《余弦定理》教案、導學案、課后作業(yè)

《6.4.3余弦定理、正弦定理》教案第1課時余弦定理【教材分析】本節(jié)首先研究把已知兩邊及其夾角判定三角形全等的方法進行量化，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題，利用向量的數(shù)量積比較容易地證明了余弦定理，然后利用其初步解三角形.【教學目標與核心素養(yǎng)】課程目標1．掌握余弦定理的表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題；2．培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；通過三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的關系，來理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一.數(shù)學學科素養(yǎng).數(shù)學抽象：余弦定理及其推論；.邏輯推理：余弦定理在邊角互化中的應用；.數(shù)學運算：解三角形；4.數(shù)學建模：通過將三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識間聯(lián)系起來，體現(xiàn)了知識之間的辯證統(tǒng)一.【教學重點和難點】重點：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及基本運用；難點：余弦定理的探索及證明.【教學過程】一、情景導入問題:在三角形中,已知兩邊及其夾角,怎么求出此角的對邊?已知三條邊,怎么求出它的三個角呢?要求：讓學生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.二、預習課本，引入新課閱讀課本42-44頁，思考并完成以下問題1、什么是余弦定理？2、余弦定理有哪些變形？

3、什么是解三角形?要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。三、新知探究1、余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。a夾角的余弦的積的兩倍。a2=b2+c2—2bccosAb2=a2+c2—2accosB

c2=a2+b2—2abcosC推論:cosA=b2+cosA=b2+c2-a2

2bccosB=a2+c2-b2

2accosC=b2+a2-c22ba2、解三角形一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。3、應用從而知余弦定理及其推論的基本作用為:①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊;②已知三角形的三條邊就可以求出其它角。四、典例分析、舉一反三題型一已知三邊解三角形例1在^ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a=7,b=5,c=3,求^ABC的內(nèi)角中最大的角.【答案】120°.【解析】???a>b【解析】???a>b>c,???A最大.b2+c2—a252+32—722bc—2X5X312.XV0°<A<180°,AA=120°.解題技巧(已知三邊解三角形的思路)⑴已知三角形三邊求角，直接利用余弦定理，求解時要注意“大邊對大角、大角對大邊”.(2)若已知三邊的比例關系，常根據(jù)比例的性質(zhì)引入女，從而轉化為已知三邊求角.

跟蹤訓練一.在4ABC中，角A, B, C所對的邊分別為a, b, c,若a=1,b=\；7 c=\/3,則B.在^ABC中，已知a：b：c=2：\.16：(\'3+1)，則A=2、45°【解析】1、由余弦定理得cos【解析】1、由余弦定理得cosB—a2+c2—b2 1+3—72ac2X1X\.13—2.又???0°<B<180°,.?.B=150°.2、：a：b：c=2：\'6:(\.'3+1)令a=2k,b=%；6k,c=(%'3+1)k(k>0).由余弦定理的變形得，b2+c2—a26k2+(%；3+1ykt-4k2史c0sA=^b^=2X\：EkX(M+1)k=T-???A=45°.題型二已知兩邊及一角解三角形例2在4ABC中，已知&=寸3b=x,'2,B=45°,解此三角形.,A=120°,C=15°.【答案】c=咎'，2,A=60°,C=75°或c―,A=120°,C=15°.【解析】由余弦定理知b2=a2+c2—2accosB..,.2=3+c2—2，j3?,c.即c2—\/6c+1=0.解得?！?飛’2或c=、6—飛’2,當c='/6+、2時，由余弦定理得22 2cosA—bcosA—b2+c2—a22+2—312bc -2X-.；2XV0°<A<180°,AA=60°,AC=75°.當c=、'6—"2時，由余弦定理得乙cosA—bcosA—b2+c2—a22+2—32bc _2X%；2XV0°<A<180°,AA=120°,C=15故c='幻,近，A=60°,C=75°或c=^6^2A=120°,C=15°.乙 乙解題技巧：(已知兩邊及一角解三角形的方法及注意事項)(1)解三角形時往往同時用到正弦定理與余弦定理，此時要根據(jù)題目條件優(yōu)先選擇使用哪個定理．(2)一般地，使用正、余弦定理求邊，使用余弦定理求角．若使用正弦定理求角，有時要討論解的個數(shù)問題．跟蹤訓練二C\i'51.在^ABC中，cos]=手，BC=1,AC=5,則AB=( )A.4-..;'2 B.'-..'30 C.-..;'29 D.2-..;5【答案】A.C\i1C\i15【解析】???*=》CcosC=2cos5一1=2X

