2022-2023學年山西省長治市高一下學期期中數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE2山西省長治市2022-2023學年高一下學期期中數(shù)學試題一、單項選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.下列命題中真命題的個數(shù)是（）（1）溫度?速度?位移?功都是向量； （2）零向量沒有方向；（3）向量的模一定是正數(shù)； （4）直角坐標平面上的x軸、y軸都是向量.A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗A〖解析〗（1）錯誤，只有速度，位移是向量；溫度和功沒有方向，不是向量；（2）錯誤，零向量有方向，它的方向是任意的；（3）錯誤，零向量的模為0，向量的模不一定為正數(shù)；（4）錯誤，直角坐標平面上的軸、軸只有方向，但沒有長度，故它們不是向量.故選：A.2.已知兩個單位向量的夾角是，則（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗因為兩個單位向量的夾角是，所以.故選：D.3.設（其中為虛數(shù)單位），若為純虛數(shù)，則實數(shù)（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，因為為純虛數(shù)，所以有.故選：D.4.下列說法正確的是（）A.直四棱柱是長方體B.有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱C.正方體被一個平面截去一個角之后可以得到一個簡單組合體D.臺體是由一個平面截錐體所得的截面與底面之間的部分〖答案〗C〖解析〗對于A，當直四棱柱的底面不是矩形時，直四棱柱不是長方體，A錯誤；對于B，不符合棱柱的結構特征，如下面是一個正三棱柱，上面是一個以正三棱柱上底面為底面的斜三棱柱，B錯誤；對于C，正方體被一個平面截去一個角之后可以得到一個簡單組合體，C正確；對于D，不符合臺體的結構特征,截面應該跟底面平行，D錯誤.故選：C.5.在中，為的中點，與交于點，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題設，，又，，且，所以，即，解得.故選：B.6.“升”和“斗”是舊時量糧食的器具，如圖所示為“升”，是一個無蓋的正四棱臺，據(jù)記載：它上口15厘米，下口12.5厘米，高10厘米，可容米1公斤.該“升”的容積約是（）（約定：“上口”指上底邊長；“下口”指下底邊長.）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗器具是一個無蓋的正四棱臺，它上口15厘米，下口12.5厘米，高10厘米，其體積為：.故選：A.7.已知向量，，滿足，，，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由條件可知，則，當時，.故選：B.8.如圖所示，設是平面內相交成角的兩條數(shù)軸，分別是與軸正方向同向的單位向量，稱此平面坐標系為斜坐標系.若，則把有序數(shù)對叫做向量的斜坐標，記為.在的斜坐標系中，若向量，則下列結論正確的是（）A.B.C.D.向量與可作為該平面的一個基底〖答案〗C〖解析〗由題意得：，，對于A項，，，故A不正確；對于B項，，故B項不正確；對于C項，，由題意得：，故C正確；對于D項，向量與，，所以兩個向量共線，不可作為該平面的一個基底，故D不正確.故選：C.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.如圖所示，是線段上的兩個三等分點，則下列關系式正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗對于A：因為是線段上的兩個三等分點，所以，且與同向，所以，故選項A正確；對于B：因為是線段上的兩個三等分點，所以，且與反向，所以，故選項B正確；對于C：因為是線段上的兩個三等分點，所以，且與反向，所以，所以，故選項C正確；對于D：因為是線段上的兩個三等分點，所以，且與反向，所以，故選項D不正確.故選：ABC.10.已知復數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則（）A.的實部為 B.的虛部為C.復數(shù)在復平面內對應的點位于第四象限 D.的共軛復數(shù)為〖答案〗CD〖解析〗因為，所以，則，所以的實部為，虛部為，，故A、B錯誤，D正確；又復數(shù)在復平面內對應的點為位于第四象限，故C正確.故選：CD.11.如圖所示，一個平面圖形ABCD的直觀圖為，其中，，則下列說法中正確的是（）A.該平面圖形是一個平行四邊形但不是正方形B.