差商及插值多項(xiàng)式

關(guān)于差商及插值多項(xiàng)式一般地，稱k-1

階差商的一階差商為f(x)關(guān)于點(diǎn)的k

階差商。例如，已知f(x)在的函數(shù)值為：可以求得第2頁,共20頁，2024年2月25日，星期天2.差商的性質(zhì)性質(zhì)1：k階差商是由函數(shù)值的線性組合而成，即其中以k=2進(jìn)行證明。由得到第3頁,共20頁，2024年2月25日，星期天由得到從而第4頁,共20頁，2024年2月25日，星期天由性質(zhì)1立刻可得。

性質(zhì)2:差商具有對稱性,即k階差商f[x0,

x1

,…,xk-1

,xk]中，任意調(diào)換xi,xj

的次序，其值不變。再由數(shù)學(xué)歸納法可證得：第5頁,共20頁，2024年2月25日，星期天

性質(zhì)3：若f(x)為n次多項(xiàng)式，則f[x,x0]為關(guān)于x的n-1次多項(xiàng)式。證明：已知故類似的可以得到：也就是說，對多項(xiàng)式求一次差商，次數(shù)降低一次。由于是的根，所以第6頁,共20頁，2024年2月25日，星期天3.差商的計(jì)算

為構(gòu)造Newton

插值多項(xiàng)式方便起見，計(jì)算差商時，采用列表的方式進(jìn)行。

第7頁,共20頁，2024年2月25日，星期天

例2.2

已知函數(shù)y=f(x)

的如下離散數(shù)據(jù)(1,0)、(2,2)、(4,12)、(5,20)、(6,70)，試求其各階差商.

解：列差商表計(jì)算xy一階差商二階差商三階差商四階差商1022412520670

2

5

8

50

1

1

21

0

5

1第8頁,共20頁，2024年2月25日，星期天二、Newton

插值多項(xiàng)式

對于區(qū)間[a,b]內(nèi)的離散點(diǎn)及相應(yīng)的函數(shù)值，計(jì)算如下差商：可以求得：第9頁,共20頁，2024年2月25日，星期天第10頁,共20頁，2024年2月25日，星期天依次類推得到：令：則可以將函數(shù)f(x)

表示成：第11頁,共20頁，2024年2月25日，星期天由如上構(gòu)造，容易驗(yàn)證因此Nn(x)

滿足插值條件，是一個n次插值多項(xiàng)式。并稱為n次Newton插值多項(xiàng)式。如果f(x)≈Nn(x),則誤差為：

☆第12頁,共20頁，2024年2月25日，星期天關(guān)于Newton插值多項(xiàng)式，有以下幾個特點(diǎn)：1

Newton插值多項(xiàng)式與同次Lagrange插值多項(xiàng)式相同，因而誤差相同因?yàn)镹ewton插值多項(xiàng)式與Lagrange插值多項(xiàng)式滿足相同的插值條件，由插值多項(xiàng)式的存在唯一性知因此，Newton插值多項(xiàng)式與Lagrange插值多項(xiàng)式的誤差相同。這樣，由

Nn(x)=Ln(x)得到第13頁,共20頁，2024年2月25日，星期天這個表達(dá)式給出了n+1

階差商與n+1

階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系式。例3已知，試求其如下差商解：由差商與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式得到練習(xí)：提示：第14頁,共20頁，2024年2月25日，星期天2.

Newton插值多項(xiàng)式具有遞推式由可知所以，具有遞推公式：第15頁,共20頁，2024年2月25日，星期天所以，具有遞推公式：由此可知：當(dāng)求出n次插值多項(xiàng)式后，再增加一個節(jié)點(diǎn)時，只需要增加一項(xiàng)的計(jì)算即可。由Newton插值多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)可以看出，在構(gòu)造Newton插值多項(xiàng)式時，必須首先計(jì)算各階差商。3.

Newton插值多項(xiàng)式的計(jì)算第16頁,共20頁，2024年2月25日，星期天

例4已知f(x)

的五組數(shù)據(jù)(1,0)、(2,2)、(3,12)、(4,42)、(5,116),求N4(x)。如果再增加一個節(jié)點(diǎn)(6,282),求出N5(x)，并計(jì)算N4(1.5)、N5(1.5).解：先由前五組數(shù)據(jù)列差商表10223124425116210307441022240.5得到：如果，再增加一點(diǎn)(6,282),就在上表中增加一行計(jì)算差商。628216646810.1第17頁,共20頁，2024年2月25日，星期天由Newton公式的遞推式得到：得到：練習(xí)題：已知離散數(shù)據(jù)(1,0)、(2,2)、(4，12）、(5,20)

求三次Newton插值多項(xiàng)式，增加一點(diǎn)(6,70)后，再求出四次Newton插值多項(xiàng)式。第18頁,共20頁，2024年2月25日，星期天本節(jié)(§3)要點(diǎn)1.掌握差商及其性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)與差商的關(guān)系2.掌握Newton

插值多項(xiàng)式的構(gòu)造方法及具體結(jié)構(gòu)3.掌握Newton插值多項(xiàng)式的誤差結(jié)果4.編寫Newton插值多項(xiàng)式計(jì)算程序進(jìn)行實(shí)際計(jì)算思考題：如何實(shí)現(xiàn)差商