人教版高中數(shù)學《圓錐曲線和方程》全部教案

橢圓及其標準方程

一、教學目標

（一）知識教學點

使學生理解橢圓的定義，掌握橢圓的標準方程的推導及標準方程.

（二）能力訓練點

通過對橢圓概念的引入與標準方程的推導，培養(yǎng)學生分析探索能力，增強運用坐標法

解決兒何問題的能力.

（三）學科滲透點

通過對橢圓標準方程的推導的教學，可以提高對各種知識的綜合運用能力.

二、教材分析

1.重點：橢圓的定義和橢圓的標準方程.

（解決辦法：用模型演示橢圓，再給出橢圓的定義，最后加以強調(diào)；對橢圓

的標準方程單獨列出加以比較.）

2.難點：橢圓的標準方程的推導.

（解決辦法：推導分4步完成，每步重點講解，關(guān)鍵步驟加以補充說明.）

3.疑點：橢圓的定義中常數(shù)加以限制的原因.

（解決辦法：分三種情況說明動點的軌跡.）

三、活動設計

提問、演示、講授、詳細講授、演板、分析講解、學生口答.

四、教學過程

（一）橢圓概念的引入

前面，大家學習了曲線的方程等概念，哪?位同學回答：

問題1：什么叫做曲線的方程？求曲線方程的一般步驟是什么？其中哪兒個

步驟必不可少？

對上述問題學生的回答基本正確，否則，教師給予糾正.這樣便于學生溫故而知新,

在已有知識基礎上去探求新知識.

同哽2：當，>附.扃與戈力=/理司解方程叫？

3a>08tfi[x）=aaOG/E（x）-瞋抱?+0=0==a.

提出這一問題以便說明標準方程推導中一個同解變形.

問題3：圓的兒何特征是什么？你能否可類似地提出一些軌跡命題作廣泛的

探索？

一般學生能回答：”平面內(nèi)到一定點的距離為常數(shù)的點的軌跡是圓”.對同學提出的

軌跡命題如：

“到兩定點距離之和等于常數(shù)的點的軌跡.”

“到兩定點距離平方差等于常數(shù)的點的軌跡.”

“到兩定點距離之差等于常數(shù)的點的軌跡."

教師要加以肯定，以鼓勵同學們的探索精神.

比如說，若同學們提出了“到兩定點距離之和等于常數(shù)的點的軌跡”，那么動點軌跡

是什么呢？這時教師示范引導學生繪圖：

取一條一定長的細繩，把它的兩端固定在畫圖板上的F1和F2兩點（如圖2-13）,當

繩長大于F1和F2的距離時，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動，

就可以畫出一個橢圓.

教師進一步追問：“橢圓，在哪些地方見過？”有的同學說：“立體幾何中圓的直觀

圖.”有的同學說：“人造衛(wèi)星運行軌道”等……

在此基礎上，引導學生概括橢圓的定義：

平面內(nèi)到兩定點Fl、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢

圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做焦距.

學生開始只強調(diào)主要幾何特征——到兩定點Fl、F2的距離之和等于常數(shù)、教師在

演示中要從兩個方面加以強調(diào)：

⑴將穿有鉛筆的細線拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學

生認識到需加限制條件：“在平面內(nèi)”.

⑵這里的常數(shù)有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學生注意：若常數(shù)=|F1F2|,

則是線段F1F2；若常數(shù)V|F1F2],則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上

限制條件：“此常數(shù)大于|F1F2|”.

（二）橢圓標準方程的推導

1.標準方程的推導

由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對橢圓還具有哪些性質(zhì)，我們還一無

所知，所以需要用坐標法先建立橢圓的方程.

如何建立橢圓的方程？根據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分：（1）建系設點；（2）點的

集合；（3）代數(shù)方程；（4）化簡方程等步驟.

⑴建系設點

建立坐標系應遵循簡單和優(yōu)化的原則，如使關(guān)鍵點的坐標、關(guān)鍵幾何量（距離、直線

斜率等）的表達式簡單化，注意充分利用圖形的對稱性，使學生認識到下列選取

方法是恰當?shù)?

以兩定點Fl、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐

標系（如圖2T4）.設|F1F2|=2C（C>0）,M（x,y）為橢圓上任意一點，則有F1（T,

0）,F2（c,0）.

⑵點的集合

由定義不難得出橢圓集合為:

P={MIIMFl|+|MF2|=2a}.

⑶代數(shù)方程

1a

V|MFJ=#.+了+7,|砥|=J(K-c)+y,

特掂1J(x+c)a+yJ+&*-了+阿=2a.

(4)化簡方程

化簡方程可請一個反映比較快、書寫比較規(guī)范的同學板演，其余同學在下面完成，教

師巡視，適當給予提示：

①原方程要移項平方，否則化簡相當復雜；注意兩次平方的理由詳見問題3說明.整

理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)

②為使方程對稱和諧而引入b,同時b還有幾何意義，下節(jié)課還要

講.由2a>2c可得a'W>0.令a'?<?=2則得方程f+g=l

(a>b>0).

