2023-2024學年人教A版必修第二冊 線面垂直的性質(zhì)與空間距離 學案

第2課時線面垂直的性質(zhì)與空間距離學習任務(wù)1．理解直線與平面垂直的性質(zhì)定理．(數(shù)學抽象、邏輯推理)2．理解空間距離相關(guān)定義并會求相應(yīng)的距離．(數(shù)學抽象、數(shù)學運算)如圖，是我們比較熟悉的廣場中的路燈．問題：(1)燈桿與水平面有什么樣的位置關(guān)系？(2)燈桿與燈桿之間有什么樣的位置關(guān)系？(3)由此你能得出什么結(jié)論？知識點1直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言垂直于同一個平面的兩條直線平行符號語言a⊥αb⊥圖形語言在長方體ABCD-A′B′C′D′中，棱AA′，BB′所在直線與平面ABCD位置關(guān)系如何？這兩條直線又有什么樣的位置關(guān)系？[提示]棱AA′，BB′所在直線都與平面ABCD垂直；這兩條直線互相平行．知識點2空間距離1．過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到該平面的距離．2．一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫做這條直線到這個平面的距離．3．如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的任意一點到另一個平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個平行平面間的距離．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，則直線AB到平面A1B1C1D1的距離為______；平面ADD1A1與平面BCC1B1之間的距離為________．[答案]24類型1線面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用【例1】如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一點，N是A1C的中點，MN⊥平面A1DC.求證：MN∥AD1．[證明]因為四邊形ADD1A1為正方形，所以AD1⊥A1D.又因為CD⊥平面ADD1A1，AD1?平面ADD1A1，所以CD⊥AD1．因為A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.又因為MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1．證明線線平行常用的方法(1)利用線線平行定義：證共面且無公共點．(2)利用三線平行公理：證兩線同時平行于第三條直線．(3)利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行．(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直．(5)利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行．[跟進訓練]1．如圖，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足為A，EB⊥β，垂足為B，直線a?β，a⊥AB.求證：a∥l.[證明]因為EA⊥α，α∩β＝l，即l?α，所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因為EB⊥β，a?β，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.由線面垂直的性質(zhì)定理，得a∥l.類型2空間中的距離問題【例2】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，∠ADC＝45°，PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝1，AD＝3,求點D到平面PBC的距離．[思路導引]點D到平面PBC的距離轉(zhuǎn)化化歸點A到平面PBC的距離．[解]法一(幾何法)：因為AD∥BC，AD?平面PBC，BC?平面PBC，所以AD∥平面PBC.于是點D到平面PBC的距離可轉(zhuǎn)化為點A到平面PBC的距離．如圖，在平面PAB內(nèi)作AH⊥PB交PB于點H.因為PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PA⊥BC.又AB⊥BC，且PA∩AB＝A，PA?平面PAB，AB?平面PAB，所以BC⊥平面PAB，而AH?平面PAB，所以BC⊥AH.又PB∩BC＝B，且PB?平面PBC，BC?平面PBC，所以AH⊥平面PBC.即AH為點A到平面PBC的距離．在直角三角形PAB中，AB＝AP＝1，故PB＝2，由S△PAB＝12PB×AH得AH＝PA×即點A到平面PBC的距離為22所以點D到平面PBC的距離為22法二(等體積轉(zhuǎn)化法)：因為AD∥BC，AD?平面PBC，BC?平面PBC，所以AD∥平面PBC.于是點D到平面PBC的距離可轉(zhuǎn)化為點A到平面PBC的距離，設(shè)為h，連接AC(圖略)，則V三棱錐A-PBC＝V三棱錐P-ABC，即13×S△PBC×h＝13×S△ABC×因為PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥BC.又AB⊥BC，且PA∩AB＝A，PA?平面PAB，AB?平面PAB，所以BC⊥平面PAB.又PB?平面PAB，所以BC⊥PB，即△PBC是直角三角形．又∠ADC＝45°，AB＝AP＝1，AD＝3，所以BC＝2,PB＝2，所以h＝12則點D到平面PBC的距離為22空間中距離的轉(zhuǎn)化(1)利用線面、面面平行轉(zhuǎn)化：利用線面距離、面面距離的定義，轉(zhuǎn)化為直線或平面上的另一點到平面的距離．(2)利用中點轉(zhuǎn)化：如果條件中具有中點條件，將一個點到平面的距離，借助中點(等分點)，轉(zhuǎn)化為另一點到平面的距離．