2022年高考全國(guó)乙卷文科數(shù)學(xué)試題試卷歷年真題及答案解析

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

文科數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)框涂黑.如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)框，回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.

寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

l.集合Af={2,4,6,8，10}，N={x|-L<x<6},則MN=（）

A.[254}B.[2,4,6)C.[2,4,6,8)D.{2,4,6,8,10)

2.設(shè)(l+2i)a+b=2i,其中a,6為實(shí)數(shù)，則（)

A.a=l,b=-1B.a=l,b=lC.a=-l,b=iD.a=-1,Z?=-1

rr

3.已知向量a=(2,1)乃二(—2,4),貝!Ja—6()

A.2B.3C.4D.5

4.分別統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩位同學(xué)16周的各周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)（單位：h）,得如下莖葉圖：

甲乙

615.

85306.3

75327.46

64218.12256666

429.0238

10.1

則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本中位數(shù)為7.4

B.乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本平均數(shù)大于8

C.甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于8的概率的估計(jì)值大于0.4

1

D.乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于8的概率的估計(jì)值大于0.6

x+y>2,

5.若x,y滿足約束條件<x+2yV4,則z=2x—y的最大值是（）

y>0,

A.-2B.4C,8D.12

6.設(shè)尸為拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)3（3,0）,若|AF|=|族貝卜（）

A.2B.272C.3D.372

7.執(zhí)行下邊的程序框圖，輸出的“=（）

A3B.4C.5D.6

8.如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間［-3,3］的大致圖像，則該函數(shù)是（）

2

—33

A%+3xx-x-2xcosx2sinx

B.y=cy=2D.y=

A戶FTx2+lX+1%2+1

9.在正方體ABC。-A瓦G2中，E,P分別為AB,BC的中點(diǎn)，貝|J()

A.平面BXEF±平面BDDlB.平面BXEF1平面\BD

C平面5iER//平面4ACD.平面gEE//平面AG。

10.已知等比數(shù)列｛4｝的前3項(xiàng)和為168,a2-a5=42,則1=()

A.14B.12C.6D.3

11.函數(shù)〃x)=cosx+(x+l)sinx+l在區(qū)間［0,2兀］的最小值、最大值分別為()

兀兀371717171.3兀兀一

A.------,-B.------,-C.----,—F2D.-------,—F2

22222222

12.已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為O,底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球。的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最

大時(shí)，其高為()

A.-B.1C.走D.交

3232

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.記S”為等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和.若2s3=3邑+6,則公差d=.

14.從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選概率為.

15.過(guò)四點(diǎn)(0,0),(4,0),(—1,1),(4,2)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為.

16.若/(x)=lna+J—+6是奇函數(shù)，則。=,b=.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17?21題為必考題，每個(gè)

試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

17.記ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sinCsin(A-B)=sin5sin(C-A).

(1)若A=25,求C；

(2)證明：2a2=^+c2

18.如圖，四面體ABC。中，AD±CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E為AC的中點(diǎn).

3

（1）證明：平面平面ACD；

（2）設(shè)45=5。=2,NACB=60°,點(diǎn)/在8。上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求三棱錐尸—A6c的體

積.

19.某地經(jīng)過(guò)多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計(jì)一林區(qū)某種樹(shù)木的總材積量，隨機(jī)選取

了10棵這種樹(shù)木，測(cè)量每棵樹(shù)的根部橫截面積（單位：m2）和材積量（單位：n?），得到如下數(shù)據(jù)：

總

樣本號(hào)i12345678910

和

根部橫截面積

0.040.060.040.080.080.050.050.070070.060.6

占

材積量為0.250.400.220.540.510.340.360460.420.403.9

101010

并計(jì)算得?2=0.038,=1.6158,=0.2474.

i=li=li=l

（1）估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

（2）求該林區(qū)這種樹(shù)木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；

（3）現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹(shù)木的根部橫截面積，并得到所有這種樹(shù)木的根部橫截面積總和為186m2,已

知樹(shù)木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量的估計(jì)值.

