2024屆福建省福州市馬尾區(qū)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2福建省福州市馬尾區(qū)2024屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意，.故選：D2.已知全集為U，集合M，N滿足，則下列運(yùn)算結(jié)果一定為U的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由得當(dāng)時，，故選項(xiàng)A不正確；，當(dāng)時，，故選項(xiàng)B不正確；當(dāng)時，，故選項(xiàng)C不正確；因?yàn)椋?，故選項(xiàng)D正確.故選：D.3.已知向量，不共線，且，，若與共線，則實(shí)數(shù)的值為（）A.2 B. C.2或 D.或〖答案〗C〖解析〗向量，不共線，且，，與共線，所以存在實(shí)數(shù)，使得，所以，求得實(shí)數(shù)或．故選：C．4.沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長度的“會圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點(diǎn)，D在上，．“會圓術(shù)”給出的弧長的近似值s的計(jì)算公式：．當(dāng)時，（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又，所以三點(diǎn)共線，即，又，所以，則，故，所以.故選：B.5.若展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為A，所有項(xiàng)系數(shù)和為B，一次項(xiàng)系數(shù)為C，則（）A.4095 B.4097 C.-4095 D.-4097〖答案〗C〖解析〗由展開式的通項(xiàng)公式為，所以一次項(xiàng)系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)和，令，則所有項(xiàng)的系數(shù)和，所以.故選：C.6.已知角θ的大小如圖所示，則＝（）A. B. C. D.4〖答案〗C〖解析〗由圖可知所以，則，故選：C.7.已知，，且，則的最小值為（）A.3 B. C.4 D.6〖答案〗A〖解析〗令，，則，則可化為，整理，∵此方程一定有解，∴，即，解得，（舍），則的最小值為3.故選:A.8.設(shè)數(shù)列滿足，，，若表示大于的最小整數(shù)，如，，記，則數(shù)列的前2022項(xiàng)之和為（）A.4044 B.4045 C.4046 D.4047〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以，又，所以?shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以所以，當(dāng)時也符合上式，故，則數(shù)列的通項(xiàng)公式，則數(shù)列的前2022項(xiàng)之和為．故〖答案〗為：4045．二、多項(xiàng)選擇題9.已知直線，其中，下列說法正確的是（）A.當(dāng)時，直線與直線垂直B.若直線與直線平行，則C.直線過定點(diǎn)D.當(dāng)時，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等〖答案〗AC〖解析〗對于A選項(xiàng)，當(dāng)時，直線的方程為，直線的斜率為，直線的斜率為，因?yàn)?，此時，直線與直線垂直，A對；對于B選項(xiàng)，若直線與直線平行，則，解得或，B錯；對于C選項(xiàng)，對于直線，由可得，所以，直線過定點(diǎn)，C對；對于D選項(xiàng)，當(dāng)時，直線的方程為，即，此時，直線在兩坐標(biāo)軸上截距不相等，D錯.故選：AC.10.已知函數(shù)，則（）A.的最大值為3 B.的最小正周期為C.的圖象關(guān)于直線對稱 D.在區(qū)間上單調(diào)遞減〖答案〗BC〖解析〗所以的最大值為，故選項(xiàng)A不正確；的最小正周期為，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)?，解得：，所以直線是的圖象的對稱軸，故選項(xiàng)C正確；令，解得：，所以在區(qū)間和單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)D不正確，故選：BC.11.已知同底面的兩個正三棱錐和均內(nèi)接于球O，且正三棱錐的側(cè)面與底面所成角的大小為，則下列說法正確的是（）.A.平面QBCB.設(shè)三棱錐和的體積分別為和，則C.平面ABC截球O所得的截面面積是球O表面積的倍D.二面角的正切值為〖答案〗BCD〖解析〗∵同底面的兩個正三棱錐和均內(nèi)接于球O，∴PQ為球O的直徑，取AB的中點(diǎn)M，連接PM、QM，則PM⊥AB，CM⊥AB，QM⊥AB，∴∠PMC為側(cè)面PAB與底面ABC所成二面角的平面角，∠QMC為側(cè)面QAB與底面ABC所成二面角的平面角，又正三棱錐的側(cè)面與底面所成角的大小為，設(shè)底面的中心為N，P到底面的距離為h，球的半徑為R，則PN=h，OP=R，ON=R－h(huán)，MN=h，CN=2h，∴，∴，QN=4h，PN=h，∴P、C、Q、M四點(diǎn)共面，又CN=2MN，QN=4h，PN=h，∴PA與QM不平行，故PA與平面QBC不平行，故A錯誤；由QN=4PN，可得，故B正確；∵平面ABC截球O所得的截面面積為，球O表面積為，∴平面ABC截球O所得的截面面積是球O表面積的倍，故C正確；∵，∴，，∴，即二面角的正切值為，故D正確.