該平面圖形面積是8C.該平面圖形繞著直線AC旋轉半周形成的幾何體的體積是D.以該平面圖形為底，高為3的直棱柱的體對角線長為〖答案〗BC〖解析〗如圖下所示，將直觀圖還原為平面圖形，由題意可得，即對角線互相垂直平分且相等，所以該平面圖形為正方形，故A選項錯誤；平面圖形的面積為，故B選項正確；將平面圖形繞直線AC旋轉半周形成的幾何體的體積是兩個同底等高的圓錐形成的組合體，所以其體積為，故C選項正確；以該平面圖形為底，高為3的直棱柱為長方體，由勾股定理可得其體對角線長為，故D選項錯誤.故選：BC.12.已知對任意角均有等式.設的內角滿足，面積滿足.記分別為角的對邊，則下列式子中一定成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗對于A，根據(jù)題意，由可得：，即，故，即，所以，故，故A正確；對于B，又由正弦定理，得，三角形的面積公式，可得，又，因此，即，故B錯誤；對于C，，有，從而，故C正確；對于D，根據(jù)三角形三邊長的關系，有，故D正確．故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.向量在向量上的投影向量__________.〖答案〗或〖解析〗因為，，所以向量在向量上的投影向量的模長為，所以投影向量或.故〖答案〗為：或.14.已知在復平面內，向量對應的復數(shù)是對應的復數(shù)是，則向量對應的復數(shù)是__________.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：.15.已知中，角所對的邊分別為，那么面積的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗因為，由正弦定理可得，，，，，又，，由余弦定理得，即，所以，所以，當且僅當時取等號，所以.故〖答案〗為：.16.如圖所示，一塊邊長為10cm的正方形鐵片上有四塊陰影部分，將這些陰影部分裁下來，然后將余下的四個全等的等腰三角形組成一個正四棱錐?若正四棱錐的各頂點都在同一球面上，底面邊長為單位：，且，則該球的半徑（單位：）的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗由題意，作出正四棱錐，如圖所示，記為的中點，連結，可知，，四邊形為正方形，記為正方形的中心，連結，則平面，，，，記正四棱錐的外接球的球心為，，在直角中，，即，設，，則，整理得，因為在區(qū)間上單調遞減，所以，即，.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知復數(shù)為虛數(shù)單位.（1）若，求；（2）若是關于的實系數(shù)方程的一個復數(shù)根，求.解：（1）若，則，所以（2）方法1：由題得，所以又，故可解得，即，則.方法2：因為是關于的實系數(shù)方程的一個復數(shù)根，所以是方程的另一個復數(shù)根，則，即，又，故可得，則.18.已知平面直角坐標系中，向量.（1）若，且，求向量坐標；（2）若與的夾角為__________，求實數(shù)的取值范圍.請在如下兩個條件中任選一個，將問題補充完整，并求解（如果兩個條件都選則按第1個的答題情況給分）：①銳角；②鈍角.解：（1）設，由題意得，，解得，，解得，向量的坐標為或.（2），當與共線時，，解得，若選①銳角，則，解得；與的夾角為銳角時，實數(shù)的取值范圍為；若選②鈍角，則，解得，與的夾角為鈍角時，實數(shù)的取值范圍是.19.一條河南北兩岸平行.如圖所示，河面寬度，一艘游船從南岸碼頭點出發(fā)航行到北岸.游船在靜水中的航行速度是，水流速度的大小為.設和的夾角為，北岸上的點在點的正北方向.（1）若游船沿到達北岸點所需時間為，求的大小和的值；（2）當時，游船航行到北岸的實際航程是多少？解：（1）設游船的實際速度為，由，得，，如圖所示速度合成示意圖，由，得，，所以的大小為的值為.（2）當時，設到達北岸點所用時間為，作出向量加法示意圖如圖所示，由向量數(shù)量積運算得：，，在Rt中，，從而，所以，故游船的實際航程為.20.中，，，，.（1）若，，求的長度；（2）若為角平分線，且，求的面積.解：（1）∵，，∴，又∵在中，，，，∴，∴，即：.（2）在中，，又∵，∴，∴，∴，∴，∴.21.中，分別在邊上，且.（1）求與所成銳角的余弦值；（2）在線段上是否存在一點，使.若存在，求的值；若不存在，請說明理由.解：（1）如圖以為原點，所在的直線為軸建立平面直角坐標系，則依題意，，所以，，則，所以與所成銳角的余弦值為.（2）設，則，由，得，解得，所以存在點，使.22.南北朝時期的偉大科學家祖暅，于五世紀末提出了體積計算原理，即祖暅原理：“夫疊棋成立積，緣冪勢既同，則積不容異”.意思是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么，這兩個幾何體的體積相等.