關(guān)于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對此要求不高，可從略.

因此，方程"+g=l(a>b>。即軸錦Uffl的標描方科它表

示的橢圓的焦點在x軸上,焦點是Fl(-c,0)、F2(c,0).這里C2=a2-b2.

2.兩種標準方程的比較(引導學生歸納)

《心*營=l(a>b>Q)?^a在*±^?留，3隅(f

0)、F2(c,0),這里c2=a2-b2；

ab

-0、F2(0,c),這里C2=a2+b2,只須將(1)方程的x、y互換即可得到.

教師指出：在兩種標準方程中，：a2>b2,.?.可以根據(jù)分母的大小來判定焦點在

哪一個坐標軸上.

（三）例題與練習

例題平面內(nèi)兩定點的距離是8,寫出到這兩定點的距離的和是10的點的

軌跡的方程.

分析：先根據(jù)題意判斷軌跡，再建立直角坐標系，采用待定系數(shù)法得出軌跡方程.

解：這個軌跡是?個橢圓，兩個定點是焦點，用Fl、F2表示.取過點F1和F2的

直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系.

?/2a=10,2c=8.

a=5,c=4,b2=a2-c2=52-45=9./.b=3

因此，這個橢圓的標準方程是

請大家再想一想，焦點Fl、F2放在y軸上，線段F1F2的垂直平分

戰(zhàn)為奉，軌跡方程是什么形即E?今+（”

練習1寫出適合下列條件的橢圓的標準方程：

a=4,C=VB,焦點在盤上.

由學生口等，方程為（+-=1.

練習2下列各組兩個橢圓中，其焦點相同的是

[]

xy—x，

c.彳+彳=1與干+尹=

D.7+卜1與n一+六—=1，（m＞嘰

由學生口答，答案為D.

（四）小結(jié)

1.定義：橢圓是平面內(nèi)與兩定點Fl、F2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）

的點的軌跡.

2.林造.廳程?尸+*=ig>b>0)或4+聲g>b>0)?

3.圖形如圖2-15、2-16.

4.焦點:Fl(-c,0),F2(C,0).Fl(0,-c),F2(0,c).

五、布置作業(yè)

1.如圖2T7,在橢圓上的點中,A1與焦點F1的距離最小,|A1F1|=2,A2

Fl的距離最大，|A2F1|=14,求橢圓的標準方程.

2.*1上一點4）與焦點的距肉.

10

3.求適合下列條件的橢圓的標準方程：

（0群刪經(jīng)過兩點P（-2-，0）.Q（0,-J5）j

（2）長軸是短軸的班，懦回經(jīng)逋素P0,0）＞

（3）意點坐標是（-2/，。雨（2小,0）,并且經(jīng)過點P（6,

-邪）.

4.Bj?H#a^-+^-=Ua>b>0).F「凡是AB

是過Fl的直線被橢圓截得的線段長，求AABF2的周長.

作業(yè)答案：

X：,2

L~~+~,?1

6428

3713

2.IM.FJ=y.|M^|=y

2

Xr

-+-

9

/

2

X

-+T-

20

4.由橢圓定義易得，^ABF2的周長為4a.

六、板書設計

5X8I

milMi

何JI2

何JI3

危文DVJl

2iVJ2

橢圓及其標準方程

一、教學目標

（一）知識教學點

使學生理解橢圓的定義，掌握橢圓的標準方程的推導及標準方程.

（二）能力訓練點

通過對橢圓概念的引入與標準方程的推導，培養(yǎng)學生分析探索能力，增強運用坐標法

解決兒何問題的能力.

（三）學科滲透點

通過對橢圓標準方程的推導的教學，可以提高對各種知識的綜合運用能力.

二、教材分析

1.重點：橢圓的定義和橢圓的標準方程.

（解決辦法：用模型演示橢圓，再給出橢圓的定義，最后加以強調(diào)；對橢圓

的標準方程單獨列出加以比較.）

2.難點：橢圓的標準方程的推導.

（解決辦法：推導分4步完成，每步重點講解，關(guān)鍵步驟加以補充說明.）

3.疑點：橢圓的定義中常數(shù)加以限制的原因.

(解決辦法：分三種情況說明動點的軌跡.)

三、活動設計

提問、演示、講授、詳細講授、演板、分析講解、學生口答.

四、教學過程

(一)橢圓概念的引入

前面，大家學習了曲線的方程等概念，哪一位同學回答：

問題1:什么叫做曲線的方程？求曲線方程的一般步驟是什么？其中哪幾個

步驟必不可少？

對上述問題學生的回答基本正確，否則，教師給予糾正.這樣便于學生溫故而知新，

在已有知識基礎上去探求新知識.

