2024屆四川省成都市郫都區(qū)高三上學期階段檢測（三）數(shù)學試卷（文）（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE2四川省成都市郫都區(qū)2024屆高三上學期階段檢測（三）數(shù)學試卷（文）第I卷（選擇題）一、選擇題1.已知，那么（

）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，解得，則，，故，故選：C.2.已知為虛數(shù)單位，則復數(shù)的虛部為（）A. B. C.0 D.1〖答案〗D〖解析〗因為，所以虛部為1.故選：D．3.命題“，有”的否定為（）A.，使 B.，使C.，有 D.，有〖答案〗A〖解析〗根據(jù)將全稱命題否定為特稱命題即可.可得“，有”的否定為“，使”，故選：A．4.已知為等比數(shù)列的前項和，，則（）A.12 B.24 C.48 D.96〖答案〗C〖解析〗由題知可得，當時，，所以，且，由于為等比數(shù)列，可知，解得，所以，.故選：C.5.如圖，將框圖輸出的看成輸入的的函數(shù)，得到函數(shù)，則的圖象（）A.關于直線對稱 B.關于直線對稱C.關于軸對稱 D.關于點對稱〖答案〗D〖解析〗由框圖得到分段函數(shù)畫出圖象如下則由圖得D正確故選D.6.是拋物線上一點，是的焦點，為的準線，于，若，則的周長為（）A. B. C.10 D.12〖答案〗D〖解析〗如圖，由拋物線，可知，準線方程，因為，所以，代入拋物線方程可得，不妨設在第一象限，則，所以,又，所以,所以的周長為，故選：D7.在《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑（biē，nào）．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某鱉臑的三視圖，則該鱉臑的最長棱長為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根據(jù)三視圖，還原直觀圖為三棱錐，如圖所示，由題意得，在直角三角形中，，同理，所以最長棱為.故選：C.8.已知，則的值為（）A.1 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可得：

，所以，，故.故選：A.9.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖像，且函數(shù)是偶函數(shù)，則的最小值是（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意是偶函數(shù)，所以，解得，又，所以當且僅當時，.故選：A.10.在平面直角坐標系中，點，直線，點關于直線的對稱點為，則面積的最大值是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設，則與的中點坐標為，由題意得，消去得，故點為以為圓心，半徑為1的圓，（除去），故的最大值為2，位于的正上方，故面積的最大值為故選：B.11.若函數(shù)對任意的都有恒成立，則與的大小關系正確的是（

）A. B.C. D.無法比較大〖答案〗C〖解析〗令，則，因為對任意的都有成立，所以，即在上單調遞減，又，故，即，可得.故選：C.12.已知，若存在實數(shù)，當時，滿足，則的取值范圍為（