故選：BCD.12.已知函數(shù)，則以下判斷正確的是（）A.函數(shù)的零點(diǎn)是B.不等式的解集是．C.設(shè)，則在上不是單調(diào)函數(shù)D.對任意的，都有．〖答案〗BD〖解析〗對于A項(xiàng)，零點(diǎn)是數(shù)不是點(diǎn)，故A錯誤；對于B項(xiàng)，令，而恒成立，原不等式等價于，解之得，故B正確；對于C項(xiàng)，，所以，設(shè)，則，設(shè)即定義域上單調(diào)遞增，，即存在使得，即存在使得，所以時有，則，在上單調(diào)遞增，故C錯誤；對于D項(xiàng)，設(shè)，由C項(xiàng)結(jié)論可知在上單調(diào)遞增，所以有，又，即成立，故D正確.故選：BD.三、填空題13.已知等比數(shù)列的公比為2，前項(xiàng)和為，且6，，成等差數(shù)列，則______.〖答案〗〖解析〗設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，因?yàn)?，，成等差數(shù)列，所以，即，又，所以，解得，所以.故〖答案〗：.14.若，則______．〖答案〗〖解析〗已知，且，則，故．15.現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)三種顏色，對如圖所示的正五角星的內(nèi)部涂色（分割成六個不同部分），要求每個區(qū)域涂一種顏色且相鄰部分（有公共邊的兩個區(qū)域）的顏色不同，則不同的涂色方案有________種.（用數(shù)字作答）.〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，假設(shè)正五角星的區(qū)域依此為、、、、、，如圖所示：要將每個區(qū)域都涂色才做完這件事，由分步計(jì)數(shù)原理，先對區(qū)域涂色有3種方法，、、、、這5個區(qū)域都與相鄰，每個區(qū)域都有2種涂色方法，所以共有種涂色方案故〖答案〗為：16.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，線段與y軸交于點(diǎn)Q，若，且為等腰三角形，則橢圓的離心率為____________.〖答案〗〖解析〗，線段與y軸交于點(diǎn)Q，，在右側(cè)，則，，，為等腰三角形，則，所以，，整理得，，，故〖答案〗為：．四、解答題17.在中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊長，且．（1）求的值；（2）若，，求的面積．解：（1）由正弦定理，得，即，所以，從而，因?yàn)?，所以．?）因?yàn)?，由?）知，，解得，所以，所以，，，所以的面積為．18.已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，且，，數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解：（1）數(shù)列為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，且，，設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，則，解得，，所以.（2）數(shù)列.當(dāng)時，，所以.當(dāng)時，，所以.所以.19.為了調(diào)查某蘋果園中蘋果的生長情況，在蘋果園中隨機(jī)采摘了個蘋果.經(jīng)整理分析后發(fā)現(xiàn)，蘋果的重量（單位：）近似服從正態(tài)分布，如圖所示，已知，.（1）若從蘋果園中隨機(jī)采摘個蘋果，求該蘋果的重量在內(nèi)的概率；（2）從這個蘋果中隨機(jī)挑出個，這個蘋果的重量情況如下.重量范圍（單位：）個數(shù)為進(jìn)一步了解蘋果的甜度，從這個蘋果中隨機(jī)選出個，記隨機(jī)選出的個蘋果中重量在內(nèi)的個數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.（1）解：已知蘋果的重量（單位：）近似服從正態(tài)分布，由正態(tài)分布的對稱性可知，，所以從蘋果園中隨機(jī)采摘個蘋果，該蘋果的重量在內(nèi)的概率為.（2）解：由題意可知，隨機(jī)變量的所有可能取值為、、，，；，所以，隨機(jī)變量的分布列為：所以.20.如圖，在長方形中，，點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，且.（1）證明：；（2）若二面角的大小為，求的值.（1）證明：以為原點(diǎn),為軸為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè),則，,，，于是，，故；（2）解：平面，平面的法向量為，又.設(shè)平面的法向量為，則，所以向量的一個解為.因?yàn)槎娼堑拇笮?，則,解得.又因是棱上的一點(diǎn)，所以，故所求的值為.21.已知橢圓C：的離心率為，焦距為2．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l：（）與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且．