2024屆浙江省Z20名校聯(lián)盟(名校新高考研究聯(lián)盟)高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題(解析版)_第1頁
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高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2浙江省Z20名校聯(lián)盟(名校新高考研究聯(lián)盟)2024屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第I卷一?單項(xiàng)選擇題1.若集合,則()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令,解得,則,故,故選:C2.已知是關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)根,則()A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗D〖解析〗因?yàn)槭顷P(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)根,所以,整理得到:即,故選:D.3.已知向量,向量在向量上的投影向量()A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)橄蛄浚韵蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄?,故選:C4.已知直線交圓于兩點(diǎn),設(shè)甲:,乙:,則()A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件〖答案〗A〖解析〗圓的圓心為,半徑為,當(dāng)時(shí),直線,則到直線的距離為,此時(shí),而,即為正三角形,故;當(dāng)時(shí),為正三角形,則C到的距離為,即圓心C到直線距離為,解得或,即當(dāng)時(shí),不一定推出,故甲是乙的充分條件但不是必要條件,故選:A5.已知數(shù)列滿足,則()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗,所以,,所以為等差數(shù)列,且公差為1,首項(xiàng)為1,故,即,故選:B6.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗函數(shù)的定義域?yàn)椋?,令,解得,所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選:D.7.已知,若,則()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由于,則,而,故,由,可得,則,故,故選:D.8.假設(shè)變量與變量的對(duì)觀測數(shù)據(jù)為,兩個(gè)變量滿足一元線性回歸模型.要利用成對(duì)樣本數(shù)據(jù)求參數(shù)的最小二乘估計(jì),即求使取最小值時(shí)的的值,則()A. B.C D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?,上式是關(guān)于的二次函數(shù),因此要使取得最小值,當(dāng)且僅當(dāng)?shù)娜≈禐?故選:A.二?多項(xiàng)選擇題9.為了了解某公路段汽車通過的時(shí)速,隨機(jī)抽取了200輛汽車通過該公路段的時(shí)速數(shù)據(jù),進(jìn)行適當(dāng)分組后(每組為左閉右開的區(qū)間),繪制成頻率分布直方圖,“根據(jù)直方圖,以下說法正確的是()A.時(shí)速在的數(shù)據(jù)有40個(gè)B.可以估計(jì)該組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是65C.時(shí)速在的數(shù)據(jù)的頻率是0.07D.可以估計(jì)汽車通過該路段的平均時(shí)速是〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A,,即時(shí)速在的數(shù)據(jù)有40個(gè),故A正確;對(duì)于B,,所以該組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)位于不妨設(shè)為,則,解得,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,時(shí)速在的數(shù)據(jù)的頻率是,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,可以估計(jì)汽車通過該路段的平均時(shí)速是,故D正確.故選:AD.10.函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),滿足,以下結(jié)論正確的是()A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗由條件,可知,所以,所以函數(shù)是周期為4的函數(shù),,故A錯(cuò)誤;,故B正確;由條件,可知,所以,故C正確;由函數(shù)的周期為4,且,,所以,故D錯(cuò)誤.故選:BC11.曲線的法線定義:過曲線上的點(diǎn),且垂直于該點(diǎn)處切線的直線即為該點(diǎn)處的法線.已知點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn),是的焦點(diǎn),點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn),點(diǎn)處的法線與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),與交于另一點(diǎn),點(diǎn)是的中點(diǎn),則以下結(jié)論正確的是()A.點(diǎn)的坐標(biāo)是B.的方程是C.D.過點(diǎn)的的法線(包括)共有兩條〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)A,將點(diǎn)代入,得,則,當(dāng)時(shí),故的方程為,令,則點(diǎn)的坐標(biāo)是,故A錯(cuò)誤;對(duì)B,的方程為,整理得,故B正確;對(duì)C,易得與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為,與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為,聯(lián)立,解得或.