吉林省吉林市第二中學(xué)2023-2024學(xué)年高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題含解析

吉林省吉林市第二中學(xué)2023-2024學(xué)年高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某幾何體的三視圖如圖所示，若圖中小正方形的邊長均為1，則該幾何體的體積是A． B． C． D．2．若集合，則=（）A． B． C． D．3．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A． B．C． D．4．2019年某校迎國慶70周年歌詠比賽中，甲乙兩個合唱隊每場比賽得分的莖葉圖如圖所示（以十位數(shù)字為莖，個位數(shù)字為葉）.若甲隊得分的中位數(shù)是86，乙隊得分的平均數(shù)是88，則（）A．170 B．10 C．172 D．125．已知甲、乙兩人獨立出行，各租用共享單車一次（假定費用只可能為、、元）．甲、乙租車費用為元的概率分別是、，甲、乙租車費用為元的概率分別是、，則甲、乙兩人所扣租車費用相同的概率為（）A． B． C． D．6．的展開式中，含項的系數(shù)為（）A． B． C． D．7．若復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則的虛部為（）A． B． C． D．8．設(shè)是定義域為的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，，則（）A． B．C． D．9．在中所對的邊分別是，若，則（）A．37 B．13 C． D．10．已知拋物線的焦點為，是拋物線上兩個不同的點，若，則線段的中點到軸的距離為（）A．5 B．3 C． D．211．已知為虛數(shù)單位，實數(shù)滿足，則()A．1 B． C． D．12．已知焦點為的拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點，點在拋物線上，則當(dāng)取得最大值時，直線的方程為（）A．或 B．或 C．或 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)、、、、是表面積為的球的球面上五點，四邊形為正方形，則四棱錐體積的最大值為__________.14．已知全集，集合則_____．15．的展開式中常數(shù)項是___________.16．若滿足約束條件，則的最小值是_________，最大值是_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）誠信是立身之本，道德之基，我校學(xué)生會創(chuàng)設(shè)了“誠信水站”，既便于學(xué)生用水，又推進誠信教育，并用“”表示每周“水站誠信度”，為了便于數(shù)據(jù)分析，以四周為一周期，如表為該水站連續(xù)十二周（共三個周期）的誠信數(shù)據(jù)統(tǒng)計：第一周第二周第三周第四周第一周期第二周期第三周期（Ⅰ）計算表中十二周“水站誠信度”的平均數(shù)；（Ⅱ）若定義水站誠信度高于的為“高誠信度”，以下為“一般信度”則從每個周期的前兩周中隨機抽取兩周進行調(diào)研，計算恰有兩周是“高誠信度”的概率；（Ⅲ）已知學(xué)生會分別在第一個周期的第四周末和第二個周期的第四周末各舉行了一次“以誠信為本”的主題教育活動，根據(jù)已有數(shù)據(jù)，說明兩次主題教育活動的宣傳效果，并根據(jù)已有數(shù)據(jù)陳述理由.18．（12分）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，求的面積的值（或最大值）．已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，三邊，，與面積滿足關(guān)系式：，且，求的面積的值（或最大值）．19．（12分）已知函數(shù)，．（1）若，，求實數(shù)的值．（2）若，，求正實數(shù)的取值范圍．20．（12分）如圖，已知在三棱錐中，平面，分別為的中點，且.（1）求證：；（2）設(shè)平面與交于點，求證：為的中點.21．（12分）眼保健操是一種眼睛的保健體操，主要是通過按摩眼部穴位，調(diào)整眼及頭部的血液循環(huán)，調(diào)節(jié)肌肉，改善眼的疲勞，達到預(yù)防近視等眼部疾病的目的.某學(xué)校為了調(diào)查推廣眼保健操對改善學(xué)生視力的效果，在應(yīng)屆高三的全體800名學(xué)生中隨機抽取了100名學(xué)生進行視力檢查，并得到如圖的頻率分布直方圖.（1）若直方圖中后三組的頻數(shù)成等差數(shù)列，試估計全年級視力在5.0以上的人數(shù)；（2）為了研究學(xué)生的視力與眼保健操是否有關(guān)系，對年級不做眼保健操和堅持做眼保健操的學(xué)生進行了調(diào)查，得到下表中數(shù)據(jù)，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，能否在犯錯的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為視力與眼保健操有關(guān)系？（3）在（2）中調(diào)查的100名學(xué)生中，按照分層抽樣在不近視的學(xué)生中抽取8人，進一步調(diào)查他們良好的護眼習(xí)慣，在這8人中任取2人，記堅持做眼保健操的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.87922．（10分）已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】該幾何體是直三棱柱和半圓錐的組合體，其中三棱柱的高為2，底面是高和底邊均為4的等腰三角形，圓錐的高為4，底面半徑為2，則其體積為，.故選B點睛：由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進行調(diào)整.2、C【解析】