問題2,當4＞四，辰=食與可力=?2是同解方程嗎？

當=a'O(^(x)-aX#(x)+a)=0Q5/ECx)=a.

提出這一問題以便說明標準方程推導中一個同解變形.

問題3：圓的兒何特征是什么？你能否可類似地提出一些軌跡命題作廣泛的

探索？

一般學生能回答：“平面內(nèi)到一定點的距離為常數(shù)的點的軌跡是圓”.對同學提出的

軌跡命題如：

“到兩定點距離之和等于常數(shù)的點的軌跡.”

“到兩定點距離平方差等于常數(shù)的點的軌跡.”

“到兩定點距離之差等于常數(shù)的點的軌跡."

教師要加以肯定，以鼓勵同學們的探索精神.

比如說，若同學們提出了“到兩定點距離之和等于常數(shù)的點的軌跡”，那么動點軌跡

是什么呢？這時教師示范引導學生繪圖：

取一條一定長的細繩，把它的兩端固定在畫圖板上的F1和F2兩點（如圖2-13）,當

繩長大于F1和F2的距離時，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動，

就可以畫出一個橢圓.

教師進一步追問：“橢圓，在哪些地方見過？”有的同學說：“立體幾何中圓的直觀

圖.”有的同學說：“人造衛(wèi)星運行軌道”等……

在此基礎上，引導學生概括橢圓的定義：

平面內(nèi)到兩定點Fl、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F21）的點的軌跡叫做橢

圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做焦距.

學生開始只強調(diào)主要幾何特征——到兩定點Fl、F2的距離之和等于常數(shù)、教師在

演示中要從兩個方面加以強調(diào)：

⑴將穿有鉛筆的細線拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學

生認識到需加限制條件：“在平面內(nèi)”.

⑵這里的常數(shù)有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學生注意：若常數(shù)=|F1F2|,

則是線段F1F2；若常數(shù)V|F1F2|,則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上

限制條件：“此常數(shù)大于|F1F2|”.

（二）橢圓標準方程的推導

1.標準方程的推導

由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對橢圓還具有哪些性質(zhì)，我們還一無

所知，所以需要用坐標法先建立橢圓的方程.

如何建立橢圓的方程？根據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分：（1）建系設點；（2）點的

集合；（3）代數(shù)方程；（4）化簡方程等步驟.

⑴建系設點

建立坐標系應遵循簡單和優(yōu)化的原則，如使關(guān)鍵點的坐標、關(guān)鍵幾何量（距離、直線

斜率等）的表達式簡單化，注意充分利用圖形的對稱性，使學生認識到下列選取

方法是恰當?shù)?

以兩定點Fl、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐

標系(如圖2T4).設|F1F2|=2C(C>0),M(x,y)為橢圓上任意一點,則有F1(T,

0),F2(c,0).

⑵點的集合

由定義不難得出橢圓集合為：

P={MIIMFl|+|MF2|=2a}.

⑶代數(shù)方程

|MFj|=J(x+c)l+y2,|M^|=J(x-c)a+y\

存方程J(x+c)a+ya+=2a.

(4)化簡方程

化簡方程可請一個反映比較快、書寫比較規(guī)范的同學板演，其余同學在下面完成，教

師巡視，適當給予提示：

①原方程要移項平方，否則化簡相當復雜；注意兩次平方的理由詳見問題3說明.整

理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)

②為使方程對稱和諧而引入b,同時b還有幾何意義，下節(jié)課還要

講.由2a>2c可得a，-/>0?令/-J=bL方程可■+$■=1

(a>b>0).

關(guān)于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對此要求不高，可從略.

因此方程”舌=3>b>。即痂南幅的標推方程.它表

示的橢圓的焦點在x軸上，焦點是Fl（-c,0）、F2（C,0）.這里C2=a2-b2.

2.兩種標準方程的比較（引導學生歸納）

在域±^?圖，獻&t（r,

0）、F2（C,0）,這里c2二a2-b2；

⑵5T=i（a>b>0）標蕉點在用焦居⑼

-c）>F2（0,c）,這里C2=a2+b2,只須將（1）方程的x、y互換即可得到.

教師指出：在兩種標準方程中，；a2>b2,...可以根據(jù)分母的大小來判定焦點在

哪一個坐標軸上.

（三）例題與練習

例題平面內(nèi)兩定點的距離是8,寫出到這兩定點的距離的和是10的點的

軌跡的方程.

分析：先根據(jù)題意判斷軌跡，再建立直角坐標系，采用待定系數(shù)法得出軌跡方程.

解：這個軌跡是一個橢圓，兩個定點是焦點，用Fl、F2表示.取過點F1和F2的

直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系.

*/2a=10,2c=8.

Aa=5,c=4,b2=a2-c2=52-45=9./.b=3

因此，這個橢圓的標準方程是

請大家再想一想，焦點Fl、F2放在y軸上，線段F1F2的垂直平分

線為“兼遂方程是什么影即E?^+^-=1.

