浙江省七彩陽(yáng)光新高考研究聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

絕密★考試結(jié)束前2023學(xué)年第二學(xué)期浙江七彩陽(yáng)光新高考研究聯(lián)盟返?？几呷龜?shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1.本試卷共4頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)?姓名?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào).3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無(wú)效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若是的非空子集，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合的運(yùn)算結(jié)合選項(xiàng)可得答案.【詳解】若是的非空子集，，則故選：B.2.若（是復(fù)數(shù)單位），則（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再利用模的意義計(jì)算即得.【詳解】依題意，，所以.故選：B3.的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為（）A. B.0 C.15 D.30【答案】D【解析】【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式并進(jìn)行賦值即可.【詳解】的展開式通項(xiàng)為，令，則，的展開式通項(xiàng)為，令，則，則的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為，故選：D.4.設(shè)為正實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)的單調(diào)性和時(shí)，，可證明充分性；取特值可證明不必要性.【詳解】若，由函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，所以，故“”是“”的充分條件，反之，若，當(dāng)時(shí)，，但，所以“”不是“”的必要條件，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5.某校1000名學(xué)生參加數(shù)學(xué)期末考試，每名學(xué)生的成績(jī)服從，成績(jī)不低于120分為優(yōu)秀，依此估計(jì)優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)約為（）附：若，則.A.23 B.46 C.159 D.317【答案】C【解析】【分析】依題意，計(jì)算數(shù)據(jù)后乘以總?cè)藬?shù)即可.【詳解】由，得，則，估計(jì)優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)約為.故選：C6.已知是異面直線，是空間任意一點(diǎn)，存在過(guò)的平面（）A.與都相交 B.與都平行C.與都垂直 D.與平行，與垂直【答案】A【解析】【分析】BCD可舉出反例，A選項(xiàng)，可通過(guò)適當(dāng)旋轉(zhuǎn)平面，得到其與都相交.【詳解】A選項(xiàng)，不論在何處，過(guò)點(diǎn)的平面，通過(guò)繞點(diǎn)適當(dāng)旋轉(zhuǎn)，總存在平面，使得其與都相交，A正確；B選項(xiàng)，若點(diǎn)在直線上，則此時(shí)不存在過(guò)的平面，使得其與直線平行，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，若與垂直，此時(shí)過(guò)的平面假如與其中之一垂直，則與另一直線平行，或另一直線在該平面內(nèi)，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，若與垂直，點(diǎn)在直線上，此時(shí)過(guò)點(diǎn)作一個(gè)平面與垂直，此時(shí)直線在平面內(nèi)，D錯(cuò)誤；故選：A7.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為，過(guò)作不與軸垂直的直線交于兩點(diǎn)，設(shè)的外心和重心的縱坐標(biāo)分別為（是坐標(biāo)原點(diǎn)），則的值為（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，的重心的縱坐標(biāo)，再表示出、的垂直平分線方程，從而求出，即可得解.【詳解】設(shè)，，顯然，直線的方程為，由整理得，顯然，所以，，所以，所以的重心的縱坐標(biāo)，又的外心既在的垂直平分線上，也在的垂直平分線上，又的垂直平分線方程為整理得，同理可得的垂直平分線方程為，則，解得，即外心的縱坐標(biāo)，所以.故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.8.已知數(shù)列前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論不正確的是（）A.是遞增數(shù)列 B.是遞增數(shù)列C. D.【答案】C【解析】【分析】利用數(shù)列的遞推式與放縮法，結(jié)合基本不等式，等比數(shù)列的求和公式與錯(cuò)位相減法，逐一分析判斷各選項(xiàng)即可得解.【詳解】對(duì)于A，由題意易得，由，得，故A正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)A得，所以，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，得也是遞增數(shù)列，所以，即，故B正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)AC得，累加得，令，則，兩式相減，得，則，所以，故D正確.