力玉一元）（乂一反）_____

附：相關(guān)系數(shù)廠=?>，J1.896工1.377.

Vi=li=l

20.已知函數(shù)/（九）=冰---（6z+l）lnx.

x

（1）當(dāng)。=0時(shí)，求人九）的最大值；

（2）若/（尤）恰有一個(gè)零點(diǎn)，求〃的取值范圍.

4

21.已知橢圓￡的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過(guò)A（0,-2）,31兩點(diǎn).

（1）求E的方程;

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P。,-2）的直線交E于N兩點(diǎn)，過(guò)M且平行于x軸的直線與線段A3交于點(diǎn)7,點(diǎn)X滿足

MT=TH-證明：直線HN過(guò)定點(diǎn)?

（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中選定一題作答，并用2B鉛筆在答題卡上將

所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)方框涂黑.按所涂題號(hào)進(jìn)行評(píng)分，不涂、多涂均按所答第一題評(píng)分；多

答按所答第一題評(píng)分.

［選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

X-cos2t

22.在直角坐標(biāo)系九0y中，曲線。的參數(shù)方程為｛，（方為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正

y=2sin/

半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線/的極坐標(biāo)方程為夕sin+根=0.

（1）寫(xiě)出/的直角坐標(biāo)方程；

（2）若/與C有公共點(diǎn)，求相的取值范圍.

［選修4—5：不等式選講］

333

23.已知〃，b,c都是正數(shù)，且〃萬(wàn)+人萬(wàn)+^^=］，證明：

1

(1)ab7c<一；

9

abc,1

b+ca+ca+b2y1abc

5

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

文科數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案

標(biāo)號(hào)框涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)框，回答非選擇

題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

L集合M={2,4,6,8，10}，N=e-l<x<6},則MN=()

A.{2,4}B.[2,4,6}C.[2,4,6,8}D.

[2,4,6,8,10)

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可解出.

【詳解】因?yàn)椤?{2,4,6,8,10},N={x[—l<x<6},所以"N={2,4}.

故選：A.

2.設(shè)(l+2i)a+Z?=2i,其中兄。為實(shí)數(shù)，則()

A.a=l,b=-lB,a=l,b=lC.a=-l.b=1D.

a=-l.b=-1

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則以及復(fù)數(shù)相等的概念即可解出.

【詳解】因?yàn)镽,(a+b)+2ai=2i,所以〃+/?=0,2。=2,解得：a=l,b=-l.

故選：A.

rr

3.已知向量〃=(2,1)乃=(—2,4),則?！?()

A.2B.3C.4D.5

6

【答案】D

【解析】

【分析】先求得然后求得|〉北

【詳解】因?yàn)閍—沙=（2,1）-（一2,4）=（4,—3）,所以卜—0=,4?+（—3『=5.

故選：D

4.分別統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩位同學(xué)16周的各周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)（單位：h）,得如下莖葉圖:

甲乙

615.

85306.3

75327.46

64218.12256666

429.0238

10.1

則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本中位數(shù)為7.4

B.乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本平均數(shù)大于8

C.甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于8的概率的估計(jì)值大于0.4

D.乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于8的概率的估計(jì)值大于0.6

【答案】C

【解析】

【分析】結(jié)合莖葉圖、中位數(shù)、平均數(shù)、古典概型等知識(shí)確定正確答案.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本中位數(shù)為空土至=7.4,A選項(xiàng)

2

結(jié)論正確.

對(duì)于B選項(xiàng)，乙同學(xué)課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本平均數(shù)為：

6.3+7.4+7.6+8.1+8.2+8.2+8.5+8.6+8.6+8.6+8.6+9.0+9.2+9.3+9.8+10.1

=8.50625>8

16

B選項(xiàng)結(jié)論正確.

對(duì)于C選項(xiàng)，甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于8的概率的估計(jì)值色=0.375<0.4,

16

C選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤.

7

對(duì)于D選項(xiàng)，乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于8的概率的估計(jì)值一=0.8125>0.6,

16

D選項(xiàng)結(jié)論正確.