(3)通過換底轉(zhuǎn)化：一是直接換底，以方便求幾何體的高；二是將底面擴展(分割)，以方便求底面積和高．[跟進訓練]2．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，A1A＝1．(1)證明：直線BC1∥平面D1AC；(2)求直線BC1到平面D1AC的距離．[解](1)證明：∵ABCD-A1B1C1D1為長方體，∴AB∥C1D1，AB＝C1D1，∴四邊形ABC1D1為平行四邊形，∴BC1∥AD1，顯然B不在平面D1AC上，于是直線BC1∥平面D1AC.(2)直線BC1到平面D1AC的距離即為點B到平面D1AC的距離，設(shè)為h，考慮三棱錐D1-ABC的體積，以平面ABC為底面，可得V＝13∵在△AD1C中，AC＝D1C＝5，∴cos∠ACD1＝45，sin∠ACD1＝3∴S△AD∴V＝13×32×即直線BC1到平面D1AC的距離為23類型3直線與平面垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用【例3】如圖，AB為⊙O直徑，C為⊙O上一點，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AF⊥PC，求證：PB⊥EF.[證明]因為PA⊥平面ABC，BC在平面ABC上，所以PA⊥BC.又AB是圓O的直徑，所以AC⊥BC.又AC，PA在平面PAC中交于A，所以BC⊥平面PAC.又AF?平面PAC，所以BC⊥AF.因為AF⊥PC，BC，PC在平面PBC中交于C，所以AF⊥平面PBC.又PB?平面PBC，所以AF⊥PB.又AE⊥PB，AF，AE在平面AEF中交于A，所以PB⊥平面AEF，所以PB⊥EF.關(guān)于線面垂直判定、性質(zhì)的應(yīng)用(1)分析已知的垂直關(guān)系，得出能夠推出的線線、線面垂直，即挖掘已知條件，以方便后續(xù)證明．(2)證明垂直關(guān)系時往往需要逆向思維，如要證明直線a垂直于平面α內(nèi)直線b，可以考慮證明直線b垂直于直線a所在的平面β.(3)掌握線線、線面垂直的相互轉(zhuǎn)化．[跟進訓練]3．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，PA＝AD＝2．(1)求證：CD⊥平面PAC；(2)在棱PC上是否存在點H，使得AH⊥平面PCD？若存在，確定點H的位置；若不存在，說明理由．[解](1)證明：由題意，可得DC＝AC＝2，又AD＝2，所以AC2＋DC2＝AD2，即AC⊥DC，又因為PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又因為PA∩AC＝A，所以DC⊥平面PAC.(2)過點A作AH⊥PC，垂足為H，由(1)可得CD⊥AH，又PC∩CD＝C，所以AH⊥平面PCD，因為在Rt△PAC中，PA＝2，AC＝2，PHPA＝PAPC，解得PH＝263，所以PH＝23PC，即在棱PC上存在點H1．已知直線a，b，平面α，且a⊥α，下列條件中，能推出a∥b的是()A．b∥αB．b?αC．b⊥αD．b∩α＝A[答案]C2．(多選)已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，則下列結(jié)論中正確的是()A．PB⊥BCB．PD⊥CDC．PD⊥BDD．PA⊥BDABD[PA⊥平面ABCD?PA⊥BD，D正確；PA⊥平面ABCD?PA⊥BC矩形ABCD?故A正確；同理B正確；C錯誤．]3．線段AB在平面α的同側(cè)，A，B到α的距離分別為3和5，則AB的中點到α的距離為________．4[如圖，設(shè)AB的中點為M，分別過A，M，B向α作垂線，垂足分別為A1，M1，B1，則由線面垂直的性質(zhì)可知，AA1∥MM1∥BB1，四邊形AA1B1B為直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1為其中位線，∴MM1＝4．]4．已知四邊形ABCD為平行四邊形，PA⊥平面ABCD，當平行四邊形ABCD滿足條件______時，有PC⊥BD(填上你認為正確的一個條件即可)．[答案]四邊形ABCD為菱形(答案不唯一)回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：1．線面垂直的性質(zhì)定理揭示了平行關(guān)系與垂直關(guān)系之間的相互轉(zhuǎn)化，你能表述一下他們間的轉(zhuǎn)化關(guān)系嗎？[提示]平行關(guān)系與垂直關(guān)系之間的相互轉(zhuǎn)化2．點到平面的距離、直線到平面的距離以及平面到平面的距離之間是如何轉(zhuǎn)化的？[提示]直線到平面的距離以及平面到平面的距離都可以轉(zhuǎn)化為點到平面的距離．課時分層作業(yè)(三十四)線面垂直的性質(zhì)與空間距離一、選擇題1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若直線l(與直線BB1不重合)⊥平面A1C1，則()A．B1B⊥lB．B1B∥lC．B1B與l異面但不垂直D．B1B與l相交但不垂直B[因為B1B⊥平面A1C1，l⊥平面A1C1，所以l∥B1B.]2．(多選)下列命題正確的是()A．a(chǎn)∥ba⊥α?b⊥α B．C．a(chǎn)⊥αa⊥b?b∥α D．AB[由線面垂直的性質(zhì)定理可得AB正確．]3．空間四邊形ABCD的四邊相等，則它的兩對角線AC，BD的關(guān)系是()A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交C[如圖，取BD中點O，連接AO，CO，則BD⊥AO，BD⊥CO，∴BD⊥平面AOC，BD⊥AC，又BD，AC異面，∴BD與AC垂直但不相交，故選C.]4．已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，則點C到平面BDD1B1的距離為()A．1B．2C．22D．