廣東省湛江市東升中學高三數(shù)學文測試題含解析

廣東省湛江市東升中學高三數(shù)學文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合，，則集合（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C2.分別是雙曲線：的左、右焦點，為雙曲線右支上一點，且，則的周長為（

）A．15

B．16

C.

17

D．18參考答案：D3.已知變量、滿足約束條件，則的最大值為Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．4參考答案：D略4.命題“”的否定是（

）A．B．C．D．參考答案：B考點：簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞試題解析：因為命題“”的否定是

故答案為：B5.若復數(shù)z滿足(3－4i)z＝|4＋3i|，則z的虛部為 ( )A、－4 （B）－ （C）4 （D）參考答案：D6.若存在一個實數(shù)，使得成立，則稱為函數(shù)的一個不動點，設函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)），定義在上的連續(xù)函數(shù)滿足，且當時，.若存在，且為函數(shù)的一個不動點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B∵f（﹣x）+f（x）=x2∴令F（x）=f（x）﹣x2，∴f（x）﹣x2=﹣f（﹣x）+x2∴F（x）=﹣F（﹣x），即F（x）為奇函數(shù)，∵F′（x）=f′（x）﹣x，且當x≤0時，f′（x）＜x，∴F′（x）＜0對x＜0恒成立，∵F（x）為奇函數(shù)，∴F（x）在R上單調(diào)遞減，∵f（x）+≥f（1﹣x）+x，∴f（x）+﹣x2≥f（1﹣x）+x﹣x2，即F（x）≥F（1﹣x），∴x≤1﹣x，x0≤，∵為函數(shù)的一個不動點∴g（x0）=x0，即h（x）==0在（﹣∞，]有解．∵h′（x）=ex-，∴h（x）在R上單調(diào)遞減．∴h（x）min=h（）=﹣a≤0即可，∴a≥．故選：B點睛：已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．7.已知點在直線上，其中，則的最小值為

（

）A.

B.8

C.9

D.12參考答案：B8.設是虛數(shù)單位，復數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)為

(

)A.

B.

C.

D.參考答案：D略9.投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A,“骰子向上的點數(shù)是3”為事件B,則事件A，B中至少有一個發(fā)生的概率是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：10.已知過拋物線焦點的直線交拋物線于、兩點（點在第一象限），若，則直線的斜率為（

）（A）

（B） （C）

（D）參考答案：D設，則，又，，選D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設=

參考答案：略12.在△ABC中，已知|AB|=2，，則△ABC面積的最大值為

．參考答案：【考點】9S：數(shù)量積表示兩個向量的夾角；93：向量的模；HP：正弦定理．【分析】由題意可得：|AC|=|BC|，設△ABC三邊分別為2，a，a，三角形面積為S，根據(jù)海侖公式得：16S2=﹣a4+24a2﹣16=﹣（a2﹣12）2+128，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出答案即可．【解答】解：由題意可得：|AC|=|BC|，設△ABC三邊分別為2，a，a，三角形面積為S，所以設p=所以根據(jù)海侖公式得：S==，所以16S2=﹣a4+24a2﹣16=﹣（a2﹣12）2+128，當a2=12時，即當a=2時，△ABC的面積有最大值，并且最大值為2．故答案為．13.設x，y滿足約束條件，則的最小值是________參考答案：－4【分析】根據(jù)約束條件畫出可行域，可知需確定在軸截距的最大值，通過平移可得結(jié)果，從而確定所求最小值.【詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示：將化為：可知的最小值即為在軸截距最大時的取值由圖像平移可知，當過點時，截距最大由得本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查線性規(guī)劃中的求解的最值類的問題，重點是通過平移確定取得最值的點.14.如圖()，直三棱柱的側(cè)棱長和底面邊長均為2，正視圖和俯視圖如圖(b)，(c)所示，則其左視圖的面積為_______________．參考答案：15.設，則______.參考答案：∵，∴，所以，即．16.一個底面是等腰直角三角形的直棱柱，側(cè)棱長與底面三角形的腰長相等，其體積為4，它的三視圖中俯視圖如右圖所示，側(cè)視圖是一個矩形，則這個矩形的對角線長為