①求證：的面積為定值；②橢圓C上是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形OAPB為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，說明理由．（1）解：由題意知，焦距，故，又，故，所以，故橢圓C的方程為．（2）①證明：由消去y，化簡得：，設(shè)，，則，，，故，因?yàn)?，所以，所以，坐?biāo)原點(diǎn)到直線l的距離為，所以的面積為，故的面積為定值．②解：假設(shè)存在橢圓上的點(diǎn)P，使得OAPB為平行四邊形，則，設(shè)，則，又因?yàn)椋?，得，與矛盾，故橢圓上不存在點(diǎn)P，使得OAPB為平行四邊形．22.已知函數(shù)．（1）設(shè)、是函數(shù)的圖像上相異的兩點(diǎn)，證明：直線的斜率大于0；（2）求實(shí)數(shù)的取值范圍，使不等式在上恒成立．（1）證明：由可得，故函數(shù)在是嚴(yán)格增函數(shù)，設(shè)，，，則，即，即直線的斜率大于0．（2）解：由題意得，設(shè)，，①當(dāng)時，恒成立，符合題意；②當(dāng)時，，（?。┤?，，所以在上是嚴(yán)格減函數(shù)，，滿足題意；（ⅱ）若，注意到在時，，于是，故，不滿足題意舍去；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．福建省福州市馬尾區(qū)2024屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意，.故選：D2.已知全集為U，集合M，N滿足，則下列運(yùn)算結(jié)果一定為U的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由得當(dāng)時，，故選項(xiàng)A不正確；，當(dāng)時，，故選項(xiàng)B不正確；當(dāng)時，，故選項(xiàng)C不正確；因?yàn)椋?，故選項(xiàng)D正確.故選：D.3.已知向量，不共線，且，，若與共線，則實(shí)數(shù)的值為（）A.2 B. C.2或 D.或〖答案〗C〖解析〗向量，不共線，且，，與共線，所以存在實(shí)數(shù)，使得，所以，求得實(shí)數(shù)或．故選：C．4.沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長度的“會圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點(diǎn)，D在上，．“會圓術(shù)”給出的弧長的近似值s的計(jì)算公式：．當(dāng)時，（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又，所以三點(diǎn)共線，即，又，所以，則，故，所以.故選：B.5.若展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為A，所有項(xiàng)系數(shù)和為B，一次項(xiàng)系數(shù)為C，則（）A.4095 B.4097 C.-4095 D.-4097〖答案〗C〖解析〗由展開式的通項(xiàng)公式為，所以一次項(xiàng)系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)和，令，則所有項(xiàng)的系數(shù)和，所以.故選：C.6.已知角θ的大小如圖所示，則＝（）A. B. C. D.4〖答案〗C〖解析〗由圖可知所以，則，故選：C.7.已知，，且，則的最小值為（）A.3 B. C.4 D.6〖答案〗A〖解析〗令，，則，則可化為，整理，∵此方程一定有解，∴，即，解得，（舍），則的最小值為3.故選:A.8.設(shè)數(shù)列滿足，，，若表示大于的最小整數(shù)，如，，記，則數(shù)列的前2022項(xiàng)之和為（）A.4044 B.4045 C.4046 D.4047〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以，又，所以?shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以所以，當(dāng)時也符合上式，故，則數(shù)列的通項(xiàng)公式，則數(shù)列的前2022項(xiàng)之和為．故〖答案〗為：4045．二、多項(xiàng)選擇題9.已知直線，其中，下列說法正確的是（）A.當(dāng)時，直線與直線垂直B.若直線與直線平行，則C.直線過定點(diǎn)D.當(dāng)時，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等〖答案〗AC〖解析〗對于A選項(xiàng)，當(dāng)時，直線的方程為，直線的斜率為，直線的斜率為，因?yàn)?，此時，直線與直線垂直，A對；對于B選項(xiàng)，若直線與直線平行，則，解得或，B錯；對于C選項(xiàng)，對于直線，由可得，所以，直線過定點(diǎn)，C對；對于D選項(xiàng)，當(dāng)時，直線的方程為，即，此時，直線在兩坐標(biāo)軸上截距不相等，D錯.故選：AC.10.已知函數(shù)，則（）A.的最大值為3 B.的最小正周期為C.的圖象關(guān)于直線對稱 D.在區(qū)間上單調(diào)遞減〖答案〗BC〖解析〗所以的最大值為，故選項(xiàng)A不正確；的最小正周期為，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)椋獾茫?