專題03 動點、折疊與旋轉(zhuǎn)中的角度問題基礎鞏固+技能提升（解析版）

專題03基礎鞏固+技能提升【基礎鞏固】1.（2019·江蘇蘇州市期末）如圖，將一張長方形的紙片沿折痕EF翻折，使點C、D分別落在點M、N的位置，且∠BFM=∠EFM，則∠BFM的度數(shù)為_______【答案】36°.【解析】解：由折疊的性質(zhì)可得：∠MFE=∠EFC，

∵∠BFM=∠EFM，設∠BFM=x°，則∠MFE=∠EFC=2x°，

∵∠MFB+∠MFE+∠EFC=180°，

∴x+2x+2x=180，

解得：x=36，

∴∠BFM=36°．

故答案為：36°．2．（2020·山東省日照市月考）如圖，把一張長方形紙片ABCD沿EF折疊，若∠EFG=50°，則∠DEG=_________度．【答案】100.【解析】解：∵四邊形ABCD是長方形，

∴AD∥BC，

∴∠DEF=∠EFG=50°，

由折疊知，∠DEF=∠FEG=50°，

∴∠DEG=50°+50°=100°，

故答案為：100．3．（2020·山西大同市期末）學習平行線后，張明想出了過已知直線外一點畫這條直線的平行線的新方法，他是通過折一張半透明的紙得到的．觀察圖（1）～（4），經(jīng)兩次折疊展開后折痕CD所在的直線即為過點P與已知直線a平行的直線．由操作過程可知張明畫平行線的依據(jù)有（）①同位角相等，兩直線平行；②兩直線平行，同位角相等；③內(nèi)錯角相等，兩直線平行；④同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．A．①③ B．①②③ C．③④ D．①③④【答案】D.【解析】解：由作圖可知，a⊥AB，CD⊥AB，利用同位角相等，兩直線平行或內(nèi)錯角相等，兩直線平行或同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，判定CD∥a，故答案為：D．4.（2020·江西九江市期末）將如圖1的長方形紙片沿折疊得到圖2，折疊后與相交于點．如果則的度數(shù)為____．【答案】55°.【解析】解：∵AE∥BF，