23B[如圖，連接AC，DB交于點O，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，∵DB⊥AC，BB1⊥AC，BB1∩DB＝B，∴AC⊥平面BDD1B1．∴點C到平面BDD1B1的距離為CO.∵AB＝2，∴AC＝22，∴CO＝125．(多選)PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面，C為圓上異于A，B的任意一點，則下列關(guān)系正確的是()A．PA⊥BCB．BC⊥平面PACC．AC⊥PBD．PC⊥BCABD[∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，A選項正確；又∵BC⊥AC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，又PC?平面PAC，∴BC⊥PC，∴B，D選項均正確．故選ABD.]二、填空題6．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，則點C到平面ABB1A1的距離為________．5[如圖，取AB的中點D，連接CD.因為CA＝CB，所以CD⊥AB.因為AA1⊥平面ABC，CD?平面ABC，所以AA1⊥CD.因為AB∩AA1＝A，所以CD⊥平面ABB1A1．所以點C到平面ABB1A1的距離為CD＝BC7．如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，PA⊥平面ABC，此圖形中有________個直角三角形．4[∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，∵AC⊥BC，且PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC.綜上知：△ABC，△PAC，△PAB，△PBC都是直角三角形，共有4個．]8．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，F(xiàn)是AC的中點，E是PC上的點，且EF⊥BC，則PEEC1[在三棱錐P-ABC中，因為PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，所以AB⊥平面PAC.因為EF?平面PAC，所以EF⊥AB，因為EF⊥BC，BC∩AB＝B，所以EF⊥平面ABC，所以PA∥EF，因為F是AC的中點，E是PC上的點，所以E是PC的中點，所以PEEC＝1．三、解答題9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，CD⊥平面PAD，AD＝2PD＝4，AB＝6，PA＝25，∠BAD＝60°，點Q在棱AB上．(1)證明：PD⊥平面ABCD；(2)若三棱錐P-ADQ的體積為23，求點B到平面PDQ的距離．[解](1)證明：因為AD＝2PD＝4，PA＝25，所以PA2＝PD2＋AD2，即PD⊥AD，因為CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD，且AD∩CD＝D，所以PD⊥平面ABCD.(2)因為三棱錐P-ADQ的體積為23，所以13S△ADQ·PD＝23，所以S△ADQ＝33所以12AD·AQ·sin60°＝33，所以AQ＝所以Q為AB中點，即點A到平面PDQ的距離等于點B到平面PDQ的距離．在△ADQ中，由余弦定理可得DQ＝AD所以S△PDQ＝12由VP-ADQ＝VA-PDQ?23＝13×13×d所以點B到平面PDQ的距離為63910．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，平面AB1D1到平面BC1D的距離為()A．22B．62C．6C[由題意知兩平面平行，所以原問題等價于求解點C1到平面AB1D1的距離h，由等體積法可得VC1-AB1D1＝VA-B1C1D1，即13×12×22×sin60°·h＝13×12×211．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是棱DD1的中點，則過M且與直線AB和B1C1都垂直的直線有()A．1條 B．2條C．3條 D．無數(shù)條A[顯然DD1是滿足條件的一條，如果還有一條l滿足條件，則l⊥B1C1，l⊥AB.又AB∥C1D1，則l⊥C1D1．又B1C1∩C1D1＝C1，所以l⊥平面B1C1D1．同理DD1⊥平面B1C1D1，則l∥DD1．又l與DD1都過M，這是不可能的，因此只有DD1一條滿足條件．]12．一條與平面α相交的線段AB，其長度為10cm，兩端點A，B到平面α的距離分別是3cm，2cm，則線段AB與平面α所成的角大小是________．30°[如圖，作AC⊥α，BD⊥α，垂足分別為C，D，則AC∥BD，AC，BD確定的平面與平面α交于CD，且CD與AB相交于O，AB＝10cm，AC＝3cm，BD＝2cm，則AO＝6cm，BO＝4cm，∴∠AOC＝∠BOD＝30°，即線段AB與平面α所成的角的大小為30°.]13．已知矩形ABCD的邊AB＝a，BC＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝2，現(xiàn)有以下五個數(shù)據(jù)：①a＝12；②a＝1；③a＝3；④a＝2；⑤a＝4．若BC邊上存在點Q，使PQ⊥QD，則a①(或②)[如圖所示．因為PA⊥平面ABCD，QD?平面ABCD，所以PA⊥QD，又PQ⊥QD，PQ∩PA＝P，所以QD⊥平面PAQ，因為AQ?平面PAQ，所以QD⊥AQ，所以Q在以AD為直徑的圓上，若BC邊上存在點Q，使PQ⊥QD，則BC與以AD為直徑的圓有公共點，所以AB≤12AD，即a≤故答案為：①或②.]14．如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，B1C的中點為O，且AO⊥平面BB1C1C.(1)證明：B1C⊥AB；(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC-A1B1C1的高．[解](1)證