北京第一三〇中學(xué)高三數(shù)學(xué)理知識點試題含解析

北京第一三〇中學(xué)高三數(shù)學(xué)理知識點試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知地鐵列車每10min一班，在車站停1min.則乘客到達站臺立即乘上車的概率是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A2.函數(shù)y=f（x）的圖象是圓心在原點的單位圓的兩段?。ㄈ鐖D），則不等式f（x）＜f（﹣x）+2x的解集為（） A． B． C． D． 參考答案：考點： 其他不等式的解法．專題： 計算題；轉(zhuǎn)化思想．分析： 根據(jù)圖象得知是奇函數(shù)，據(jù)此將“不等式f（x）＜f（﹣x）+2x”轉(zhuǎn)化為“f（x）＜x”，再令y=f（x），y=x，利用圖象求解．解答： 解：如圖所示：函數(shù)是奇函數(shù)∴不等式f（x）＜f（﹣x）+2x可轉(zhuǎn)化為：f（x）＜x，令y=f（x），y=x如圖所示：故選A．點評： 本題主要考查利用函數(shù)圖象的相對位置關(guān)系來解不等式，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為特定的基本函數(shù)，能畫其圖象．3.設(shè)非空集合P，Q滿足P∩Q=P，則（）A．?x∈Q，有x∈P B．?x?Q，有x?PC．?x0?Q，使得x0∈P D．?x0∈P，使得x0?P參考答案：B【考點】2I：特稱命題．【分析】根據(jù)交集運算結(jié)果判定集合關(guān)系，再結(jié)合Venn圖判斷元素與集合的關(guān)系即可．【解答】解：∵P∩Q=P，∴P?Q∴A錯誤；B正確；C錯誤；D錯誤．故選B．【點評】本題考查命題真假的判斷，考查子集的關(guān)系．4.設(shè)集合，，則MN=（

）

A．{}

B．{}

C．{}

D．{}參考答案：A略5.的展開式中不含項的系數(shù)的和為（

）A.33 B.32 C.31 D.－1參考答案：A令，得所有項的系數(shù)和為，又由通項公式，其中可取.，，，，，令，得，所以不含項的系數(shù)的和為.試題立意：本小題考查二項式定理及其求展開式系數(shù)等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力.6.已知集合，則（

）

B.

參考答案：A略7.如下圖，將半徑為l的圓分成相等的四段弧，再將四段弧圍成星形放在圓內(nèi)（陰影部分）．現(xiàn)在往圓內(nèi)任投一點，此點落在星形區(qū)域內(nèi)的概率為A.

B.

C.

D.參考答案：A8.設(shè)，，則“”是“”的(

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A略9.已知全集，則集合{1，6}=（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C略10.如圖，與圓相切于點，直線交圓于兩點，弦垂直

于．則下面結(jié)論中，錯誤的結(jié)論是（

）A．∽

B．

C． D．參考答案：略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若曲線f（x）=ax2﹣lnx存在垂直于y軸的切線，則實數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：a＞0【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【專題】計算題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】由曲線f（x）=ax2﹣lnx存在垂直于y軸的切線，故f′（x）=0有實數(shù)解，運用參數(shù)分離，根據(jù)函數(shù)的定義域即可解出a的取值范圍．【解答】解：∵曲線f（x）=ax2﹣lnx存在垂直于y軸的切線，（x＞0）∴f′（x）=2ax﹣=0有解，即得a=有解，∵x＞0，∴＞0，即a＞0．∴實數(shù)a的取值范圍是a＞0．故答案為：a＞0．【點評】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，函數(shù)零點等有關(guān)基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．12.已知直線與圓相交于A，B兩點（C為圓心），且△ABC為等腰直角三角形，則實數(shù)a的值為________.參考答案：【分析】根據(jù)三角形為等腰直角三角形可知圓心到直線的距離等于半徑的，由此列方程，解方程求得的值.【詳解】由于三角形為等腰直角三角形，所以圓心到直線的距離等于半徑的.直線的一般方程為，圓的方程為，圓心為，半徑為.故，解得.【點睛】本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查點到直線的距離公式，屬于中檔題.13.已知函數(shù)若有則的取值范圍為

