信號的描述方法

關于信號的描述方法

在工程和科學研究中，經(jīng)常要對許多客觀存在的物體或物理過程進行觀測，就是為了獲取有關研究對象狀態(tài)與運動等特征方面的信息。被研究對象的信息量往往是非常豐富的，測試工作是按一定的目的和要求，獲取信號中感興趣的、有限的某些特定信息，而不是全部信息。為了達到測試目的，需要研究信號的各種描述方式，本章介紹信號基本的時域和頻域描述方法。第2頁,共92頁，2024年2月25日，星期天3.1信號的分類

信號按數(shù)學關系、取值特征、能量功率等，可以分為確定性信號和非確定性信號、連續(xù)信號和離散信號、能量信號和功率信號等。第3頁,共92頁，2024年2月25日，星期天3.1.1分類方法一：確定性信號和隨機信號第4頁,共92頁，2024年2月25日，星期天1.確定性信號：能用明確的數(shù)學關系式或圖像表達的信號稱為確定性信號。

mx(t)0x(t)f0Atk第5頁,共92頁，2024年2月25日，星期天周期信號：經(jīng)過一段時間間隔重復出現(xiàn)的信號，無始無終（時域無窮）。典型的如正（余）弦信號。周期：滿足上式的最小T值。頻率：周期的倒數(shù)，f=1/T，單位：（Hz赫茲）圓頻率/角頻率：頻率乘以2

f,即

=2

f=2

/T

實際應用中，n通常取為正整數(shù)。數(shù)學表達：信號的分類T0

=2

/0=1/f0第6頁,共92頁，2024年2月25日，星期天(a)周期信號之--------正弦信號：tT0Ax(t)

0這種頻率單一的正弦或余弦信號稱為諧波信號。第7頁,共92頁，2024年2月25日，星期天

（如周期方波、周期三角波等）由多個乃至無窮多個頻率成分（頻率不同的諧波分量）疊加所組成，疊加后存在公共周期。x(t)=Asin0.5

t+Asin

t+Asin2

tx(t)t0(b)周期信號之------復雜周期信號第8頁,共92頁，2024年2月25日，星期天(a)非周期信號之------準周期信號非周期信號能用明確的數(shù)學關系進行描述，但又不具有周期重復性的信號，稱為非周期信號。它分為準周期信號和瞬態(tài)信號兩類。

也由多個頻率成分疊加而成，但不存在公共周期（本質(zhì)上不屬于周期信號）。t第9頁,共92頁，2024年2月25日，星期天

是在有限時間段存在，或隨著時間的增加而幅值衰減至零的信號，又稱為瞬變非周期信號。x(t)t(b)非周期信號之------瞬態(tài)信號第10頁,共92頁，2024年2月25日，星期天2.隨機性信號：

不能準確預測信號未來瞬時值，也無法用準確數(shù)學關系式來描述的信號，稱為隨機信號，也稱不確定性信號。特點：非確定性信號。具有不重復性（在相同條件下，每次觀測的結果都不一樣）、不確定性、不可預估性。采用概率和統(tǒng)計的方法進行描述。t0x(t)第11頁,共92頁，2024年2月25日，星期天

3.1.2分類法二：連續(xù)信號和離散信號

若信號數(shù)學表示式中的獨立變量取值是連續(xù)的，則稱為連續(xù)信號。若獨立變量取離散值，則稱為離散信號。第12頁,共92頁，2024年2月25日，星期天t0連續(xù)信號t0離散信號第13頁,共92頁，2024年2月25日，星期天3.1.3分類法三：能量信號和功率信號