故選：C

x+y>2,

5.若x,>滿足約束條件<x+2yW4,則z=2x—y的最大值是()

y>0,

A.-2B.4C.8D.12

【答案】C

【解析】

【分析】作出可行域，數(shù)形結(jié)合即可得解.

【詳解】由題意作出可行域，如圖陰影部分所示，

轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)z=2x—y為y=2x—z,

上下平移直線y=2x-z,可得當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)(4,0)時(shí)，直線截距最小，z最大,

所以Zmax=2x4-0=8-

故選：C.

6.設(shè)廠為拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)8(3,0),^\AF\=\BF\,則〔AB卜

()

A.2B.2A/2C.3D.3也

【答案】B

8

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離相等，從而求得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得

點(diǎn)A坐標(biāo)，即可得到答案.

【詳解】由題意得，"(1,0),則|AF|=|5同=2,

即點(diǎn)A到準(zhǔn)線x=—1的距離為2,所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-1+2=1,

不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸上方，代入得，4(1,2),

所以|=J(3-仔+(0_2/=272.

故選：B

7.執(zhí)行下邊的程序框圖，輸出的〃=()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)框圖循環(huán)計(jì)算即可.

【詳解】執(zhí)行第一次循環(huán)，6=6+2。=1+2=3,

a=b—a=3—1=2,n=n+l=2,

32

-2=->0.01；

a4

執(zhí)行第二次循環(huán)，〃=〃+2。=3+4=7,

9

a=b—a=rl—2=5.n=n+\=3,

72

-2=—>0.01；

aF25

執(zhí)行第三次循環(huán)，》=>+2a=7+10=17,

a=b—a=17—5=12,zi=n+l=4,

1721

——v-2=——<0.01,此時(shí)輸出〃=4.

a122144

故選：B

8.如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間［-3,3］的大致圖像，則該函數(shù)是（）

.-+3xB-T2xcosx

.丁一/+]C.D.

2sin%

-2~~

y~x+17

【答案】A

【解析】

【分析】由函數(shù)圖像的特征結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得解.

3_

【詳解】設(shè)/（%）=黃:則/⑴=0,故排除B;

設(shè)力⑴=2；：：：,當(dāng)時(shí)，0<cosx<l,

LLr、I1(\COSX>>Jtr~

所以〃(x)=—^――<^—-<A1,故排除C;

八十J.人十1

、門(mén)/、2sinxn/c、2sin3?上心必口〃人一

設(shè)g（%）=m，則g⑶=-1。>0,故排除D.

故選：A.

10

9.在正方體ABCO-ABC2中，E,P分別為AB,5c的中點(diǎn)，貝IJ()

A.平面B[EF±平面BDD,B.平面B,EF1平面\BD

C.平面四所//平面4ACD.平面4EF//平面4G。

【答案】A

【解析】

【分析】證明ERL平面3。，，即可判斷A；如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)A5=2,分別求出平面片EF,A}BD,4G。的法向量，根據(jù)法向量的位置關(guān)系，即

可判斷BCD.

【詳解】解：在正方體ABCD-AAG，中，

AC±貶＞且。R±平面ABCD,

又EFu平面ABCD,所以EE，。。，

因?yàn)橥?分別為AB,的中點(diǎn)，

所以"AC,所以石尸，5D，

又BDDD、=D,

所以跖J_平面5。，，

又EFu平面B]EF,

所以平面與EF，平面BDDX,故A正確；

選項(xiàng)BCD解法一：

如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)A3=2,

則4(2,2,2),E(2」,0),下。,2,0),5(2,2,0),4(2,0,2)4(2,0,0),C(0,2,0),

G(022),

則所=(一1,1,0),EB1=(0,1,2),=(2,2,0),必=(2,0,2),

M=(O,O,2),AC=(-2,2,O)，Aq=(-2,2,0),

設(shè)平面的法向量為加=(%,%,zj,

m-EF=一%+必=0

則有《可取機(jī)=(2,2,-1),

m?EB、=%+24=0

同理可得平面43。的法向量為4=(1,-1,-1),

平面AAC的法向量為％=(1,1,0),

11

平面4G。的法向量為4=(1,1,-1)，

則加4=2—2+1=17^0.