∴∠AEP=∠FPE=70°．設∠PEF=x，∠AEP+2∠PEF=180°，

70°+2x=180°，x=55°．即∠PEF=55°，

故答案為：55°．5.（2019·河北邯鄲市期末）如圖，直線AB∥CD，直線l與直線AB，CD相交于點E，F(xiàn)，點P是射線EA上的一個動點（不包括端點E），將△EPF沿PF折疊，使頂點E落在點Q處．⑴若∠PEF＝48°,點Q恰好落在其中的一條平行線上,則∠EFP的度數(shù)為．⑵若∠PEF＝75°，∠CFQ＝∠PFC，求∠EFP的度數(shù)．【答案】⑴42°或66°⑵35°或63°.【解析】解：（1）當Q落在CD上時，∠EFP=∠PFQ=（180－48）÷2=66°當Q落在AB上時，∠FPQ=∠FPQ=90°，∠EFP=90°－48°=42°，故答案為：42°或66°.（2）①當點Q在平行線之間時,設∠PFQ=x，則∠EFP=x由∠PFC=2∠CFQ，知∠CFQ=x，∵AB∥CD∴75+x+x+x=180即x=35，∠EFP=35°.②當點Q在CD的下方時,設∠CFQ=x，則∠PFC=2x，∠PFQ=3x，∠PFE=3x，∵AB∥CD∴2x+3x+75=180，解得x=21即∠EFP=63°.6.（2020·達州市期中）已知：如圖所示，直線MN∥GH，另一直線交GH于A，交MN于B，且∠MBA＝80°，點C為直線GH上一動點，點D為直線MN上一動點，且∠GCD＝50°．（1）如圖1，當點C在點A右邊且點D在點B左邊時，∠DBA的平分線交∠DCA的平分線于點P，求∠BPC的度數(shù)；（2）如圖2，當點C在點A右邊且點D在點B右邊時，∠DBA的平分線交∠DCA的平分線于點P，求∠BPC的度數(shù)；（3）當點C在點A左邊且點D在點B左邊時，∠DBA的平分線交∠DCA的平分線所在直線交于點P，請直接寫出∠BPC的度數(shù)，不說明理由．【答案】（1）∠BPC＝65°；（2）∠BPC＝155°；（3）∠BPC＝155°.【解析】解：（1）如圖，過點P作PE∥MN∵PB平分∠DBA，∴∠DBP=∠PBA=40°，∵PE∥MN，∴∠BPE=∠DBP=40°，同理可證：∠CPE=25°，∴∠BPC＝40°+25°＝65°；（2）過點P作PE∥MN．∵∠MBA＝80°．∴∠DBA＝180°?80°＝100°．∵BP平分∠DBA．∴∠DBP=50°，∵MN∥PE，∴∠BPE＝180°?∠DBP＝130°，∵PC平分∠DCA．∴∠PCA=25°，∵MN∥PE，MN∥GH，∴PE∥GH，∴∠EPC=∠PCA=25°，∴∠BPC＝130°+25°＝155°；（3）過點P作PE∥MN．∵BP平分∠DBA．∴∠DBP＝∠PBA=40°，∵PE∥MN，∴∠BPE=∠DBP=40°，∵CP平分∠DCA，∠DCA＝180°?∠DCG＝130°，∴∠PCA=65°，∵PE∥MN，MN∥GH，∴PE∥GH，∴∠CPE＝180°－∠PCA＝115°，∴∠BPC＝40°+115°＝155°．7.（2020·湖南益陽市期末）如圖，，點為直線上一定點，為直線上的動點，在直線與之間且在線段的右方作點，使得．設為銳角)．(1)求與的和；(2)當點在直線上運動時，試說明；(3)當點在直線上運動的過程中，若平分，也恰好平分，請求出此時的值【答案】（1）∠NAD＋∠PBD=90°；（2）見解析；（3）30°.【解析】解：（1）過點D作EF∥MN∵MN∥OP∴EF∥OP∴∠NAD=∠ADE，∠PBD=∠BDE∵AD⊥BD∴∠ADB=90°∴∠ADE＋∠BDE=∠ADB=90°∴∠NAD＋∠PBD=90°.（2）∵∠NAD＋∠PBD=90°∴∠PBD=90°－∠NAD∵∠OBD＋∠PBD=180°，∴∠OBD＋90°－∠NAD=180°即∠OBD－∠NAD=90°；（3）∵AD平分∠NAB，AB平分∠OBD，∴∠NAD=∠DAB=α，∠NAB=2α，∠OBD=2∠OBA∵MN∥OP∴∠OBA=∠NAB=2α∴∠OBD=4α由（2）知∠OBD－∠NAD=90°即4α－α=90解得：α=30.8.（2019·吉林長春市期末）探究:如圖①，，試說明．下面給出了這道題的解題過程，請在下列解答中，填上適當?shù)睦碛桑畧D1圖2圖3解:∵．(已知)∴．（）同理可證，．∵，∴．（）應用:如圖②，，點在之間，與交于點，與交于點．若，，則的大小為_____________度．拓展:如圖③，直線在直線之間，且，點分別在直線上，點是直線上的一個動點，且不在直線上，連結(jié)．若，則=________度．【答案】探究：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；等量代換；應用：60；拓展：70或290．【解析】應用：由探究可知：∠EFG＝∠AMF＋∠CNF，∵∠EFG＝115°，∠AMF＝∠EMB＝55°，∴∠DNG＝∠CNF＝∠EFG－∠AMF＝115°?55°＝60°，故答案為：60；拓展：如圖，當點Q在直線GH的右側(cè)時，∠AGQ＋∠EHQ，＝180°－∠BGQ＋180°－∠FHQ，＝360°－（∠BGQ+∠FHQ），＝360°－∠GQH，＝290°，當點Q′在直線GH的左側(cè)時，∠AGQ′＋∠EHQ′＝∠GQ′H＝70°，故答案為：70或290．9.（2019·山西期中）如圖，射線AB∥CD，P為一動點，∠BAP與∠DCP的平分線AE與CE交于點E.(1)當P在線段AC上運動時（如圖1）,即∠APC=180,則∠AEC＝______；(2)當P運動到圖2的位置時，猜想∠AEC與∠APC的關(guān)系，并說明理由；(3)當P運動到圖3的位置時,（2）中的結(jié)論還成立嗎?(不要求說明理由)【答案】（1）90°；（2）∠AEC=∠APC；（3）∠AEC=180°-∠APC．【解析】解：（1）過E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴∠BAC+∠DCA=180°，

