吉林省四平市2022-2023學年高二下學期期中考試數(shù)學試題（含答案）

-2023學年吉林省四平市普通高中高二（下）期中數(shù)學試卷一.單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知復數(shù)（i是虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．2．下列幾何體中，棱數(shù)最多的是（）A．五棱錐 B．三棱臺 C．三棱柱 D．四棱錐3．已知向量，，它們的夾角為，則（）A．4 B．12 C．2 D．4．2022年10月16日中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會在北京召開，為了紀念這一偉大歷史事件，義烏商品市場接到一批正方體紀念品訂單，該正方體的一個面印有黨徽圖案，相對面上印有“二十大”字樣，正方體的展開圖如圖所示，則“二十大”字樣應(yīng)該在哪個面上（）A．② B．③ C．④ D．⑤5．趙爽是我國古代數(shù)學家，大約在公元222年，趙爽在為《周髀算經(jīng)》作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱為“趙爽弦圖”．可類似地構(gòu)造如圖所示的圖形，由三個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成一個大的等邊三角形，設(shè)，若，則DF的長為（）A．9 B． C．3 D．6．已知圓錐的軸截面是一個面積為的等邊三角形，則該圓錐的表面積為（）A． B． C． D．7．在平行四邊形ABCD中，，，，，則（）A． B． C．3 D．68．在斜三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，點O滿足，且，則的面積為（）A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.（多選）9．已知復數(shù)（i為虛數(shù)單位），則下列結(jié)論正確的是（）A．z的虛部為 B．z的實部為1 C．在復平面內(nèi)z對應(yīng)的點在第一象限 D．（多選）10．下列關(guān)于平面向量的說法中，錯誤的是（）A． B．若，，則 C． D．若，則（多選）11．以直角邊長為2的等腰直角三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該三角形旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積可以為（）A． B． C． D．（多選）12．已知O是所在平面內(nèi)一點，則下列結(jié)論正確的是（）A．若，則為等腰三角形 B．若，則為鈍角三角形 C．若O是的垂心，，則 D．若，，則O的軌跡經(jīng)過的重心三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．如圖，四邊形是梯形OABC的直觀圖，四邊形是等腰梯形，且，，則梯形OABC的周長為．14．已知i為虛數(shù)單位，實數(shù)x滿足，則．15．在一個底面直徑為12cm，高為18cm的圓柱水杯中加入水后，水面高度為12cm，加入一個球型小鋼珠后水面上升到了13cm，則球型小鋼珠的半徑為cm．16．已知向量，，滿足，若對任意的實數(shù)x，都有，則的最小值為．四、解答題：本題共6個小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.17．（10分）一個圓臺形花盆盆口直徑為20cm，盆底直徑為10cm，盆壁長（指圓臺的母線長）13cm．（1）求這個圓臺形花盆的體積；（2）現(xiàn)在為了美化花盆的外觀，決定給花盆的側(cè)面涂上一層油漆，每平方米需要花費10元，給這批1萬個花盆全部涂上油漆，預(yù)計花費多少元？（第二問中取3.14）18．（12分）已知，復數(shù)（i是虛數(shù)單位）．（1）若z是純虛數(shù)，求m的值；（2）若z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，求m的取值范圍．19．（12分）已知向量，．（1）若，求k的值；（2）若，向量與的夾角為銳角，求m的取值范圍．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且的面積為．（1）求角B的大??；（2）若，，BD是的一條中線，求線段BD的長．21．（12分）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）求的最小值；（2）已知，，求邊c及的面積．22．（12分）如圖，扇形AOB所在圓的半徑為3，它所對的圓心角為，點M滿足，點N是線段OA上的一點，，點P為弧AB上的一點．（1）若P為弧AB的中點，求與夾角的余弦值；（2）求的最小值．2022-2023學年吉林省四平市普通高中高二（下）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一.單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．【分析】利用復數(shù)的四則運算法則及共軛復數(shù)的概念計算即可．【解答】解：由復數(shù)的四則運算可得：，則有．故選：D．【點評】本題主要考查共軛復數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．