2022-2023學(xué)年山東省東營市高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2山東省東營市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.1.的展開式中，含項的系數(shù)為，則（）A.1 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗的展開式的通項公式為，令，可得；所以含項的系數(shù)為，即，解得.故選：C.2.已知a為實數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且是偶函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因為是偶函數(shù)，所以，所以，故，，所以，，故曲線在點處的切線方程為，即.故選：A.3.現(xiàn)有兩筐排球，甲筐中有10個白色球、5個紅色球，乙筐中有4個黃色球、6個紅色球、5個黑色球.某排球運動員練習(xí)發(fā)球時，在甲筐取球的概率為0.6，在乙筐取球的概率為0.4.若該運動員從這兩筐球中任取一個排球，則取到紅色排球的概率為（）A.0.73 B.0.36 C.0.32 D.0.28〖答案〗B〖解析〗設(shè)事件“運動員從這兩筐球中任取一個排球，則取到紅色排球”，事件“運動員從甲筐球中取球”，事件“運動員從乙筐球中取球”，由題意可得，，，，由全概率公式可得.故選：B.4.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（）A.充分且不必要條件 B.必要且不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件〖答案〗C〖解析〗因為各項為正數(shù)，且，所以，即，所以為遞增數(shù)列，充分性成立，若為遞增數(shù)列，則，因為各項為正數(shù)，所以，必要性成立.故選：C5.國內(nèi)現(xiàn)存兩件國寶級文物——戰(zhàn)國宴樂水陸攻戰(zhàn)紋銅壺，分別藏于故宮博物院與四川博物館.銅壺上的圖像采用“嵌錯”制作工藝，銅壺身上的三圈紋飾，將壺身分為四層.假設(shè)第一層與第二層分別看作圓柱與圓臺，且圓柱與圓臺的高之比為，其正視圖如圖2所示，根據(jù)正視圖，可得圓柱與圓臺這兩個幾何體的體積之比為（）（注：）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意知：圓柱的底面直徑為，設(shè)高為；圓臺的上下底面直徑分別為和，圓柱與圓臺的高之比為，則高為，∴圓柱的體積；圓臺的體積，圓柱與圓臺這兩個幾何體的體積之比為.故選：B.6.若函數(shù)在R上可導(dǎo)，且，則當時，下列不等式成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗令，則，由于的正負不確定，所以的正負不確定，不能判斷的單調(diào)性，故AC錯誤；令，由，則，所以為R上的單調(diào)遞減函數(shù)，因為，所以，即，故B錯誤D正確；故選：D.7.數(shù)學(xué)與音樂有著緊密的關(guān)聯(lián).聲音中也包含正弦函數(shù)，聲音是由于物體的振動產(chǎn)生的能引起聽覺的波，每一個音都是由純音合成的.純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，我們平時聽到的音樂一般不是純音，而是有多種波疊加而成的復(fù)合音．已知刻畫某復(fù)合音的函數(shù)為，則其部分圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗令，求導(dǎo)得，當時，由解得，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以，當和時，取極大值；當時，取極小值，由于，可得，當時，結(jié)合圖象，只有C選項滿足．故選：C．8.古印度數(shù)學(xué)家婆什伽羅在《麗拉沃蒂》一書中提出如下問題：某人給一個人布施，初日施2子安貝（古印度貨幣單位），以后逐日倍增，問一月共施幾何？在這個問題中，以一個月31天計算，記此人第日布施了子安貝（其中，），數(shù)列的前項和為.若關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為（）A.15 B.20 C.24 D.27〖答案〗D〖解析〗由題意可知，數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故，所以由，得，整理得對任意，且恒成立，又，當且僅當，即時等號成立，所以，即實數(shù)的最大值為27.故選：D.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.9.已知數(shù)列的首項，且，滿足下列結(jié)論正確的是（）A.數(shù)列是等比數(shù)列B.數(shù)列是等比數(shù)列C.D.