∵∠BAP與∠DCP的平分線AE與CE交于E，

∴∠BAE=∠EAC，∠DCE=∠ACE，

∴∠BAE+∠CEF=90°；

∴∠AEC=180°，∠AEC=90°；

（2）作EM∥BA，PN∥BA，

∴∠BAE=∠AEM，∠MEC=∠ECD，

∠APN=∠BAP，∠NPC=∠PCD，

∵∠BAE=∠EAP，∠PCE=∠ECD，

∵∠AEC=∠AEM+∠MEC，∠APC=∠APN+∠NPC，

∴∠AEC=∠APC；

（3）作EW∥AB，EP∥AB，

同理得：2∠AEC=360°-∠APC，

∴∠AEC=180°-∠APC．10.（2020·山東德州市期末）如圖，PQ∥MN，A、B分別為直線MN、PQ上兩點，且∠BAN＝45°，若射線AM繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至AN后立即回轉(zhuǎn)，射線BQ繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)至BP后立即回轉(zhuǎn)，兩射線分別繞點A、點B不停地旋轉(zhuǎn)，若射線AM轉(zhuǎn)動的速度是a°/秒，射線BQ轉(zhuǎn)動的速度是b°/秒，且a、b滿足|a﹣5|+（b﹣1）2＝0．（友情提醒：鐘表指針走動的方向為順時針方向）（1）a＝，b＝；（2）若射線AM、射線BQ同時旋轉(zhuǎn)，問至少旋轉(zhuǎn)多少秒時，射線AM、射線BQ互相垂直．（3）若射線AM繞點A順時針先轉(zhuǎn)動18秒，射線BQ才開始繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，在射線BQ到達BA之前，問射線AM再轉(zhuǎn)動多少秒時，射線AM、射線BQ互相平行？【答案】（1）a＝5，b＝1；（2）t＝15（s）；（3）15，22.5.【解析】解：（1）|a﹣5|+（b﹣1）2＝0，∴a﹣5＝0，b﹣1＝0，∴a＝5，b＝1，故答案為：5，1；（2）設至少旋轉(zhuǎn)t秒時，射線AM、射線BQ互相垂直．設旋轉(zhuǎn)后的射線AM、射線BQ交于點O，則BO⊥AO，∴∠ABO+∠BAO＝90°，∵PQ∥MN，∴∠ABQ+∠BAM＝180°，∴∠OBQ+∠OAM＝90°，∵∠OBQ＝t°，∠OAM＝5t°，∴t+5t＝90，∴t＝15（s）；（3）設射線AM再轉(zhuǎn)動t秒時，射線AM、射線BQ互相平行．①如圖，∠QBQ'＝t°，∠M'AM’’＝5t°，∵∠BAN＝45°＝∠ABQ，∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM’’＝5t﹣45°，當∠ABQ'＝∠BAM’’時，BQ'∥AM’’，45°﹣t°＝5t﹣45°，解得：t＝15；②∠QBQ'＝t°，∠NAM’’＝5t°﹣90°，∵∠BAN＝45°＝∠ABQ，∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM“＝45°﹣（5t°﹣90°）＝135°﹣5t°，當∠ABQ'＝∠BAM’’時，BQ'∥AM’’，45°﹣t°＝135°﹣5t，解得：t＝22.5.11.（2019·河北邯鄲期中）嘉嘉和琪琪在用一副三角尺研究數(shù)學問題：一副三角尺分別有一個角為直角，其余角度如圖1所示，AB=發(fā)現(xiàn)：(1)如圖2，當AB與DE重合時，∠CDF=(2)如圖3，將圖2中ΔABC繞B點順時針旋轉(zhuǎn)一定角度使得∠CEF=156°拓展：(3)如圖4，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，使得AC⊥DE于點①此時AC與EF平行嗎？請說明理由.②求∠AED的度數(shù)探究：(4)如圖5、圖6，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，使得AC∥DF，求∠【答案】(1)105°；(2)24°；(3)①平行，垂直于同一條直線的兩條直線平行；②∠AED=60°【解析】解：（1）∵∠CAB=60°，∠EDF=45°，∴∠CDF=∠CAB+∠EDF=105°，（2）∵∠CEF=156°，∠∴∠CBA+∠AEB=∠CBA+∠DEF-∠AED=90°+90°-∠AED=156°，∴∠AED=180°-156°=24°.（3）①平行，理由如下：∵AC⊥DE，∠∴AC//EF.②∵AC⊥DE，∠∴∠CED=90°-30°=60°，∵∠CBA=90°，∴∠AED=90°-60°=30°，（4）在圖5中，∵AC//EF，∴∠DHE=∠A=60°，∵∠D=45°，∴∠AED=180°-60°-45°=75°，在圖6中，過過E作EG//AC，∵AC//DF，EG//AC，∴EG//DF，∴∠DEG=∠D=45°，∠AEG=∠A=60°，∴∠AED=45°+60°=105°.12.長江汛期即將來臨，防汛指揮部在一危險地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況．