如周期信號、準周期信號、隨機信號等。

信號的瞬時功率：

信號能量：

能量（有限）信號：

功率（有限）信號：

信號在有限區(qū)間（t1,t2）上的平均功率：

如各類瞬變信號。第14頁,共92頁，2024年2月25日，星期天

信號的時域描述以時間為獨立變量，描述信號隨時間的變化特征，

反映信號幅值隨時間變化的關系。波形圖：時間為橫坐標的幅值變化圖。

優(yōu)點：形象、直觀。

缺點：不能明顯揭示信號的內(nèi)在結構（頻率組成關系）。信號的描述分時域描述與頻域描述兩大類方法。

3.2信號的時域描述

第15頁,共92頁，2024年2月25日，星期天

信號的頻域描述應用傅里葉級數(shù)或傅里葉變換，對信號進行變換（分解），以頻率為獨立變量建立信號幅值、相位與頻率的函數(shù)關系。頻譜圖：以頻率為橫坐標的幅值、相位變化圖。幅值譜：幅值-頻率圖相位譜：相位-頻率圖頻域描述抽取信號內(nèi)在的頻率組成及其幅值和相角的大小，描述更簡練、深刻、方便。第16頁,共92頁，2024年2月25日，星期天

信號時域與頻域描述的關系時域描述與頻域描述是等價的，可以相互轉換，兩者蘊涵的信息相同；時域描述與頻域描述各有用武之地；將信號從時域轉換到頻域稱為頻譜(specrtrum)分析；采用頻譜圖描述信號，需要同時給出幅值譜(amplitude

spectrun)和相位譜(phasespectrum)。第17頁,共92頁，2024年2月25日，星期天3.2.1時域信號的合成與分解1.穩(wěn)態(tài)分量與交變分量；信號可以分解為穩(wěn)態(tài)分量與交變分量之和，如圖所示。即

第18頁,共92頁，2024年2月25日，星期天2.偶分量與奇分量；信號可以分解為偶分量與奇分量之和，如圖所示。即偶分量關于縱軸對稱，奇分量關于原點對稱。信號分解為奇、偶分量之和第19頁,共92頁，2024年2月25日，星期天3.實部分量與虛部分量；對于瞬時值為復數(shù)的信號可分解為實、虛兩部分之和，即4.正交函數(shù)分量信號可以用正交函數(shù)集來表示，即各分量正交的條件為各分量的系數(shù)

滿足正交條件的函數(shù)集有：三角函數(shù)、復指數(shù)函數(shù)等。第20頁,共92頁，2024年2月25日，星期天常用統(tǒng)計參數(shù)：均值、均方值和方差。

均值(mean)反映信號的靜態(tài)分量，即常值分量：均方值(meansquare)反映信號的能量或強度：3.2.2信號的統(tǒng)計特征參數(shù)方差(Variance)反映信號偏離均值的波動情況：三者關系第21頁,共92頁，2024年2月25日，星期天

狄里赫利（Dirichet）條件：信號（函數(shù)）在一個周期內(nèi)，若存在間斷點，則間斷點的數(shù)目為有限個。信號（函數(shù)）在一個周期內(nèi)，極大值和極小值數(shù)目為有限個。信號（函數(shù)）在一個周期內(nèi)，信號絕對可積，即3.3.1周期信號的頻域描述（1）三角函數(shù)展開式

（傅里葉級數(shù)法）

3.3信號的頻域描述

第22頁,共92頁，2024年2月25日，星期天其中則可以展開為傅里葉系數(shù)第23頁,共92頁，2024年2月25日，星期天式中進一步，可以改寫為信號的幅值譜信號的相位譜兩者合稱信號的頻譜第24頁,共92頁，2024年2月25日，星期天

例：求方波信號的頻域描述（傅里葉級數(shù)法）……T0T0T02T020tx(t)≤≤第25頁,共92頁，2024年2月25日，星期天解：信號x(t)為奇函數(shù)，在一個周期內(nèi)對奇函數(shù)積分結果為0，故有：第26頁,共92頁，2024年2月25日，星期天，4A

4A34A50

A(

)

03

05

00

03

05

0

(

)/2幅值譜相位譜第27頁,共92頁，2024年2月25日，星期天x(t)0tT0周期方波信號的合成第28頁,共92頁，2024年2月25日，星期天周期方波信號的時、頻域描述