所以平面與ER與平面A8D不垂直，故B錯(cuò)誤;

UU

因?yàn)榧优c為不平行，

所以平面與ER與平面4AC不平行，故C錯(cuò)誤;

因?yàn)榧优c〃3不平行，

所以平面與ER與平面44。不平行，故D錯(cuò)誤,

故選：A.

選項(xiàng)BCD解法二：

解：對(duì)于選項(xiàng)B,如圖所示，設(shè)4315也=",EF]BD=N,則MN為平面用EP與

平面43。的交線，

在ABMN內(nèi)，作BPLMN于點(diǎn)尸,在.EMN內(nèi)，作GPLaW,交EN于點(diǎn)、G,連結(jié)

BG,

則NBPG或其補(bǔ)角為平面BXEF與平面AXBD所成二面角的平面角,

12

由勾股定理可知：PB2+PN-=BN2,PG2+PN2=GN2，

底面正方形ABCD中，瓦口為中點(diǎn)，則石

由勾股定理可得NB2+NG2=BG2,

從而有：NB2+NG2=仍必+PN2)+(PG2+PN2)=BG2,

據(jù)此可得PB2+PG2豐BG~，即NBPG豐90，

據(jù)此可得平面B.EF±平面ABD不成立，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,取4片的中點(diǎn)〃，則AHBXE,

由于AH與平面AAC相交，故平面與EP〃平面AAC不成立，選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)D,取A。的中點(diǎn)M,很明顯四邊形4四9為平行四邊形，則4MB{F,

由于4"與平面4G。相交，故平面〃平面AG。不成立，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

13

10.已知等比數(shù)列｛4｝的前3項(xiàng)和為168,%-％=42,則4=()

A14B.12C.6D.3

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛q,｝公比為4國(guó)力0,易得qwl,根據(jù)題意求出首項(xiàng)與公比，再根

據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)即可得解.

【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為

若q=l,則%=0，與題意矛盾,

所以4/1,

3=168

ax%=96

q+出+%=—

則《i—q，解得1

q=—

a2-a5=a1q—ad=422

所以&=喑=3.

故選：D.

11.函數(shù)/(%)=cosx+(x+l)sinx+l在區(qū)間［0,2兀］的最小值、最大值分別為()

兀兀3兀兀兀兀C

A.-9-B.------C.——,-+2D.

222222

-絲4+2

22

【答案】D

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得“X)的單調(diào)區(qū)間，從而判斷出八％)在區(qū)間［0,2可上的最小值和最

大值.

【詳解】/"(%)=-sinx+sinx+(x+l)cosx=(x+l)cosx,

所以/(%)在區(qū)間［。，3和，2兀］上/'(X)>0,即/(力單調(diào)遞增；

(jr37r\

在區(qū)間萬(wàn),萬(wàn)上/"(尤卜。，即〃龍)單調(diào)遞減，

14

71

又/（0）=/（2兀）=2,f3+2,

所以/（%）在區(qū)間［0,271］上的最小值為-學(xué),最大值為四+2.

22

故選：D

12.已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為O,底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球。的球面上，則當(dāng)該

四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（）

A.-B.1C.走D.立

3232

【答案】C

【解析】

【分析】方法一：先證明當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)。到底面ABCD所在小圓距離一定時(shí)，底面ABCD

面積最大值為2/，進(jìn)而得到四棱錐體積表達(dá)式，再利用均值定理去求四棱錐體積的最大值，

從而得到當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)其高的值.

【詳解】［方法一］:【最優(yōu)解】基本不等式

設(shè)該四棱錐底面為四邊形ABC，四邊形所在小圓半徑為r,

設(shè)四邊形ABC。對(duì)角線夾角為a,

111,

則S^c。=~ACBDsma<-ACBD<--2r-2r=2r

（當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)等號(hào)成立）

即當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)。到底面ABCD所在小圓距離一定時(shí)，底面ABC。面積最大值為2r2

又設(shè)四棱錐的高為3則產(chǎn)+川=1，

當(dāng)且僅當(dāng)/=2/r即九邛時(shí)等號(hào)成立.

