二元函數(shù)連續(xù)、偏導數(shù)和全微分之間的關系

二元函數(shù)連續(xù)、偏導數(shù)和全微分之間的關系通過證明或反例說明二元函數(shù)連續(xù)、偏導數(shù)，全微分之間的關系。標簽：二元函數(shù)；連續(xù)；偏導數(shù)；全微分對于一元函數(shù)來講，連續(xù)、導數(shù)和微分之間的關系比較簡單：可導與可微是等價的，可導一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導。但對于二元函數(shù)來講，連續(xù)、偏導數(shù)和全微分之間的關系要相對復雜一些，本文通過證明或反例來說明三者之間的關系。1連續(xù)和偏導數(shù)之間的關系1.1已知偏導數(shù)存在，但不一定連續(xù)例1函數(shù)在點處的兩個偏導數(shù)都存在：但是在點卻不連續(xù)，事實上，令點沿趨向點，有：1.2已知連續(xù)，但偏導數(shù)不一定存在例2函數(shù)，顯然：故在點處連續(xù)，而由：知不存在，所以在點處不是可偏導的。2偏導數(shù)和全微分之間的關系2.1若可微，則偏導數(shù)一定存在證明：由于在點處可微，于是在點的某一鄰域內(nèi)有：其中。特別地，當時，上式變?yōu)椋涸谠撌絻啥烁鞒?，再令，則得：從而偏導數(shù)存在，且；同樣可證存在，且。2.2已知偏導數(shù)存在，但不一定可微例3函數(shù)在點處的兩個偏導數(shù)都存在：但是在點卻不可微，事實上：令沿趨向，則：這說明當時，并不是的高階無窮小，所以在點處不可微。3連續(xù)和全微分之間的關系3.1若可微，則一定連續(xù)證明：由于在點處可微，即有：其中。于是，即有，從而，即在點處連續(xù)。3.2已知連續(xù)，但不一定可微在例2中，函數(shù)在點處連續(xù)，在點處不是可偏導的。由偏導和可微之間的關系，知在點處不可微。綜上，二元函數(shù)連續(xù)、偏導數(shù)和全微分之間的關系：函數(shù)在一點的連續(xù)性和函數(shù)在該點的偏導數(shù)的存在性之間沒有任何關系；函數(shù)在一點的偏導數(shù)存在是函數(shù)在該點可微的一個必要非充分條件，函數(shù)在一點可微是函數(shù)在該點的偏導數(shù)存在的一個充分非必要條件；函數(shù)在一點連續(xù)是函數(shù)在該點可微的一個必要非充分條件，函數(shù)在一點可微是函數(shù)在該點連續(xù)的一個充分非必要條件。參考文獻：[1]大連理工大學城市學院基礎教學部.應用微積分（下冊）[M].大連理工大學出版社，2013.[2]大連理工大學城市學院基礎教學部.應用微積分同步輔導[M].大連理工大學出版社，2013.[3]同濟大學數(shù)學教研室.高等數(shù)學（下冊）[M].高等教育出版社