第29頁,共92頁，2024年2月25日，星期天（2）復指數(shù)展開式所以：歐拉公式令：第30頁,共92頁，2024年2月25日，星期天(n=0,±1,±2,…）信號的描述其中：故用統(tǒng)一的公式描述傅里葉級數(shù)的復數(shù)形式為：第31頁,共92頁，2024年2月25日，星期天按實頻譜和虛頻譜形式

幅頻譜和相頻譜形式

幅頻譜圖：|Cn|-

實頻譜圖：

CnR

-虛頻譜圖：

CnI

-

相頻譜圖：

n-

信號的描述第32頁,共92頁，2024年2月25日，星期天例：畫出余弦、正弦函數(shù)的實頻及虛頻譜圖。

解：C-1=1/2，C1=1/2，Cn=0（n=0,2,

3,…）C-1=j/2，C1=-j/2，Cn=0（n=0,2,

3,…

）第33頁,共92頁，2024年2月25日，星期天1x(t)=cos

0t0t1x(t)=sin

0tt0CnR0

0-01/21/2CnR0

0-0

0

0-01/2-1/2CnICnI0

0-0

|Cn|0

0-01/21/2|Cn|0

0-01/21/2An0

0

1An0

0

1單邊幅頻譜單邊幅頻譜雙邊幅頻譜雙邊幅頻譜第34頁,共92頁，2024年2月25日，星期天

幾點結論

復指數(shù)函數(shù)形式的頻譜為雙邊譜（

從-到

+），三角函數(shù)形式的頻譜為單邊譜（

從0到+）。

兩種頻譜各諧波幅值之間存在如下關系：

雙邊幅值譜為偶函數(shù)，雙邊相位譜為奇函數(shù)

一般周期函數(shù)的復指數(shù)傅里葉展開式的實頻譜總是偶對稱的，虛頻譜總是奇對稱的。

第35頁,共92頁，2024年2月25日，星期天綜上所述，周期信號頻譜的特點如下：周期信號的頻譜是離散譜；每個譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍上，基波頻率是諸分量頻率的公約數(shù)；復雜周期信號展開成傅里葉級數(shù)后，在頻域上是無限的。工程上常見的周期信號，其諧波幅值隨諧波次數(shù)的增高而減小

在頻譜分析中沒有必要取次數(shù)過高的諧波分量。信號的描述第36頁,共92頁，2024年2月25日，星期天3.3.2非周期信號的頻域描述

瞬變信號例參見下頁頻率之比為有理數(shù)的多個諧波分量，其疊加后由于有公共周期，是周期信號。當信號中各個頻率比不是有理數(shù)時，則信號疊加后是準周期信號（屬非周期信號）。一般非周期信號是指瞬變信號。第37頁,共92頁，2024年2月25日，星期天非周期信號

準周期信號信號中各簡諧成分的頻率比為無理數(shù)具有離散頻譜

瞬變信號在一定時間區(qū)間內(nèi)存在或隨時間的增長衰減至零準周期信號x(t)0tx(t)0t瞬變信號I0tx(t)瞬變信號II第38頁,共92頁，2024年2月25日，星期天（1）傅里葉變換（非傅里葉級數(shù)）非周期信號可以看成是周期T0

趨于無窮大的周期信號。

譜線無限靠近，變?yōu)檫B續(xù)譜。譜線長度：此時根據(jù)傅里葉級數(shù)展開所表示的譜線失去意義。信號存在就必然含有一定的能量，無論信號怎樣分解，其所含總能量應當不變。無論周期增大到何種程度，信號能量沿頻率域的分布特征總存在，即非周期信號的頻譜依然存在。

第39頁,共92頁，2024年2月25日，星期天設周期信號x(t)在一周期內(nèi)的傅里葉級數(shù)表示為其中：

T0

時，

=

0

0，n

0

，Cn

0。但Cn

T0存在：信號的描述第40頁,共92頁，2024年2月25日，星期天Cn表示n

0（即

）處的頻譜值，而反映了單位頻帶的頻譜值（

0為譜線間隔），稱為非周期信號的頻譜密度(spectrumdensity)函數(shù)，簡稱頻譜函數(shù)，它反映了信號能量沿頻域的分布狀況。若以的值為高、以間隔

