2021-2022學(xué)年湖南省衡陽九中九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2021-2022學(xué)年湖南省衡陽九中九年級(jí)第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（每小題3分，共36分）

1.下列運(yùn)算正確的是（）

A.V2W3=V5B.3V3-V3=3C,V24-?V6=4D.73xV5=V15

2.用配方法解一元二次方程N(yùn)-6x+l=0時(shí)，下列變形正確的是（）

A.（%-3）2=1B.（%-3）2=10C.（x+3）2=8D.（x-3）2=8

3.如圖，在△ABC中，DE//BC,AD=6,BD=3,AE=4,則AC的長(zhǎng)為（）

4.如圖，某停車場(chǎng)入口的欄桿AB,從水平位置繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到AE的位置，已知AO的長(zhǎng)為

5米.若欄桿的旋轉(zhuǎn)角/AOA=a,則欄桿A端升高的高度為（）

\

A.........aXNO，B

A.米B.—1米C.5sina米D.5cosa米

sinO-cosQ-

5.如圖，中，A80C是圓內(nèi)接四邊形,ZBOC=110°,則N5OC的度數(shù)是（）

A.110°B.70°C.55°D.125°

6.如圖，在Rt^ABC內(nèi)畫有邊長(zhǎng)為9,6,x的三個(gè)正方形，則x的值為（）

B

A.3B.4C.375D.5

7.將拋物線y=2(x-4)2-1先向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，平移

后所得拋物線的解析式為()

A.y=2x2+]B.y=2x2-3

C.y=2(x-8)2+lD.y=2(x-8)2-3

8.將一副三角尺(在Rt^ABC中，ZACB=90°,NB=60°,在中，ZEDF=

90°,ZE=45°)如圖擺放，點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)，DE交AC于點(diǎn)P,。尸經(jīng)過點(diǎn)C,將

△EOF繞點(diǎn)。順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a(0°<a<60°),DE'交AC于點(diǎn)M,DF'交BC于

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，圓A經(jīng)過原點(diǎn)O,交x軸于點(diǎn)C(8,0),交y軸于點(diǎn)。

(0,6),點(diǎn)B為x軸下方圓弧上的一點(diǎn)，連接2。，BD,則sin/OBD的值為()

10.如圖將矩形紙片ABC。沿AE折疊，使點(diǎn)8落在直角梯形AECQ的中位線FG上，若

48=百，則AE的長(zhǎng)為()

A.273B.3C.2D.

11.如圖，矩形0ABe的邊。4在x軸上，0c在少軸上，點(diǎn)B（10,6），把矩形0A2C繞

點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A恰好落在BC邊上的么處，則點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Ci的坐標(biāo)為（）

B

>

A.（霍,f）B.（譽(yù)f）2224、門,2422

0□DD55，、55

12.已知拋物線>=以2+析+c的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中，正確的有（）

②抉>4〃。；

③。-Z?+c<0；

@a>~

⑤a+c<1.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

二、填空題（每小題3分，共18分）

13.J菽有意義，x的取值范圍是.

14.已知關(guān)于x的一元二次方程N(yùn)+mx+3=0的一個(gè)根是1,則方程的另一個(gè)根為

15.如圖，圓。直徑為10,弦為8,尸是弦上一點(diǎn)，則線段。尸長(zhǎng)度的最小值為

16.拋物線y=2^-+x+a與直線y=-x+3沒有交點(diǎn)，則a的取值范圍是

17.如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=5,將△ABC折疊，使點(diǎn)8落在AC邊

9

上的點(diǎn)。處，所為折痕，若sin/CED的值為泉?jiǎng)tBE

O

18.如圖，已知RtZ\A3C,5是斜邊AB的中點(diǎn)，過。作。歸，AC于連結(jié)交CDi,

于。2過功作功E2,AC于瓦，連結(jié)BE2交cn于2,過￡>3作￡>3昂，4。于53,如此

繼續(xù)，可以依次得到點(diǎn)o4,D5,…D”,分別記△BD1E1,△BD2&,△8。3生，八BD,晶

的面積為S1,$2,$3,…S".若SAABC=1,則S2022.

三、解答題(本題共8小題，19-20題每題6分，21-24每題8分>25題10分，26題12分)

19.4sin600-|-3|WI2+("T)?+(_］嚴(yán)

20.關(guān)于元的一元二次方程2%-m+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根為，X2.