數(shù)列的前n項的和〖答案〗BC〖解析〗由題意數(shù)列的首項，且滿足，則，則，故數(shù)列不是等比數(shù)列，A錯誤；由得，，否則與矛盾，則，則數(shù)列是等比數(shù)列，B正確；由B分析知數(shù)列是等比數(shù)列，首項為，公比為，則，所以，C正確；數(shù)列的前n項的和為，D錯誤.故選：BC10.某中學(xué)在學(xué)校藝術(shù)節(jié)舉行“三獨”比賽（獨唱獨奏獨舞），由于疫情防控原因，比賽現(xiàn)場只有9名教師評委給每位參賽選手評分，全校4000名學(xué)生通過在線直播觀看并網(wǎng)絡(luò)評分，比賽評分采取10分制．某選手比賽后，現(xiàn)場9名教師原始評分中去掉一個最高分和一個最低分，得到7個有效評分如下表．對學(xué)生網(wǎng)絡(luò)評分按分成三組，其頻率分布直方圖如圖所示．教師評委ABCDEFG有效評分9.69.19.48.99.29.39.5則下列說法正確的是（）A.現(xiàn)場教師評委7個有效評分與9個原始評分的中位數(shù)相同B.估計全校有1200名學(xué)生的網(wǎng)絡(luò)評分在區(qū)間內(nèi)C.在去掉最高分和最低分之前9名教師評委原始評分的極差一定大于0.7D.從學(xué)生觀眾中隨機抽取10人，用頻率估計概率，X表示評分不小于9分的人數(shù)，則〖答案〗ABD〖解析〗去掉9個原始評分中的一個最高分和一個最低分，不會改變該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，A正確；因為學(xué)生網(wǎng)絡(luò)評分在區(qū)間內(nèi)的頻率為0.3，學(xué)生總?cè)藬?shù)為4000，則網(wǎng)絡(luò)評分在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生估計有人，B正確；若去掉的一個最高分為9.6，去掉的一個最低分為8.9，則9名教師原始評分的極差等于0.7，C錯誤；學(xué)生網(wǎng)絡(luò)評分在區(qū)間內(nèi)頻率為0.5，則，所以，D正確；故選：ABD．11.如圖，邊長為4的正方形是圓柱的軸截面，點為圓弧上一動點（點與點不重合），則（）A.存在值，使得B.三棱錐體積的最大值為C.當時，異面直線與所成角的余弦值為D.當直線與平面所成角最大時，平面截四棱錐外接球的截面面積為〖答案〗BCD〖解析〗對于選項，由題意知，若，，平面，則平面，所以，不成立，故不正確；對于選項，在三棱錐中，半圓面，則是三棱錐的高，當點是半圓弧的中點時，三棱錐的底面積取得最大值，三棱錐的體積取得最大值為，故選項B正確；對于選項C：當時，則為的中點，以的中點為原點，以分別為軸，建立空間直角坐標系，則,，，，可得，則，故異面直線與所成角的余弦值為，所以正確；對于選項，取的中點，過點作于點，連接，由題意知，平面，平面，，又因為，，平面，可得平面，所以為在平面內(nèi)的射影，則為直線與平面所成的角，設(shè)，則，在Rt中，，所以，故，令，則，且，所以，當且僅當，即時取等號，所以，則，所以直線與平面所成最大角的正弦值為，此時，所以，連接，因為平面，平面，所以，因為為正方形，所以，在中，可得，在中，可得，則，因為，所以點為四棱錐外接球的球心，因為，由，解得，所以球心到面的距離，設(shè)截面半徑為，則有，所以截面面積為，故D正確.故選：BCD12.已知函數(shù)滿足：①為偶函數(shù)；②，，是的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.關(guān)于對稱 B.的一個周期為C.不關(guān)于對稱 D.關(guān)于對稱〖答案〗ABD〖解析〗A選項，由兩邊求導(dǎo)得，即關(guān)于對稱，故A正確；B選項，由為偶函數(shù)，知.又，則，即的一個周期為，則的一個周期為，故B正確；C選項，注意到當時，則，即此時關(guān)于，即對稱，故C錯誤；D選項，由為偶函數(shù)，知關(guān)于對稱，即，則，即關(guān)于對稱，故D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.13.等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前13項的和為_______________.〖答案〗〖解析〗在等差數(shù)列中，滿足，即，由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以，可得，又由.故〖答案〗為：.14.若，且，則__________.〖答案〗〖解析〗由題意可知，正態(tài)密度曲線的對稱軸為，由正態(tài)分布的對稱性可得.故〖答案〗為：15.已知函數(shù)，在上可導(dǎo)，若，則成立.英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了一個恒等式：，則________________.〖答案〗〖解析〗設(shè)，，則，記，，則，又，所以，所以，所以，故〖答案〗為：16.