薛定諤方程：2、定態(tài)薛定諤方程在勢能項(xiàng)V中不含時(shí)間t時(shí)，哈密頓算符也不顯含時(shí)間。將(r,t)中與時(shí)間有關(guān)的因子分離出來，令分離變量后得：c為常數(shù)。因此，薛定諤方程的解可以表示為 (2-14)波函數(shù)的空間部分(r)滿足方程: （2-15）粒子處于該狀態(tài)時(shí)能量為E，E與r、t無關(guān)是個(gè)常量，取確定值，所以由式（2-14）表示的狀態(tài)叫（能量）定態(tài)，這種形式的波函數(shù)叫定態(tài)波函數(shù)。方程（2-15）又叫定態(tài)薛定諤方程。定態(tài)波函數(shù)特點(diǎn)（判斷依據(jù)）：幾率密度與時(shí)間無關(guān)（駐波）。而含時(shí)間的薛定諤方程（2-12）的一般解，可以表示為這些定態(tài)波函數(shù)的線性疊加：（2-16a）式中cn為常數(shù)。3、一維無限深勢阱勢的解（能量本征方程、能量定態(tài)）4、諧振子的能量本征方程及其解（能量定態(tài)）5、動(dòng)量本征方程及其解（動(dòng)量定態(tài)）6、角動(dòng)量本征方程及其解（角動(dòng)量定態(tài)）7、中心力場問題的解（三維）8、算符的對易性一般來說，若算符和滿足，則稱為“可對易”，類似乘法的互易性；如果，則稱為和“不可對易”，定義對易關(guān)系式當(dāng)時(shí)，稱對易式當(dāng)時(shí)，稱不對易式9、動(dòng)量與坐標(biāo)、能量與時(shí)間的測不準(zhǔn)關(guān)系10、任意態(tài)的波函數(shù)、其所含本征態(tài)系數(shù)及幾率表達(dá)公式設(shè)力學(xué)量的正交歸一本征函數(shù)系為{n}，由于其完備性，任意一個(gè)波函數(shù)(r)都可以展開為 （4-21）展開式系數(shù)cn與位置矢r無關(guān)，以乘（4-21）式兩端，并對全空間積分兩端，并對全空間積分，考慮到正交歸一條件即得將可得展開式系數(shù)Cn的公式（4-22）對（4-21）取共軛后： （4-23）（4-21）與（4-23）相乘，再積分（本征態(tài)的正交歸一性）如果是歸一化的，即，則 （4-24）如果沒有歸一化，則 （4-25）11、任意態(tài)物理量值的平均值公式上式為平均值公式，即 （4-29）據(jù)此公式知，只要知道波函數(shù)，就可以直接計(jì)算任何力學(xué)量F的平均值，而不需要預(yù)先求出的全部本征值（進(jìn)而求加權(quán)平均）和本征函數(shù)。若沒有歸一化，則 （4-30） （4-31）第三部分習(xí)題1、求最大幾率半徑3-8第一激發(fā)態(tài)諧振子[解]由知幾率密度令，則由得，即6-3eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)球索內(nèi)出現(xiàn)電子的概率幾率密度由進(jìn)一步討論可知，只有r＝a0才是最大值處，所以最可幾半徑r＝a。2、定態(tài)方程（能量本征態(tài)方程）求解3-7一維勢阱解：定態(tài)方程為 （1） （2）令，E>0，所以為實(shí)數(shù)，方程（1）化為 （3）其通解為： （4）由連續(xù)條件 （5） （6）（5）＋（6）若B＝0，則A0，sina＝0 （7） （8）（6）－（5）得若A＝0，則B0，cosa＝0所以 （9） （10）（7）、（9）兩式可改寫為 （7） （9）（8）、（10）也可改寫為 （8） （9）將（9）～（10）四式合之有歸一化常數(shù)[注]兩個(gè)n可合為：3-10解由E滿足0<E<V0，分區(qū)求解定態(tài)方程可得當(dāng)及的連續(xù)性條件有，即 （1），即 （2）由（1）、（2）得 （3） （4）（4）－（3）得：令（為整數(shù)），則有 （5）但而故（5）式可化為： （6）采用數(shù)值解法或作圖法可求得不同n值的n值，由進(jìn)而求出En。3-11不對稱力場中的粒子解：束縛態(tài)要求（但）與上題解法相類似令，、、均為實(shí)數(shù)分別求解定態(tài)方程，利用x，有限條件有由x＝0,a時(shí)，、的連續(xù)性得 （1） （2）由（1） （3）由（2） （4）所以3-12平面轉(zhuǎn)子解：平面轉(zhuǎn)子作一維運(yùn)動(dòng)，繞z軸旋轉(zhuǎn)由 （1）令，（為實(shí)數(shù)），方程（1）可化為 （2）方程的解為： （3）由周期條件得， （4）（3）中A項(xiàng)表示逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，B項(xiàng)表示順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，＝m中，可正可負(fù)，所以只需保留一項(xiàng)， （5）能級 （6）（3-13范德瓦爾斯力解：為束縛態(tài)。分區(qū)求解定態(tài)方程可得：由x＝0，I＝II＝0，得A＋B＝0，所以B＝－A （1）x＝a：，由之得即 （2）x＝b：，由之得即 （3）由（2）式得 （4）由（3）式得： （5）（5）－（4）得：令為整數(shù)，則有或階梯勢的散射問題令E>V0時(shí)，x<0，在V＝－V0時(shí)，，x>0，在V＝V0時(shí)，，粒子一旦越過x＝0的點(diǎn)（階勢），則無阻擋，所以，無返回的波，即D＝0由x＝0的連續(xù)性條件： 3、算符對易性4-3(1)(2)(3)(4)例題、計(jì)算算符的對易關(guān)系[](為虛數(shù)單位)解：設(shè)為任意波函數(shù)所以，對易關(guān)系為4、平均值的求解4-9解：1）由得2）由時(shí)間因子，有3）4-10基態(tài)一維諧振子解：（1）利用8題結(jié)果可直接得出：（2）或直接由基態(tài)波函數(shù)計(jì)算。（3）動(dòng)量幾率分布——?jiǎng)恿勘菊骱瘮?shù)所以幾率振幅積分第二項(xiàng)為奇導(dǎo)數(shù)，結(jié)果為0，故積分項(xiàng)4-111）求、由得平均動(dòng)能2）t時(shí)刻式中，而4-12解：1）粒子動(dòng)量幾率分布先歸一化：由有幾率分布2）平均動(dòng)量由于p連續(xù)取值，故（奇函數(shù)