練習1寫出適合下列條件的橢圓的標準方程：

a=4,C=VB,儂在盤上.

由學生口答，方程為《+/=】.

練習2下列各組兩個橢圓中，其焦點相同的是

[]

A.1^-+3=1與^'+^_=卜

4￡4i

B-1+￡=i與父+7=L

由學生口答，答案為D.

（四）小結(jié)

1.定義：橢圓是平面內(nèi)與兩定點Fl、F2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）

的點的軌跡.

2.際^方程?5+J=l(a>b>0)或9+3(&>1>>0).

3.圖形如圖2-15、2-16.

4.焦點:Fl(-c,0),F2(C,0).Fl(0,-c),F2(0,c).

五、布置作業(yè)

1.如圖2T7,在橢圓上的點中，A1與焦點F1的距離最小，|A1F1|=2,A2

Fl的距離最大，|A2F1|=14,求橢圓的標準方程.

2.求精品3+^=1上一點4)與焦點的距離.

10

3.求適合下列條件的橢圓的標準方程：

(0輛網(wǎng)經(jīng)過網(wǎng)點P(-2倔，0).Q(0,V5)J

(2)長軸是短軸的班，帶傅經(jīng)過點P(3.0);

(3)熊點坐標是(之五，。用(26.0),并且經(jīng)過點P(逐,

4.已知摘困5+3=1(11>1>>0),4、F*是它的短點，AB

是過Fl的直線被橢圓截得的線段長，求AABF2的周長.

作業(yè)答案:

4.由橢圓定義易得，AABF2的周長為4a.

六、板書設計

§181

(-M09IKA

定文txa\

292

(^btt

橢圓的幾何性質(zhì)

一、教學目標

（一）知識教學點

通過橢圓標準方程的討論，使學生掌握橢圓的幾何性質(zhì)，能正確地畫出橢圓的圖形，

并了解橢圓的一些實際應用.

（二）能力訓練點

通過對橢圓的幾何性質(zhì)的教學，培養(yǎng)學生分析問題和解決實際問題的能力.

（三）學科滲透點

使學生掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，加深對直角坐標系中曲線與方程的關(guān)

系概念的理解，這樣才能解決隨之而來的?些問題，如弦、最值問題等.

二、教材分析

1.重點：橢圓的兒何性質(zhì)及初步運用.

（解決辦法：引導學生利用方程研究曲線的性質(zhì)，最后進行歸納小結(jié).）

2.難點：橢圓離心率的概念的理解.

（解決辦法：先介紹橢圓離心率的定義，再分析離心率的大小對橢圓形狀的

影響，最后通過橢圓的第二定義講清離心率e的幾何意義.）

3.疑點：橢圓的兒何性質(zhì)是橢圓自身所具有的性質(zhì)，與坐標系選擇無關(guān)，

即不隨坐標系的改變而改變.

（解決辦法：利用方程分析橢圓性質(zhì)之前就先給學生說明.）

三、活動設計

提問、講解、閱讀后重點講解、再講解、演板、講解后歸納、小結(jié).

四、教學過程

（一）復習提問

1.橢圓的定義是什么？

2.橢圓的標準方程是什么？

學生口述，教師板書.

（二）幾何性質(zhì)

根據(jù)曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形，是

瞬訓幅桿吟一.林國瞄gfifl崛t通。舌=3>

b>0)來研究橢圓的幾何性質(zhì).說明：橢圓自身固有幾何量所具有的性質(zhì)是

與坐標系選擇無關(guān)，即不隨坐標系的改變而改變.

1.范圍

引導學生從標港方程$+9=1得出不等武$<1,&<1.

即|x|Wa,|y|Wb,這說明橢圓在直線x=±a和直線y=±b所圍成的矩形里

(圖2T8).注意結(jié)合圖形講解，并指出描點畫圖時，就不能取范圍以外的點.

2.對稱性

先請大家閱讀課本橢圓的幾何性質(zhì)2.

設問：為什么"把x換成-x,或把y換成-y?,或把x、y同時換成-x、-y時,

方程都不變，所以圖形關(guān)于y軸、x軸或原點對稱的”呢？

事實匕在曲線的方程里，如果把x換成-x而方程不變，那么當點P(x,y)在曲

線上時，點P關(guān)于y軸的對稱點Q(-x,y)也在曲線上，所以曲線關(guān)于y軸對稱.類

似可以證明其他兩個命題.

同時向?qū)W生指出：如果曲線具有關(guān)于y軸對稱、關(guān)于x軸對稱和關(guān)于原點對稱中

的任意兩種，那么它一定具有另一種對稱.如：如果曲線關(guān)于x軸和原點對稱，

那么它一定關(guān)于y軸對稱.

事實上，設P(x,y)在曲線上，因為曲線關(guān)于x軸對稱，所以點Pl(x,-y)必

在曲線上.又因為曲線關(guān)于原點對稱，所以P1關(guān)于原點對稱點P2(-x,y)必在曲

線上.因P(x,y)、P2(-x,y)都在曲線上，所以曲線關(guān)于y軸對稱.

