河南省新高考聯(lián)盟高三下學(xué)期3月教學(xué)質(zhì)量測評試題數(shù)學(xué)

新高考聯(lián)盟2024屆高三3月教學(xué)質(zhì)量測評數(shù)學(xué)命題：本試題卷共4頁，共19題。全卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘。★?？荚図樌镒⒁馐马?xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卷指定位置，認(rèn)真核對與準(zhǔn)考證號(hào)條形碼上的信息是否一致，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卷上的指定位置。2．選擇題的作答：選出答案后，用2B鉛筆把答題卷上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。答在試題卷上無效。3．非選擇題的作答：用黑色墨水的簽字筆直接答在答題卷上的每題所對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。答在試題卷上或答題卷指定區(qū)域外無效。4．考試結(jié)束，監(jiān)考人員將答題卷收回，考生自己保管好試題卷，評講時(shí)帶來。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若，則z的虛部為A．－1B．C．D．12．已知集合，，則圖中陰影部分表示的集合為A．B．C．D．3．對A，B兩地國企員工上班遲到情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可知兩地國企員工的上班遲到時(shí)間均符合正態(tài)分布，其中A地員工的上班遲到時(shí)間為X（單位：min），X～N（2，4），對應(yīng)的曲線為，B地員工的上班遲到時(shí)間為Y（單位：min），Y～N（3，），對應(yīng)的曲線為，則下列圖象正確的是A．B．C．D．4．已知，，若，則λ＝A．B．C．－3D．5．若，則A．B．C．D．6．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為P，過點(diǎn)F的直線l′與C交于M，N兩點(diǎn)，若，且，則A．B．C．D．7．已知實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值與最大值之和為A．4B．5C．6D．78．已知正方體的邊長為4，其中點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G分別在線段，上運(yùn)動(dòng)，若恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為A．B．C．D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．已知正數(shù)m，n滿足，則A．B．C．D．10．六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個(gè)氟原子分別位于正八面體的6個(gè)頂點(diǎn)，若相鄰兩個(gè)氟原子之間的距離為m，則A．該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積為B．該正八面體結(jié)構(gòu)的體積為C．該正八面體結(jié)構(gòu)的外接球表面積為D．該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為11．若關(guān)于x的不等式在（0，＋∞）上恒成立，則實(shí)數(shù)a的值可以是A．B．C．D．2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．若函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則m＝________．13．已知平面凸四邊形ABCD的對角線分別為AC，BD，其中，，則∠ADB＝________；若，則四邊形ABCD的面積的最大值為________．14．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在雙曲線C上，且，，若點(diǎn)Q也在雙曲線C上，則雙曲線C的離心率為________．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）小甲參加商場舉行的玩游戲換代金券的活動(dòng)．若參與A游戲，則每次勝利可以獲得該商場150元的代金券；若參與B游戲，則每次勝利可以獲得該商場200元的代金券；若參與C游戲，則每次勝利可以獲得該商場300元的代金券．已知每參與一次游戲需要成本100元，且小甲每次游戲勝利與否相互獨(dú)立．（1）若小甲參加4次A游戲，每次獲勝的概率為，記其最終獲得450元代金券的概率為F（p），求函數(shù)F（p）的極大值點(diǎn)；（2）在（1）的條件下，記小甲參加A，B，C游戲獲勝的概率分別為，，．若小甲只玩一次游戲，試通過計(jì)算說明，玩哪種游戲小甲獲利的期望最大．16．（15分）已知三棱臺(tái)如圖所示，其中，．（1）若直線，且，求證：直線l⊥平面ABC；（2）若平面ABC與平面之間的距離為3，求平面與平面所成角的余弦值．17．（15分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P，Q在橢圓C上，P，Q異于，．（1）若直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，求的值；（2）若P，Q，三點(diǎn)共線，且的內(nèi)切圓面積為，求直線PQ的方程．18．（17分）已知函數(shù)．（1）若，求證：；（2）討論關(guān)于x的方程在（－1，2）上的根的情況．19．（17分）定義：已知數(shù)列滿足．（1）若，，求，的值；（2）若，，使得恒成立．探究：是否存在正整數(shù)p，使得，若存在，求出p的可能取值構(gòu)成的集合；若不存在，請說明理由；（3）若數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，證明：不存在實(shí)數(shù)A，使得．華大新高考聯(lián)盟2024屆高三3月教學(xué)質(zhì)量測評數(shù)學(xué)參考答案和評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題題號(hào)1234567891011答案CDBADACAADACDAB1．【答案】C【命題意圖】本題考查復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．【解析】依題意，，則z的虛部為，故選C．2．【答案】D【命題意圖】本題考查不等式的解法、集合的運(yùn)算、韋恩圖，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)．【解析】依題意，，，故陰影部分表示的集合為，故選D．3．【答案】B【命題意圖】本題考查正態(tài)分布的圖象與性質(zhì)，考查邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)．【解析】由，故曲線的對稱軸在曲線的左側(cè)，排除C、D；由，故曲線比曲線瘦高，曲線比曲線矮胖，排除A，故選B．4．【答案】A【命題意圖】本題考查平面向量的數(shù)量積、平面向量的概念，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)．【解析】依題意，，，則，故，解得，故選A．5．【答案】D【命題意圖】本題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)恒等變換，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．【解析】，得，則，，故，故選D．6．【答案】A【命題意圖】本題考查拋物線的方程、焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)．【解析】記直線l′的傾斜角為θ，不妨設(shè)，則，即，得，則，則，解得，故，故選A．7．【答案】C【命題意圖】本題考查點(diǎn)到直線的距離、圓的方程，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)．