求出集合，然后與集合取交集即可．【詳解】由題意，，，則，故答案為C.【點睛】本題考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．3、B【解析】

由題意首先確定幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征，然后結(jié)合空間結(jié)構(gòu)特征即可求得其表面積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體為邊長為正方體挖去一個以為球心以為半徑球體的，如圖，故其表面積為，故選：B.【點睛】(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進行恰當(dāng)?shù)姆治?，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理．(3)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計算側(cè)面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和．4、D【解析】

中位數(shù)指一串?dāng)?shù)據(jù)按從?。ù螅┑酱螅ㄐ。┡帕泻?，處在最中間的那個數(shù)，平均數(shù)指一串?dāng)?shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù).【詳解】由莖葉圖知，甲的中位數(shù)為，故；乙的平均數(shù)為，解得，所以.故選：D.【點睛】本題考查莖葉圖的應(yīng)用，涉及到中位數(shù)、平均數(shù)的知識，是一道容易題.5、B【解析】

甲、乙兩人所扣租車費用相同即同為1元，或同為2元，或同為3元，由獨立事件的概率公式計算即得．【詳解】由題意甲、乙租車費用為3元的概率分別是，∴甲、乙兩人所扣租車費用相同的概率為．故選：B．【點睛】本題考查獨立性事件的概率．掌握獨立事件的概率乘法公式是解題基礎(chǔ)．6、B【解析】

在二項展開式的通項公式中，令的冪指數(shù)等于，求出的值，即可求得含項的系數(shù)．【詳解】的展開式通項為，令，得，可得含項的系數(shù)為.故選：B.【點睛】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．7、A【解析】

由得,然后分子分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù)可得復(fù)數(shù),從而可得的虛部.【詳解】因為,所以,所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選A.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運算和復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.復(fù)數(shù)除法運算的方法是分子分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù),轉(zhuǎn)化為乘法運算.8、C【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，比較即可.【詳解】解：顯然，所以是定義域為的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，所以故選：C【點睛】本題考查對數(shù)的運算及偶函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.9、D【解析】

直接根據(jù)余弦定理求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故選：D．【點睛】本題主要考查余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題．10、D【解析】

由拋物線方程可得焦點坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程,由拋物線的定義可知,繼而可求出,從而可求出的中點的橫坐標(biāo),即為中點到軸的距離.【詳解】解：由拋物線方程可知，，即，.設(shè)則，即，所以.所以線段的中點到軸的距離為.故選:D.【點睛】本題考查了拋物線的定義，考查了拋物線的方程.本題的關(guān)鍵是由拋物線的定義求得兩點橫坐標(biāo)的和.11、D【解析】，則故選D.12、A【解析】

過作與準(zhǔn)線垂直，垂足為，利用拋物線的定義可得，要使最大，則應(yīng)最大，此時與拋物線相切，再用判別式或?qū)?shù)計算即可.【詳解】過作與準(zhǔn)線垂直，垂足為，，則當(dāng)取得最大值時，最大，此時與拋物線相切，易知此時直線的斜率存在，設(shè)切線方程為，則.則，則直線的方程為.故選：A.【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，涉及到拋物線的定義，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)球的表面積求得球的半徑，設(shè)球心到四棱錐底面的距離為，求得四棱錐的表達式，利用基本不等式求得體積的最大值.【詳解】由已知可得球的半徑，設(shè)球心到四棱錐底面的距離為，棱錐的高為，底面邊長為，的體積，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故答案為：【點睛】本小題主要考查球的表面積有關(guān)計算，考查球的內(nèi)接四棱錐體積的最值的求法，屬于中檔題.14、【解析】

根據(jù)補集的定義求解即可.【詳解】解：．故答案為．【點睛】本題主要考查了補集的運算,屬于基礎(chǔ)題.15、-160【解析】試題分析：常數(shù)項為.考點：二項展開式系數(shù)問題.16、06【解析】