如圖，燈A射線自AM順時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線自BP順時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動的速度是/秒，燈B轉(zhuǎn)動的速度是/秒，且滿足．假定這一帶長江兩岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°（1）求的值；（2）若燈B射線先轉(zhuǎn)動20秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈B射線到達BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動幾秒，兩燈的光束互相平行？（3）如圖，兩燈同時轉(zhuǎn)動，在燈A射線到達AN之前．若射出的光束交于點C，過C作CD⊥AC交PQ于點D，則在轉(zhuǎn)動過程中，∠BAC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請求出其數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）a=3，b=1；（2）t=10秒或85秒；（3）2∠BAC=3∠BCD.【解析】解：（1）由非負性知，a-3=0，b-1=0即a=3，b=1.（2）設A燈轉(zhuǎn)動t秒,兩燈的光束互相平行,①3t=（20+t）×1，解得t=10;②3t-3×60+（20+t）×1=180°，解得t=85;③3t-360=t+20，解得t=190＞160,（不合題意）綜上所述，當t=10秒或85秒時，兩燈的光束互相平行;（3）設A燈轉(zhuǎn)動時間為t秒，∠CAN=180°-3t,∴∠BAC=45°-（180°-3t）=3t-135°,∵PQ∥MN,∴∠BCA=∠CBD+∠CAN=t+180°-3t=180°-2t，又∠ACD=90°,∴∠BCD=90°-∠BCA=90°-（180°-2t）=2t-90°，∴∠BAC：∠BCD=3：2,即2∠BAC=3∠BCD.13.（2020·吉林四平市期末）將一副三角板按如圖方式擺放，兩個直角頂點重合，∠A=60°，∠E=∠B=45°．（1）求證：∠ACE=∠BCD；（2）猜想∠ACB與∠ECD數(shù)量關(guān)系并說明理由；（3）按住三角板ACD不動，繞點C旋轉(zhuǎn)三角板ECB，探究當∠ACB等于多少度時，AD∥CB．請在備用圖中畫出示意圖并簡要說明理由．【答案】（1）見解析;（2）∠ACB+∠ECD=180°;（3）當∠ACB=120°或60°時，AD∥CB.【解析】解：（1）∵∠ACD=∠ECB=90°，∴∠ACD﹣∠ECD=∠ECB﹣∠ECD，即∠ACE=∠BCD．（2）猜想：∠ACB+∠ECD=180°．理由如下：∵∠ACB=∠ACD+∠DCB∴∠ACB+∠ECD=∠ACD+∠DCB+∠ECD又∵∠DCB+∠ECD=∠ECB，∴∠ACB+∠ECD=∠ACD+∠ECB=90°+90°=180°.（3）當∠ACB=120°或60°時，AD∥CB．理由如下：①如圖，當∠A+∠ACB=180°時，AD∥BC，此時，∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣60°=120°．②如圖，當∠ACB=∠A=60°時，AD∥BC．綜上所述，當∠ACB=120°或60°時，AD∥BC.【拓展提升】1.（2020·山東濰坊市期中）把一張長方形紙片沿翻折后，點，分別落在、的位置上，交于點，則圖中與互補的角有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C.【解析】∠FEG=∠FEC，∠EFD=∠EFD’，∠FEC與∠FCB互補∵AD∥BC，∴∠FEC與∠EFD互補∴∠EFD’與∠EFD也互補故答案為：C.2．（2020·湖北省武漢市期中）如圖，已知AB∥CD，點E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，點P在AB，CD之間且在EF的左側(cè)．若將射線EA沿EP折疊，射線FC沿FP折疊，折疊后的兩條射線互相垂直，則EPF的度數(shù)為_____．【答案】45°或135°【解析】解：①如圖過M作MN∥AB，∵AB∥CD∴AB∥CD∥MN∴∠AEM=∠EMN，∠NMF=∠PFC又∠EMN+∠NMF=90°，同理，∠P=∠PEA+∠PFC=（∠EMN+∠NMF）=45°②如圖，同理，得：2∠P+∠EMF=360°，∴∠P=135°故答案為：45°或135°．3.（2020·廣東汕尾市期末）已知：直線，點分別在直線上，點是平面內(nèi)一個動點，且滿足，過點作射線，使得．（1）如圖1所示，當射線與重合，時，則；（2）如圖2所示，當射線與不重合，時，求的度數(shù)．（用含的代數(shù)式表示）（3）在點運動的過程中，請直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）25°；（2）α；（3）∠AMP=∠QND.【解析】解：（1）過P作PE∥AB，