如圖，一張紙的長，寬，.M，N分別是AD，BC的中點.現(xiàn)將沿BD折起，得到以A，B，C，D為頂點的三棱錐，則三棱錐的外接球O的半徑為___________；在翻折的過程中，直線MN被球O截得的線段長的取值范圍是___________.〖答案〗①②〖解析〗由于和都是直角三角形，所以兩個面的外接圓圓心都在BD的中點處，因此三棱錐的外接球O的球心O在BD的中點，則半徑，直線MN被球O截得的線段長與二面角的大小有關(guān)，當二面角接近時，直線MN被球O截得的線段長最長，趨于直徑，當二面角接近時，直線MN被球O截得的線段長最短，如圖翻折后，此時，所以則，由相似比可得，所以，直線MN被球O截得的線段長，綜上直線MN被球O截得的線段長的取值范圍是，故〖答案〗為：；.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知正項數(shù)列與，且為等比數(shù)列，,，從條件①的前3項和；②；③.任選一個補充在上面問題中，并解答下列問題：（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和.（如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）.解：（1）由可得，又，所以，則，即.∴是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）可得設(shè)等比數(shù)列的公比為，且若選①，則，解得或又因為各項為正數(shù)，∴，故；若選②，又，得，又，則解得或又因為各項為正數(shù)，∴，故；若選③，因為，則，則解得或又因為各項為正數(shù)，∴，故；所以即則相減得：所以.18.2021年4月7日，“學(xué)習(xí)強國”上線“強國醫(yī)生”功能，提供智能導(dǎo)診、疾病自查、疾病百科、健康宣傳等多種醫(yī)療健康服務(wù).（1）為了解“強國醫(yī)生”使用次數(shù)的多少與性別之間的關(guān)系，某調(diào)查機構(gòu)調(diào)研了200名“強國醫(yī)生”的使用者，得到表中數(shù)據(jù)，根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上述表格，并判斷是否有99.9%的把握認為“強國醫(yī)生”的使用次數(shù)與性別有關(guān)；男女總計使用次數(shù)多40使用次數(shù)少30總計90200（2）該機構(gòu)統(tǒng)計了“強國醫(yī)生”上線7天內(nèi)每天使用該服務(wù)的女性人數(shù)，“強國醫(yī)生”上線的第x天，每天使用“強國醫(yī)生”的女性人數(shù)為y，得到以下數(shù)據(jù)：x1234567y611213466100195通過觀察散點圖發(fā)現(xiàn)樣本點集中于某一條曲線的周圍，求y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測“強國醫(yī)生”上線第12天使用該服務(wù)的女性人數(shù).附：隨機變量0.050.020.010.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828其中參考公式：對于一組數(shù)據(jù)其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為61.91.651.825223.98解：（1）如下表：男女總計使用次數(shù)多4080120使用次數(shù)少503080總計90110200，所以有99.9%的把握認為“強國醫(yī)生”的使用次數(shù)與性別有關(guān)；（2）將兩邊同時取常用對數(shù)得，設(shè)，則，因為，所以，所以，所以y關(guān)于x的回歸方程為把代入回歸方程，得，所以“強國醫(yī)生”上線第12天，使用該服務(wù)的女性約有3980人.19.如圖，已知六面體的面為梯形，，，，，棱平面，，，為的中點.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的大小.解：（1）因為平面ABCD，所以，，且，建立如圖所示的空間直角坐標系，則所以設(shè)平面的法向量為，則，令，解得，故，所以，故，又平面，所以平面.（2）由（1）得設(shè)平面的法向量為則，令，解得，故所以，設(shè)直線與平面所成的角為，則又，所以.20.某公司生產(chǎn)一種大件產(chǎn)品的日產(chǎn)為2件，每件產(chǎn)品質(zhì)量為一等的概率為0.5，二等的概率為0.4，若達不到一?二級，則為不合格，且生產(chǎn)兩件產(chǎn)品品質(zhì)結(jié)果相互獨立.已知生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤如下表：等級一等二等三等利潤（萬元/每件）0.80.6-0.3（1）求生產(chǎn)兩件產(chǎn)品中至少有一件一等品的概率；（2）求該公司每天所獲利潤（萬元）的數(shù)學(xué)期望；（3）若該工廠要增加日產(chǎn)能，公司工廠需引入設(shè)備及更新技術(shù)，但增加n件產(chǎn)能，其成本也將相應(yīng)提升（萬元），假如你作為工廠決策者，你覺得該廠目前該不該增產(chǎn)？