2．【分析】根據(jù)題意，依次分析選項中多面體的棱數(shù)，比較可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，因為五棱錐有10條棱，三棱臺有9條棱，三棱柱有9條棱，四棱錐有8條棱，所以這些幾何體中棱數(shù)最多的是五棱錐．故選：A．【點評】本題考查多面體的幾何結(jié)構(gòu)，涉及棱臺、棱錐、棱柱的定義，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】先根據(jù)已知條件計算出，然后根據(jù)化簡計算，即可得到本題的答案．【解答】解：因為向量，滿足，，且它們的夾角為，所以，所以．故選：C．【點評】本題主要考查平面向量數(shù)量積的定義與運算性質(zhì)、向量的模的公式等知識，考查了計算能力，屬于中檔題．4．【分析】把正方體的展開圖還原成正方體，能求出結(jié)果．【解答】解：把正方體的展開圖還原后，得到：②是正方體的下底面，①和⑤分別是正方體的后面和前面，黨旗和③分別是正方體的左面和右面，④是正方體的上底面，∴“二十大”字樣應(yīng)該在③的面上．故選：B．【點評】本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征、展開圖等基礎(chǔ)知識，考查空間思維能力，是基礎(chǔ)題．5．【分析】設(shè)，則根據(jù)題意可知，，，又，，再△ADB中，由余弦定理建立方程，即可求解．【解答】解：設(shè)，則根據(jù)題意可知，，，又，，∴在△ADB中，由余弦定理可得：，解得，∴．故選：A．【點評】本題考查解三角形問題，余弦定理的應(yīng)用，方程思想，屬基礎(chǔ)題．6．【分析】根據(jù)題意，設(shè)該圓錐的底面半徑為r，則該圓錐的高為，該圓錐母線長為，根據(jù)軸截面面積求出r，從而求出錐體的表面積．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)該圓錐的底面半徑為r，由于圓錐的軸截面是等邊三角形，則該圓錐的高為，該圓錐母線長為2r，又由其軸截面的面積為，則，解得或（舍去），所以該圓錐的表面積為．故選：C．【點評】本題考查圓錐的表面積計算，涉及圓錐的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題．7．【分析】以，為基底表示出，，根據(jù)向量數(shù)量積的定義和運算律可求得結(jié)果．【解答】解：∵，，∴．故選：C．【點評】本題考查了平面向量數(shù)量積的定義和運算律，屬于中檔題．8．【分析】通過正余弦定理轉(zhuǎn)化得，對變形得，兩邊同時平方得，解出，再利用三角形面積公式和向量中線公式即可得到答案．【解答】解：因為，由余弦定理得，又因為△ABC是斜三角形，所以，所以，由正弦定理得，因為，所以，所以，所以，所以，所以，因為，，化簡得，解得或（舍去），所以，設(shè)BC邊的中點為D，則，因為，所以，即O為AD的中點，所以：．故選：A．【點評】本題考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查向量法在解三角形中的應(yīng)用，考查三角形面積公式，屬中檔題．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．【分析】首先把復數(shù)化簡，得到，再根據(jù)復數(shù)的相關(guān)概念，逐個對選項求解即可．【解答】解：因為，所以虛部為5，實部為1，故A錯誤，B正確；由于，對應(yīng)的點為（1，2），所以復平面內(nèi)z對應(yīng)的點在第一象限，故C正確；又因為，故D錯誤．故選：BC．【點評】本題考查復數(shù)的運算，屬于中檔題．10．【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算律，判斷出A項的正誤；根據(jù)兩個向量平行的概念與性質(zhì)，判斷出B項的正誤；根據(jù)數(shù)量積的定義，結(jié)合舉反例加以說明，判斷出C、D兩項的正誤．【解答】解：對于A，，符合平面向量數(shù)量積的運算律，故A項正確；對于B，若，則滿足且，但是，不一定平行，故B項不正確；對于C，表示與共線的向量，表示與共線的向量，因此不一定成立，C項不正確；對于D，若，則，可知與互相垂直，不一定有，即不一定成立，故D項不正確．故選：BCD．【點評】本題主要考查平面向量平行的概念、向量的數(shù)量積的定義與運算性質(zhì)等知識，屬于中檔題．11．【分析】分兩種情況，以直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時和以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時，求出答案．【解答】解：①當以直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時，得到一個底面圓半徑為2，高為2的圓錐，圓錐的體積為；②當以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時，得到兩個同樣的圓錐，圓錐底面是以為半徑的圓，高為，旋轉(zhuǎn)體的體積為．故選：BD．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)體的體積計算問題，是基礎(chǔ)題．