(1)求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

(2)若方程兩實(shí)數(shù)根無1,尤2滿足x：+x：=10,求根的值.

21.如圖，在AABC和△DEC中，ZA=Z￡>,ZBCE=ZACD.

(1)求證：AABCs^DEC；

(2)若S^ABC：SADEC=4：9,BC=6,求EC的長(zhǎng).

D

22.某商家銷售一種成本為20元的商品，銷售一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)，每天的銷量y（件）與當(dāng)

天的銷售單價(jià)x（元/件）滿足一次函數(shù)關(guān)系，并且當(dāng)x=25時(shí)，尸550；當(dāng)x=30時(shí)y

=500.物價(jià)部門規(guī)定，該商品的銷售單價(jià)不能超過52元/件.

（1）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）問銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，商家銷售該商品每天獲得的利潤(rùn)是8000元？

（3）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，商家銷售該商品每天獲得的利潤(rùn)最大，并求出最大利潤(rùn).

23.小李要外出參加“建國(guó)70周年”慶?；顒?dòng)，需網(wǎng)購(gòu)一個(gè)拉桿箱，圖1,2分別是她上網(wǎng)

時(shí)看到的某種型號(hào)拉桿箱的實(shí)物圖與示意圖，并獲得了如下信息：滑桿DE,箱長(zhǎng)BC,

拉桿AB的長(zhǎng)度都相等，即DE=BC=AB,B,歹在AC上，C在OE上，支桿。尸=30。"，

CE,CD=\,3,ZDCF=45°,ZCDF=3Q°,請(qǐng)根據(jù)以上信息，解決下列問題.

（1）求AC的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）；

（2）求拉桿端點(diǎn)A到水平滑桿即的距離（結(jié)果保留根號(hào)）.

圖1圖2

24.如圖，在△ABC中，NACB=90。，NABC的角平分線交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作BE的

垂線交A3于點(diǎn)E△?￡尸的外接圓圓。與CB交于點(diǎn)￡）.

（1）求證：AC是圓。的切線；

（2）若BC=9,EH=3,求圓。的半徑長(zhǎng).

25.如圖，在矩形ABCD中，A2=4j§,AD=4,點(diǎn)P為對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接

PD,過點(diǎn)尸作PELPD,交直線AB于點(diǎn)￡.

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，ZPDA和NPE8的數(shù)量關(guān)系為,PE與

DP的數(shù)量關(guān)系為；

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接。E若尸E=2,求。E的長(zhǎng)；

(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)￡在上時(shí)，過點(diǎn)尸作PMLAD于點(diǎn)以線段尸￡>,PE為鄰邊

作矩形PEFD.設(shè)。M的長(zhǎng)為x矩形尸EFD的面積為y.請(qǐng)求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式

及y的最小值.

26.如圖.在平面直角坐標(biāo)系中.拋物線與x軸交于A、8兩點(diǎn)，與y軸交于

點(diǎn)C.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-2).已知點(diǎn)E(m,0)是線

段上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A,8重合).過點(diǎn)E作PELx軸交拋物線于點(diǎn)P,交BC

于點(diǎn)F.

(1)求該拋物線的表達(dá)式；

(2)若EF：PF=1：2,請(qǐng)求出機(jī)的值；

(3)是否存在這樣的根，使得△BEP與△ABC相似？若存在，求出此時(shí)機(jī)的值：若不

存在，請(qǐng)說明理由；

(4)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到拋物線對(duì)稱軸上時(shí)，點(diǎn)M是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，

在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在以C、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若不存在，請(qǐng)

說明理由；若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).

參考答案

一、選擇題(每小題3分，共36分)

1.下列運(yùn)算正確的是()

A.V2+Vs=V5B.373-73=3C?標(biāo)+巫=4D.73xV5=V15

【分析】根據(jù)二次根式的加減法對(duì)A、2進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的除法法則對(duì)C進(jìn)行

判斷；根據(jù)二次根式的乘法法則對(duì)D進(jìn)行判斷.

解：A.&與愿不能合并，所以A選項(xiàng)不符合題意；

B.原式=2百，所以B選項(xiàng)不符合題意；

C.原式={24+6=V^=2,所以C選項(xiàng)不符合題意；

D.原式=>/我萬=4元，所以。選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法

和除法法則是解決問題的關(guān)鍵.