請回答，并說明理由.（）解：（1）設(shè)一件產(chǎn)品是一等品為事件A，則一件產(chǎn)品不是一等品為事件，，2件產(chǎn)品至少有1件為一等品事件為，其概率；（2）設(shè)一件產(chǎn)品為一等品為事件A，二等品為事件B，次品為事件C，則，則可取的值為，，,，,,其分布列為：-0.60.30.51.21.41.60.010.080.10.160.40.25數(shù)學(xué)期望(萬元)；（3）由（2）可知，每件產(chǎn)品的平均利潤為（萬元），則增加n件產(chǎn)品，利潤增加為萬元），成本也相應(yīng)提高（萬元），所以凈利潤，，設(shè)，則，當時，，是增函數(shù)，當時，是減函數(shù)，在取得最大值，又，只能取整數(shù)，或時可能為最大值，，，即在取得最大值時也是虧本的，所以不應(yīng)增加產(chǎn)量；21.已知函數(shù).（1）若在處取得極值，求在區(qū)間上的值域；（2）若函數(shù)有1個零點，求a的取值范圍.解：（1）因為在處取得極值所以，得則時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以所以在區(qū)間上的值域為（2）的定義域為函數(shù)有一個零點有一個實數(shù)根與有一個交點.當時，由圖可知滿足題意；當時，在上無零點；當時，令，得令，得所以，當時，有最大值因為函數(shù)有一個零點，所以，解得綜上，a的取值范圍為.22.如圖，已知四棱錐的底面為菱形，且，，.是棱PD上的點，且四面體的體積為（1）證明：；（2）若過點C，M的平面α與BD平行，且交PA于點Q，求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）解法一：如圖1，取AB中點O，連接PO，CO.因為，，所以，，.又因為是菱形，，所以，.因為，所以，所以.又因為平面，平面ABCD，，所以平面.因為，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，所以.因為，所以點M到平面PBC的距離是點D到平面PBC的距離的，所以.解法二：如圖2，取AB中點O，連接PO，CO，因為，，所以，，，又因為是菱形，，所以，.因為，所以，所以.因為平面PAB，平面PAB，，所以平面PAB.所以，.過M作交AP于點N，，所以.又平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，所以.因為，，所以，所以N是PA的中點，所以M是PD的中點，所以.（2）解法一：由（1）知，，，.如圖3，以O(shè)為坐標原點，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標系，則，，，，，所以，，，，，.因為，設(shè)，則，因為，，，，故存在實數(shù)a，b，使得，所以，解得，所以.設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得到平面的一個法向量.設(shè)平面與平面夾角是，又因為是平面的一個法向量，則.所以平面與平面夾角的余弦值是.解法二：由（1）知，，，，如圖3，以O(shè)為坐標原點，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標系，則，，，，，所以，，，，，.設(shè)平面的法向量為，則，即.取，得到平面的一個法向量.因為，設(shè)，則，因為，所以，所以設(shè)平面的法向量為，則，即.取，得到平面的一個法向量.設(shè)平面與平面夾角是，又因為是平面的一個法向量，則.所以平面與平面夾角的余弦值是.解法三：在平面內(nèi)，過C作交AD延長線于點E，交AB延長線于點F，因為菱形，所以.如圖4，在平面PAD內(nèi)，作交EM的延長線于點，設(shè)交AP于點Q.所以，四邊形是平行四邊形，，.所以，所以，所以點Q是線段PA上靠近P的三等分點.如圖5，在平面PAB內(nèi)，作，交AB于T，因為平面，所以平面，所以，因為，，在平面內(nèi)，作，交BC于點N，連接QN，過A作交BC于K，在中，，，所以，所以，因為，，，且兩直線在平面內(nèi)，所以平面，因為平面，所以.所以是二面角的平面角.在中，，所以.所以平面與平面夾角的余弦值是.山東省東營市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.1.的展開式中，含項的系數(shù)為，則（）A.1 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗的展開式的通項公式為，令，可得；所以含項的系數(shù)為，即，解得.故選：C.2.