其最著名之處是解決了“牟合方蓋”的體積問題.如圖所示，正方體，棱長為.（1）求圖中四分之一圓柱體的體積；（2）在圖中畫出四分之一圓柱體與四分之一圓柱體的一條交線（不要求說明理由）；（3）四分之一圓柱體與四分之一圓柱體公共部分是八分之一個“牟合方蓋”.點在棱上，設.過點作一個與正方體底面平行的平面，求該截面位于八分之一“牟合方蓋”內部分的面積；（4）如果令，求出八分之一“牟合方蓋”的體積.解：（1）四分之一圓柱體的體積為：.（2）如圖所示，曲線是所求一條交線.（3）如圖所示，截面位于八分之一“牟合方蓋”內的部分為正方形，，正方體的棱長為，又點在以為圓心，為半徑的圓弧上，，，所以正方形的面積為，即為所求.（4）由（3）可知，用平行于八分之一“牟合方蓋”底面的任意一個平面截它，所得截面面積是，其中是該平面截得的正方體的截面的面積，又，因此可以構造底面邊長為，高為的正四棱錐，根據(jù)祖桓原理，八分之一“牟合方蓋”的體積等于正方體的體積減去該正四棱錐體積，即有：.山西省長治市2022-2023學年高一下學期期中數(shù)學試題一、單項選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.下列命題中真命題的個數(shù)是（）（1）溫度?速度?位移?功都是向量； （2）零向量沒有方向；（3）向量的模一定是正數(shù)； （4）直角坐標平面上的x軸、y軸都是向量.A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗A〖解析〗（1）錯誤，只有速度，位移是向量；溫度和功沒有方向，不是向量；（2）錯誤，零向量有方向，它的方向是任意的；（3）錯誤，零向量的模為0，向量的模不一定為正數(shù)；（4）錯誤，直角坐標平面上的軸、軸只有方向，但沒有長度，故它們不是向量.故選：A.2.已知兩個單位向量的夾角是，則（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗因為兩個單位向量的夾角是，所以.故選：D.3.設（其中為虛數(shù)單位），若為純虛數(shù)，則實數(shù)（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，因為為純虛數(shù)，所以有.故選：D.4.下列說法正確的是（）A.直四棱柱是長方體B.有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱C.正方體被一個平面截去一個角之后可以得到一個簡單組合體D.臺體是由一個平面截錐體所得的截面與底面之間的部分〖答案〗C〖解析〗對于A，當直四棱柱的底面不是矩形時，直四棱柱不是長方體，A錯誤；對于B，不符合棱柱的結構特征，如下面是一個正三棱柱，上面是一個以正三棱柱上底面為底面的斜三棱柱，B錯誤；對于C，正方體被一個平面截去一個角之后可以得到一個簡單組合體，C正確；對于D，不符合臺體的結構特征,截面應該跟底面平行，D錯誤.故選：C.5.在中，為的中點，與交于點，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題設，，又，，且，所以，即，解得.故選：B.6.“升”和“斗”是舊時量糧食的器具，如圖所示為“升”，是一個無蓋的正四棱臺，據(jù)記載：它上口15厘米，下口12.5厘米，高10厘米，可容米1公斤.該“升”的容積約是（）（約定：“上口”指上底邊長；“下口”指下底邊長.）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗器具是一個無蓋的正四棱臺，它上口15厘米，下口12.5厘米，高10厘米，其體積為：.故選：A.7.已知向量，，滿足，，，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由條件可知，則，當時，.故選：B.8.如圖所示，設是平面內相交成角的兩條數(shù)軸，分別是與軸正方向同向的單位向量，稱此平面坐標系為斜坐標系.若，則把有序數(shù)對叫做向量的斜坐標，記為.在的斜坐標系中，若向量，則下列結論正確的是（）A.B.C.D.向量與可作為該平面的一個基底〖答案〗C〖解析〗由題意得：，，對于A項，，，故A不正確；對于B項，，故B項不正確；對于C項，，由題意得：，故C正確；對于D項，向量與，，所以兩個向量共線，不可作為該平面的一個基底，故D不正確.故選：C.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.