2.用配方法解一元二次方程N(yùn)-6x+l=0時(shí)，下列變形正確的是()

A.(x-3)2=1B.(%-3)2=10C.(x+3)2=8D.(x-3)2=8

【分析】將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式

后即可得.

解：*.,x2-6x+l=0,

.*.x2-6x=-1,

.*.x2-6x+9=-1+9,即(x-3)2=8,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、

因式分解法、公式法及配方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇簡(jiǎn)便的方法.

3.如圖，在△A3C中，DE//BC,AD=6fBD=3,AE=4,則AC的長(zhǎng)為()

A

￡

B‘

A.9B.7C.6D.5

【分析】由DE//BC,利用平行線分線段成比例的推論，可得出需=祭代入

A0+8O=6+3,AD=6,AE=4,即可求出AC的長(zhǎng).

解：-：DE//BC,

,AB=AC

??瓦—IT

即旦且=些

64

解得：AC=6,

???AC的長(zhǎng)為6.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例，牢記“平行于三角形一邊的直線截其他兩邊

（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.”是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，某停車場(chǎng)入口的欄桿A8,從水平位置繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到A8的位置，已知AO的長(zhǎng)為

5米.若欄桿的旋轉(zhuǎn)角NA04=a,則欄桿A端升高的高度為（

A.B.―-—米C.5sina米D.5cosa米

cosa

【分析】作于“，根據(jù)三角函數(shù)求出A”的長(zhǎng)度即可.

???OA=5機(jī)，ZAOA,=a,

A'H=0A?sina=5sina（米），

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，。。中，ABDC是圓內(nèi)接四邊形，ZBOC=110°,則/BDC的度數(shù)是（)

C.55°D.125

【分析】首先通過同弧所對(duì)的圓心角與圓周角的關(guān)系求出角A,再利用圓內(nèi)接四邊形的

對(duì)角互補(bǔ)，可以求出NBZJC.

解：VZBOC=110°

：.ZA=—ZBOC=—XllO°=55°

22

又???A8DC是圓內(nèi)接四邊形

ZA+Z￡>=180°

ZD=180°-55°=125°

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握?qǐng)A周角定理.理解圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).

6.如圖，在Rt^ABC內(nèi)畫有邊長(zhǎng)為9,6,x的三個(gè)正方形，則x的值為（）

C.375D.5

【分析】根據(jù)相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，就可以判斷.

解：?.?這三個(gè)正方形的邊都互相平行.

:.ADEFsAFGH,

"EF-DE,

?x—6r

解得：x=4.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似多邊形的性質(zhì)，如果兩個(gè)多邊形都和第三個(gè)多邊形相似，那么這

兩個(gè)多邊形也相似.

7.將拋物線y=2(x-4)2-1先向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，平移

后所得拋物線的解析式為()

A.y=2x1+\B.y=2x1-3

C.y=2(x-8)2+lD.y=2(x-8)2-3

【分析】根據(jù)平移的規(guī)律即可得到平移后函數(shù)解析式.

解：拋物線y=2(x-4)2-1先向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線解析式為y=2(x

-4+4)2-1,即>=2爐-1,再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到的拋物線解析式為y=2%2-

1+2,即>=2/+1；

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)圖象與幾何變換，熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上

加下減.并用規(guī)律求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

8.將一副三角尺(在Rt/XABC中，ZACB=90°,ZB=60°,在Rt/XEDF中，ZEDF=

90°,/E=45。)如圖擺放，點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)，DE交AC于點(diǎn)P,OE經(jīng)過點(diǎn)C,將

△瓦加繞點(diǎn)。順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a(0°<a<60°),DE'交AC于點(diǎn)M,DF,交2C于

【分析】先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得則/ACD=/A=30°,

/BCD=/B=60°,由于/￡?尸=90°,可利用互余得/CPO=60°,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性

質(zhì)得NPDM=/CDN=cc,于是可判斷得到理=段,然后在Rt^PCD

CNCD

中利用正切的定義得至【JtanNPCD=tan30。=胃，于是可得瞿=孚.

LULNO

解：：點(diǎn)。為斜邊的中點(diǎn)，

:.CD=AD=DB,

：.ZACD=ZA=30°,ZBCD=ZB=6Q°,

VZ￡￡)F=90°,

：.ZCPD^60°,

ZMPD=ZNCD,

?.?△ED/繞點(diǎn)。順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a(00<a<60°),

ZPDM=ZCDN=a,

.MPDMs^CDN,

.PM=PD

,,CN-CD，

pn

在RtzXPCD中，：tan/PCr>=tan30。=—,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所

連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了相似三角形的判定與性質(zhì).