0為寬畫一個小矩形，則該小矩形的面積等于

=n

0頻率處的頻譜值Cn(n

0)。信號的描述第41頁,共92頁，2024年2月25日，星期天Cn信號的描述第42頁,共92頁，2024年2月25日，星期天傅里葉變換（FT）

傅里葉逆變換（IFT）

以代入得記為：x(t)X(

)FTIFT第43頁,共92頁，2024年2月25日，星期天用實、虛頻譜形式和幅、相頻譜形式寫為

非周期信號的幅頻譜和周期信號的幅頻譜很相似，但是兩者量綱不同。為信號幅值的量綱。為信號單位頻寬上的幅值，是頻譜密度函數(shù)。工程測試中為方便，仍稱為頻譜。

第44頁,共92頁，2024年2月25日，星期天例：矩形窗函數(shù)的頻譜（屬非周期、瞬態(tài)信號，區(qū)別方波）

W(f)中T

稱為窗寬，

1-T/2T/2tw(t)0森克函數(shù)，通常稱窗函數(shù)第45頁,共92頁，2024年2月25日，星期天W(f)T01T1Tf3T3T

(f)

01T2T3T1T2T3T2T2TW(f)函數(shù)只有實部，沒有虛部。sinc

以2

為周期并隨

的增加作衰減振蕩。sinc

是偶函數(shù)，在n

（n=1,

2,…）處其值為0。信號的描述第46頁,共92頁，2024年2月25日，星期天

非周期信號頻譜的特點

基頻無限小，包含了從

0?

的所有頻率分量。

頻譜連續(xù)。|X(

)|與|Cn|量綱不同。|Cn|具有與原信號幅值相同的量綱，|X(

)|是單位頻寬上的幅值。

非周期信號頻域描述的基礎是傅里葉變換。第47頁,共92頁，2024年2月25日，星期天（2）傅里葉變換的主要性質(zhì)

積分x(t

t0)時移

頻域微分x(kt)尺度變換

時域微分x(-f)X(t)對稱性

X1(f)

X2(f)x1(t)x2(t)頻域卷積AX(f)+bY(f)ax(t)+by(t)線性疊加

X1(f)X2(f)x1(t)

x2(t)時域卷積實奇函數(shù)虛奇函數(shù)X*(-f)x*(t)共軛虛偶函數(shù)虛偶函數(shù)X(-f)x(-t)翻轉

虛奇函數(shù)實奇函數(shù)X(f

f0)頻移

實偶函數(shù)實偶函數(shù)函數(shù)的奇偶虛實性頻域時域性質(zhì)頻域時域性質(zhì)第48頁,共92頁，2024年2月25日，星期天頻域分析：傅里葉變換，自變量為jw復頻域分析：拉普拉斯變換,自變量為

S=

+jwZ域分析：Z變換，自變量為z

頻域、復頻域、Z域的關系補充預備知識：第49頁,共92頁，2024年2月25日，星期天奇偶虛實性

若x(t)為實偶函數(shù)，則ImX(f)=0，X(f)為實偶函數(shù)。若x(t)為實奇函數(shù)，則ReX(f)=0，X(f)為虛奇函數(shù)。若x(t)為虛偶函數(shù)，則ReX(f)=0，X(f)為虛偶函數(shù)。若x(t)為虛奇函數(shù)，則ImX(f)=0，X(f)為實奇函數(shù)。若x(t)為實函數(shù)，則ReX(f)=ReX(-f)ImX(f)=-ImX(-f)第50頁,共92頁，2024年2月25日，星期天對稱性：證明：