與的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,故C正確;對(duì)D,易得點(diǎn)的坐標(biāo)為,設(shè)點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn),當(dāng)是原點(diǎn)時(shí),處的法線為軸,顯然不過點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)不是原點(diǎn)時(shí),則處的法線方程為,將點(diǎn)代入得,,又,則,故或過點(diǎn)的的法線(包括)共有兩條,故D正確.故選:BCD12.已知棱長為1的正方體是空間中一個(gè)動(dòng)平面,下列結(jié)論正確的是()A.設(shè)棱所在的直線與平面所成的角為,則B.設(shè)棱所在的直線與平面所成的角為,則C.正方體的12條棱在平面上的射影長度的平方和為8D.四面體的6條棱在平面上的射影長度的平方和為8〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A,以點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn),為軸,為軸,為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,得,,設(shè)的法向量為,則,同理可得,,故A正確;對(duì)于B,則,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,這3條棱在平面上的射影長度的平方和為,條棱在平面上的射影長度的平方和為8,故C正確;對(duì)于D,,設(shè)與平面所成角為與平面所成角為,則,,在平面上的射影長度的平方和為,則四面體的6條棱在平面上的射影長度的平方和為,故D正確.故選:ACD.第II卷三?填空題13.的展開式中的系數(shù)是__________.〖答案〗8〖解析〗展開式的通項(xiàng)公式為,(其中),令,解得,即二項(xiàng)式展開式中的系數(shù)為.故〖答案〗為:8.14.已知正方形的四個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓上,的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是的中點(diǎn),則的離心率是__________.〖答案〗〖解析〗不妨設(shè)為橢圓的左、右焦點(diǎn),由題意知軸,軸,且經(jīng)過橢圓焦點(diǎn),,則,將代入橢圓方程,得,故,由,得,結(jié)合,得,即,解得(負(fù)值舍),故的離心率是,故〖答案〗為:15.設(shè)函數(shù),若存在使成立,則的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗由于函數(shù),當(dāng)時(shí),,根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時(shí),離最近且使得的x值為,故存在,使成立,需滿足,即的取值范圍為,故〖答案〗為:16.已知函數(shù),,若關(guān)于的不等式有解,則的最小值是__________.〖答案〗〖解析〗由得,顯然,所以有解,令,則,令,則,所以當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,即,所以,則,即最小值是.故〖答案〗為:.四?解答題17.記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.解:(1)得:,或,同理:或,是等差數(shù)列,,是等比數(shù)列;(2)令,其前項(xiàng)和為,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),當(dāng)為奇數(shù)時(shí),.綜上所述,.18.如圖,已知三棱錐平面,點(diǎn)是點(diǎn)在平面內(nèi)的射影,點(diǎn)在棱上,且滿足.(1)求證:;(2)求與平面所成角的正弦值.(1)證明:連結(jié),平面平面,又兩兩垂直,以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸建立空間直角坐標(biāo)系,如下圖所示:不妨設(shè),可得,.,所以是正三角形,點(diǎn)為正三角形的中心,所以,,所以.,又,.(2)解:,,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,由,得:,則,設(shè)與平面所成角為,則.故直線與平面所成角的正弦值為.19.在中,角所對(duì)邊分別為,.(1)求的值;(2)若,點(diǎn)是的中點(diǎn),且,求的面積.解:(1)由正弦定理得:,,則,,不等于0,.(2),,所以,聯(lián)立,,在中,由余弦定理得:①在中,由余弦定理得:②由①②式得:,故,.20.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)在的漸近線上,且滿足.(1)求的方程;(2)點(diǎn)為的左頂點(diǎn),過的直線交于兩點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn),證明:線段的中點(diǎn)為定點(diǎn).(1)解:設(shè),,由,得,解得,即,而曲線的漸近線方程為,由點(diǎn)在的漸近線上,得,即,因此,所以的方程為.(2)證明:由(1)知,設(shè)直線為,由消去y得:,則,,由三點(diǎn)共線,得,同理,因此,所以的中點(diǎn)為定點(diǎn).21.某商場推出購物抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng),活動(dòng)規(guī)則如下:①顧客在商場內(nèi)消費(fèi)每滿100元,可獲得1張抽獎(jiǎng)券;②顧客進(jìn)行一次抽獎(jiǎng)需消耗1張抽獎(jiǎng)券,抽獎(jiǎng)規(guī)則為:從放有5個(gè)白球,1個(gè)紅球的盒子中,隨機(jī)摸取1個(gè)球(每個(gè)球被摸到的可能性相同),若摸到白球,則沒有中獎(jiǎng),若摸到紅球,則可獲得1份禮品,并得到一次額外抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)(額外抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)不消耗抽獎(jiǎng)券,抽獎(jiǎng)規(guī)則不變);③每位顧客獲得的禮品數(shù)不超過3份,若獲得的禮品數(shù)滿3份,則不可繼續(xù)抽獎(jiǎng);(1)顧客甲通過在商場內(nèi)消費(fèi)獲得了2張抽獎(jiǎng)券,求他通過抽獎(jiǎng)至少獲得1份禮品的概率;(2)顧客乙累計(jì)消耗3張抽獎(jiǎng)券抽獎(jiǎng)后,獲得的禮品數(shù)滿3份,則他在消耗第2張抽獎(jiǎng)券抽獎(jiǎng)的過程中,獲得禮品的概率是多少?(3)設(shè)顧客在消耗張抽獎(jiǎng)券抽獎(jiǎng)后,獲得的禮品數(shù)滿3份,要獲得張抽獎(jiǎng)券,至少要在商場中消費(fèi)滿元,求的值.