最后指出：x軸、y軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心即橢圓中心.

3.頂點

弓恃學生從1M的標通方程擠+昌=份<佗與陋交點.

只須令x=0,得y=±b,點B1(O,-b)、B2(0,b)是橢圓和y軸的兩個交點;

令y=0,得x=±a,點Al(-a,0)、A2(a,0)是橢圓和x軸的兩個交點.強調(diào)指出：

橢圓有四個頂點Al(-a,0)、A2(a,0)、Bl(0,-b)、B2(0,b).

教師還需指出：

⑴線段A1A2、線段B1B2分別叫橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和

2b；

⑵a、b的兒何意義：a是長半軸的長，b是短半軸的長；

這時，教師可以小結(jié)以下：由橢圓的范圍、對稱性和頂點，再進行描點畫圖，只須描

出較少的點，就可以得到較正確的圖形.

4.離心率

教師直接給出橢圓的離心率的定義：

儂的疑與長軸的匕=E.

a

等到介紹橢圓的第二定義時，再講清離心率e的幾何意義.

先分析橢圓的離心率e的取值范圍：

Va>c>0,I.0<e<l.

再結(jié)合圖形分析離心率的大小對橢圓形狀的影響：

當接近1時.曲斑a,從超小,因此附豳如，

⑵當e接近0時，c越接近0,從而b越接近a,因此橢圓接近圓；

(3)當e=0時，c=0,a=b兩焦點重合，橢圓的標準方程成為x2+y2=a2,圖形

就是圓了.

(三)應用

為了加深對橢圓的幾何性質(zhì)的認識，掌握用描點法畫圖的基本方法，給出如下例1.

例1求橢圓16x2+25y2=400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐

標，并用描點法畫出它的圖形.

本例前一部分請一個同學板演，教師予以訂正，估計不難完成.后一部分由教師講解,

以引起學生重視，步驟是：

0）列慈將"總為,=*^V25-xa?根&=+^725--

在第TRK蝴圍內(nèi)算出幾個點的坐標&y）.

⑵描點作圖.先描點畫出橢圓在第一象限內(nèi)的圖形，再利用橢圓的對稱性就

可以畫出整個橢圓（圖2-19）.要強調(diào)：利用對稱性可以使計算量大大減少.

例2點y）與定點F（C,Q）的距離和它般直卑.的

距離的比是常數(shù)率點M的軌跡.

a

本例實質(zhì)上是橢圓的第二定義，是為以后講解拋物線和圓錐曲線的統(tǒng)一定義做準備的,

同時再一次使學生熟悉求曲線方程的一般步驟，因此，要詳細講解：

設d是點M到直線1的距離，根據(jù)題意，所求軌跡就是集合P={M

p-1

3-2V2cose'

1岬=°|+「'=3-/皿8%+2￡E8

一6一2

一9-8"8-,

將上式化簡，得：（a2~c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）.

設aJc2=bL或可化成，號+5=八

這是橢圓的標準方程，所以點M的軌跡是橢圓.

由此例不難歸納出橢圓的第二定義.

（四）橢圓的第二定義

1.定義

平面內(nèi)點M與一個定點的距離和它到一定直線的距離的比是常數(shù)

e=-（0<e<l）8t,這個點MW軌跡是肺.定點是靦的第孔定直

a

線叫做橢圓的準線，常數(shù)e是橢圓的離心率.

2.說明

（1陽于制/營+營=1,儂于期F30）的港線方程是x=

崛iia的對藤性，相應于氟行，（.6的凝線方程是c=?二.

C

相應于焦點p的淀線方程是y=￡.

c

這時還要講清e的兒何意義是：橢圓上一點到焦點的距離和它到準線的距離

的比.

（五）小結(jié)

解法研究圖形的性質(zhì)是通過對方程的討論進行的，同一曲線由于坐標系選取不同，方

程的形式也不同，但是最后得出的性質(zhì)是一樣的，即與坐標系的選取無關(guān).前面我們著重分

析了第一個標準方程的橢圓的性質(zhì)，類似可以理解第二個標準方程的橢圓的性質(zhì).布置學生

最后小結(jié)下列表格：

特七r程9w

Htt

5

五、布置作業(yè)

1.求下列橢圓的長軸和短軸的長、焦距、離心率、各個頂點和焦點坐標、

準線方程：

(I)25x2+4y2-100=0,

(2)x2+4y2-l=0.

2.我國發(fā)射的科學實驗人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地球的中心為一個焦

點的橢圓，近地點距地面266Km,遠地點距地面1826Km,求這顆衛(wèi)星的軌道方程.

3.點P與一定點F(2,0)的距離和它到一定直線x=8的距離的比是1：2,

求點P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形.

吏_

4.的中心1點，一個JR點是(P，離心率e=

的方程.