）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗作出函數(shù)的圖象如圖，當時，，由得，由可得，由圖可知，，點、關于直線對稱，則，點、關于直線對稱，則，所以，令，其中，，當時，，在上單調遞減，當時，，即函數(shù)在上單調遞增，所以，當時，，當時，；當時，，則，所以的取值范圍為.故選：D.第II卷（非選擇題）二、填空題13.若實數(shù)滿足約束條件，則的最大值為________．〖答案〗4〖解析〗題設中的不等式組對應的可行域如圖所示（包括邊界）：由，得，作出直線，向下平移過點時，目標函數(shù)取得最大值，由，得，即，所以的最大值為.故〖答案〗為：414.已知向量滿足，則__________.〖答案〗〖解析〗因為，所以，故.故〖答案〗為：15.正方形的邊長為2，以為起點作射線交邊于點，則的概率為____________.〖答案〗〖解析〗當時，，此時由幾何概型概率公式得的概率為故〖答案〗：16.將四個半徑為的小球放入一個大球中，則這個大球半徑的最小值為________．〖答案〗〖解析〗當大球半徑最小時，四個小球兩兩外切并均與大球內切，大球的半徑是棱長為4的正四面體的外接球半徑加小球半徑2，如圖所示，把棱長為4的正四面體擴成棱長為的正方體，其中正四面體的棱為正方體各面的對角線，如圖所示，則正四面體的外接球也是正方體的外接球，外接球半徑為，所以這時大球的半徑為.故〖答案〗為：.三、解答題17.數(shù)據(jù)顯示，中國在線直播用戶規(guī)模及在線直播購物規(guī)模近幾年都保持高速增長態(tài)勢，某線下家電商場為提升人氣和提高營業(yè)額也開通了在線直播，下表統(tǒng)計了該商場開通在線直播的第x天的線下顧客人數(shù)y（單位：百人）的數(shù)據(jù)：x12345y1012151820（1）根據(jù)第1至第5天的數(shù)據(jù)分析，計算變量y與x的相關系數(shù)r，并用r判斷兩個變量y與x相關關系的強弱（精確到小數(shù)點后三位）；（2）根據(jù)第1至第5天的數(shù)據(jù)分析，可用線性回歸模型擬合y與x的關系，試求出該線性回歸方程并估計該商場開通在線直播的第10天的線下顧客人數(shù)．（參考公式：相關系數(shù)，參考數(shù)據(jù)：回歸方程：，其中，）解：（1）依題意可得，，，，，，，∴兩個變量與相關關系很強.（2）因為，，，，所以時（百人），故預估該商場開通在線直播的第天的線下顧客人數(shù)為百人.18.在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知的面積．（1）求；（2）若，，求．解：（1）由題意可知，，由，得，由正弦定理可知，，由，得，即（或由正弦定理可知：，因為，所以.）（2）由，可知角為銳角，所以，得，，因為，由正弦定理得，所以，由余弦定理，得19.如圖，在三棱柱中，平面．（1）證明：平面平面；（2）設，求四棱錐的高．（1）證明：因為平面，平面,所以,又因為，即，平面，,所以平面，又因為平面,所以平面平面.（2）解：如圖，過點作，垂足為.因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以四棱錐的高為.因為平面，平面,所以,,又因為，為公共邊，所以與全等，所以.設，則，所以為中點，,又因為,所以,即，解得，所以，所以四棱錐的高為．20.已知橢圓，點A，B為橢圓C左右頂點（A點在左），，離心率為．（1）求橢圓C標準方程；（2）過點的直線與橢圓C交于（與A，B不重合）兩點，直線與交于點P，證明：點P在定直線上．（1）解：由題意可知：，所以，所以，所以橢圓的標準方程為；（2）證明：由題意，直線的斜率不為0，設直線，，聯(lián)立可得，顯然，所以，所以，又因為，所以，令，則，解得，即，所以點P在定直線上.21.已知函數(shù)．（1）當時，求的極值；（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）證明：．（1）解：當時，的定義域為，求導得，當時，，當時，，則在上遞減，在上遞增，所以有極小值，無極大值.（2）解：由恒成，得，令，求導得，當時，，當時，，即函數(shù)在上遞減，在上遞增，因此，則，所以實數(shù)的取值范圍是.（3）證明：由（2）知，當時，即于是，，，，因此，所以.請考生在22、23題中任選一題作答.22.瑞士數(shù)學家雅各布·伯努利在1694年類比橢圓的定義，發(fā)現(xiàn)了雙紐線.雙紐線的圖形如圖所示，它的形狀像個橫著的“8”，也像是無窮符號“∞”.定義在平面直角坐標系中，把到定點距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線.以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求雙紐線的極坐標方程；（2）雙紐線與極軸交于點P，點M為C上一點，求面積的最大值（用表示）.解：（1）以坐標原點為極點，以x軸非負半軸為極軸建立極坐標系，如圖，在雙紐線C上任取一點，在中，，在中，，依題意，，則，即，整理得：，所以雙紐線的極坐標方程為．（2）令，得，則點到極軸所在直線的距離為，則，當且僅當時取等號，所以面積的最大值為．23.已知函數(shù).（1）解不等式；（2）設函數(shù)最小值為，正數(shù)、、滿足，證明：.（1）解：當時，由得，此時，；當時，由得，此時，；當時，由，解得，此時，.綜上所述，不等式的解集為.（2）證明：由（1）可知，，函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，且，在區(qū)間上單調遞減，且，在上單調遞增，且，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，在上單調遞增，所以，函數(shù)的最小值為，所以，所以，，當且僅當時，等號成立，所以，.四川省成都市郫都區(qū)2024屆高三上學期階段檢測（三）數(shù)學試卷（文）第I卷（選擇題）一、選擇題1.已知，那么（

）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，解得，則，，故，故選：C.2.已知為虛數(shù)單位，則復數(shù)的虛部為（）A. B. C.0 D.1〖答案〗D〖解析〗因為，所以虛部為1.故選：D．3.命題“，有”的否定為（）A.，使 B.，使C.，有 D.，有〖答案〗A〖解析〗根據(jù)將全稱命題否定為特稱命題即可.可得“，有”的否定為“，使”，故選：A．4.已知為等比數(shù)列的前項和，，則（）A.12 B.24 C.48 D.96〖答案〗C〖解析〗由題知可得，當時，，所以，且，由于為等比數(shù)列，可知，解得，所以，.故選：C.5.如圖，將框圖輸出的看成輸入的的函數(shù)，得到函數(shù)，則的圖象（）A.關于直線對稱 B.關于直線對稱C.關于軸對稱 D.關于點對稱〖答案〗D〖解析〗由框圖得到分段函數(shù)畫出圖象如下則由圖得D正確故選D.6.是拋物線上一點，是的焦點，為的準線，于，若，則的周長為（）A. B. C.10 D.12〖答案〗D〖解析〗如圖，由拋物線，可知，準線方程，因為，所以，代入拋物線方程可得，不妨設在第一象限，則，所以,又，所以,所以的周長為，故選：D7.在《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑（biē，nào）．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某鱉臑的三視圖，則該鱉臑的最長棱長為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根據(jù)三視圖，還原直觀圖為三棱錐，如圖所示，由題意得，在直角三角形中，，同理，所以最長棱為.故選：C.8.已知，則的值為（）A.1 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可得：