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)列的放縮法與錯(cuò)位相減法，從而得解.二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.與的夾角為C. D.在上的投影向量是【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算逐項(xiàng)判斷.【詳解】對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B：，因?yàn)椋?，故B正確；對(duì)于C：，則，故C正確；對(duì)于D：在上的投影向量是，故D正確.故選：BCD.10.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小正周期B.C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于軸對(duì)稱【答案】BC【解析】【分析】利用正弦型函數(shù)的對(duì)稱性結(jié)合的取值范圍求出的表達(dá)式，利用正弦型函數(shù)的周期公式可判斷A選項(xiàng)；代值計(jì)算可判斷B選項(xiàng)；利用正弦型函數(shù)的對(duì)稱性可判斷C選項(xiàng)；利用三角函數(shù)圖象變換結(jié)合正弦型函數(shù)的奇偶性可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則，可得，因?yàn)椋傻?，所以，，?duì)于A選項(xiàng)，的最小正周期為，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，可得到函數(shù)，故的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，D錯(cuò).故選：BC.11.已知函數(shù)定義域?yàn)?，且，，則下列結(jié)論正確的是（）A.為奇函數(shù)B.為偶函數(shù)C.若，則D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題中等式，利用賦值法，結(jié)合奇偶函數(shù)的定義逐一判斷即可.【詳解】由得，所以，故是奇函數(shù)，所以正確；由得，所以，故是偶函數(shù)，所以B正確；由題意得，令得，由是奇函數(shù)得，且，解得，當(dāng)時(shí)，，所以錯(cuò)誤.由題意得，令得當(dāng)時(shí)，，所以正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)已知等式進(jìn)行恰當(dāng)?shù)馁x值.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.一個(gè)宿舍的6名同學(xué)被邀請(qǐng)參加一個(gè)晚會(huì)，如果其中甲和乙兩位同學(xué)要么都去，要么都不去，則不同去法的種數(shù)為__________.（用數(shù)字作答）【答案】32【解析】【分析】對(duì)甲和乙兩位同學(xué)要么都去，要么都不去進(jìn)行分類討論，分別計(jì)算去法種數(shù)，最后相加即可.【詳解】當(dāng)甲和乙兩位同學(xué)都去，則至少要去2人，則有種去法；當(dāng)甲和乙兩位同學(xué)都不去，則有種去法；根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得：共有種去法.故答案為：3213.函數(shù)的值域?yàn)開_________.【答案】【解析】【分析】化簡(jiǎn)可得，令且，所以函數(shù)值域等價(jià)于在區(qū)間上的值域，利用二次函數(shù)求出在區(qū)間上的值域即可.【詳解】由題可得：，令，則，令，所以函數(shù)的值域等價(jià)于在區(qū)間上的值域，由于，所以當(dāng)時(shí)，，，則函數(shù)的值域?yàn)?，故答案為?4.已知正四面體的邊長(zhǎng)為是空間一點(diǎn)，若，則的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】先求出正四面體的內(nèi)切球半徑和外接球半徑，再利用向量的線性運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而可求得結(jié)論.【詳解】設(shè)是正四面體內(nèi)切球的球心，正四面體的內(nèi)切球半徑為，外接球半徑為，如圖,將正四面體置于正方體中,正四面體的外接球即為正方體的外接球,正方體的體對(duì)角線為球的直徑,因?yàn)檎拿骟w的邊長(zhǎng)為1,所以正方體的棱長(zhǎng)為,正方體對(duì)角線長(zhǎng)為,故.正四面體的體積從而正四面體的高滿足:.將正四面體分割成以球心為頂點(diǎn),以正四面體的四個(gè)面為底面的四個(gè)相同的三棱錐,它們的底面與正四面體的底面相同,高為內(nèi)切球的半徑,故.而外接球可以利用,，解得.故正四面體的內(nèi)切球半徑為，正四面體的外接球半徑為，則又因?yàn)?，所以，故，即，所以是正四面體內(nèi)切球上一點(diǎn)，故的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：找出正四面體的內(nèi)切球半徑和外接球半徑是關(guān)鍵，用向量法轉(zhuǎn)換為是難點(diǎn)，本題主要考查多面體的內(nèi)切球和外切球的問題，考查空間想象能力，屬于較難題.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）由已知求出等差數(shù)列的公差，公式法得數(shù)列通項(xiàng)；（2）由累乘法求出的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消求其前項(xiàng)和.