(重復(fù)進(jìn)行某個(gè)伯努利試驗(yàn),且每次試驗(yàn)的成功概率均為.隨機(jī)變量表示當(dāng)恰好出現(xiàn)次失敗時(shí)已經(jīng)成功的試驗(yàn)次數(shù).則服從參數(shù)為和的負(fù)二項(xiàng)分布.記作.它的均值,方差)解:(1)由題意可知一次摸獎(jiǎng)摸到紅球的概率為,摸到白球的概率為,故甲至少獲得1份禮品的概率;(2)設(shè)“顧客乙累計(jì)消耗3張抽獎(jiǎng)券抽獎(jiǎng)后,獲得的禮品數(shù)滿3份”,“顧客乙在消耗第2張抽獎(jiǎng)券抽獎(jiǎng)的過程中,獲得禮品”,,;(3)由題意可知?jiǎng)t,.22.已知函數(shù),(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的值域;(2)若函數(shù)恒成立,求的取值范圍.解:(1)因?yàn)椋?,在上單調(diào)遞增又,的值域是.(2)方法一:①當(dāng)時(shí),,②當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,成立.③當(dāng)時(shí),令,則,所以上單調(diào)遞增,即在上單調(diào)遞增,,使得當(dāng)時(shí),故在上單調(diào)遞減,則,④當(dāng)時(shí),令,則,所以在上單調(diào)遞增,即在上單調(diào)遞增,,即在上遞增,則成立.綜上所述,若函數(shù)恒成立,則.方法二當(dāng)時(shí),成立,當(dāng)時(shí),成立,當(dāng)時(shí),恒成立,令,則,又,令,,當(dāng)時(shí),,,在上單調(diào)遞增.,故,,又,,故.浙江省Z20名校聯(lián)盟(名校新高考研究聯(lián)盟)2024屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第I卷一?單項(xiàng)選擇題1.若集合,則()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令,解得,則,故,故選:C2.已知是關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)根,則()A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗D〖解析〗因?yàn)槭顷P(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)根,所以,整理得到:即,故選:D.3.已知向量,向量在向量上的投影向量()A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)橄蛄?,所以向量在向量上的投影向量,故選:C4.已知直線交圓于兩點(diǎn),設(shè)甲:,乙:,則()A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件〖答案〗A〖解析〗圓的圓心為,半徑為,當(dāng)時(shí),直線,則到直線的距離為,此時(shí),而,即為正三角形,故;當(dāng)時(shí),為正三角形,則C到的距離為,即圓心C到直線距離為,解得或,即當(dāng)時(shí),不一定推出,故甲是乙的充分條件但不是必要條件,故選:A5.已知數(shù)列滿足,則()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗,所以,,所以為等差數(shù)列,且公差為1,首項(xiàng)為1,故,即,故選:B6.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗函數(shù)的定義域?yàn)椋?,令,解得,所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選:D.7.已知,若,則()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由于,則,而,故,由,可得,則,故,故選:D.8.假設(shè)變量與變量的對(duì)觀測數(shù)據(jù)為,兩個(gè)變量滿足一元線性回歸模型.要利用成對(duì)樣本數(shù)據(jù)求參數(shù)的最小二乘估計(jì),即求使取最小值時(shí)的的值,則()A. B.C D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?,上式是關(guān)于的二次函數(shù),因此要使取得最小值,當(dāng)且僅當(dāng)?shù)娜≈禐?故選:A.二?多項(xiàng)選擇題9.為了了解某公路段汽車通過的時(shí)速,隨機(jī)抽取了200輛汽車通過該公路段的時(shí)速數(shù)據(jù),進(jìn)行適當(dāng)分組后(每組為左閉右開的區(qū)間),繪制成頻率分布直方圖,“根據(jù)直方圖,以下說法正確的是()A.時(shí)速在的數(shù)據(jù)有40個(gè)B.可以估計(jì)該組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是65C.時(shí)速在的數(shù)據(jù)的頻率是0.07D.可以估計(jì)汽車通過該路段的平均時(shí)速是〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A,,即時(shí)速在的數(shù)據(jù)有40個(gè),故A正確;對(duì)于B,,所以該組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)位于不妨設(shè)為,則,解得,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,時(shí)速在的數(shù)據(jù)的頻率是,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,可以估計(jì)汽車通過該路段的平均時(shí)速是,故D正確.故選:AD.10.函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),滿足,以下結(jié)論正確的是()A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗由條件,可知,所以,所以函數(shù)是周期為4的函數(shù),,故A錯(cuò)誤;,故B正確;由條件,可知,所以,故C正確;由函數(shù)的周期為4,且,,所以,故D錯(cuò)誤.故選:BC11.曲線的法線定義:過曲線上的點(diǎn),且垂直于該點(diǎn)處切線的直線即為該點(diǎn)處的法線.