∵AB∥CD，

∴PE∥CD，

∴∠AMP=∠MPE，∠CNP=∠EPN，

∴∠MPN=∠AMP+∠PNC，

∵∠MPN=90°，

∴∠AMP+∠PNC=90°，

∵∠PNQ=∠PNC，∠PNQ+∠PNC+∠QND=180°，∴∠PNQ=∠PNC=∵∠QND=50°，

∴∠PNC=65°，

∴∠AMP=90°-65°=25°．

故答案為：25°；

（2）過P作PF∥AB，

∵AB∥CD，

∴PF∥CD，

∴∠AMP=∠MPF，∠CNP=∠FPN，

∴∠MPN=∠AMP+∠PNC，

∵∠MPN=90°，

∴∠AMP+∠PNC=90°，

∵∠PNQ=∠PNC，∠PNQ+∠PNC+∠QND=180°，∴∠PNQ=∠PNC=∵∠QND=α，

∴∠PNC=90°?α，

∴∠AMP=90°?90°+α=α．

故答案為α；（3）由(1)（2）可知：在點P運動的過程中，∠AMP=∠QND.4.（2020·山西期中）如圖1．已知直線．點為，內(nèi)部的一個動點，連接，，作的平分線交直線于點，作的平分線交直線于點，和交于點．（1）若，猜想和的位置關(guān)系，并證明；（2）如圖2，在（1）的基礎上連接，則在點的運動過程中，當滿足且時，求的度數(shù)．【答案】（1）平行；（2）108°.【解析】解：（1）AD∥CB．證明如下：∵AB∥DE，∴∠EDF=∠DAB，∵DF平分∠EDC，∴∠EDF=∠FDC，∴∠FDC=∠DAB，∵∠FDC+∠ABC=180°，∴∠DAB+∠ABC=180°，∴AD∥BC．（2）設∠DCF=x，則∠CFB=1.5x，，∵CF∥AB∴∠ABF=∠CFB=1.5x∵BE平分∠ABC∴∠ABC=2∠ABF=3x，∵AD∥BC∴∠FDC+∠BCD=180°∵∠FDC+∠ABC=180°∴∠BCD=∠ABC=3x，∠BCF=2x，由CF∥AB，知∠ABC+∠BCF=180°∴3x+2x=180x=36故∠BCD=108°.5.中國最長鐵路隧道西康鐵路秦嶺一線隧道全長十八點四六千米，為目前中國鐵路隧道長度之首，被稱為”神州第一長隧”．為了安全起見在某段隧道兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈．如圖所示，燈A發(fā)出的光束從AC開始順時針旋轉(zhuǎn)至AD便立即回轉(zhuǎn)，燈B發(fā)出的光束從BE開始順時針旋轉(zhuǎn)至BF便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A旋轉(zhuǎn)的速度是每秒3度，燈B旋轉(zhuǎn)的速度是每秒2度．已知CD∥EF，且∠BAD=∠BAC，設燈A旋轉(zhuǎn)的時間為t（單位：秒）．（1）求∠BAD的度數(shù)；（2）若燈B發(fā)出的光束先旋轉(zhuǎn)10秒，燈A發(fā)出的光束才開始旋轉(zhuǎn)，在燈B發(fā)出的光束到達BF之前，若兩燈發(fā)出的光束互相平行，求燈A旋轉(zhuǎn)的時間t.【答案】（1）45；（2）t=20秒或68秒.【解析】解：（1）∵∠BAC+∠BAD=180°，∠BAD=∠BAC，∴∠BAC：∠BAD=3：1，∴∠BAD=180°×=45°，故答案為：45.（2）設A燈轉(zhuǎn)動t秒，兩燈的光束互相平行，①如圖，∵CD∥EF，∴∠EBE'=∠BE'A，∵BE'∥AC'，∴∠BE'A=∠CAC'，∴∠EBE'=∠CAC'，∴3t=2（10+t），解得：t=20.②如圖∵CD∥EF，∴∠EBE'+∠BE'D=180°，∵AC'∥BE'，∴∠BE'D=∠C'AD，∴∠EBE'+∠C'AD=180°，∴2（10+t）+（3t-180）=180，解得：