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，圓A經(jīng)過原點(diǎn)。，交x軸于點(diǎn)C（8,0）,交y軸于點(diǎn)。

（0,6）,點(diǎn)B為x軸下方圓弧上的一點(diǎn)，連接BO,BD,貝I]sin/OB。的值為（）

【分析】連接CZ）,根據(jù)圓周角定理可知/0BD=/0CD,再由勾股定理求出CD的長(zhǎng),

利用銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論.

解：連接CD,

VZOBD與/OCD是同弧所對(duì)的圓周角,

：.ZOBD=ZOCD.

VC(8,0),D(0,6),

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理和三角函數(shù)的定義，熟知在同圓或等圓中，同弧或等

弧所對(duì)的圓周角相等是解答此題的關(guān)鍵.

10.如圖將矩形紙片ABC。沿AE折疊，使點(diǎn)8落在直角梯形AECD的中位線PG上，若

AB=V3-則短的長(zhǎng)為（）

B￡C

（r------?-\

*/\

；］.二二歸---------G

?，

,/」

ILL__________________

AD

A.273B.3C.2D.1V3

【分析】利用折疊易證AAEB是含30°的直角三角形，利用相應(yīng)的三角函數(shù)即可求得AE

的長(zhǎng).

解：延長(zhǎng)仍交AD于點(diǎn)根據(jù)折疊的性質(zhì)易證明是一個(gè)等邊三角形，則NE4B

=30°,

在直角三角形ABE中，根據(jù)30。所對(duì)的直角邊是斜邊的一半以及勾股定理求得AE=2.

D

【點(diǎn)評(píng)】此題中的折疊方法也是折疊等邊三角形的一種常用方法，那么AAEB是含30°

的直角三角形.

11.如圖，矩形。42c的邊0A在x軸上，0c在少軸上，點(diǎn)3（10,6）,把矩形。4BC繞

點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A恰好落在BC邊上的么處，則點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Ci的坐標(biāo)為（）

g'；C

A7,卷）B.（譽(yù)f）C.（卷卷）D.（譽(yù)f）

bb33bbbb

【分析】直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出△ONG三邊關(guān)系，再利用勾股定理得出

答案.

解：如圖，過點(diǎn)G作軸于點(diǎn)N,過點(diǎn)Ai作AiMLx軸于點(diǎn)

???GN〃y軸，

：.Zl+ZCOAi=Z2+ZCOA!,

???N1=N2,

???N1=N2=N3,

則△AIOMS/^OGN,

???點(diǎn)5(10,6),

：.OA=10,OC=6,

(?Ai=10,4M=6,

：.OM=8,

???Nl=NOCiN,NAMO=NONG=90°,

???MiMOsAONCi,

A1MOM

?F=5'

.ONA,M63

.0N一為「丁了

?,?設(shè)N0=3x,NCi=4x,貝UOG=5x,

???OG=6,

貝！J5x=6,x=一,

5

則N0=3x=W,NG=4x=空，

55

故點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Ci的坐標(biāo)為：（-.

55

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，正確得出△AiOM

s/XOGN是解題關(guān)鍵.

12.已知拋物線y=ox2+bx+c的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中，正確的有（）

①〃兒>0；

②岳>4。。；

③〃-Z?+c<0；

@a>~

⑤〃+cV1.

解：①如圖所示，圖像開口向上,

.\a>0f

???圖像與y軸的交點(diǎn)在x軸下方

.*.c<0,

???圖像的對(duì)稱軸在y軸的左邊，且〃>0,

~早<0，

Na

：.b>0,

Aabc<0,故①錯(cuò)誤；

②根據(jù)圖像可知，拋物線與％軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

b2-4〃c>0,即b2>4ac,故②正確；

③由圖可得，當(dāng)x=-l時(shí)，y<0,

：.a-Z?+c<0,故③正確；

④當(dāng)x=l時(shí)，a+b+c—2,

a+c=2-b,

a-Z?+c<0,

：.2-b-b<0f解得：b>\,

由圖可得，萼>-1

2a

2a>b

1,解得：故④正確；

⑤當(dāng)x=l時(shí)，a+b+c=2,

C,a+c—2-b,且Z?>1,

：.2-Z?<1,

a+c<1,故⑤正確；

綜上所述，共有4個(gè)是正確的；

故答案為：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)圖像與各系數(shù)之間的關(guān)系，解題關(guān)鍵：掌握二次函數(shù)的

圖像與基本性質(zhì).