【解析】易知點(diǎn)（a，b）在曲線，曲線C關(guān)于原點(diǎn)中心對稱；而表示曲線C上的點(diǎn)（a，b）到直線的距離，可知臨界狀態(tài)為直線l與曲線C分別在第一、三象限相切，則d的最小值為，最大值為，故的最小值與最大值之和為，故選C．8．【答案】A【命題意圖】本題考查拋物線的圖象與性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)．【解析】作點(diǎn)E關(guān)于線段的對稱點(diǎn)，過點(diǎn)作，AB的垂線，垂足分別為，H，則，設(shè)，則，故，，故實(shí)數(shù)λ的取值范圍為，故選A．二、選擇題9．【答案】AD【命題意圖】本題考查基本不等式，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．【解析】，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故A正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤；若，則，故C錯(cuò)誤；，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D正確；故選AD．10．【答案】ACD【命題意圖】本題考查空間幾何體的表面積與體積，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)．【解析】該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積，故A正確；該正八面體結(jié)構(gòu)的體積，故B錯(cuò)誤；該正八面體結(jié)構(gòu)的外接球表面積，故C正確；該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球半徑，故內(nèi)切球的表面積，故D正確；故選ACD．11．【答案】AB【命題意圖】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)．【解析】依題意，在（0，＋∞）上恒成立，當(dāng)時(shí)，，令，，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，故，則不等式成立；當(dāng)時(shí)，令，因?yàn)?，，故u（x）在（1，4）內(nèi)必有零點(diǎn)，設(shè)為，則，則，故，不合題意，舍去；綜上所述，，故選AB．三、填空題12．【答案】．【命題意圖】本題考查函數(shù)的奇偶性，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．【解析】易知f（x）為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)，即，，則，則．13．【答案】90°（2分），12（3分）．【命題立意】本題考查正弦定理、余弦定理、基本不等式，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．【解析】依題意，，得；在△ABD中，由正、余弦定理可知，，整理得，故；因?yàn)椋?；又，則，而，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．14．【答案】．【命題意圖】本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)．【解析】依題意，，而O為線段的中點(diǎn)，且，則，令，則，，，在和中，由勾股定理可得，解得，則．四、解答題15．【命題意圖】本題考查相互獨(dú)立事件的概率、二項(xiàng)分布、離散型隨機(jī)變量的期望，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．【解析】（1）依題意，小甲獲勝3次且失利1次，則，故，令，解得，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則F（p）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故；（2）由（1）可知，小甲參加A，B，C游戲獲勝的概率分別為，，；記Z＝代金券金額－100，若小甲參加A游戲，則；若小甲參加B游戲，則；若小甲參加C游戲，則；因?yàn)?，故小甲選擇C游戲獲利的期望最大．16．【命題意圖】本題考查空間線面的位置關(guān)系、向量法求空間角，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)．【解析】（1）依題意，，，，證明：如圖所示，延長三條側(cè)棱交于點(diǎn)D；由可得，，且分別為線段DA，DB，DC的中點(diǎn)，取AB的中點(diǎn)M，則；又，；，則，故，即，而，故，又，故；而直線，，，故直線；（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA、CB所在直線分別為x、y軸，過點(diǎn)C作垂直于平面ABC的直線為z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系；則A（4，0，0），D（2，1，6），B（0，2，0），，；設(shè)為平面的一個(gè)法向量；由求得平面的一個(gè)法向量，設(shè)為平面的一個(gè)法向量；由求得平面的一個(gè)法向量，而，所以平面與平面所成角的余弦值為．17．【命題意圖】本題考查橢圓的方程、直線與橢圓的綜合性問題，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)．【解析】（1）依題意，，，，；設(shè)，則，即；直線，令，則；直線，令，則；故；（2）設(shè)點(diǎn)，依題意知直線PQ的方程為；與橢圓聯(lián)立，消去x整理得；顯然成立，故，，由橢圓定義得的周長為；而的內(nèi)切圓半徑為，則的面積；又由，得；從而得，即，整理得，解得，故，故直線PQ的方程為．18．【命題意圖】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)．【解析】（1）依題意，，故，令，解得，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故f（x）在（－1，0）上單調(diào)遞增，在（0，＋∞）上單調(diào)遞減，故；（2）依題意，，令，，，當(dāng)時(shí)，，，則，當(dāng)時(shí)，，，則，故g′（x）在（－1，2）上單調(diào)遞減．①當(dāng)時(shí)，時(shí)，，所以g（x）單調(diào)遞增．又因?yàn)椋詆（x）僅有1個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，故g′（x）存在唯一的零點(diǎn)，且，當(dāng)時(shí)，，所以g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以g（x）單調(diào)遞減；因?yàn)?，故g（x）在上有唯一的零點(diǎn)0，又，所以若，即時(shí)，g（x）在上有唯一的零點(diǎn)，g（x）在（－1，2）上有2個(gè)零點(diǎn)；若，g（x）在上無零點(diǎn)，g（x）在（－1，2）上有1個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以g（x）單調(diào)遞減，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故此時(shí)g（x）僅有1個(gè)零點(diǎn)0；④當(dāng)時(shí)，注意到，因此，且．又，故g′（x）存在唯一的零點(diǎn)，．當(dāng)時(shí)，，所以g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以g（x）單調(diào)遞減．因?yàn)?，故g（x）在上有唯一的零點(diǎn)0，注意到，故，且．又，因此g（x）在上有唯一的零點(diǎn)，故此時(shí)g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；綜上所述，當(dāng)且時(shí)，g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，g（x