互換t

和f從而：X(t)

x(-f)第51頁,共92頁，2024年2月25日，星期天尺度改變性

證明：（k>0）（k<0）綜上所述時間尺度特性表明：信號在時域中壓縮（k>1，變化速度加快）等效于在頻域擴展（頻帶加寬）；反之亦然。第52頁,共92頁，2024年2月25日，星期天尺度改變性質(zhì)舉例000000第53頁,共92頁，2024年2月25日，星期天證明：若t0為常數(shù)

則時移結果只改變信號的相頻譜，不改變信號的幅頻譜時移性第54頁,共92頁，2024年2月25日，星期天(c)時移的時域矩形窗(d)圖(c)對應的幅頻和相頻特性曲線

時移性質(zhì)舉例（a）時域矩形窗圖（a）對應的幅頻和相頻特性曲線000000第55頁,共92頁，2024年2月25日，星期天例：求三個窗函數(shù)的頻譜。x(t)tT/2-T/2ττ1對于矩形窗函數(shù)w(t)問題描述為求w(t-τ)+w(t)+w(t+τ)的頻譜根據(jù)時移性質(zhì)第56頁,共92頁，2024年2月25日，星期天頻移特性

若f0為常數(shù)證明第57頁,共92頁，2024年2月25日，星期天卷積特性

證明：函數(shù)x(t)與y(t)的卷積定義為同理可得第58頁,共92頁，2024年2月25日，星期天微分特性證明：同理：第59頁,共92頁，2024年2月25日，星期天傅里葉的兩個最主要的貢獻——周期信號都可表示為諧波關系的正弦信號的加權和

——傅里葉的第一個主要論點非周期信號都可用正弦信號的加權積分表示

——傅里葉的第二個主要論點第60頁,共92頁，2024年2月25日，星期天3.3.3幾種典型信號的頻譜3.3.3.1單位脈沖函數(shù)(δ函數(shù))的頻譜

1.δ函數(shù)定義且其面積（強度）：

/2

01/

t

(t)0t

(t)第61頁,共92頁，2024年2月25日，星期天2.δ函數(shù)的性質(zhì)

采樣性篩選性

篩選結果為x(t)在發(fā)生δ函數(shù)位置的函數(shù)值(又稱為采樣值)

卷積性

第62頁,共92頁，2024年2月25日，星期天

函數(shù)與其他函數(shù)的卷積示例

(t)0t1x(t)0tA0tAx(t)(t)(t

t0)0tx(t)0t0t(t+t0)(t-t0)x(t)(t

t

0)-t0t0-t0t0第63頁,共92頁，2024年2月25日，星期天3.δ函數(shù)的頻譜

對δ(t)取傅里葉變換

δ函數(shù)具有等強度、無限寬廣的頻譜，這種頻譜常稱為“均勻譜”。

δ函數(shù)是偶函數(shù)，即，則利用對稱、時移、頻移性質(zhì)，還可以得到以下傅里葉變換對0t(t)10f(f)1第64頁,共92頁，2024年2月25日，星期天（各頻率成分分別移相2

ft0）

(t

t0)

(f)（單位脈沖譜線）1（幅值為1的直流量）1（均勻頻譜密度函數(shù)）

(t)（單位瞬時脈沖）頻域時域單位脈沖函數(shù)的時、頻域關系第65頁,共92頁，2024年2月25日，星期天3.3.3.2矩形窗函數(shù)和常值函數(shù)的頻譜

（1）矩形窗(rectanglewindow)函數(shù)的頻譜第66頁,共92頁，2024年2月25日，星期天W(f)T01T1Tf3T3T(f)

01T2T3T1T2T3T2T2T1-T/2T/2tw(t)0第67頁,共92頁，2024年2月25日，星期天（2）常值函數(shù)(又稱直流量)的頻譜

幅值為1的常值函數(shù)的頻譜為f=0處的δ函數(shù)。當矩形窗函數(shù)的窗寬T趨于無窮時，矩形窗函數(shù)就成為常值函數(shù)，其對應的頻域為δ函數(shù)。第68頁,共92頁，2024年2月25日，星期天(3)單位階躍函數(shù)的頻譜單位階躍函數(shù)可以看作是單邊指數(shù)衰減函數(shù)a→0時的極限形式?！莸?9頁,共92頁，2024年2月25日，星期天單位階躍函數(shù)及其頻譜