2cosC=52+12—2X5X1X在^ABC中，由余弦定理，得AB2=AC2+BC2—2cosC=52+12—2X5X1XZ.AB=4\,'2.題型三余弦定理在邊角轉化中的應用例3(1)在^ABC中，角A,B,C所對應的邊分別為a,b,孰已知bcosC+ccosB=2b,則《=.(2)在^ABC中，若lg(a+c)+lg(a—c)=lgb—lgb+c，貝UA=,【答案】(1)2,(2)120°.【解析】(1)由余弦定理得bcosC【解析】(1)由余弦定理得bcosC+ccosB=b?a2+b2—c22aba2+c2—b22a22ac2aa,所以&=2人即已=2.(2)由題意可知lg(a+c)(a—c)=lgb(b+c),所以(a+c)(a—c)=b(b+c).即b2+c2—a2=bc.b2+c2—a2 1所以cosA=2bc =-2.又0°<A<180°,所以A=120°.解題技巧(余弦定理在邊角轉化中的作用)余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個角之間的關系，每一個等式中都包含四個不同的量，它們分別是三角形的三邊和一個角，一般是利用余弦定理的變形式進行邊、角互化．跟蹤訓練三.在^ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個角之間的關系，每一個等式中都包含四個不同的量，它們分別是三角形的三邊和一個角，一般是利用余弦定理的變形式進行邊、角互化．跟蹤訓練三.在^ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c且a2+b2+\；'2ab=C2,則角C為A.nB.3nC.nD.2n

4433Acb.在^ABC中，sin2-=——(a,b,2 2cc分別為角A，BC的對應邊），則4ABC的形狀為A.正三角形B．直角三角形C.等腰直角三角形D．等腰三角形【答案】1、B.2、B.【解析】1、 ,?,a2+b2+"\：2ab=C2【解析】1、 ,?,a2+b2+"\：2ab=C2,/.a2+b2—C2=—22ab,cosC=a2+b2—c2 —、:2ab2ab2ab^2,VCG(0,n2?C=3^,..C4.A1－cosAc－b2、：sin22=2-bb?+c2一???cosA=c= 2bc2c，a2 ?-naz+b2=C2符合勾股定理．故4ABC為直角三角形.五、課堂小結讓學生總結本節(jié)課所學主要知識及解題技巧六、板書設計6.4.3余弦定理、正弦定理第1課時余弦定理1.余弦定理推論：例1 例2 例32.解三角形3.應用七、作業(yè)課本44頁練習，52頁習題6.4的6題.【教學反思】本節(jié)課主要考察學生對于公式的理解與應用的能力，在如何正確應用余弦定理公式的問題上。通過本節(jié)課的學習，從學生的情況來看，效果較好，學生能夠根據(jù)以前學過的相關知識，在老師的指引下通過向量法證明出余弦定理，能掌握余弦定理的計算方法，能夠理解夠理解公式中不同量的意義，但是在運用過程中我們發(fā)現(xiàn)，學生根據(jù)公式解決問題的時候，往往容易忽略多解得問題,很多學生不能掌握余弦定理使用的條件：.知道三角形的三條邊求三個角的問題，.知道兩邊及夾角求其他兩個角及另一邊的問題。在練習時還發(fā)現(xiàn)學生不能將用大寫字母表示的與小寫字母表示的聯(lián)系起來，導致做題速度較慢.《6.4.3余弦定理、正弦定理》導學案第1課時余弦定理【學習目標】知識目標1．掌握余弦定理的表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題；．培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；通過三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的關系，來理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一.核心素養(yǎng).數(shù)學抽象：余弦定理及其推論；.邏輯推理：余弦定理在邊角互化中的應用；.數(shù)學運算：解三角形；.數(shù)學建模：通過將三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識間聯(lián)系起來，體現(xiàn)了知識之間的辯證統(tǒng)【學習重點】：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及基本運用；【學習難點】：余弦定理的探索及證明.【學習過程】一、預習導入閱讀課本42-44頁，填寫。1、余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即a2=.推論：cosA=.cosB=.cosC=.2、解三角形一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。3、應用從而知余弦定理及其推論的基本作用為：已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；已知三角形的三條邊就可以求出其它角。小試牛刀.判斷下列命題是否正確.（正確的打“J”，錯誤的打“X”）TOC\o"1-5"\h\z（1）余弦定理只適用銳角三角形. （ ）⑵在4ABC中，若S2〉b2+c2,則4ABC一定為鈍角三角形.（ ）⑶在4ABC中，已知兩邊和其夾角時，4ABC不唯一. （ ）.已知在4ABC中，a=1,b=2,C=60°,則c等于（ ）A.3 B.\''2C.v'S D.5.在^ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且S2=b2—c2+\；5ac,則角B的大小是