t=68，綜上所述，當t=20秒或68秒時，兩燈的光束互相平行.6．如圖,O為直線AB上一點,過點O作射線OC,∠AOC=30°,將一直角三角板(∠M=30°)的直角頂點放在點O處,一邊ON在射線OA上,另一邊OM與OC都在直線AB的上方,將如圖中的三角板繞點O以每秒3°的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周．(1)幾秒后ON與OC重合?(2)如圖，經(jīng)過t秒后，MN∥AB，求此時t的值．(3)若三角板在轉(zhuǎn)動的同時,射線OC也繞O點以每秒6°的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，那么經(jīng)過多長時間OC與OM重合?請畫圖并說明理由．（4）在（3）的條件下，求經(jīng)過多長時間OC平分∠MOB?請畫圖并說明理由．【答案】（1）10秒；（2）20秒；（3）20秒；（4）秒.【解析】解：(1)∵30÷3=10，∴10秒后ON與OC重合；(2)∵MN∥AB∴∠BOM＝∠M＝30°∵∠AON+∠BOM=90°，∴∠AON＝60°，∴t=60÷3=20∴經(jīng)過20秒后，MN∥AB；（3）如圖：∵∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠BOM，∵三角板繞點O以每秒3°的速度,射線OC也繞O點以每秒6°的速度旋轉(zhuǎn)，設∠AON=3t,∠AOC=30°+6t，∵OC與OM重合∵∠AOC+∠BOC=180°可得：（30°+6t）+（90°?3t）＝180°解得：t=20秒；(4)如圖：∵∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠COM，∵三角板繞點O以每秒3°的速度,射線OC也繞O點以每秒6°的速度旋轉(zhuǎn)，設∠AON=3t,∠AOC=30°+6t，∴∠BOC=∠COM=(90°?3t)，∵∠BOM+∠AON=90°，可得：180°?(30°+6t)=(90°?3t)，解得：t=秒.7．（2020·浙江杭州）長江汛期即將來臨，防汛指揮部在一危險地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況．如圖，燈A射線自AM順時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線自BP順時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動的速度是4度/秒，燈B轉(zhuǎn)動的速度是1度/秒．假定這一帶長江兩岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．（1）若兩燈同時轉(zhuǎn)動，經(jīng)過42秒，兩燈射出的光束交于C，求此時∠ACB的度數(shù)；（2）若燈B射線先轉(zhuǎn)動10秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈B射線到達BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動幾秒，兩燈的光束互相平行？（直接寫出答案）【答案】（1）∠ACB＝54°；（2）t＝或t＝70或t＝或t＝142.【解析】解：（1）t＝42時，∠PBC＝42°，∠MAC＝168°，∵PQ∥MN，∴∠ACB＝54°，（3）由題意得：①4t＝10+7，解得t＝；②360﹣