已知a為實數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且是偶函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因為是偶函數(shù)，所以，所以，故，，所以，，故曲線在點處的切線方程為，即.故選：A.3.現(xiàn)有兩筐排球，甲筐中有10個白色球、5個紅色球，乙筐中有4個黃色球、6個紅色球、5個黑色球.某排球運動員練習(xí)發(fā)球時，在甲筐取球的概率為0.6，在乙筐取球的概率為0.4.若該運動員從這兩筐球中任取一個排球，則取到紅色排球的概率為（）A.0.73 B.0.36 C.0.32 D.0.28〖答案〗B〖解析〗設(shè)事件“運動員從這兩筐球中任取一個排球，則取到紅色排球”，事件“運動員從甲筐球中取球”，事件“運動員從乙筐球中取球”，由題意可得，，，，由全概率公式可得.故選：B.4.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（）A.充分且不必要條件 B.必要且不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件〖答案〗C〖解析〗因為各項為正數(shù)，且，所以，即，所以為遞增數(shù)列，充分性成立，若為遞增數(shù)列，則，因為各項為正數(shù)，所以，必要性成立.故選：C5.國內(nèi)現(xiàn)存兩件國寶級文物——戰(zhàn)國宴樂水陸攻戰(zhàn)紋銅壺，分別藏于故宮博物院與四川博物館.銅壺上的圖像采用“嵌錯”制作工藝，銅壺身上的三圈紋飾，將壺身分為四層.假設(shè)第一層與第二層分別看作圓柱與圓臺，且圓柱與圓臺的高之比為，其正視圖如圖2所示，根據(jù)正視圖，可得圓柱與圓臺這兩個幾何體的體積之比為（）（注：）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意知：圓柱的底面直徑為，設(shè)高為；圓臺的上下底面直徑分別為和，圓柱與圓臺的高之比為，則高為，∴圓柱的體積；圓臺的體積，圓柱與圓臺這兩個幾何體的體積之比為.故選：B.6.若函數(shù)在R上可導(dǎo)，且，則當時，下列不等式成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗令，則，由于的正負不確定，所以的正負不確定，不能判斷的單調(diào)性，故AC錯誤；令，由，則，所以為R上的單調(diào)遞減函數(shù)，因為，所以，即，故B錯誤D正確；故選：D.7.數(shù)學(xué)與音樂有著緊密的關(guān)聯(lián).聲音中也包含正弦函數(shù)，聲音是由于物體的振動產(chǎn)生的能引起聽覺的波，每一個音都是由純音合成的.純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，我們平時聽到的音樂一般不是純音，而是有多種波疊加而成的復(fù)合音．已知刻畫某復(fù)合音的函數(shù)為，則其部分圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗令，求導(dǎo)得，當時，由解得，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以，當和時，取極大值；當時，取極小值，由于，可得，當時，結(jié)合圖象，只有C選項滿足．故選：C．8.古印度數(shù)學(xué)家婆什伽羅在《麗拉沃蒂》一書中提出如下問題：某人給一個人布施，初日施2子安貝（古印度貨幣單位），以后逐日倍增，問一月共施幾何？在這個問題中，以一個月31天計算，記此人第日布施了子安貝（其中，），數(shù)列的前項和為.若關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為（）A.15 B.20 C.24 D.27〖答案〗D〖解析〗由題意可知，數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故，所以由，得，整理得對任意，且恒成立，又，當且僅當，即時等號成立，所以，即實數(shù)的最大值為27.故選：D.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.9.已知數(shù)列的首項，且，滿足下列結(jié)論正確的是（）A.數(shù)列是等比數(shù)列B.數(shù)列是等比數(shù)列C.D.數(shù)列的前n項的和〖答案〗BC〖解析〗由題意數(shù)列的首項，且滿足，則，則，故數(shù)列不是等比數(shù)列，A錯誤；由得，，否則與矛盾，則，則數(shù)列是等比數(shù)列，B正確；由B分析知數(shù)列是等比數(shù)列，首項為，公比為，則，所以，C正確；數(shù)列的前n項的和為，D錯誤.故選：BC10.某中學(xué)在學(xué)校藝術(shù)節(jié)舉行“三獨”比賽（獨唱獨奏獨舞），由于疫情防控原因，比賽現(xiàn)場只有9名教師評委給每位參賽選手評分，全校4000名學(xué)生通過在線直播觀看并網(wǎng)絡(luò)評分，比賽評分采取10分制．