12．【分析】由數(shù)量積的運算判斷A，根據(jù)向量的夾角公式判斷B，由垂直向量的運算判斷C，根據(jù)正弦定理和重心的性質(zhì)判斷D．【解答】解：對于選項A，，則，則，則△ABC為等腰三角形，即選項A正確；對于選項B，，則，即，即，B為銳角，角A與角C不一定為鈍角，則△ABC的形狀不確定，即選項B不正確；對于選項C，O是△ABC的垂心，，則，即選項C正確；對于選項D，由正弦定理得，所以，設(shè)BC中點為E，則，所以，所以A，O，E三點共線，即點O在邊BC的中線上，故點O的軌跡經(jīng)過△ABC的重心，即選項D正確．故選：ACD．【點評】本題考查了平面向量數(shù)量積的運算，屬于中檔題．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．【分析】作出輔助線，計算出，作出原圖形，求出各邊長，得到答案．【解答】解：因為四邊形是等腰梯形，且，，過點作于點F，則，，所以，畫出梯形OABC，則，過點B作BE⊥OA于點E，則，，因為，所以，由勾股定理得，所以梯形OABC的周長為．故答案為：．【點評】本題主要考查平面圖形的直觀圖，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．14．【分析】根據(jù)實數(shù)才能比較大小，即可求解．【解答】解：實數(shù)x滿足，則，解得x＝6．故答案為：6．【點評】本題主要考查復數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題．15．在一個底面直徑為12cm，高為18cm的圓柱水杯中加入水后，水面高度為12cm，加入一個球型小鋼珠后水面上升到了13cm，則球型小鋼珠的半徑為3cm．【分析】由題意球的體積與容器中的水上升的體積相等，利用圓柱和球的體積公式即可求解．【解答】解：由題意，球的體積與容器中的水上升的體積相等，設(shè)小鋼珠的半徑為Rcm，則，解得．故答案為：3．【點評】本題考查了球和圓柱體積的計算，屬于基礎(chǔ)題．16．【分析】設(shè)，，則可得，，設(shè)，設(shè)，則根據(jù)題意可得：對任意的實數(shù)，都有，從而得BA垂直O(jiān)B直線，從而可得，即得，從而可得，最后再根據(jù)三角不等式，即可求解．【解答】解：設(shè)，，又，∴，，設(shè)，又對任意的實數(shù)x，都有，∴對任意的實數(shù)，都有，設(shè)，∴對任意的實數(shù)，都有，∴對任意的實數(shù)，都有，∴BA垂直O(jiān)B直線，∴，又，，∴，又，∴，∴，當且僅當與反向共線時，等號成立，∴的最小值為．故答案為：．【點評】本題考查向量的線性運算及其幾何意義，向量數(shù)量積的運算，三角不等式的應(yīng)用，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬難題．四、解答題：本題共6個小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.17．【分析】（1）根據(jù)圓臺的體積公式即可求解；（2）根據(jù)圓臺的側(cè)面積公式，即可求解．【解答】解：（1）根據(jù)題意可得圓臺高為，∴這個圓臺形花盆的體積為（cm3）；（2）根據(jù)（1）及題意可得一個圓臺的側(cè)面積為（cm2），∴這批1萬個花盆全部涂上油漆，預(yù)計花費為：（元）．【點評】本題考查圓臺的體積與側(cè)面積的求解，屬基礎(chǔ)題．18．【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合純虛數(shù)的定義，即可求解；（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合復數(shù)的幾何意義，即可求解．【解答】解：（1）因為z是純虛數(shù)，所以，解得；（2）在復平面內(nèi)z對應(yīng)的點為，由題意可得解得，故m的取值范圍是．【點評】本題主要考查純虛數(shù)的定義，以及復數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．19．【分析】（1）先求出和的坐標，再由，得，從而可求出k的值；（2）由與的夾角為銳角，可得且與不共線，從而可求出m的取值范圍．【解答】解：（1）因為，，所以，，又，所以，即，解得；（2）因為，，所以．因為向量與的夾角為銳角，所以且與不共線，所以，解得且，即m的取值范圍是．【點評】本題考查向量坐標運算法則、向量垂直的性質(zhì)、向量數(shù)量積公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．20．【分析】（1）由三角形的面積及余弦定理可得角B的大小；（2）由向量的方法求出，平方可得BD的大?。窘獯稹拷猓海?）因為，由余弦定理可得，可得，而，可得；（2）因為BD為三角形的中線，所以，所以，即．【點評】本題考查三角形的面積及余弦定理的應(yīng)用及用向量的方法求中線的值，屬于中檔題．21．【分析】（1）由已知條件結(jié)合兩角和的余弦公式可得，而，再利用基本不等式可求得其最小值；（2）由求出，從而可求出，再由可求出，然后利用角三角函數(shù)的關(guān)系可求出，，利用正弦定理可求得c，再利用三角函數(shù)恒等變換公式可求出，從而可求出三角形的面積．【解答】解：（1）因為，所以，即，則，所以（當且僅當時符號成立），則的最小值為1；（2）由，，所以，所以，由（1）可知，