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，所以的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】由得，，所以，又，所以.由，得.16.如圖，四棱錐中，平面平面為等邊三角形，，是棱的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求平面與平面所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦定理、勾股定理的逆定理，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理、線面垂直的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】在梯形中，設(shè)，由，，，即，所以可得.又平面平面，平面平面平面，所以平面，平面，所以平面平面又等邊是棱的中點(diǎn)，所以，平面平面平面，所以平面，平面，故.【小問2詳解】取中點(diǎn)，易知，所以平面，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，由（1）知平面的一個(gè)法向量是，又設(shè)是平面的法向量，則，令，可得，所以，故平面與平面所成角的余弦值為.17.許多小朋友熱衷于“套娃娃”游戲.在一個(gè)套娃娃的攤位上，若規(guī)定小朋友套娃娃成功1次或套4次后游戲結(jié)束，每次套娃娃成功的概率為，每次套娃娃費(fèi)用是10元.（1）記隨機(jī)變量為小朋友套娃娃的次數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）假設(shè)每個(gè)娃娃價(jià)值18元，每天有30位小朋友到此攤位玩套娃娃游戲，求攤主每天利潤(rùn)期望.【答案】（1）分布列見解析，（2）元【解析】【分析】（1）先確定隨機(jī)變量，再分別求對(duì)應(yīng)概率，列表得分布列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式得結(jié)果；（2）間接法求出一個(gè)小朋友套娃娃成功的概率，從而計(jì)算一個(gè)小朋友的利潤(rùn)，再計(jì)算總利潤(rùn).【小問1詳解】由題意知，隨機(jī)變量的取值為，則，即的分布列為1234所以.【小問2詳解】易知小朋友套娃娃未成功的概率為.，則小朋友套娃娃成功的概率為.記攤主每天利潤(rùn)為元，則的期望為，故攤主每天利潤(rùn)的期望為元.18.如圖，已知橢圓，雙曲線是的右頂點(diǎn)，過(guò)作直線分別交和于點(diǎn)，過(guò)作直線分別交和于點(diǎn)，設(shè)的斜率分別為.（1）若直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，求的值；（2）若，求四邊形面積的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出橢圓右焦點(diǎn)，從而設(shè)出直線方程為，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理可得根與系數(shù)的關(guān)系式，從而代入可求解；（2）設(shè)出直線方程，分別與與橢圓方程聯(lián)立，求得的表達(dá)式，再代入四邊形面積公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可求得結(jié)論.【小問1詳解】橢圓，右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，設(shè)的斜率分別為.設(shè)，則，因?yàn)橹本€方程過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，所以直線方程為，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得：，所以.【小問2詳解】設(shè)，直線方程分別為，聯(lián)立與得，同理，聯(lián)立與得，同理，所以四邊形面積為令，易知，且，則，令，，則在內(nèi)，，，所以關(guān)于單調(diào)遞增，所以，當(dāng)取最小值時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二小問中，設(shè)，分別設(shè)出直線方程是關(guān)鍵，難點(diǎn)在與代入四邊形面積公式后的化簡(jiǎn)計(jì)算，本題考查了函數(shù)與方程的思想，屬于較難題.19.設(shè)實(shí)數(shù)，已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；（2）若在上恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，則有，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求出結(jié)果；（2）由，得到，構(gòu)造函數(shù)，從而將問題轉(zhuǎn)化成，對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，再對(duì)進(jìn)行論，即可求出結(jié)果；法二：先證明，對(duì)求導(dǎo)，再對(duì)進(jìn)行論，通過(guò)求的最值，即可解決問題.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，所以，所以所求切線方程為，即.【小問2詳解】由得，（*）令，則，易知在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，所以不等式?）等價(jià)于，也等價(jià)于，即，又，所以在上單