作業(yè)答案:

1.(l)2a=10.2b=4,2c=2向.e=1—,期(0,*^2l),H

25

點(0,士5)、(42,3,準線y=土而

⑵2a=2,2b=b2C=7Xe=g,儂(士乎，嘰儂(±L(9.

GM

(p.土茨土

2.選取坐標航品7+血7=1

%=哦連是長華軸等于4,短半軸等于2d涮B.

3.

1OIZ

4.頂點(0,2)可能是長軸的端點，也可能是短軸的一個端點，故分兩種情

況求方程：

六、板書設計

SU■目的幾何性，

(~?w(ZJfiWSMS的9口文

1.HI1.XX.：

2.2.Ml：

M2

I.CfiM4S

2?

3.

4.

橢圓的幾何性質(zhì)

一、教學目標

（一）知識教學點

通過橢圓標準方程的討論，使學生掌握橢圓的幾何性質(zhì)，能正確地畫出橢圓的圖形，

并了解橢圓的一些實際應用.

（二）能力訓練點

通過對橢圓的幾何性質(zhì)的教學，培養(yǎng)學生分析問題和解決實際問題的能力.

（三）學科滲透點

使學生掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，加深對直角坐標系中曲線與方程的關(guān)

系概念的理解，這樣才能解決隨之而來的一些問題，如弦、最值問題等.

二、教材分析

1.重點：橢圓的兒何性質(zhì)及初步運用.

（解決辦法：引導學生利用方程研究曲線的性質(zhì)，最后進行歸納小結(jié).）

2.難點：橢圓離心率的概念的理解.

（解決辦法：先介紹橢圓離心率的定義，再分析離心率的大小對橢圓形狀的

影響，最后通過橢圓的第二定義講清離心率e的幾何意義.）

3.疑點：橢圓的兒何性質(zhì)是橢圓自身所具有的性質(zhì)，與坐標系選擇無關(guān)，

即不隨坐標系的改變而改變.

（解決辦法：利用方程分析橢圓性質(zhì)之前就先給學生說明.）

三、活動設計

提問、講解、閱讀后重點講解、再講解、演板、講解后歸納、小結(jié).

四、教學過程

（一）復習提問

1.橢圓的定義是什么？

2.橢圓的標準方程是什么？

學生口述，教師板書.

(二)幾何性質(zhì)

根據(jù)曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形，是

解析幾何的基本磔S之一.本節(jié)蝴根據(jù)制I峋標1防程營+9=1(￡>

b>0)來研究橢圓的幾何性質(zhì).說明：橢圓自身固有幾何量所具有的性質(zhì)是

與坐標系選擇無關(guān)，即不隨坐標系的改變而改變.

i.范圍

引導學生從標港方程捺+.=［得出不等式:<1,營<1,

即|x|Wa,|y|Wb,這說明橢圓在直線x=±a和直線y=±b所圍成的矩形里

(圖2-18).注意結(jié)合圖形講解，并指出描點畫圖時，就不能取范圍以外的點.

2.對稱性

先請大家閱讀課本橢圓的幾何性質(zhì)2.

設問：為什么“把x換成-x,或把y換成-y?,或把x、y同時換成-x、-y時,

方程都不變，所以圖形關(guān)于y軸、x軸或原點對稱的”呢？

事實上，在曲線的方程里，如果把x換成-x而方程不變，那么當點P(x,y)在曲

線上時，點P關(guān)于y軸的對稱點Q(-x,y)也在曲線上，所以曲線關(guān)于y軸對稱.類

似可以證明其他兩個命題.

同時向?qū)W生指出：如果曲線具有關(guān)于y軸對稱、關(guān)于x軸對稱和關(guān)于原點對稱中

的任意兩種，那么它一定具有另一種對稱.如：如果曲線關(guān)于x軸和原點對稱，

那么它一定關(guān)于y軸對稱.

事實上，設P(x,y)在曲線上，因為曲線關(guān)于x軸對稱，所以點Pl(x,-y)必

在曲線上.又因為曲線關(guān)于原點對稱，所以P1關(guān)于原點對稱點P2(-x,y)必在曲

線上.因P(x,y)、P2(-x,y)都在曲線上，所以曲線關(guān)于y軸對稱.

最后指出：x軸、y軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心即橢圓中心.

3.頂點

弓管學生從IBffl黜而昉程>昌=1分析它與南,雅的交點.

只須令x=0,得y=±b,點B1(O,-b)、B2(0,b)是橢圓和y軸的兩個交點；

令y=0,得x=±a,點Al(-a,0)A2(a,0)是橢圓和x軸的兩個交點.強調(diào)指出：

橢圓有四個頂點Al(-a,0)、A2(a,0)、Bl(0,-b)、B2(0,b).