01tx(t)0X(f)1－1第70頁,共92頁，2024年2月25日，星期天（4）正余弦(sine/cosine)函數(shù)的頻譜密度函數(shù)

正余弦函數(shù)不滿足絕對可積條件，不能直接對之進行傅里葉變換。由歐拉公式知：第71頁,共92頁，2024年2月25日，星期天1/21/20fReX(f)-f0f01/2-1/20fImX(f)-f0f00tsin2

f0t0tcos2

f0t第72頁,共92頁，2024年2月25日，星期天（5）梳狀(comb)函數(shù)（等間隔的周期單位脈沖序列）的頻譜

Ts為周期；n為整數(shù)。梳狀函數(shù)為周期函數(shù)。表示成傅里葉級數(shù)

（fs=1/Ts）因為在（-Ts

/2，Ts/2）區(qū)間內(nèi)只有一個

函數(shù)

(t)，故第73頁,共92頁，2024年2月25日，星期天從而所以即梳狀函數(shù)的頻譜也為梳狀函數(shù)，且其周期為原時域周期的倒數(shù)（1/Ts），脈沖強度為1/Ts。...comb(t,Ts)10Ts2Ts-Ts-2Ts......COMB(f,fs)1/Ts01Ts2Ts1Ts2Ts第74頁,共92頁，2024年2月25日，星期天（6）指數(shù)(exponent)函數(shù)的頻譜雙邊指數(shù)衰減函數(shù)

其傅里葉變換為

≥第75頁,共92頁，2024年2月25日，星期天單邊指數(shù)衰減函數(shù)及其頻譜

第76頁,共92頁，2024年2月25日，星期天（7）符號(sign)函數(shù)及其頻譜

符號函數(shù)的頻譜符號函數(shù)可以看作是雙邊指數(shù)衰減函數(shù)當a→0時的極限形式，即：≥第77頁,共92頁，2024年2月25日，星期天隨機信號是非確定性信號隨機信號具有不重復性（在相同條件下，每次觀測的結果都不一樣）、不確定性、不可預估性隨機信號必須采用概率和統(tǒng)計的方法進行描述相關概念

隨機現(xiàn)象：產(chǎn)生隨機信號的物理現(xiàn)象

樣本(sample)函數(shù)：隨機現(xiàn)象的單個時間歷程，即對隨機信號按時間歷程所作的各次長時間觀測記錄。記作xi(t)，i表示第i次觀測。

樣本記錄：在有限時間區(qū)間上觀測得到的樣本函數(shù)

隨機過程：在相同試驗條件下，隨機現(xiàn)象可能產(chǎn)生的全體樣本函數(shù)的集合（總體）。記作{x(t)}，即

{x(t)}={x1(t)，x2(t)，…，xi(t)，…}3.4隨機信號的頻域描述

第78頁,共92頁，2024年2月25日，星期天隨機變量：隨機過程在某一時刻t1的取值x(t1)是一個隨機變量，隨機變量一般定義在樣本空間上。集合平均：一般而言，任何一個樣本函數(shù)都無法恰當?shù)卮黼S機過程{x(t)}，隨機過程在任何時刻的統(tǒng)計特性需用其樣本函數(shù)的集合平均來描述。時間平均：按單個樣本函數(shù)的時間歷程進行平均計算。平穩(wěn)與非平穩(wěn)隨機過程：平穩(wěn)隨機過程指其統(tǒng)計特性不隨時間而變化，或者說，不隨時間坐標原點的選取而變化；否則，則為非平穩(wěn)隨機過程。第79頁,共92頁，2024年2月25日，星期天各態(tài)歷經(jīng)過程：若平穩(wěn)隨機過程任一樣本函數(shù)的時間