A．45B．60A．45B．60C．90°D．135°C．90°.在4ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若c=2a,b=4,cosB=；.則邊c的長度為.【自主探究】題型一已知三邊解三角形例1在4ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a=7,b=5,c=3,求^ABC的內(nèi)角中最大的角．跟蹤訓練一.在^ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a=1,b='/7,c="：3則B一 ..在^ABC中，已知a：b：c=2:m:(4+1)，貝UA=.題型二已知兩邊及一角解三角形例2在4ABC中，已知&一血，b=\;2,B=45°,解此三角形.跟蹤訓練二一.C，芯 ―.在4ABC中，cos2—=，BC=1,AC=5,則AB=( )A.4-..;'2 B.\.130C.\'29 D.2^15題型三余弦定理在邊角轉化中的應用例3(1)在4ABC中，角A,B,C所對應的邊分別為a,b,。，已知bcosC+ccosB=2b,貝咕一.(2)在^ABC中，若lg(a+c)+lg(a—c)=lgb—lgb+p則A=.跟蹤訓練三1.在^ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a2+b2+\&b=c2,則角C為A.nB.3nC.-3D.23n4433Acb2.在^ABC中，sin2-=—(a,b,c分別為角A,B,C的對應邊)，則4ABC的形狀為2 2cA.正三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形【達標檢測】A.正三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形【達標檢測】1．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.2已知a=55,c=2,cosA=3,則b=A．<2B.<3C.2D.32.角A,B,C的對邊分別為a若a2=b2+c2A．<2B.<3C.2D.32.角A,B,C的對邊分別為a若a2=b2+c2一bc，貝UA=A.2兀C.—3兀TX2兀D.一或—333.在△ABC中內(nèi)角A，B,C的對邊分別為a,b,c.若b=c=32a，則角A等于（ ）2A.兀C.一32兀D.—34.在AABC中若AB=133,BC=3,/C=120。，則AC=5.在AABC中,已知CB=7,AC=8,AB=9,則AC邊上的中線長為6.在4ABC中，分別根據(jù)下列條件求c.(1)a=4,b=2,A=60°；(2)a=4,b=3,A=45°.答案小試牛刀.(1)X(2)V(3)X.A..A..4.自主探究例1【答案】120°.【解析】???a〉b〉c【解析】???a〉b〉c,???A最大.cosA=b2＋c2－a252＋32－722bc2X5X3_1一2.XV0°<A<180°,AA=120°.跟蹤訓練一【答案】1.150°. 2、45°.【解析】1、由余弦定理得口a2+c2—b21+3—7 3c0sB= 2ac=2X1X\「2.又???0°<BXV0°<A<180°,AA=120°.跟蹤訓練一【答案】1.150°. 2、45°.【解析】1、由余弦定理得口a2+c2—b21+3—7 3c0sB= 2ac=2X1X\「2.又???0°<B<180°,.?.B=150°.2、：a：b：c=2：\'6:(\13+1),令a=2k,b=、；6k,c=(\；3+1)k(k>0).由余弦定理的變形得，cosA—b2+c2一2bca26k2+(\/3+1)2k2—4k2也—2X\.'6kX(^：3+1)k—2***.??A=45°例2【答案】c—血”%2A—60°,C=75°或c=、四—"222,A=120°,C=15°.【解析】由余弦定理知b2=a2+c2—2accosB..,.2=3+c2—2、j3?半c.即c2—■■?.；16c+1=0.解得c=\，6++'2或c=丑—M2,當。='市+、2時，由余弦定理得乙 乙 乙cosA—b2+c2一2bc2+a2C加+的2—32X\,：5X汽芨2V0°<A<180°,AA=60°,AC=75°.當c=汽產(chǎn)時，由余弦定理得cosb2+c2一—2bc2+22—3a22XZ”2V0°<A<180°,.??A=120°,C=15°.故c-q2,