故選：C

［方法二］:統(tǒng)一變量+基本不等式

由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長(zhǎng)為。，底面所在圓的半徑為

r,則廠=等。，所以該四棱錐的高〃=/彳，

15

（當(dāng)且僅當(dāng)k=1-2，即4=3時(shí)，等號(hào)成立）

423

所以該四棱錐的體積最大時(shí)，其高〃=/?==

故選：C.

［方法三］:利用導(dǎo)數(shù)求最值

由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長(zhǎng)為。，底面所在圓的半徑為

r,則r=正。，所以該四棱錐的高/「Z,y=la\CZ,令/=如</<2）,

2V23V2

,設(shè)/?）=產(chǎn)-；，則r?）=2/-｝

0</<§,單調(diào)遞增，1<t<2,/,（r）<0,單調(diào)遞減,

所以當(dāng)/=3時(shí)，V最大，==

故選：c.

【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：思維嚴(yán)謹(jǐn)，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是該題的最優(yōu)解；

方法二：消元，實(shí)現(xiàn)變量統(tǒng)一，再利用基本不等式求最值；

方法三：消元，實(shí)現(xiàn)變量統(tǒng)一，利用導(dǎo)數(shù)求最值，是最值問(wèn)題的常用解法，操作簡(jiǎn)便，是通

性通法.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.記S“為等差數(shù)列｛4,｝的前〃項(xiàng)和.若2s3=3$2+6,則公差d=.

【答案】2

【解析】

【分析】轉(zhuǎn)化條件為2（q+2d）=2q+d+6,即可得解.

【詳解】由2s3=3S2+6可得2（q+%+%）=3（&+%）+6,化簡(jiǎn)得2%=%+/+6,

即2（q+2d）=2tzi+d+6,解得d=2.

故答案為：2.

16

14.從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為

3

【答案】—##0.3

10

【解析】

【分析】根據(jù)古典概型計(jì)算即可

【詳解】解法一：設(shè)這5名同學(xué)分別為甲，乙，1,2,3,從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名，

有：（甲，乙，1）,（甲，乙，2）,（甲，乙，3）,（甲，1,2）,（甲，1,3）,（甲，2,3）,（乙,

1,2）,（乙,1,3）,（乙,2,3）,（1,2,3）,共10種選法；

3

其中，甲、乙都入選的選法有3種，故所求概率P=—.

10

3

故答案為：—.

10

解法二：從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名的方法數(shù)為C；=10

3

甲、乙都入選的方法數(shù)為C；=3,所以甲、乙都入選的概率P=—

,3

故答案為：—

15.過(guò)四點(diǎn)（0,0）,（4,0）,（-1,1）,（4,2）中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為

【答案】（x-2）2+（y-3）2=%或

9

169

25

【分析】法一：設(shè)圓的方程為無(wú)2+產(chǎn)+m+4+尸=。，根據(jù)所選點(diǎn)的坐標(biāo)，得到方程組,

解得即可；

【詳解】［法一］:圓的一般方程

依題意設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,

F=QF=Q

（1）若過(guò)（0,0）,（4,0）,（-1,1）,貝416+4D+R=0

解得￡?=-4,

1+1-D+E+F=0E=-6

2

所以圓的方程為/+y-4x-6y=0,即（x—2）2+（y—3）2=13；

17

F=0fF=O

⑵若過(guò)(0,0),(4,0),(4,2),則＜16+4。+歹=0,解得＜￡＞=—4,

16+4+4D+2E+R=0[E=-2

所以圓的方程為犬+/-4x-2y=0,即(x—2)2+(y—I?=5；

F=0

F=0

(3)若過(guò)(0,0),(4,2),(-1,1),貝卜1+1-D+E+F=0,解得《

3

16+4+4D+2E+F=0

「14

E=------

3

所以圓的方程為x2+y2_|x_^y=0,即[x—g]+('—g]=y

L16

F二---------

5

1+1-D+E+F=0

0」

(4)若過(guò)(-1,1),(4,0),(4,2),貝卜16+4D+R=0,解得＜

5

16+4+4D+2E+F=0

E=—2

2=

所以圓的方程為Y+y?__—x—2y__—=0,即[工一1]+(y—l)~^

故答案為:(x-2)2+(,-3)2=13或(*-2)2+"1)2=5或65

~9

169

+-1)2

~25

［法二］:【最優(yōu)解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(三點(diǎn)中的兩條中垂線的交點(diǎn)為圓心)

