串講03 平面向量（考點串講）（原卷版）

串講03平面向量知識網(wǎng)絡(luò)二、?？碱}型三、知識梳理1.向量的概念（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．（2）零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．（3）單位向量：長度等于1個單位的向量．（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線．（5）相等向量：長度相等且方向相同的向量．（6）相反向量：長度相等且方向相反的向量．2.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個向量和的運(yùn)算交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算|λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ>0時，λa與a的方向相同；當(dāng)λ<0時，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μ_a；λ(a＋b)＝λa＋λb3.向量的共線定理向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)λ，使得b＝λa．4.平面向量基本定理如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對實數(shù)，使.其中，不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．5.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1）向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)，則，，，．（2）向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點是坐標(biāo)原點，則終點坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)；②設(shè)，則，.6.平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)，其中，．7.向量的夾角（1）定義：已知兩個非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角．（2）范圍：設(shè)θ是向量a與b的夾角，則0°≤θ≤180°.（3）共線與垂直：若θ＝0°，則a與b同向；若θ＝180°，則a與b反向；若θ＝90°，則a與b垂直．8.平面向量的數(shù)量積定義設(shè)兩個非零向量a，b的夾角為θ，則|a||b|·cosθ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積9.向量數(shù)量積的運(yùn)算律（1）a·b＝b·a.（2）(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．（3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c.10.平面向量數(shù)量積的結(jié)論已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)))a⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0四、?？碱}型探究考點一向量的概念例1.設(shè)是非零向量，λ是非零實數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．與的方向相反 B．與的方向相同C． D．【變式探究】判斷下列命題：①兩個有共同起點而且相等的非零向量，其終點必相同；②若，則與的方向相同或相反；③若，且，則.其中，正確的命題個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3考點二向量的加減法例2.化簡得（

）A． B． C． D．【變式探究】.考點三向量的數(shù)乘運(yùn)算例3.已知向量，那么等于（

）A． B． C． D．【變式探究】化簡.考點四平行向量基本定理例4.在中，點為邊的中點，記，則．【變式探究】已知，是兩個不共線的向量，與共線，則實數(shù)．考點五向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算例5.已知向量，，則等于（）A． B．C． D．例6.已知向量，，則等于（）A． B．C． D．【變式探究】已知向量，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．與同向 D．考點六向量平行的充要條件例7.已知平面向量，且，則（

）A． B． C．1 D．3【變式探究】已知向量，，若與共線，則實數(shù)（

）A． B． C．1 D．2考點七向量的坐標(biāo)公式例8.已知，則的中點坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．例9.已知平面向量，，若，則實數(shù)（

）A． B． C．1 D．【變式探究】已知向量，若，則（

）A． B． C．0 D．3考點八向量數(shù)量積求模例10.已知向量，則.【變式探究】已知向量，若，則.考點九向量數(shù)量積求夾角例11.已知平面向量，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【變式探究】已知，，若，則．考