，所以直線是的圖象的對稱軸，故選項(xiàng)C正確；令，解得：，所以在區(qū)間和單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)D不正確，故選：BC.11.已知同底面的兩個正三棱錐和均內(nèi)接于球O，且正三棱錐的側(cè)面與底面所成角的大小為，則下列說法正確的是（）.A.平面QBCB.設(shè)三棱錐和的體積分別為和，則C.平面ABC截球O所得的截面面積是球O表面積的倍D.二面角的正切值為〖答案〗BCD〖解析〗∵同底面的兩個正三棱錐和均內(nèi)接于球O，∴PQ為球O的直徑，取AB的中點(diǎn)M，連接PM、QM，則PM⊥AB，CM⊥AB，QM⊥AB，∴∠PMC為側(cè)面PAB與底面ABC所成二面角的平面角，∠QMC為側(cè)面QAB與底面ABC所成二面角的平面角，又正三棱錐的側(cè)面與底面所成角的大小為，設(shè)底面的中心為N，P到底面的距離為h，球的半徑為R，則PN=h，OP=R，ON=R－h(huán)，MN=h，CN=2h，∴，∴，QN=4h，PN=h，∴P、C、Q、M四點(diǎn)共面，又CN=2MN，QN=4h，PN=h，∴PA與QM不平行，故PA與平面QBC不平行，故A錯誤；由QN=4PN，可得，故B正確；∵平面ABC截球O所得的截面面積為，球O表面積為，∴平面ABC截球O所得的截面面積是球O表面積的倍，故C正確；∵，∴，，∴，即二面角的正切值為，故D正確.故選：BCD.12.已知函數(shù)，則以下判斷正確的是（）A.函數(shù)的零點(diǎn)是B.不等式的解集是．C.設(shè)，則在上不是單調(diào)函數(shù)D.對任意的，都有．〖答案〗BD〖解析〗對于A項(xiàng)，零點(diǎn)是數(shù)不是點(diǎn)，故A錯誤；對于B項(xiàng)，令，而恒成立，原不等式等價于，解之得，故B正確；對于C項(xiàng)，，所以，設(shè)，則，設(shè)即定義域上單調(diào)遞增，，即存在使得，即存在使得，所以時有，則，在上單調(diào)遞增，故C錯誤；對于D項(xiàng)，設(shè)，由C項(xiàng)結(jié)論可知在上單調(diào)遞增，所以有，又，即成立，故D正確.故選：BD.三、填空題13.已知等比數(shù)列的公比為2，前項(xiàng)和為，且6，，成等差數(shù)列，則______.〖答案〗〖解析〗設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，因?yàn)?，，成等差數(shù)列，所以，即，又，所以，解得，所以.故〖答案〗：.14.若，則______．〖答案〗〖解析〗已知，且，則，故．15.現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)三種顏色，對如圖所示的正五角星的內(nèi)部涂色（分割成六個不同部分），要求每個區(qū)域涂一種顏色且相鄰部分（有公共邊的兩個區(qū)域）的顏色不同，則不同的涂色方案有________種.（用數(shù)字作答）.〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，假設(shè)正五角星的區(qū)域依此為、、、、、，如圖所示：要將每個區(qū)域都涂色才做完這件事，由分步計(jì)數(shù)原理，先對區(qū)域涂色有3種方法，、、、、這5個區(qū)域都與相鄰，每個區(qū)域都有2種涂色方法，所以共有種涂色方案故〖答案〗為：16.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，線段與y軸交于點(diǎn)Q，若，且為等腰三角形，則橢圓的離心率為____________.〖答案〗〖解析〗，線段與y軸交于點(diǎn)Q，，在右側(cè)，則，，，為等腰三角形，則，所以，，整理得，，，故〖答案〗為：．四、解答題17.在中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊長，且．（1）求的值；（2）若，，求的面積．解：（1）由正弦定理，得，即，所以，從而，因?yàn)?，所以．?）因?yàn)椋桑?）知，，解得，所以，所以，，，所以的面積為．18.已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，且，，數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解：（1）數(shù)列為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，且，，設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，則，解得，，所以.（2）數(shù)列.當(dāng)時，，所以.當(dāng)時，，所以.所以.19.為了調(diào)查某蘋果園中蘋果的生長情況，在蘋果園中隨機(jī)采摘了個蘋果.經(jīng)整理分析后發(fā)現(xiàn)，蘋果的重量（單位：）近似服從正態(tài)分布，如圖所示，已知，.（1）若從蘋果園中隨機(jī)采摘個蘋果，求該蘋果的重量在內(nèi)的概率；（2）從這個蘋果中隨機(jī)挑出個，這個蘋果的重量情況如下.重量范圍（單位：）個數(shù)為進(jìn)一步了解蘋果的甜度，從這個蘋果中隨機(jī)選出個，記隨機(jī)選出的個蘋果中重量在內(nèi)的個數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.（1）解：已