設(shè)點(diǎn)4(0,0),3(4,0),C(-l,l),￡>(4,2)

(1)若圓過(guò)A、B、C三點(diǎn)，圓心在直線尤=2,設(shè)圓心坐標(biāo)為(2,a),

則4+/=9+(4-1)2=〃=3"="+〃=行,所以圓的方程為(x—2)2+(y—3)2=13；

(2)若圓過(guò)A、B、D三點(diǎn)，設(shè)圓心坐標(biāo)為(2,a),則

4+a2=4+(a-2)2=>a=l,r=，4+/=番,所以圓的方程為(犬一2)2+(y-1>=5；

(3)若圓過(guò)A、C,D三點(diǎn)、,則線段AC的中垂線方程為y=x+l,線段A。的中垂線

方程為y=-2x+5,聯(lián)立得x=±y=Znr=11,所以圓的方程為

333

18

(4)若圓過(guò)5、a。三點(diǎn)，則線段3。的中垂線方程為y=l,線段5c中垂線方程為

y=5x—7,聯(lián)立得x=_|,y=inr=g,所以圓的方程為Q_g)2+(,_i)2=黑.

JJ3ZD

65

故答案為：(%-2)2+(丁-3)2=13或(x-2)~+(y-l)2=5或

~9

【整體點(diǎn)評(píng)】法一；利用圓過(guò)三個(gè)點(diǎn)，設(shè)圓的一般方程，解三元一次方程組，思想簡(jiǎn)單，運(yùn)

算稍繁；

法二；利用圓的幾何性質(zhì)，先求出圓心再求半徑，運(yùn)算稍簡(jiǎn)潔，是該題的最優(yōu)解.

16.若/(x)=ln+6是奇函數(shù)，則。=,b=

【答案】①.—：②.In2.

2

【解析】

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求出.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(%)=111。+/+6為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

由。+『一片0可得，(l-x)(a+l—依)wO,所以％=巴已■=—1,解得：a=—即函

數(shù)的定義域?yàn)?―8,—l)u(—L1)U(L+8),再由/(0)=0可得，b=ln2.即

ln2=ln

/(x)=ln++77^；在定義域內(nèi)滿足/(r)=—/(%)，符合題意.

L1X1X

故答案為：一二；In2.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為

必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

17.記_ABC的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為。，b,c,已知

sinCsin(A—=sinBsin(C—A).

19

(1)若A=25,求C；

⑵證明：2a2^b2+c2

【答案】(1)

O

(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意可得，sinC=sin(C-A),再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可解出；

(2)由題意利用兩角差的正弦公式展開(kāi)得

sinC(sinAcosB-cosAsinB)=sinB(sinCcosA-cosCsinA),再根據(jù)正弦定理，余

弦定理化簡(jiǎn)即可證出.

【小問(wèn)1詳解】

由A=25,sinCsin(A-5)=sin5sin(C-A)可得，sinCsinB=sinBsin(C-A),

,所以sin5e(0,l),即有sinC=sin(C-A)＞0,而

0＜。＜兀,0＜。一4＜兀，顯然。/。一4,所以，C+C—A=7t,而A=25,A+B+C=n,

所以。=里.

8

小問(wèn)2詳解】

由sinCsin(A-iS)=sin5sin(C-A)可得，

sinC(sinAcosB-cosAsinB)=sinB(sinCcosA-cosCsinA),再由正弦定理可得，

accosB—bccosA=bccosA—abcosC,然后根據(jù)余弦定理可知，

g(/+c2—02)_g僅2+02—,2+,2—/)_；(/+尸—°2),化簡(jiǎn)得：

2a2=/+，2,故原等式成立.