2C 一C【解析】??.cos2=吉，0sc=2cos22—1=2x在4ABC中，由余弦定理，得AB2=AC2+BC2—2AC-BC-cosC=52+12—2X5X1X^—|=32,例3【答案】（1）2,（2）120°.a2+b2—c2 a2+c2—b22a2【解析】 (1)由余弦定理得匕。。$C+ccosB=b* —b+c? — =—2ab 2ac 2aa,所以a=2b,即1=2.(2)由題意可知lg(a+c)(a—c)=lgb(b+c),所以(a+c)(a—c)=b(b+c).即b2+c2—a2=—bc.所以cosA=所以cosA=bz+c2—a22bc_1—21又0°<又0°<A<180°所以A=120°.跟蹤訓練三【答案】1、B.2、B.a2+b2一c2【解析】【答案】1、B.2、B.a2+b2一c2【解析】1、 ：a2+b2+、；2ab=c2,...a2+b2-c2=-\；2ab,cosC=——r—乙；exu—2ab2ab辛?.?C￡(0,n2A1—cosAc—b2、：sin.= 22bb?+c2一??,c0sA=c= 2bca2 一....一、一—0a2+b2=c2,符合勾股定理.故4ABC為直角三角形.當堂檢測1-3.DCA4.1.5.7.c_3g+屈6.【答案】(1)c=1+"3；(2) 26.【解析】（1）由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA，二

42=22+c2—2義2義cXcos60。，即c2—2c-12=0,Ac=1+<13或c=1-<13(舍去).(2)由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA,A42=32+c2-2x3xcxcos45。,Ac=3四+四或c二一一四（舍去）.3<2+、：146Ac二 2《6.4.3余弦定理、正弦定理》課后作業(yè)第1課時余弦定理基礎鞏固，… ， 11.△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若a=1,c=2,cosB=-,則b=( )1.A.B.C.D.32.在4A.B.C.D.32.在4ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若(a2-b2+c2)tanB=<3ac，則角B的值為（ ）A.B.C.D.3.邊長分別為12V,2的三角形的最大角與最小角的和是（A.90°B.A.B.C.D.3.邊長分別為12V,2的三角形的最大角與最小角的和是（A.90°B.120°C.135°D.150°4.A.30。B.604.A.30。B.60。C.120。D.150。AABC的內(nèi)角A,B,c所對的邊分別是a,b,c,已知2c-cosB=2a+b，則ZC=（ ）5./4BC的三內(nèi)角4,B,C所對邊的長分別為a,仇c設向量力=（a+c,b）,/=（B-a,c-a）,若5.A.2B.；C.；D.g6.已知^ABC中，AB=J3,BC=1,A=30。，則AC=.在不等邊4ABC中，a為最大邊，若a2<b2+c2，則A的取值范圍為..在AABC中，已知a=2",c=66+<2,B=45。，解三角形.能力提升1 acosB/△ABC中，a,b,c分別表示角AB,C所對的邊，若a2=b2+-c2，則 的值等于4c( )5A85 58B.4 C16 D.510.如圖AABC中，已知點D在BC邊上，AD±AC,sin/BAC=232,AB=3<2,AD=3，則BD的長為11.在4ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a，b，c,且A+B一一a=3,b=2,2cos2 -cos2C=12(1)求C的大小;c⑵求了的值.素養(yǎng)達成12.在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2a2+2c2—2b2+3ac=0.(1)求cosB的值；(…兀、(2)求sin2B+-的值.k4J