．參考答案：略14.設(shè)常數(shù)展開式中的系數(shù)為，則

。參考答案：0.5略15.已知等差數(shù)列{},滿足,則此數(shù)列的前項的和

.參考答案：3516.在四邊形ABCD中，已知M是AB邊上的點，且，，若點N在線段CD上，則的取值范圍是______.參考答案：17.曲線在點處的切線與直線垂直，則

．參考答案：1由x2=4y得，y=，則，∴在點P（m，n）處的切線斜率k=，∵曲線x2=4y在點P（m，n）處的切線與直線2x+y﹣1=0垂直，∴×（﹣2）=﹣1，解得m=1，故答案為：1．【考查方向】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：在切點處的斜率就是該點處的導(dǎo)數(shù)值，以及直線垂直的條件，屬于基礎(chǔ)題．【易錯點】導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線垂直關(guān)系的條件?！窘忸}思路】由x2=4y得y=，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)題意和導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程求出m的值．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)證明:當(dāng)，且時，恒成立.參考答案：（1）見解析（2）見解析分析：(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）由（1）可知當(dāng)時，在上單調(diào)減，再令，證明，即可得到所要證明的結(jié)論.詳解：（1），當(dāng)時，的增區(qū)間，無減區(qū)間當(dāng)時，增區(qū)間，減區(qū)間（2）當(dāng)由（1）可知當(dāng)時，在上單調(diào)減，再令在上，，遞增，所以所以恒成立，當(dāng)時取等號，所以，原不等式恒成立.點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道中檔題．19.（12分）已知中心在坐標(biāo)原點O的橢圓C經(jīng)過點A（2，3），且點F（2，0）為其右焦點。（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在平行于OA的直線，使得直線與橢圓C有公共點，且直線OA與的距離等于4？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由。參考答案：（1）設(shè)橢圓方程為，則依題意有，，得到：，所以橢圓方程為?！?分（2）依題意，設(shè)直線的方程為，它與OA相距4,可以得到。[………………8分科.另一方面，聯(lián)立，若直線與橢圓有交點，則，得到：，因為，所以不存在這樣的直線滿足題目要求。………………12分略20.已知函數(shù)．（1）求f（x）的最小正周期和值域；（2）若x=x0為f（x）的一個零點，求sin2x0的值．參考答案：解：（1）易得===，所以f（x）周期π，值域為；（2）由，得，又由得，所以，故，此時，===略21.某工廠某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元，每生產(chǎn)x千件，需另投入成本為C（x），當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時，C（x）=（萬元）．當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時，C（x）=51x+（萬元）．每件商品售價為0.05萬元．通過市場分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完．（Ⅰ）寫出年利潤L（x）（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)解析式；（Ⅱ）年產(chǎn)量為多少千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？參考答案：【考點】函數(shù)最值的應(yīng)用．【專題】應(yīng)用題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）分兩種情況進行研究，當(dāng)0＜x＜80時，投入成本為C（x）=（萬元），根據(jù)年利潤=銷售收入﹣成本，列出函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)x≥80時，投入成本為C（x）=51x+，根據(jù)年利潤=銷售收入﹣成本，列出函數(shù)關(guān)系式，最后寫成分段函數(shù)的形式，從而得到答案；（Ⅱ）根據(jù)年利潤的解析式，分段研究函數(shù)的最值，當(dāng)0＜x＜80時，利用二次函數(shù)求最值，當(dāng)x≥80時，利用基本不等式求最值，最后比較兩個最值，即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）∵每件商品售價為0.05萬元，∴x千件商品銷售額為0.05×1000x萬元，①當(dāng)0＜x＜80時，根據(jù)年利潤=銷售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣﹣10x﹣250=+40x﹣250；②當(dāng)x≥80時，根據(jù)年利潤=銷售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）．綜合①②可得，L（x）=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，①當(dāng)0＜x＜80時，L（x）=+40x﹣250=﹣，∴當(dāng)x=60時，L（x）取得最大值L（60）=950萬元；②當(dāng)x≥80時，L（x）=1200﹣（x+）≤1200﹣2=1200﹣200=10