18.如圖，四面體ABCD中，AD_LCD,AD=CD,NADB=NBDC,E為AC的中點(diǎn).

20

(1)證明：平面5ED_L平面ACD；

(2)設(shè)43=3。=2,NACB=60°,點(diǎn)尸在上，當(dāng)△ARC的面積最小時(shí)，求三棱錐

尸—A6C的體積.

【答案】(1)證明詳見(jiàn)解析

⑵昱

4

【解析】

【分析】(1)通過(guò)證明AC，平面BED來(lái)證得平面5互>，平面ACD.

(2)首先判斷出三角形AbC的面積最小時(shí)F點(diǎn)的位置，然后求得F到平面ABC的距離，

從而求得三棱錐尸-ABC的體積.

【小問(wèn)1詳解】

由于AZ)=CD,E是AC的中點(diǎn)，所以ACLDE.

AD=CD

由于，所以

ZADB=ZCDB

所以A3=CB,故AC,如，

由于DEcBD=D,DE,BDI平面BED，

所以AC,平面5EO，

由于ACu平面ACD,所以平面5石。，平面ACD.

【小問(wèn)2詳解】

解法1：判別幾何關(guān)系

依題意A5=5D=6C=2,NACB=60°,三角形ABC是等邊三角形，

所以4。=2,4石=匿=1,5石=百，

由于A￡>=CD,AO，CD,所以三角形ACD是等腰直角三角形，所以。E=l.

DE2+BE2=BD2>所以。石_13石，

由于ACcBE=￡,AC,3Eu平面ABC,所以上，平面ABC.

由于△ADB^ZlCDB,所以NFBA=NFBC,

BF=BF

由于<NFBA=NFBC,所以_FBA=_FBC,

AB=CB

所以AE=CF,所以所LAC,

由于S.c=；-AC-Eb，所以當(dāng)所最短時(shí)，三角形AR7的面積最小

21

過(guò)E作石垂足為尸，

在Rt/kBED中，-BEDE=-BDEF,解得EF=g

222

所以0尸=>—［走］=1,BF=2-DF=-

22

\lJ2

所以第3

4

一FHBF3

過(guò)尸作石，垂足為H,則FH//DE,所以"平面ABC,且——二—=一，

DEBD4

3

所以切=“

111L3出

所以Vp-ABC=］SABC-FH^-X-X2X^X-^--

解法2：等體積轉(zhuǎn)換

AB=BC,ZACB=60。，AB=2

,AABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

BE=6

連接斯

NADB=ACDBAF=CF

EF1AC

.?.在ABEO中，當(dāng)時(shí)，AAFC面積最小

AD1CD,AD=CD,AC=2,E為AC中點(diǎn)

DE=1DE2+BE2=BD2

BE1ED

若斯J,8。在△BED中,EF==走

BD2

22

BF=VBE2-EF2=-

2

LBF.EF，.LB=也

22228

■■^F-ABC=VA—BEF+^C-BEF

=1'.EF?*?%=

19.某地經(jīng)過(guò)多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計(jì)一林區(qū)某種樹(shù)木的總材

積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹(shù)木，測(cè)量每棵樹(shù)的根部橫截面積（單位：m2）和材積量（單

位：n?），得到如下數(shù)據(jù)：

總

樣本號(hào)i12345678910

和

根部橫截面積

0.040.060040.080.080.050.050.070.070.060.6

占

材積量%0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并計(jì)算得=0.038,2資=1.6158,?戊=0.2474.

i=li=li=l

（1）估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

（2）求該林區(qū)這種樹(shù)木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；

（3）現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹(shù)木的根部橫截面積，并得到所有這種樹(shù)木的根部橫截面積

總和為186m2.已知樹(shù)木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林

區(qū)這種樹(shù)木的總材積量的估計(jì)值.

力司一初芳一歹）____

附：相關(guān)系數(shù)2=不'^=，J1.896