《6.4.3余弦定理、正弦定理》課后作業(yè)答案解析第1課時余弦定理基礎鞏固11.4ABC中內(nèi)角AB,C的對邊分別為a,b,c.若a=1,c=2，cosB=-,則b=1.4ABC中B.<3C.2D.3B.<3C.2D.3【答案】B1-【解析】由余弦定理可得b2=a2+。2-2accosB=12+22-2xlx2x-=3，所以b=*：3,故選：B.2.在^ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、。，若Q2一b2+c2)tanB=<3ac，則角B的值為()“九A.一6?！熬臕.一6兀B.一3汽5兀C.—或—66D.兀t2?！颉?3【答案】D【解析】?二02一b2+c2)tanB=\;，3ac，.二a2+c2-b2=*'3tanBactanBv3 ,2tanBa2+c2v3 ,2tanB??cosB 2ac/.sinB=/.sinB= ,B￡(02n).,.?B*或2T.故選D.3.邊長分別為1,<52；2的三角形的最大角與最小角的和是A.903.邊長分別為1,<52；2的三角形的最大角與最小角的和是A.90B.120。C.135。D.150。【答案】C【解析】由題意可得，邊長為<5的邊對的角不是最大角、也不是最小角，設此角為e，則由余弦定理可得cos設此角為e，則由余弦定理可得cos^=1+8-5_24<2T???e-45。,故三角形的最大角與最小角的和是180°-45。=135°,故選c.AABC的內(nèi)角A,故三角形的最大角與最小角的和是180°-45。=135°,故選c.AABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是4力,。，已知2c-cosB=2a+b,則NC=（A.30。 B.60。 C.120°【答案】C【解析】根據(jù)題意，若2c-cosB=2a+b,a2+c2—b2貝ij有：2cx =2a+b,2acD.150°整理得：a2+b2-c2=一ab，可得:a2+b2—c2cosC= 2ab_ab_1 ——2ab2又在AABC中，0。<C<180°,C=120。.故選C.的三內(nèi)角人民。所對邊的長分別為（1也c設向量/=（a+。力）,彳=（出—&c或則角C的大小為（）G，若A.- B.-6 3C- D?二:【答案】B【解析】因為兩向量平行，所以等價于卜+能一司=帥一日），整理為1—必=b1所以々+1 -=-,所以角。二：lab2 36.已知，C中，AB=<3,BC=1,A=30。，則AC=.【答案】1或2【解析】由余弦定理得BC2=AC2+AB2—2AC-ABcos30°，即1=AC2+3—2<3ACxm，解得AC=1或AC=2.2

.在不等邊^(qū)ABC中，a為最大邊,若a2<b2+c2,則A的取值范圍為.【答案】句60。<A<90。｝【解析】a2【解析】a2<b2+c2, b2+c2-a2>0,貝ijcosA=b2+c2-a2 八 >0.2bc.,.A<90。.又,二a為最大邊，A>60。.故A的取值范圍是(A\60。<A<90。;故答案為：｛a\60。<A<90。｝.在AABC中，已知a=2；3,c=x.6+<2,B=45。，解三角形.［答案］b［答案］b=2J2,AAA=60=600.【解析】?「b2=a2+c2-2accosB=(2v;3)2+(<6+v2)2-2?2<3?(屈+v'2)cos450=12+(<6+<2)2-4同<3+1)=8??.b=2-J2.TOC\o"1-5"\h\z..b2+c2-a2 (2<2)2+(J6+<2)2-(2<3)2 1?；cosA= = = = = =一,2bc 2x2<2x(<6+<2) 2A=60o.,, --二:：能力提升1acosB9"AB5,a，b,c分別表示角A，B,C所對的邊，若a2=b"4c2,貝"丁的值等于A.B.C.516A.B.C.516D.【答案】A1-7［解析］由【答案】A1-7［解析］由a2=b2+4c2