教師還需指出：

⑴線段A1A2、線段B1B2分別叫橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和

2b；

⑵a、b的兒何意義：a是長半軸的長，b是短半軸的長；

這時，教師可以小結(jié)以下：由橢圓的范圍、對稱性和頂點，再進行描點畫圖，只須描

出較少的點，就可以得到較正確的圖形.

4.離心率

教師直接給出橢圓的離心率的定義：

的簸與長軸的比《

等到介紹橢圓的第二定義時，再講清離心率e的幾何意義.

先分析橢圓的離心率e的取值范圍：

Va>c>0,，0<e<l.

再結(jié)合圖形分析離心率的大小對橢圓形狀的影響：

(D當最近時.國晚近a,從而因此循晶

⑵當e接近0時，c越接近0,從而b越接近a,因此橢圓接近圓;

⑶當e=0時，c=0,a=b兩焦點重合，橢圓的標準方程成為x2+y2=a2,圖形

就是圓了.

（三）應用

為了加深對橢圓的幾何性質(zhì)的認識，掌握用描點法畫圖的基本方法，給出如下例1.

例1求橢圓16x2+25y2=400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐

標，并用描點法畫出它的圖形.

本例前一部分請??個同學板演，教師予以訂正，估計不難完成.后一部分由教師講解,

以引起學生重視，步驟是：

（D列表.將裊《=惻為7=上［后露根據(jù)y=《標苫

在第TRK蝴困內(nèi)算出幾個點的坐標gy）.

（2）描點作圖.先描點畫出橢圓在第-象限內(nèi)的圖形，再利用橢圓的對稱性就

可以畫出整個橢圓（圖2-19）.要強調(diào)：利用對稱性可以使計算量大大減少.

圖2-19

例2點幽小y）與定點F（c,0）的距離和它到定直縝.；

距言的比是常致￡（＞。＞0）,率點M的軌跡.

a

本例實質(zhì)上是橢圓的第二定義，是為以后講解拋物線和圓錐曲線的統(tǒng)一定義做準備的,

同時再一次使學生熟悉求曲線方程的一般步驟，因此，要詳細講解：

設d是點M到直線1的距離，根據(jù)題意，所求軌跡就是集合P={M

P=------7=......-

3.2acos0

1Mbi”廣五藥寸赤目

6

將上式化簡，得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).

iftaa-ca=b\就可［+g=L

這是橢圓的標準方程，所以點M的軌跡是橢圓.

由此例不難歸納出橢圓的第二定義.

(四)橢圓的第二定義

1.定義

平面內(nèi)點M與一個定點的距離和它到一定直線的距離的比是常數(shù)

e=^(0<e<l)Bt.這個點M的軌電OHB.定點是M的焦點，定直

線叫做橢圓的準線，常數(shù)e是橢圓的離心率.

2.說明

樹勘曄鳳稱ft,相叼時F，20)?迪訪=￡

C

St于慌811+3=1,相應于焦點R0,3的液線方程是y==,

at>c

相應于毓F-p的觸昉程是y=二.

這時還要講清e的兒何意義是：橢圓上一點到焦點的距離和它到準線的距離

的比.

(五)小結(jié)

解法研究圖形的性質(zhì)是通過對方程的討論進行的，同一曲線由于坐標系選取不同，方

程的形式也不同，但是最后得出的性質(zhì)是一樣的，即與坐標系的選取無關(guān).前面我們著重分

析了第一個標準方程的橢圓的性質(zhì)，類似可以理解第二個標準方程的橢圓的性質(zhì).布置學生

最后小結(jié)下列表格：

國防催

■*

Mas

?點

五、布置作業(yè)

1.求下列橢圓的長軸和短軸的長、焦距、離心率、各個頂點和焦點坐標、

準線方程：

(l)25x2+4y2To0=0,

(2)x2+4y2-l=0.

2.我國發(fā)射的科學實驗人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地球的中心為一個焦

點的橢圓，近地點距地面266Km,遠地點距地面1826Km,求這顆衛(wèi)星的軌道方程.

3.點P與一定點F(2,0)的距離和它到一定直線x=8的距離的比是1：2,

求點P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形.

4.■圖的中心在原點，一個儂是8,2).離心率堂《=,加a

的方程.

作業(yè)答案:

1.(l)2a^W.2b=4,2c=2際，e=2^-,儂(0,士廊,IS

25

A(P,±5)、(*2,6.g7=上而

⑵2a=2,2b=l,2C=73.。=當，超(上嘰儂(士L3，

6A

(p.土茨1^^=土余

2."坐#M'p4njT+(7^0T=，

3.1+A=1睚是長豐軸等于％也知得于2耳聊WD.

JQ"

4.頂點(0,2)可能是長軸的端點，也可能是短軸的一個端點，故分兩種情

況求方程：

六、板書設計

S1-J■用的幾何性上

LMW

1.9111.JEft：

2.2.H?：

(znRflttAR2

1?(￡>M8

2.

3.

4?