二、填空題（每小題3分，共18分）

13.我三有意義，x的取值范圍是.

【分析】依據(jù)二次根式被開方數(shù)大于等于零求解即可.

解：：愿彳有意義，

，3-x20.

解得：龍W3.

故答案為：xW3.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是二次根式有意義的條件，掌握二次根式有意義的條件是解題

的關(guān)鍵.

14.已知關(guān)于x的一元二次方程爐+妙+3=0的一個(gè)根是1,則方程的另一個(gè)根為3.

【分析】由于該方程的一次項(xiàng)系數(shù)是未知數(shù)，所以求方程的另一解可以根據(jù)根與系數(shù)的

關(guān)系進(jìn)行計(jì)算.

解：設(shè)方程的另一根為為，

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：xi-l=3,

解得xi=3.

故答案為3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程辦2+法+°=0(°W0)的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程兩根

為Xl,XI,貝！J尤1+X2=-上1尤1.無2=￡-.

aa

15.如圖，圓O直徑為10,弦AB為8,尸是弦AB上一點(diǎn)，則線段。尸長(zhǎng)度的最小值為3.

【分析】過。點(diǎn)作0CLA2于C點(diǎn)，連接04根據(jù)垂徑定理得到AC=BC=4,再利用

勾股定理得到OC=3,根據(jù)垂線段最短得到OP的最小值為3.

解：過。點(diǎn)作0ULA3于C點(diǎn)，連接。4,則AC=8C=/A8=4,

在RtZ\OAC中，OC=4OA，-AC2=V52-42=3，

尸為垂線段最短，

.?.OP最小=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理和勾股定理，熟知垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平

分弦所對(duì)的兩條弧是解題的關(guān)鍵.

16.拋物線y=2x2+x+a與直線y=-x+3沒有交點(diǎn)，則a的取值范圍是—.

【分析】根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn)，則兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式組成方程組無解，從而得出

答案.

解：’.?拋物線y=2x2+x+a與直線y=-x+3沒有交點(diǎn)，

一元二次方程2/+x+a=-x+3沒有實(shí)數(shù)根，

即2/+2]+。-3=0無實(shí)數(shù)根，

A=4-8(a-3)<0,

解得tz>3-^-,

故答案為：a>3-^.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，理解兩個(gè)函數(shù)圖象沒有公

共點(diǎn)的意義是解決問題的關(guān)鍵.

17.如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,AS=AC=5,將△ABC折疊，使點(diǎn)B落在AC邊

9

上的點(diǎn)。處，所為折痕，若sin/CFD的值為q，則-=3.

【分析】由題意得：△BEFQADEF,故NEDF=/B=/C；由三角形的外角性質(zhì)可得

NADE=NCFD,利用解直角三角形即可解決.

解：???在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=5,

：./B=NC,

?：BE=3,AB—5,

J.AE—2,

???將△ABC折疊，使點(diǎn)5落在AC邊上的點(diǎn)。處，

ABEF^ADEF,

:?BE=DE,NB=NEDF=NC,

?：NADE+NEDF=/C+/CFD,

：.ZADE=ZCFD,

,2

sin/ADE=sinNCFD=—,

3

?AE2即AE2

"DE3,BE3,

'：AE+BE=5,

:?BE=3,

故答案為：3.

【點(diǎn)評(píng)】主要考查了翻折變換的性質(zhì)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用全等三角形

的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)等知識(shí)來解決問題.

18.如圖，已知Rt^ABC,A是斜邊AB的中點(diǎn)，過A作AELAC于0，連結(jié)8昂交CA,

于功過功作r>2￡2，AC于E2,連結(jié)BE2交CD1于。3,過。3作。3昂，43于星，如此

繼續(xù)，可以依次得到點(diǎn)。，O5,分別記△瓦△8功&,ABM,/\BDnEn

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì).再利用在△ACB中，功為其重

心可得￡>2昂=冬昂，然后從中找出規(guī)律即可解答.