．參考答案：略17.設函數(shù)（為常數(shù)，且）的部分圖象如圖所示，則的值是________.參考答案：【分析】先由周期求出ω，再由五點法作圖求出φ的值．【詳解】根據(jù)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ為常數(shù)，且A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分圖象，可得?=+，∴ω=2．再根據(jù)五點法作圖可得2×（﹣）+φ=0，∴φ=，故答案為：．【點睛】本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由周期求出ω，由五點法求出φ的值，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）已知a，b，c分別是△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的三條對邊，且c2=a2+b2﹣ab．（Ⅰ）求角C的大??；（Ⅱ）求cosA+cosB的最大值．參考答案：【考點】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）根據(jù)余弦定理直接求解角C的大?。á颍└鶕?jù)三角形內(nèi)角和定理消去B，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問題求解最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）c2=a2+b2﹣ab．即ab=a2+b2﹣c2由余弦定理：cosC==，∵0＜C＜π，∴C=．（Ⅱ）∵A+B+C=π，C=．∴B=，且A∈（0，）．那么：cosA+cosB=cosA+cos（）=sin（），∵A∈（0，）．∴，故得當=時，cosA+cosB取得最大值為1．【點評】本題主要考查了余弦定理的運用和三角函數(shù)的有界限求解最值問題．屬于基礎題．19.設函數(shù).（1）當時，設，求證：對任意的，；（2）當時，若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.參考答案：（1）證明見解析（2）（1）當時，，所以等價于.令，則，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，亦即……4分【考查方向】本題考查導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系，不等式的證明與恒成立問題，考查等價轉(zhuǎn)化能力，分類討論思想，考查構造法，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，屬于難題．【易錯點】構造函數(shù)求導數(shù)，單調(diào)性的應用。【解題思路】（1）當a=1，b=﹣1時，求得f（x）=（x2﹣2x）lnx﹣x2，原不等式等價于ex+lnx﹣e＞0，設h（x）=ex+lnx﹣e，求導，利用函數(shù)的單調(diào)性，可知h（x）＞h（1）=0，即可證明對任意的x＞1，g（x）﹣f（x）＞x2+x+e﹣ex；（2）當時，，．所以不等式等價于.方法一：令，，則.當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以根據(jù)題意，知有，∴………………8分當時，由，知函數(shù)在上單調(diào)減；由，知函數(shù)在上單調(diào)遞增.所以.由條件知，，即.設，，則，，所以在上單調(diào)遞減.又，所以與條件矛盾.綜上可知，實數(shù)的取值范圍為.………………12分方法二：令，，則在上恒成立，所以，所以.………………8分又，顯然當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以.綜上可知的取值范圍為.………………12分【考查方向】本題考查等價轉(zhuǎn)化能力，分類討論思想，利用導數(shù)處理不等式問題在解答題中主要題意為不等式上的恒成立問題，考查構造法，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，屬于難題．【易錯點】恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化，構造法的應用，分類討論的分析。【解題思路】（2）當b=2時，f（x）=（x2﹣2ax）lnx+2x2，a∈R．將不等式轉(zhuǎn)化成，（2x2﹣4ax）lnx+x2﹣a＞0，利用導數(shù)求得左邊函數(shù)的最小值為1﹣a＞0，a＜1．20.（14分）已知數(shù)列{an}中，a1=3，an+1=2an﹣1（n≥1）（Ⅰ）設bn=an﹣1（n=1，2，3…），求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項公式（Ⅲ）設，求證：數(shù)列{cn}的前n項和．參考答案：【考點】數(shù)列遞推式；等比關系的確定；數(shù)列與不等式的綜合．【專題】綜合題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（Ⅰ）將an+1=2an﹣1轉(zhuǎn)化an+1﹣1=2（an﹣1），即可證得結(jié)論；（Ⅱ）由（Ⅰ），即可求數(shù)列{an}的通項公式（Ⅲ）利用裂項法求和，即可得到結(jié)論．【解答】（Ⅰ）證明：∵an+1=2an﹣1（n≥1）∴兩邊同時減去1，得an+1﹣1=2（an﹣1）又a1﹣1=2，bn=an﹣1∴{bn}是以a1﹣1=2為首項，q=2為公比的等比數(shù)列，（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知an﹣1=2n，∴an=2n+1（n∈N*）（Ⅲ）證明：=﹣∴Sn=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣＜即【點評】本題考查等比數(shù)列定義，考查數(shù)列的通項與求和，考查學生的計算能力，屬于中檔題．21.（2017?寧城縣一模）已知橢圓E的中心在原點，焦點F1、F2在x軸上，離心率為，在橢圓E上有一動點A與F1、F2的距離之和為4，（Ⅰ）求橢圓E的方程；（Ⅱ）過A、F1作一個平行四邊形，使頂點A、B、C、D都在橢圓E上，如圖所示．判斷四邊形ABCD能否為菱形，并說明理由．參考答案：【考點】直線與橢圓的位置關系．【分析】（Ⅰ）由橢圓離心率為，在橢圓E上有一動點A與F1、F2的距離之和為4，列出方程組，求出a=2，b=，由此能求出橢圓E的方程．（Ⅱ）由F1（﹣1，0），令直線AB的方程為x=my﹣1，聯(lián)立方程組，得（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，由此利用韋達定理、直線垂直的性質(zhì)，結(jié)合已知條件能求出四邊形ABCD不能是菱形．【解答】解：（Ⅰ）∵橢圓E的中心在原點，焦點F1、F2在x軸上，離心率為，在橢圓E上有一動點A與F1、F2的距離之和為4，∴由條件得a=2c，2a=4，解得a=2，b=，∴橢圓E的方程是﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）∵F1（﹣1，0），如圖，直線AB不能平行于x軸，∴令直線AB的方程為x=my﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立方程組，得（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，…（6分）∴，．…（7分）若四邊形ABCD是菱形，則OA⊥OB，即，于是有x1?x2+y1?y2=0，…（9分）又x1?x2=（my1﹣1）（my2﹣1）=m2y1?y2﹣m（y1+y2）+1，所以有（m2+1）y1y2﹣m（y1+y2）+1=0，得到=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）這個方程沒有實數(shù)解，故四邊形ABCD不能是菱形．…（12分）【點評】本題考查橢圓方程的求法，考查四邊形形是否為菱形的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意韋達定理、橢圓性質(zhì)的合理運用．22.已知函數(shù)（）在上的最小值為，當把的圖象上所有的點向右平移個單位后，得到函數(shù)的圖象．（1）求函數(shù)的解析式；（2）在△中，角，，對應的邊分別是，，，若函數(shù)在軸右側(cè)的第一個零點恰為，，求△的面積的最大值．參考答案：(1)；(2)．試題分析：(1)利用三角函數(shù)在區(qū)間上的最值求得的值，然后根據(jù)圖象平移求得函數(shù)的解析式；(2)由函數(shù)在軸右側(cè)的第一個零點恰為，得，從而求得的值，利用余弦定理結(jié)合基本不等式求得的最大值，利用三角形面積公式求得△的面積的最大值．試題解析：（1）∵函數(shù)（）在上的最小值為，∴，解