雙曲線及其標準方程

一、教學目標

（一）知識教學點

使學生掌握雙曲線的定義和標準方程，以及標準方程的推導.

（二）能力訓練點

在與橢圓的類比中獲得雙曲線的知識，從而培養(yǎng)學生分析、歸納、推理等能力.

（三）學科滲透點

本次課注意發(fā)揮類比和設想的作用，與橢圓進行類比、設想，使學生得到關(guān)于雙曲線

的定義、標準方程一個比較深刻的認識.

二、教材分析

1.重點：雙曲線的定義和雙曲線的標準方程.

（解決辦法：通過一個簡單實驗得出雙曲線，再通過設問給出雙曲線的定義;

對于雙曲線的標準方程通過比較加深認識.）

2.難點：雙曲線的標準方程的推導.

（解決辦法：引導學生完成，提醒學生與橢圓標準方程的推導類比.）

3.疑點：雙曲線的方程是二次函數(shù)關(guān)系嗎？

（解決辦法：教師可以從引導學生回憶函數(shù)定義和觀察雙曲線圖形來解決，

同時讓學生在課外去研究在什么附加條件下，雙曲線方程可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)式.）

三、活動設計

提問、實驗、設問、歸納定義、講解、演板、口答、重點講解、小結(jié).

四、教學過程

（一）復習提問

1.橢圓的定義是什么？（學生回答，教師板書）

平面內(nèi)與兩定點Fl、F2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢

圓.教師要強調(diào)條件：（1）平面內(nèi)；（2）到兩定點Fl、F2的距離的和等于常數(shù)；

⑶常數(shù)2a>|F1F2|.

2.橢圓的標準方程是什么？（學生口答，教師板書）

焦點在布的班■標漉方程為§+g=l（a>b〉明意點在州

詡情國標注方程力9=Ka>b>0）.

ab

（二）雙曲線的概念

把橢圓定義中的“距離的和”改為“距離的差”，那么點的軌跡會怎樣？它的方程是

怎樣的呢？

1.簡單實驗（邊演示、邊說明）

如圖2-23,定點Fl、F2是兩個按釘，MN是一個細套管，兩條細繩分別拴在

按釘上且穿過套管，點M移動時，|MFl|-|MF2|是常數(shù)，這樣就畫出曲線的一支;

由IMF2HMFl|是同一常數(shù)，可以畫出另一支.

注意：常數(shù)要小于|F1F2],否則作不出圖形.這樣作出的曲線就叫做雙曲線.

2.設問

問題1：定點Fl、F2與動點M不在平面上，能否得到雙曲線？

請學生回答，不能.強調(diào)“在平面內(nèi)”.

問題2：|MF1|與|MF2|哪個大?

請學生回答，不定：當M在雙曲線右支上時，|MF1|>|MF2|；當點M在雙曲線

左支上時,|MF1|<|MF2|.

問題3：點M與定點Fl、F2距離的差是否就是|MF1HMF2|?

請學生回答，不一定,也可以是正確表示為I|MF2|-|MFI||.

問題4：這個常數(shù)是否會大于等于|F1F21?

請學生回答，應小于|F1F2|且大于零.當常數(shù)=|F1F2|時，軌跡是以Fl、F2為

端點的兩條射線；當常數(shù)>|F1F2|時，無軌跡.

3.定義

在上述基礎上，引導學生概括雙曲線的定義：

平面內(nèi)與兩定點Fl、F2的距離的差的絕對值是常數(shù)(小于IF1F21)的點的軌跡

叫做雙曲線.這兩個定點Fl、F2叫做雙曲線的焦點，兩個焦點之間的距離叫做

焦距.

教師指出：雙曲線的定義可以與橢圓相對照來記憶，不要死記.

(三)雙曲線的標準方程

現(xiàn)在來研究雙曲線的方程.我們可以類似求橢圓的方程的方法來求雙曲線的方程.這

時設問：求橢圓的方程的一般步驟方法是什么？不要求學生回答，主要引起學生思考，隨即

引導學生給出雙曲線的方程的推導.

標準方程的推導：

⑴建系設點

取過焦點Fl、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸(如圖2-24)

圖2-24

建立直角坐標系.

設M(x,y)為雙曲線上任意一點，雙曲線的焦距是2c(c>0),那么Fl、F2

的坐標分別是(-c,0)、(c,0).又設點M與Fl、F2的距離的差的絕對值等于常

數(shù).

⑵點的集合

由定義可知，雙曲線就是集合:

P={MIIMF11-1MF21|=2a}={M|MFI|-1MF2=±2a).

⑶代數(shù)方程

|呼|=加了十9,

?c)a*ya-J①-c)2+.=±2a.

(4)化簡方程(由學生演板)

將這個方程移項，兩邊平方得：

(x+c)J+尸=4ali+尸+(x-c)J+ya.

化簡得：

2cosa

x-I*------------------

公、sina-cosa

g

ana

y-+----------

f>c=l-HMP]co$a

g{