已知點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn),是的焦點(diǎn),點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn),點(diǎn)處的法線與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),與交于另一點(diǎn),點(diǎn)是的中點(diǎn),則以下結(jié)論正確的是()A.點(diǎn)的坐標(biāo)是B.的方程是C.D.過點(diǎn)的的法線(包括)共有兩條〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)A,將點(diǎn)代入,得,則,當(dāng)時(shí),故的方程為,令,則點(diǎn)的坐標(biāo)是,故A錯(cuò)誤;對(duì)B,的方程為,整理得,故B正確;對(duì)C,易得與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為,與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為,聯(lián)立,解得或.與的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,故C正確;對(duì)D,易得點(diǎn)的坐標(biāo)為,設(shè)點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn),當(dāng)是原點(diǎn)時(shí),處的法線為軸,顯然不過點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)不是原點(diǎn)時(shí),則處的法線方程為,將點(diǎn)代入得,,又,則,故或過點(diǎn)的的法線(包括)共有兩條,故D正確.故選:BCD12.已知棱長為1的正方體是空間中一個(gè)動(dòng)平面,下列結(jié)論正確的是()A.設(shè)棱所在的直線與平面所成的角為,則B.設(shè)棱所在的直線與平面所成的角為,則C.正方體的12條棱在平面上的射影長度的平方和為8D.四面體的6條棱在平面上的射影長度的平方和為8〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A,以點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn),為軸,為軸,為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,得,,設(shè)的法向量為,則,同理可得,,故A正確;對(duì)于B,則,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,這3條棱在平面上的射影長度的平方和為,條棱在平面上的射影長度的平方和為8,故C正確;對(duì)于D,,設(shè)與平面所成角為與平面所成角為,則,,在平面上的射影長度的平方和為,則四面體的6條棱在平面上的射影長度的平方和為,故D正確.故選:ACD.第II卷三?填空題13.的展開式中的系數(shù)是__________.〖答案〗8〖解析〗展開式的通項(xiàng)公式為,(其中),令,解得,即二項(xiàng)式展開式中的系數(shù)為.故〖答案〗為:8.14.已知正方形的四個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓上,的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是的中點(diǎn),則的離心率是__________.〖答案〗〖解析〗不妨設(shè)為橢圓的左、右焦點(diǎn),由題意知軸,軸,且經(jīng)過橢圓焦點(diǎn),,則,將代入橢圓方程,得,故,由,得,結(jié)合,得,即,解得(負(fù)值舍),故的離心率是,故〖答案〗為:15.設(shè)函數(shù),若存在使成立,則的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗由于函數(shù),當(dāng)時(shí),,根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時(shí),離最近且使得的x值為,故存在,使成立,需滿足,即的取值范圍為,故〖答案〗為:16.已知函數(shù),,若關(guān)于的不等式有解,則的最小值是__________.〖答案〗〖解析〗由得,顯然,所以有解,令,則,令,則,所以當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,即,所以,則,即最小值是.故〖答案〗為:.四?解答題17.記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.解:(1)得:,或,同理:或,是等差數(shù)列,,是等比數(shù)列;(2)令,其前項(xiàng)和為,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),當(dāng)為奇數(shù)時(shí),.綜上所述,.18.如圖,已知三棱錐平面,點(diǎn)是點(diǎn)在平面內(nèi)的射影,點(diǎn)在棱上,且滿足.(1)求證:;(2)求與平面所成角的正弦值.(1)證明:連結(jié),平面平面,又兩兩垂直,以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸建立空間直角坐標(biāo)系,如下圖所示:不妨設(shè),可得,.,所以是正三角形,點(diǎn)為正三角形的中心,所以,,所以.,又,.(2)解:,,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,由,得:,則,設(shè)與平面所成角為,則.故直線與平面所成角的正弦值為.19.在中,角所對(duì)邊分別為,.(1)求的值;(2)若,點(diǎn)是的中點(diǎn),且,求的面積.解:(1)由正弦定理得:,,則,,不等于0,.(2),,所以,聯(lián)立,,在中,由余弦定理得:①在中,由余弦定理得:②由①②式得:,故,.20.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)在的漸近線上,且滿足.(1)求的方程;(2)點(diǎn)為的左頂點(diǎn),過的直線交于兩點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn),證明:線段的中點(diǎn)為定點(diǎn).(1)解:設(shè),,由,得,解得,即,而曲線的漸近線方程為,由點(diǎn)在的漸近線上,得,即,因此,所以的方程為.(2)證明:由(1)知,設(shè)直線為,由消去y得:,則,,由三點(diǎn)共線,得,同理,因此,所以的中點(diǎn)為定點(diǎn).21.某商場推出購物抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng),活動(dòng)規(guī)則如下:①

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