某選手比賽后，現(xiàn)場9名教師原始評分中去掉一個最高分和一個最低分，得到7個有效評分如下表．對學(xué)生網(wǎng)絡(luò)評分按分成三組，其頻率分布直方圖如圖所示．教師評委ABCDEFG有效評分9.69.19.48.99.29.39.5則下列說法正確的是（）A.現(xiàn)場教師評委7個有效評分與9個原始評分的中位數(shù)相同B.估計全校有1200名學(xué)生的網(wǎng)絡(luò)評分在區(qū)間內(nèi)C.在去掉最高分和最低分之前9名教師評委原始評分的極差一定大于0.7D.從學(xué)生觀眾中隨機抽取10人，用頻率估計概率，X表示評分不小于9分的人數(shù)，則〖答案〗ABD〖解析〗去掉9個原始評分中的一個最高分和一個最低分，不會改變該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，A正確；因為學(xué)生網(wǎng)絡(luò)評分在區(qū)間內(nèi)的頻率為0.3，學(xué)生總?cè)藬?shù)為4000，則網(wǎng)絡(luò)評分在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生估計有人，B正確；若去掉的一個最高分為9.6，去掉的一個最低分為8.9，則9名教師原始評分的極差等于0.7，C錯誤；學(xué)生網(wǎng)絡(luò)評分在區(qū)間內(nèi)頻率為0.5，則，所以，D正確；故選：ABD．11.如圖，邊長為4的正方形是圓柱的軸截面，點為圓弧上一動點（點與點不重合），則（）A.存在值，使得B.三棱錐體積的最大值為C.當時，異面直線與所成角的余弦值為D.當直線與平面所成角最大時，平面截四棱錐外接球的截面面積為〖答案〗BCD〖解析〗對于選項，由題意知，若，，平面，則平面，所以，不成立，故不正確；對于選項，在三棱錐中，半圓面，則是三棱錐的高，當點是半圓弧的中點時，三棱錐的底面積取得最大值，三棱錐的體積取得最大值為，故選項B正確；對于選項C：當時，則為的中點，以的中點為原點，以分別為軸，建立空間直角坐標系，則,，，，可得，則，故異面直線與所成角的余弦值為，所以正確；對于選項，取的中點，過點作于點，連接，由題意知，平面，平面，，又因為，，平面，可得平面，所以為在平面內(nèi)的射影，則為直線與平面所成的角，設(shè)，則，在Rt中，，所以，故，令，則，且，所以，當且僅當，即時取等號，所以，則，所以直線與平面所成最大角的正弦值為，此時，所以，連接，因為平面，平面，所以，因為為正方形，所以，在中，可得，在中，可得，則，因為，所以點為四棱錐外接球的球心，因為，由，解得，所以球心到面的距離，設(shè)截面半徑為，則有，所以截面面積為，故D正確.故選：BCD12.已知函數(shù)滿足：①為偶函數(shù)；②，，是的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.關(guān)于對稱 B.的一個周期為C.不關(guān)于對稱 D.關(guān)于對稱〖答案〗ABD〖解析〗A選項，由兩邊求導(dǎo)得，即關(guān)于對稱，故A正確；B選項，由為偶函數(shù)，知.又，則，即的一個周期為，則的一個周期為，故B正確；C選項，注意到當時，則，即此時關(guān)于，即對稱，故C錯誤；D選項，由為偶函數(shù)，知關(guān)于對稱，即，則，即關(guān)于對稱，故D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.13.等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前13項的和為_______________.〖答案〗〖解析〗在等差數(shù)列中，滿足，即，由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以，可得，又由.故〖答案〗為：.14.若，且，則__________.〖答案〗〖解析〗由題意可知，正態(tài)密度曲線的對稱軸為，由正態(tài)分布的對稱性可得.故〖答案〗為：15.已知函數(shù)，在上可導(dǎo)，若，則成立.英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了一個恒等式：，則________________.〖答案〗〖解析〗設(shè)，，則，記，，則，又，所以，所以，所以，故〖答案〗為：16.如圖，一張紙的長，寬，.M，N分別是AD，BC的中點.現(xiàn)將沿BD折起，得到以A，B，C，D為頂點的三棱錐，則三棱錐的外接球O的半徑為___________；在翻折的過程中，直線MN被球O截得的線段長的取值范圍是___________.〖答案〗①②〖解析〗由于和都是直角三角形，所以兩個面的外接圓圓心都在BD的中點處，因此三棱錐的外接球O的球心O在BD的中點，則半徑，直線MN被球O截得的線段長與二面角的大小有關(guān)，當二面角接近時，直線MN被球O截得的線段長最長，趨于直徑，當二面角接近時，直線MN被球O截得的線段長最短，如圖翻折后，此時，所以則，由相似比可得，所以，直線MN被球O截得的線段長，綜上直線MN被球O截得的線段長的取值范圍是，故〖答案〗為：；.