解：VRtAABC,Di是斜邊AB的中點(diǎn)，過5作。1ELAC于昂，

:.DiEM/BC,Ei是AC的中點(diǎn)，

.?.△ADiEs△ABC,AADiE與△CGEi面積相等，

.?.△BAEi與△CDiEi同底同高，面積相等，以此類推；

根據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)可知：DiE^^BC,C￡i=^AC,N=

—D[E\*C￡i=--X--BCX—AC=--X—X--AC*BC=~S/\ABC^

222222222

在△ACB中，正為其重心,

DT.E\=-^BEi,

__L_

：.DE2=—BC,CE1=—AC,S?=9"SAABC,

23332

*：D2E2：DiEi=2：3,D\E\：BC=1：2,

2

:?BC：D2E2—2D1E1：—DiEi=3,

3

CDs：CD2—D3E3：D2E2—CE31CE2—3：4,

QQ11Q?111

D3E3=-D2E2=—X-LBC^—BC,CE=—CE=—x—AC=—AC,S3=FSAABC……；

443443423442

.1

??Sn~,、9S/^ABCf

(n+l)2

5AABC—1,

]

?*?52022—

20232

]

故答案為:

20232

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是據(jù)直角三角形的性質(zhì)

以及相似三角形的性質(zhì)得到第一個(gè)三角形的面積與原三角形的面積的規(guī)律.也考查了重

心的性質(zhì)即三角形三邊中線的交點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的兩倍.

三、解答題（本題共8小題，19-20題每題6分，21-24每題8分＞25題10分，26題12分）

19.4sin60°-|-3|Wl^+4）2+（-1）2013.

【分析】先把特殊角三角函數(shù)值代入，并進(jìn)行乘方、開方運(yùn)算，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，再進(jìn)行乘

法運(yùn)算，然后進(jìn)行加減計(jì)算即可.

解：原式=4X*_-3-2?+9-1

=2^3-3-273+9-1

=5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握負(fù)整指數(shù)幕運(yùn)算法則，二次根式化簡(jiǎn)，熟

記特殊角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

20.關(guān)于x的一元二次方程（-2%-m+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根為，檢.

（1）求實(shí)數(shù)力？的取值范圍；

（2）若方程兩實(shí)數(shù)根XI,尤2滿足x；+x：=10,求機(jī)的值.

【分析】（1）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則根的判別式A=6-4℃，建立關(guān)于加

的不等式，求出機(jī)的取值范圍；

⑵根據(jù)題意x；+xg=10,即可得至I](X1+X2)2-2乂產(chǎn)2=10,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系

得到尤1+無2=2,X1X2=-m+2,代入即得到關(guān)于機(jī)的方程，解方程即可.

解：(1).??關(guān)于x的一元二次方程？-2x-帆+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根XI,尤2,

:.\=(-2)2-4(-m+2)=4根-4>0,

⑵???XJ+X2=1Q,

(X[+X2)2-2X]乂2=10,

又?."I+X2=2,X\XI=-m+2,

：.22-2(-m+2)=10,

解得：〃z=5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(。#0)的根的判別式A=抉-4ac,正

確記憶當(dāng)△>0,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=(),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)

△<0,方程沒有實(shí)數(shù)根是解題關(guān)鍵.

21.如圖，在△ABC和△￡>￡(?中，ZA=ZD,ZBCE=ZACD.

(1)求證：△ABCs△DEC；

(2)若SAABC：SADEC=4：9,BC=6,求EC的長(zhǎng).

【分析】(1)由兩角相等的兩個(gè)三角形相似可判斷△ABCs△DEC；

(2)由相似三角形的性質(zhì)可得二區(qū)=(*)即可求解.

SADEC比9

【解答】證明：(1)???N3CE=NACD

???NBCE+/ACE=ZACD+ZACE,

：.ZDCE=ZACBf

又＜ZA=ZD,

AABC^ADEC；

(2)?:△ABCSADEC：

,SAABC_zCBx_4

??\2~~,，

^ADECCE9

又?；BC=6,

：.CE=9.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，證明△ABCs△￡>￡（；是本題的關(guān)鍵.

22.某商家銷售一種成本為20元的商品，銷售一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)，每天的銷量y（件）與當(dāng)

天的銷售單價(jià)x（元/件）滿足一次函數(shù)關(guān)系，并且當(dāng)尤=25時(shí)，>=550；當(dāng)x=30時(shí)y

=500.物價(jià)部門規(guī)定，該商品的銷售單價(jià)不能超過52元/件.