，所以，，故.故選：A.9.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖像，且函數(shù)是偶函數(shù)，則的最小值是（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意是偶函數(shù)，所以，解得，又，所以當且僅當時，.故選：A.10.在平面直角坐標系中，點，直線，點關于直線的對稱點為，則面積的最大值是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設，則與的中點坐標為，由題意得，消去得，故點為以為圓心，半徑為1的圓，（除去），故的最大值為2，位于的正上方，故面積的最大值為故選：B.11.若函數(shù)對任意的都有恒成立，則與的大小關系正確的是（

）A. B.C. D.無法比較大〖答案〗C〖解析〗令，則，因為對任意的都有成立，所以，即在上單調遞減，又，故，即，可得.故選：C.12.已知，若存在實數(shù)，當時，滿足，則的取值范圍為（

）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗作出函數(shù)的圖象如圖，當時，，由得，由可得，由圖可知，，點、關于直線對稱，則，點、關于直線對稱，則，所以，令，其中，，當時，，在上單調遞減，當時，，即函數(shù)在上單調遞增，所以，當時，，當時，；當時，，則，所以的取值范圍為.故選：D.第II卷（非選擇題）二、填空題13.若實數(shù)滿足約束條件，則的最大值為________．〖答案〗4〖解析〗題設中的不等式組對應的可行域如圖所示（包括邊界）：由，得，作出直線，向下平移過點時，目標函數(shù)取得最大值，由，得，即，所以的最大值為.故〖答案〗為：414.已知向量滿足，則__________.〖答案〗〖解析〗因為，所以，故.故〖答案〗為：15.正方形的邊長為2，以為起點作射線交邊于點，則的概率為____________.〖答案〗〖解析〗當時，，此時由幾何概型概率公式得的概率為故〖答案〗：16.將四個半徑為的小球放入一個大球中，則這個大球半徑的最小值為________．〖答案〗〖解析〗當大球半徑最小時，四個小球兩兩外切并均與大球內切，大球的半徑是棱長為4的正四面體的外接球半徑加小球半徑2，如圖所示，把棱長為4的正四面體擴成棱長為的正方體，其中正四面體的棱為正方體各面的對角線，如圖所示，則正四面體的外接球也是正方體的外接球，外接球半徑為，所以這時大球的半徑為.故〖答案〗為：.三、解答題17.數(shù)據(jù)顯示，中國在線直播用戶規(guī)模及在線直播購物規(guī)模近幾年都保持高速增長態(tài)勢，某線下家電商場為提升人氣和提高營業(yè)額也開通了在線直播，下表統(tǒng)計了該商場開通在線直播的第x天的線下顧客人數(shù)y（單位：百人）的數(shù)據(jù)：x12345y1012151820（1）根據(jù)第1至第5天的數(shù)據(jù)分析，計算變量y與x的相關系數(shù)r，并用r判斷兩個變量y與x相關關系的強弱（精確到小數(shù)點后三位）；（2）根據(jù)第1至第5天的數(shù)據(jù)分析，可用線性回歸模型擬合y與x的關系，試求出該線性回歸方程并估計該商場開通在線直播的第10天的線下顧客人數(shù)．（參考公式：相關系數(shù)，參考數(shù)據(jù)：回歸方程：，其中，）解：（1）依題意可得，，，，，，，∴兩個變量與相關關系很強.（2）因為，，，，所以時（百人），故預估該商場開通在線直播的第天的線下顧客人數(shù)為百人.18.在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知的面積．（1）求；（2）若，，求．解：（1）由題意可知，，由，得，由正弦定理可知，，由，得，即（或由正弦定理可知：，因為，所以.）（2）由，可知角為銳角，所以，得，，因為，由正弦定理得，所以，由余弦定理，得19.如圖，在三棱柱中，平面．（1）證明：平面平面；（2）設，求四棱錐的高．（1）證明：因為平面，平面,所以,又因為，即，平面，,所以平面，又因為平面,所以平面平面.（2）解：如圖，過點作，垂足為.因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以四棱錐的高為.因為平面，平面,所以,,又因為，為公共邊，所以與全等，所以.設，則，所以為中點，,又因為,所以,即，解得，所以，所以四棱錐的高為．20.已知橢圓，點A，B為橢圓C左右頂點（A點在左），，離心率為．（1）求橢圓C標準方程；（2）過點的直線與橢圓C交于（與A，B不重合）兩點，直線與交于點P，證明：點P在定直線上．（1）解：由題意可知：，所以，所以，所以橢圓的標準方程為；（2）證明：由題意，直線的斜率不為0，設直線，，聯(lián)立可得，顯然，所以，所以，又因為，所以，令，則，解得，即，所以點P在定直線上.21.已知函數(shù)．（