作不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，即可求出結(jié)果．【詳解】作出可行域，如圖中的陰影部分：求的最值，即求直線在軸上的截距最小和最大時，當(dāng)直線過點時，軸上截距最大，即z取最小值，．當(dāng)直線過點時，軸上截距最小，即z取最大值，.故答案為：0；6.【點睛】本題主要考查了線性規(guī)劃中的最值問題，利用數(shù)形結(jié)合是解決問題的基本方法，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）兩次活動效果均好，理由詳見解析.【解析】

（Ⅰ）結(jié)合表中的數(shù)據(jù)，代入平均數(shù)公式求解即可；（Ⅱ）設(shè)抽到“高誠信度”的事件為，則抽到“一般信度”的事件為，則隨機抽取兩周，則有兩周為“高誠信度”事件為，利用列舉法列出所有的基本事件和事件所包含的基本事件，利用古典概型概率計算公式求解即可；（Ⅲ）結(jié)合表中的數(shù)據(jù)判斷即可.【詳解】（Ⅰ）表中十二周“水站誠信度”的平均數(shù).（Ⅱ）設(shè)抽到“高誠信度”的事件為，則抽到“一般信度”的事件為，則隨機抽取兩周均為“高誠信度”事件為，總的基本事件為共15種，事件所包含的基本事件為共10種，由古典概型概率計算公式可得，.（Ⅲ）兩次活動效果均好.理由：活動舉辦后，“水站誠信度'由和看出，后繼一周都有提升.【點睛】本題考查平均數(shù)公式和古典概型概率計算公式；考查運算求解能力；利用列舉法正確列舉出所有的基本事件是求古典概型概率的關(guān)鍵；屬于中檔題、?？碱}型.18、見解析【解析】

若選擇①，結(jié)合三角形的面積公式，得，化簡得到，則，又，從而得到，將代入，得．又，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．∴，故的面積的最大值為，此時．若選擇②，，結(jié)合三角形的面積公式，得，化簡得到，則，又，從而得到，則，此時為等腰直角三角形，.若選擇③，，則結(jié)合三角形的面積公式，得，化簡得到，則，又，從而得到，則．19、（1）1（2）【解析】

（1）求得和，由，，得，令，令導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，利用，即可求解．（2）解法一：令，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為，令（），利用導(dǎo)數(shù)得到的單調(diào)性，分類討論，即可求解．解法二：可利用導(dǎo)數(shù)，先證明不等式，，，，令（），利用導(dǎo)數(shù)，分類討論得出函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解．【詳解】（1）由題意，得，，由，…①，得，令，則，因為，所以在單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．故方程①有且僅有唯一解，實數(shù)的值為1．（2）解法一：令（），則，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增;當(dāng)時，，單調(diào)遞減;故．令（），則．（i）若時，，在單調(diào)遞增，所以，滿足題意．（ii）若時，，滿足題意．（iii）若時，，在單調(diào)遞減，所以．不滿足題意．綜上述：．解法二：先證明不等式，，，…（*）．令，則當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，即．變形得，，所以時，，所以當(dāng)時，.又由上式得，當(dāng)時，，，.因此不等式（*）均成立．令（），則，（i）若時，當(dāng)時，，單調(diào)遞增;當(dāng)時，，單調(diào)遞減;故．（ii）若時，，在單調(diào)遞增，所以．因此，①當(dāng)時，此時，，，則需由（*）知，，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），所以．②當(dāng)時，此時，，則當(dāng)時，（由（*）知）；當(dāng)時，（由（*）知）．故對于任意，．綜上述：．【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計算能力，對于恒成立問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．20、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】

（1）要做證明，只需證明平面即可；（2）易得∥平面，平面，利用線面平行的性質(zhì)定理即可得到∥，從而獲得證明【詳解】證明：（1）因為平面，平面，所以.因為，所以.又因為，平面，平面，所以平面.又因為平面，所以.（2）因為平面與交于點，所以平面.因為分別為的中點，所以∥.又因為平面，平面，所以∥平面.又因為平面，平面平面，所以∥，又因為是的中點，所以為的中點.【點睛】本題考查線面垂直的判定定理以及線面平行的性質(zhì)定理，考查學(xué)生的邏輯推理能力，是一道容易題.21、（1）（2）