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知正項數(shù)列與，且為等比數(shù)列，,，從條件①的前3項和；②；③.任選一個補充在上面問題中，并解答下列問題：（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和.（如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）.解：（1）由可得，又，所以，則，即.∴是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）可得設(shè)等比數(shù)列的公比為，且若選①，則，解得或又因為各項為正數(shù)，∴，故；若選②，又，得，又，則解得或又因為各項為正數(shù)，∴，故；若選③，因為，則，則解得或又因為各項為正數(shù)，∴，故；所以即則相減得：所以.18.2021年4月7日，“學(xué)習(xí)強國”上線“強國醫(yī)生”功能，提供智能導(dǎo)診、疾病自查、疾病百科、健康宣傳等多種醫(yī)療健康服務(wù).（1）為了解“強國醫(yī)生”使用次數(shù)的多少與性別之間的關(guān)系，某調(diào)查機構(gòu)調(diào)研了200名“強國醫(yī)生”的使用者，得到表中數(shù)據(jù)，根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上述表格，并判斷是否有99.9%的把握認為“強國醫(yī)生”的使用次數(shù)與性別有關(guān)；男女總計使用次數(shù)多40使用次數(shù)少30總計90200（2）該機構(gòu)統(tǒng)計了“強國醫(yī)生”上線7天內(nèi)每天使用該服務(wù)的女性人數(shù)，“強國醫(yī)生”上線的第x天，每天使用“強國醫(yī)生”的女性人數(shù)為y，得到以下數(shù)據(jù)：x1234567y611213466100195通過觀察散點圖發(fā)現(xiàn)樣本點集中于某一條曲線的周圍，求y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測“強國醫(yī)生”上線第12天使用該服務(wù)的女性人數(shù).附：隨機變量0.050.020.010.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828其中參考公式：對于一組數(shù)據(jù)其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為61.91.651.825223.98解：（1）如下表：男女總計使用次數(shù)多4080120使用次數(shù)少503080總計90110200，所以有99.9%的把握認為“強國醫(yī)生”的使用次數(shù)與性別有關(guān)；（2）將兩邊同時取常用對數(shù)得，設(shè)，則，因為，所以，所以，所以y關(guān)于x的回歸方程為把代入回歸方程，得，所以“強國醫(yī)生”上線第12天，使用該服務(wù)的女性約有3980人.19.如圖，已知六面體的面為梯形，，，，，棱平面，，，為的中點.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的大小.解：（1）因為平面ABCD，所以，，且，建立如圖所示的空間直角坐標系，則所以設(shè)平面的法向量為，則，令，解得，故，所以，故，又平面，所以平面.（2）由（1）得設(shè)平面的法向量為則，令，解得，故所以，設(shè)直線與平面所成的角為，則又，所以.20.某公司生產(chǎn)一種大件產(chǎn)品的日產(chǎn)為2件，每件產(chǎn)品質(zhì)量為一等的概率為0.5，二等的概率為0.4，若達不到一?二級，則為不合格，且生產(chǎn)兩件產(chǎn)品品質(zhì)結(jié)果相互獨立.已知生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤如下表：等級一等二等三等利潤（萬元/每件）0.80.6-0.3（1）求生產(chǎn)兩件產(chǎn)品中至少有一件一等品的概率；（2）求該公司每天所獲利潤（萬元）的數(shù)學(xué)期望；（3）若該工廠要增加日產(chǎn)能，公司工廠需引入設(shè)備及更新技術(shù)，但增加n件產(chǎn)能，其成本也將相應(yīng)提升（萬元），假如你作為工廠決策者，你覺得該廠目前該不該增產(chǎn)？請回答，并說明理由.（）解：（1）設(shè)一件產(chǎn)品是一等品為事件A，則一件產(chǎn)品不是一等品為事件，，2件產(chǎn)品至少有1件為一等品事件為，其概率；（2）設(shè)一件產(chǎn)品為一等品為事件A，二等品為事件B，次品為事件C，則，則可取的值為，，,，,,其分布列為：-0.60.30.51.21.41.60.010.080.10.16