如圖所示，是線段上的兩個三等分點，則下列關系式正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗對于A：因為是線段上的兩個三等分點，所以，且與同向，所以，故選項A正確；對于B：因為是線段上的兩個三等分點，所以，且與反向，所以，故選項B正確；對于C：因為是線段上的兩個三等分點，所以，且與反向，所以，所以，故選項C正確；對于D：因為是線段上的兩個三等分點，所以，且與反向，所以，故選項D不正確.故選：ABC.10.已知復數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則（）A.的實部為 B.的虛部為C.復數(shù)在復平面內對應的點位于第四象限 D.的共軛復數(shù)為〖答案〗CD〖解析〗因為，所以，則，所以的實部為，虛部為，，故A、B錯誤，D正確；又復數(shù)在復平面內對應的點為位于第四象限，故C正確.故選：CD.11.如圖所示，一個平面圖形ABCD的直觀圖為，其中，，則下列說法中正確的是（）A.該平面圖形是一個平行四邊形但不是正方形B.該平面圖形面積是8C.該平面圖形繞著直線AC旋轉半周形成的幾何體的體積是D.以該平面圖形為底，高為3的直棱柱的體對角線長為〖答案〗BC〖解析〗如圖下所示，將直觀圖還原為平面圖形，由題意可得，即對角線互相垂直平分且相等，所以該平面圖形為正方形，故A選項錯誤；平面圖形的面積為，故B選項正確；將平面圖形繞直線AC旋轉半周形成的幾何體的體積是兩個同底等高的圓錐形成的組合體，所以其體積為，故C選項正確；以該平面圖形為底，高為3的直棱柱為長方體，由勾股定理可得其體對角線長為，故D選項錯誤.故選：BC.12.已知對任意角均有等式.設的內角滿足，面積滿足.記分別為角的對邊，則下列式子中一定成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗對于A，根據(jù)題意，由可得：，即，故，即，所以，故，故A正確；對于B，又由正弦定理，得，三角形的面積公式，可得，又，因此，即，故B錯誤；對于C，，有，從而，故C正確；對于D，根據(jù)三角形三邊長的關系，有，故D正確．故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.向量在向量上的投影向量__________.〖答案〗或〖解析〗因為，，所以向量在向量上的投影向量的模長為，所以投影向量或.故〖答案〗為：或.14.已知在復平面內，向量對應的復數(shù)是對應的復數(shù)是，則向量對應的復數(shù)是__________.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：.15.已知中，角所對的邊分別為，那么面積的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗因為，由正弦定理可得，，，，，又，，由余弦定理得，即，所以，所以，當且僅當時取等號，所以.故〖答案〗為：.16.如圖所示，一塊邊長為10cm的正方形鐵片上有四塊陰影部分，將這些陰影部分裁下來，然后將余下的四個全等的等腰三角形組成一個正四棱錐?若正四棱錐的各頂點都在同一球面上，底面邊長為單位：，且，則該球的半徑（單位：）的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗由題意，作出正四棱錐，如圖所示，記為的中點，連結，可知，，四邊形為正方形，記為正方形的中心，連結，則平面，，，，記正四棱錐的外接球的球心為，，在直角中，，即，設，，則，整理得，因為在區(qū)間上單調遞減，所以，即，.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知復數(shù)為虛數(shù)單位.（1）若，求；（2）若是關于的實系數(shù)方程的一個復數(shù)根，求.解：（1）若，則，所以（2）方法1：由題得，所以又，故可解得，即，則.方法2：因為是關于的實系數(shù)方程的一個復數(shù)根，所以是方程的另一個復數(shù)根，則，即，又，故可得，則.18.已知平面直角坐標系中，向量.（1）若，且，求向量坐標；（2）若與的夾角為__________，求實數(shù)的取值范圍.請在如下兩個條件中任選一個，將問題補充完整，并求解（如果兩個條件都選則按第1個的答題情況給分）：①銳角；②鈍角.解：（1）設，由題意得，，解得，，解得，向量的坐標為或.（2），當與共線時，，解得，若選①銳角，則，解得；與的夾角為銳角時，實數(shù)的取值范圍為；若選②鈍角，則，解得，與的夾角為鈍角時，實數(shù)的取值范圍是.19.一條河南北兩岸平行.如圖所示，河面寬度，一艘游船從南岸碼頭點出發(fā)航行到北岸.游船在靜水中的航行速度是，水流速度的大小為.設和的夾角為，北岸上的點在點的正北方向.（1）若游船沿到達北岸點所需時間為，求的大小和的值；（2）當時，游船航行到北岸的實際航程是多少？解：（1）設游船的實際速度為，由，得，，如圖所示速度合成示意圖，由，得，，所以的大小為的值為.（2）當時，設到達