（1）求出y與％的函數(shù)關(guān)系式；

（2）問銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，商家銷售該商品每天獲得的利潤(rùn)是8000元？

（3）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，商家銷售該商品每天獲得的利潤(rùn)最大，并求出最大利潤(rùn).

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解可得；

（2）根據(jù)“總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)X銷售量”可得關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得；

（3）利潤(rùn)w=（x-20）（-lOx+800）=-10（x-80）（尤-20）,即可求解.

解：（1）設(shè)了=履+匕,

25k+b=550

根據(jù)題意可得

30k+b=500,

fk=-10

解得

lb=800

則3=-lOx+800(0<xW52)；

(2)根據(jù)題意，得(x-20)(-lOx+800)=8000,

整理，得/-100x+2400=0,

解得xi=40,無2=60,

,/銷售單價(jià)最高不能超過52元/件,

.*.x=40,

答：銷售單價(jià)定為40元/件時(shí)，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤(rùn)8000元;

(3)利潤(rùn)w=(x-20)(-lOx+800)=-10(x-50)2+9000

V-10<0,

.,.當(dāng)尤=50時(shí)，w取最大值為：9000,

故當(dāng)銷售單價(jià)定為50元時(shí)，商家銷售該商品每天獲得的利潤(rùn)最大，其最大利潤(rùn)為9000

元.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用.最大銷售利潤(rùn)的問題常利函

數(shù)的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實(shí)際選

擇最優(yōu)方案.

23.小李要外出參加“建國(guó)70周年”慶?；顒?dòng)，需網(wǎng)購(gòu)一個(gè)拉桿箱，圖1,2分別是她上網(wǎng)

時(shí)看到的某種型號(hào)拉桿箱的實(shí)物圖與示意圖，并獲得了如下信息：滑桿。區(qū)箱長(zhǎng)BC,

拉桿AB的長(zhǎng)度都相等，即。E=BC=AB,B,F在AC上，C在OE上，支桿。尸=30°〃，

CE：CD=1：3,ZDCF=45°,ZCDF=3Q°,請(qǐng)根據(jù)以上信息，解決下列問題.

（1）求AC的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）；

（2）求拉桿端點(diǎn)A到水平滑桿即的距離（結(jié)果保留根號(hào)）.

圖1圖2

【分析】（1）過尸作尸于X,解直角三角形即可得到結(jié)論；

（2）過A作交即的延長(zhǎng)線于G,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

解：（1）過廠作于X,

AZFHC=ZFHD=90°,

VZFDC=3Q°,DF=30,

；.FH=^DF=15,DH=^-DF=15M(cm),

2

ZFCH=45

CH=FH=15(cm),

，CD=CH+DH=15+15%(所)，

,:CE：CD=1：3,

：.DE^^CD=(20+20我)(cm),

?：AB=BC=DE,

：.AC=(40+40我)cm；

(2)過4作交ED的延長(zhǎng)線于G,

VZACG=45°,

；.AG^J^-AC=(20&+20&)(cm),

答：拉桿端點(diǎn)A到水平滑桿即的距離為(20&+20&)cm.

圖2

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，主要是三角函數(shù)的基本概念及運(yùn)算，關(guān)鍵是

用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題.

24.如圖，在AABC中，NACB=90。，NABC的角平分線交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作BE的

垂線交AB于點(diǎn)F,AB￡P(guān)的外接圓圓O與CB交于點(diǎn)D.

(1)求證：AC是圓。的切線；

(2)若BC=9,EH=3,求圓。的半徑長(zhǎng).

【分析】(1)先證明NOEB=/CBE,得OE〃BC,則/OE4=NACB=90°,所以AC

±OE,即可證明AC是圓。的切線；

(2)作OGL8。于點(diǎn)G,可證明四邊形OECG是矩形，得CG=OE=OB,由角平分線

的性質(zhì)得OG=EC=EH=3,在RtABOG中根據(jù)勾股定理得32+(9-OB)2=OB2,求

出08的值即可.

【解答】(1)證明：

ZABE=ZOEB,

「BE平分/ABC,

ZABE=ZCGE,

：.ZOEB=ZCBE,

：.OE//BC,

：.ZOEA=ZACB=90°,

VAC經(jīng)過圓0的半徑OE的外端，且ACLOE,

；.AC是圓。的切線.

(2)解：如圖，作。于點(diǎn)G,則/OGB=NOGC=90。，

：.ZC=ZOEC=90°,

四邊形OECG是矩形，CG=OE=OB,

：BE平分/ABC,ECLBC,EH±BA,

：.0G=EC=EH=3,

?：BC=9,

：.BG=9-CG=9-OB,

O&+B(?=O^,

A32+(9-OB)2=OB2,

：.0B=5,

.?.圓。的半徑長(zhǎng)為5.

【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查圓的切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、矩

形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵.

25.如圖，在矩形ABCO中，AB=4y，AD=4,點(diǎn)P為對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接

PD,過點(diǎn)尸作尸尸。，交直線AB于點(diǎn)E.

（1）如圖①,當(dāng)點(diǎn)E在線段A3上時(shí)，ZPDA和的數(shù)量關(guān)系為/PEB=/ADP,

PE與DP的數(shù)量關(guān)系為DP=\QPE；

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)￡在的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接DE若P￡=2,求DE的長(zhǎng)；

(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，過點(diǎn)P作PMLAD于點(diǎn)M,以線段PD,PE為鄰邊

作矩形PEED.設(shè)DM的長(zhǎng)為x矩形PEED的面積為y.請(qǐng)求出y與尤之間的函數(shù)關(guān)系式

及y的最小值.

【分析】(1)通過證明點(diǎn)D,點(diǎn)A,點(diǎn)、E,點(diǎn)尸四點(diǎn)共圓，可得/PAE=/PDE,ZADP+

ZA￡P(guān)=180°,通過證明△ABCs/iOPE,可得瞿T，即可求解；

PEBC

(2)通過證明△￡＞「￡/△口”,可得理理，即可求解；

PEAD

(3)通過證明可得黑=瞿=%，分別求出。尸，尸￡的長(zhǎng)，由矩形

PEPN

的面積公式可求解.

解：(1)如圖①，連接

9：PE_LPD,

；?NDPE=90°=ZDAE,

?,?點(diǎn)。，點(diǎn)A,點(diǎn)E,點(diǎn)尸四點(diǎn)共圓，

???NPAE=/PDE,ZA￡>P+ZAEP=180°,

VZAEP+ZPEB=180°,

???ZPEB=ZADP,

?：NPAE=NPDE,NDPE=NABC=90°,

AABCSADPE,

..?DPAB.

PEBC

?；AB=4愿，AD=BC=4,

.DP^

??pE53,

:.DP=MPE；

故答案為：ZPEB=ZADP,DP=^PE；

(2)VAB=4-73-AD=BC=4,

AC=AB2+BC2=V16+48=8，

'：PE±PD,

：.ZDPE=9Q°=ZDAE,

；.點(diǎn)D,點(diǎn)4點(diǎn)E,點(diǎn)尸四點(diǎn)共圓，

NDEP=/DAC,

VZDPE=ZADC=90°,

△DPEs^CDA,

.DE_AC

*'pf'AD'

.DE_8

??—,

24

：.DE=4；

(3)如圖③，過點(diǎn)P作尸于N,

9：PMLAD,PN_LAB,AB_LAD,

???四邊形AMPN是矩形，

:.AM=PN,/MPN=90°=ZDPE,

:?AM=PN=4-0M=4-x,/DPM=/EPN,

又?：NDMP=/PNE=90°,

：.LDPMSAEPN,

?DP=PM-

"PEPN=7;$

:.PM=MPN=M(4-x),

np=VDM2+MP2=VX2+3(4-X)2=2VX2-6X+12'

二.PE=爭(zhēng)—第x3一6X+12,

：.y=PD-PE=^^~(x2-6x+12)=-^Zl_x2-8V3X+16-73(無＞0),

?；y=4我/_8愿尤+16愿=4,(x-3)2+4正，

33

.?.當(dāng)x=3時(shí)，y有最小值為4%.

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判

定和性質(zhì)，二次函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)構(gòu)建二

次函數(shù)解決最值問題，屬于中考?jí)狠S題.

26.如圖.在平面直角坐標(biāo)系中.拋物線yn4N+bx+c與x軸交于A、8兩點(diǎn)，與y軸交于

點(diǎn)C.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-2).已知點(diǎn)E(m,0)是線

段上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)￡不與點(diǎn)A,8重合).過點(diǎn)E作PELx軸交拋物線于點(diǎn)尸，交BC

于點(diǎn)F.

(1)求該拋物線的表達(dá)式；

(2)若ERPF=1：2,請(qǐng)求出機(jī)的值；

(3